chuyen de 4 cac bai toan ve chia het

Hệ quả: Nếu tổng của hai số chia hết cho m và một trong hai số ấy chia hết cho m thì số còn lại cũng chia hết cho m.. 6 Nếu một trong hai số a và b chia hết cho m, số kia không chia hết

CHỦ ĐỀ 4: CÁC DẠNG TOÁN

VÀ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH CHIA HẾT

A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ:

Định nghĩa: Cho hai số tự nhiên avà b , trong đób0 Ta nói a chia hết

cho b nếu tồn tại số tự nhiên q sao cho a  bq Khi đó ta còn nói: a là bội của

b, hoặc b là ước của a.

Các tính chất chung:

1) Bất cứ số nào khác 0 cũng chia hết cho chính nó

2) Tính chất bắc cầu: nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia

hết cho c

3) Số 0 chia hết cho mọi số b khác 0

4) Bất cứ số nào cũng chia hết cho 1

Tính chất chia hết của một tổng và hiệu

5) Nếu a và b cùng chia hết cho m thì a b chia hết cho m, a b chia hết

cho m.

Hệ quả: Nếu tổng của hai số chia hết cho m và một trong hai số ấy chia

hết cho m thì số còn lại cũng chia hết cho m

6) Nếu một trong hai số a và b chia hết cho m, số kia không chia hết cho

m thì a  bkhông chia hết cho m, a  b không chia hết cho m

Tính chất chia hết của một tích

7) Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích chia hết cho m

8) Nếu a chia hết cho m và b chia hết cho n thì ab chia hết cho m n

Hệ quả: Nếu a chia hết cho b thì an chia hết cho bn

Một số dấu hiệu chia hết

hiệu chia hết như sau:

b, Ta có: Vì n n   1   n  2  là 3 số tự nhiên liên tiếp nên sẽ có 1 số chia hết

cho 2,1 số chia hết cho 3

c, Ta có : n n(  1) 1 là 1 số lẻ nên không chia hết cho 4,2 và có chữ số tận

Nếu n lẻ thì n M , Như vậy với mọi n là số tự nhiên thì 3 2  n  3   n  M 6 2 

b, Ta có : n2   n 6 n n    1 6  , Vì n n   1  là tích hai số tự nhiên liên tiếp

a, aaa aM ,37 b,ab a b(  M) 2 c, abc cba M99

Hướng dẫn giải

a, Ta có : aaa a 111a.3.37 chia hết cho a và chia hết cho 37

b, Ta có: Vì a, b là hai số tự nhiên nên a,b có các TH sau:

TH1: a, b cùng tính chẵn lẻ thì (a + b) là 1 số chẵn nhưu vậy a + b chia hết cho 2

TH2: a, b khác tính chẵn lẻ thì 1 trong 2 số phải có 1 số chẵn khi đó số đóchia hết cho 2

Thử vào ta thấy n1;3;10;30 thỏa mãn yêu cầu đầu bài

Bài 9: Chứng minh rằng: 3a M2 17b khi và chỉ khi 10a b M17 a b, ¢và ngược lại

a, Thật vậy abcd 100.ab cd 99.abab cd ,

chia hết cho 11

b, Ta có abcdeg 1000 abcdeg 1001 abc(abcdeg)

Bài 17: Chứng minh rằng nếu ab cd eg  chia hết cho 11 thì abcdeg chia hếtcho 11.

a) abcdeg  1000  abc  deg 999   abc   abc deg   M 37

b) abcdeg 1000 abc deg 1001abc(abc deg ) chia hết cho 7.

Bài 20: Tìm chữ số a biết rằng 20 20 20a a a chia hết cho 7

Hướng dẫn giải

20 20 20 20 20 1000 20 (20 1000 20 ).1000 20

1001.20 1000 20a a

Theo đề bài n chia hết cho 7, mà 1001 chia hết cho 7 nên 20a chia hết cho 7.

Ta có 20a196 (4 a), chia hết cho 7 nên 4  a chia hết cho 7 Vậy a3.

Bài 21: Cho ba chữ số khác nhau và khác 0 Lập tất cả các số tự nhiên có ba

chữ số gồm cả ba chữ số ấy Chứng minh rằng tổng của chúng chia hết cho 6

và 37

Hướng dẫn giải

Gọi ba chữ số là a, b, c

Các số tự nhiên có 3 chữ số gồm 3 số ấy là:abc acb bca bac cba cab, , , , ,

Tổng các số theo đề bài bằng: abc acb bca bac cba cab     222a b c  

x y và x y– đều lẻ nên tích x y x y     là số lẻ, trái với  1

Vậy x và y phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ Khi đó x y và x y– đều chẵn nên tích x y x y     chia hết cho 4, trong khi đó 1002 không chia hết cho 4, vô lí.

