Trong quá trình dạy học toán nói chung, người dạy và người học cần phải tạo ra cho mình một thói quen là: Sau khi đã tìm được lời giải bài toán, dù là đơn giản hay phức tạp, cần tiếp tục
Trang 11 Mở đầu.
1.1 Lí do chọn đề tài:
Trong vài thập kỉ gần đây, do sự phát triển nhanh chóng của khoa học, kĩ thuật
và công nghệ, đặc biệt là cuộc cách mạng công nghiệp 4.0 cũng như quá trình hội nhập quốc tế đã dẫn đến nền kinh tế nước ta trở thành nên kinh tế - tri thức Trong nền kinh tế - tri thức, kiến thức và kĩ năng của con người là nhân tố quyết định sự phát triển của xã hội Nhiệm vụ quan trọng đặt ra cho nền giáo dục là ngoài việc trang bị cho học sinh những kiến thức tối thiểu, cần thiết, các môn học cần tạo ra cho học sinh các năng lực phẩm chất nhất định để khi đi vào cuộc sống các em có thể thích ứng được với thực tiễn