Vậy không tồn tại các số tự nhiên x và y mà x y x y     1002.

Bài 23: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, sao cho nếu viết nó tiếp sau số 1999 thì

ta được một số chia hết cho 37

Hướng dẫn giải

Gọi số phải tìm là ab.

Ta có:1999ab: 37 199900 ab: 37  5402.37 26 ab : 37   26 ab: 37

Từ 3 trường hợp trên suy ra n(2n + 7)(7n + 1) chia hết cho 6.

Bài 25: Tìm tất cả các chữ số , x y sao cho 2019xy chia hết cho cả 2, 3 và 5

Hướng dẫn giải

Tìm tất cả các chữ số , x y sao cho 2019xy chia hết cho cả 2, 3 và 5.

Ta có 2019xy chia hết cho cả 2 và 5   y 0

Lại có 2019xyM3 nên 2 0 1 9     Mx 0 3 12  xM3

luôn chia hết cho 3.

Bài 27: Tìm số tự nhiên có 4 chữ số, chia hết cho 5 và cho 27 biết rằng hai chữ

số giữa của số đó là 97

Hướng dẫn giải

Gọi n là số phải tìm, n phải tận cùng bằng 0 hoặc 5 và n phải chia hết

cho 9 Xét n*975 chia hết cho 9 nến * = 6 Thử lại: 6975 không chia hết cho

Bài 29: Cho số tự nhiên ab bằng 3 lần tích các chữ số của nó

a) Chứng minh rằng b chia hết cho a

b) Giả sửb  ka k N   (  ,) chứng minh rằng k là ước của 10

c) Tìm các số ab nói trên

Hướng dẫn giải

a) Theo đề bài: ab = 3ab

 

  

c) Do k  10 nên k  {1 ; 2 ; 5}

Với k  1, thay vào (2) : 11 3 , a loại

Với k  2, thay vào (2) : 12 6 a  a 2;

Ta thấy 10a chia hết cho3a1 , mà a và 3a1 nguyên tố cùng nhau (thật

vậy, nếu a và 3a1cùng chia hết cho d thì 3a3a1 chia hết cho d , tức là

Vậy ab = 11

Nếu k  2 thì b  2 a Xét các số 12, 24, 36, 48 ta có các số 12, 24, 36 thỏa

mãn đề bài

Nếu k  5thì b5aab15 thỏa mãn đề bài

Kết luận: Có 5 số thỏa mãn đề bài là 11, 12, 15, 24, 36

Bài 31: Tìm số tự nhiên n sao cho 18 n  3 chia hết cho 7

Ta lại có 18,7 1 nên –1  7n M

Vậy n7k1 k¥

Nhận xét: Việc thêm bớt các bội của 7 trong hai cách giải trên nhằm đi

đến một biểu thức chia hết cho 7 mà ở đó hệ số của n bằng 1

Bài 32: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết rằng số đó chia 9 dư 5, chia 7 dư 4, chia

5 dư 3

Hướng dẫn giải

Gọi số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu đề bài là a

Vì a chia 9 dư 5 nên a M4 9   a 4 153 9M a 157 9M

Vì a chia 7 dư 4 nên a M3 7   a 3 154 7M a 157 7M

Vì a chia 5 dư 3 nên a M2 5  a 2 155 5M  a 157 5M

Vậy số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu đề bài là : 158.

Bài 33: Một số chia cho 7 dư 3, chia cho 17 dư 12, chia cho 23 dư 7 Hỏi số đó

chia cho 2737 dư bao nhiêu?

TH1: Nếu 27 số tự nhiên trên có 2 số có cùng số dư khi chia cho

50 thì hiệu của chúng chia hết cho 50

TH2: Nếu 27 số tự nhiên trên không có hai số nào có cùng số dưkhi chia cho 50

Số dư khi chia cho 50 gồm: 0; 1; 2; ; 49 chia làm 26 nhóm:

  0 , 1; 49 , 2; 48 , 24; 26 , 25      Chia 27 số dư khác nhau vào 26 nhóm trên, tồn tại ít nhất 2 sốcùng một nhóm

Suy ra tổng của chúng chia hết cho 50.

Vậy trong 27 số tự nhiên tùy ý luôn tồn tại hai số sao cho tổnghoặc hiệu của chúng chia hết cho 50

Bài 36: Cho n7 5 8 4.a  b Biết a b  và 9.6 nM Tìm , a b

A tận cùng bằng 0 nên chia hết cho 5.

Bài 41: Tìm a,b biết: a - b = 3 và (14 3 35 2) 9a  b M

Hướng dẫn giải

Ta có: Để : 14 3 35 2 9a  b M          1 4 a 3 3 5 b 2 a b 18 9M a bM9

mà a và b là số có 1 chữ số nên a b 0,a b 9,a b 18

kết hợp với a - b = 3 để tìm a và b

Bài 42: Tìm số tự nhiên có ba chữ số như nhau, biết rằng số đó có thể viết

được dưới dạng tổng các số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1

Hướng dẫn giải

Gọi số phải tìm là aaa , số đó viết được dưới dạng 1 2 3  n n ¥.

Ta có:

11112

Như vậy x y 9 M 13

Do x M nên9 1313 y M Ta lại có 9 13 1,   nên yM 13

Nhận xét: Trong các cách giải trên, ta đã đưa ra các biểu thức mà sau khi

rút gọn có một số hạng là bội của 13, khi đó số hạng thứ hai (nếu có) cũng làbội của 13

Hệ số của a ở x là 1, hệ số của a ở y là 10 nên xét biểu thức 10x – y nhằmkhử a (tức là làm cho hệ số của a bằng 0), xét biểu thức 3x y nhằm tạo ra hệ

số của a bằng 13

Hệ số của b ở x là 4, hệ số của b ở y là 1 nên xét biểu thức 4 y – x nhằmkhử b, xét biểu thức x9y nhằm tạo ra hệ số của b bằng 13.

Bài 44: Tìm số tự nhiên có ba chữ số biết rằng khi chia số đó cho các số

25;28;35 thì được các số dư lần lượt là 4;7;14

Hướng dẫn giải

Ta gọi x=abc ( 0 < £ a 9;0 £ b c ; £ 9; ; ; a b c N Î ) là số tự nhiên có 3 chữ số cần tìm

Như thế x+21 là bội chung (25;28;35) mà BCNN[25;28;35]=700Þ (x+21 700)M

Do 100£ £x 999Þ 121£(x+21)£1020Þ x+21 700= Þ x=679

Bài 45: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 5 thì dư 1, chia cho 7 thì dư 5.

Hướng dẫn giải

Gọi n là số chia cho 5 dư 1, chia cho 7 dư 5

Cách 1 Vì n không chia hết cho 35 nên n có dạng 35k r k ,r ( ¥,r 35) ,

trong đó r chia 5 dư 1, chia 7 dư 5

Số nhỏ hơn 35 chia cho 7 dư 5 là 5, 12, 19, 26, 33, trong đó chỉ có 26 chiacho 5 dư 1 Vậyr  26

Bài 46: Tìm số tự nhiên n có bốn chũ số sao cho chia n cho 131 thì dư 112,chia n cho 132 thì dư 98.

p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ, p –1 và p1 là hai số

chẵn liên tiếp Trong hai số chẵn liên tiếp, có một số là bội của 4 nên tíchcủa chúng chia hết cho 8 (2)

Từ (1) và (2) suy ra  p –1  p1 chia hết cho hai số nguyên tố cùng nhau 3 và

8

Vậy p – p p1   M1 24 

Bài 48: Chứng minh nếu ab=2cd với a, b, c, d là các chữ số khác 0 thì

abcd chia hết cho 67

Hướng dẫn giải

Ta có ab=2cd

và abcd=ab.100+cd=2 100cd +cd=cd.201=cd.67.3

Vậy abcd chia hết cho 67

Bài 49: Chứng minh rằng: A = n2 + n + 1 không chia hết cho 2 và 5, với

n là số tự nhiên

Hướng dẫn giải

Vì n.(n + 1) là tích hai số tự nhiên liên tiếp, trong 2 số liên tiếp luôn luôn

có 1 số chẵn nên n.(n+1) là số chẵn, cộng thêm 1 sẽ là số lẻ => n.(n+1) + 1 là số lẻ, không chia hết cho 2

Để chứng minh n.(n + 1) + 1 không chia hết cho 5 ta thấy hai số n và n +

Nên n.(n+1) + 1 tận cùng là: 1, 3, 7 không chia hết cho 5

Bài 50: Chứng minh rằng nếu x,y là các số nguyên sao cho  7 x  3 13 y  M

Khi đó : a  1   b   1 16  k k2  1   k  1 , Mà k k   1   k  M 2 3 

Và k k   1 ,   k k  1  đều chia hết cho 2

Nên k k2  1   k  1 12  M    a 1   b   1  16 k k2  1   k  1 192  M

,Khi a, b là số chính phương lẻ liên tiếp

Bài 52: Cho 4 số nguyên phân biệt a, b, c, d Chứng minh rằng:

Hướng dẫn giải

Theo nguyên lý Dirichlet trong 3 số nguyên tùy ý luôn tồn tại hai số nguyên

tùy ý có cùng số dư khi chia hết cho 3 suy ra AM3

Trường hợp 1: cả 4 số đều là số chẵn nên tồn tại 6 hiệu chia hết cho 2 suy ra

Do đó A cũng chia hết cho 4 mà (3, 4) = 1 nên A chia hết cho 12

Bài 53: Tìm các số nguyên dương x và y lớn hơn 1 sao cho x + 3 chia hết cho y

Với k = 1, từ (1) có x + 3 = y Thay vào: y M3 x được x M6 xnên lại có x >

do x > 1 nên x 3;9

Khi x = 3 thì y = 3, thử lại đúng

Khi x = 9 thì y = 6, loại vì trái với x ≤ y

Các cặp số (x, y) phải tìm là (2; 5), (5; 2), (3; 6), (6; 3), (6; 9), (9; 6), (3;3)

Bài 54: Cho 10 số tự nhiên bất kì a a a1; ; ; ;2 3 a10 Chứng minh rằng tồn tại một

số hoặc tổng một số các số liên tiếp nhau trong dãy chia hết cho 10

Ta di xét trường hợp : cả 10 tổng S S1; ; ;2 S10 đều không chia hết cho 10

Do vậy số dư trong phép chia S S S1; ; ; ;2 3 S10 cho 10 chỉ có thể thuộc tập hợp

(1;2;3;4;5;6;7;89)

tại ít nhất 2 tổng S S i i; j( < j;1£ < £i j 10) có cùng số dư khi chia cho 10

b) Tìm số tự nhiên n lớn nhất có 3 chữ số thỏa mãn điều kiện: n chia cho

8 dư 7, chia cho 31 dư 28

Hướng dẫn giải

a) Có: A1999 1999 2  199931999419991997  19991998

1999 1 1999  1999 1 19993  199919971 1999 

1999.2000 1999 2000 3 1999 20001997

a chia cho 5 dư 3 a 3 5M  a 3 5 5M hay a M8 5

a chia cho 6 dư 2 a 2 6M  a 2 6 6M hay a M8 6.

a chia cho 7 dư 1 a 1 7M  a 1 7 7M hay a M8 7

Ta có 2b là số chẵn suy ra a lẻ và a9  a 3;5;7;9 và khi đó tương ứng

Bài 62: Cho a, b N* , thỏa mãn số M9a11b 5b11a chia hết cho 19, Hãy

giải thích vì sao M chia hết cho 361

Hướng dẫn giải

Ta có:M9a11b 5b11 19aM

mà 19 là số nguyên tố nên 9a11 19bM hoặc 5b11 19aM

Xét M3 9 a11b  5b11a 27a33b5b11a38a38b19 2 a2 19bM+ Nếu 9a11 19bM 3 9 a11 19bM

mà NM195 11 19b aM (1) + Nếu 5b11 19aM , mà NM193 9 a11 19bM 9a11 19bM

(2)

Từ (1) và (2) suy ra : 9a11 19bM

và 5b11 19aM MM192361

Bài 63: Cho hai số tự nhiên a và b thỏa mãn : m16a17 17b  a16b là 1 bội

số của 11 Chứng minh rằng : Số m cũng là một bội số của 121

Bài 65: Cho N155*710*4*16 là số tự nhiên có 12 chữ số Chứng tỏ rằng

nếu thay các dấu * bởi các chữ số khác nhau trong ba chữ số 1; 2; 3 mộtcách tùy ý thì N luôn chia hết cho 396

Vậy N chia hết cho 4, 9, 11 suy ra N chia hết cho 396.

Bài 66: Chứng minh rằng từ 52 số nguyên bất kì luôn tồn tại 2 số mà tổng

hoặc hiệu của chúng chia hết cho 100

Hướng dẫn giải

Chia 52 số nguyên tùy ý cho 100,ta có thể có các số dư từ 0,1,2,3,…,99.Ta phâncác số dư thành các nhóm sau:{ } {0 ; 1,99 ; ; 49,51 , 50} { } { }

Ta có tất cả 51 nhóm vàkhi chia 52 số cho 100 ta có 52 số dư Theo nguyên lí Dirichlet sẽ có 2 số dưcùng thuộc một nhóm Ta có 2 trường hợp:

Trường hợp 1: Hai số dư giống nhau, suy ra hiệu hai số có 2 số dư tương ứng đó

b) Các số có chữ số tận cùng là 4, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì chữ

số tận cùng vẫn không thay đổi

c) Các số có chữ số tận cùng là 3, 7, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thì chữ số tận cùng là 1

d) Các số có chữ số tận cùng là 2, 4, 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thì chữ số tận cùng là 6

Chú ý: Muốn tìm chữ số tận cùng của số tự nhiên x = a m , trước hết ta xác định chữ số tận cùng của a

a) Số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ

số tận cùng là 7 ; số có chữ số tận cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3

sẽ có chữ số tận cùng là 3

b) Số có chữ số tận cùng là 2 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ

số tận cùng là 8 ; số có chữ số tận cùng là 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3

Chữ số cuối cùng của A chính là chữ số cuối cùng của số rk

- Nếu A = 100a + = thì là hai chữ số cuối cùng của A

- Nếu A = 1000a + = thì là ba chữ số cuối cùng của A

- Nếu A=10m.am + = thì là m chữ số cuối cùng của A.

Nhận thấy: lũy thừa trong S đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 1 (các

lũy thừa đều có dạng n4(k - 2) + 1, k thuộc {2, 3, …, 2004})

Theo tính chất 2 => Mọi lũy thừa trong S đều có chữ số tận cùng là chữ

số tận cùng của cơ số tương ứng:

Nhận thấy Mọi lũy thừa trong T đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 3 (các

lũy thừa đều có dạng n4(n - 2) + 3, n thuộc {2, 3, …, 2004})

Theo tính chất 3 thì 23 có chữ số tận cùng là 8 ; 37 có chữ số tận cùng là 7

; 411 có chữ số tận cùng là 4 ; …

Như vậy, tổng T có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của tổng: (8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 199.(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 +9) + 1 + 8 + 7 + 4

= 200(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 8 + 7 + 4 = 9019

Vậy chữ số tận cùng của tổng T là 9

Bài 4: Tìm chữ số tận cùng của 187324

Hướng dẫn

Ta thấy các số có tận cùng bằng 7 nâng lên luỹ thừa bậc 4 thì được số có tận cùng bằng 1.Các số có tận cùng bằng 1 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0 ) cũng tận cùng bằng 1

Vậy a4n1 có chữ số tận cùng giống a với mọi a

 Chữ số tận cùng của M giống chữ số tận cùng của N với N làtổng

III/ BÀI TẬP THAM KHẢO THÊM.

 Phương pháp tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên x = a m như sau:

Trường hợp 1: Nếu a chẵn thì x = a m M 2 m Gọi n là số tự nhiên sao cho a n - 1 M

25

Viết m = p n + q (p ; q Є N), trong đó q là số nhỏ nhất để a q M 4 ta có:

x = a m = a q (a pn - 1) + a q

Vì a n - 1 M 25 => a pn - 1 M 25 Mặt khác, do (4, 25) = 1 nên a q (a pn - 1) M 100 Vậy hai chữ số tận cùng của a m cũng chính là hai chữ số tận cùng của a q Tiếp theo, ta tìm hai chữ số tận cùng của a q

Trường hợp 2: Nếu a lẻ , gọi n là số tự nhiên sao cho a n - 1 M 100

Trong hai trường hợp để giải được bài toán chúng ta phải tìm được

số tự nhiên n Nếu n càng nhỏ thì q và v càng nhỏ nên sẽ dễ dàng tìm hai chữ

Vậy 71991 có hai chữ số tân cùng bằng 43

Bài tập 17: Tìm hai chữ số tận cùng của 2100

Hướng dẫn

Chú ý rằng : 210 = 1024 ,bình phương của số có tận cùng bằng 24 thì tận cùng bằng 76,số có tận cùng bằng 76 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 76

Do đó ( 2)100=(210)10 =(1024)10 =(10242)5 =(….76)5 =….76

Vậy hai chữ số tận cùng của 2100 là 76

Bài tập 18 Tìm hai chữ số tận cùng của: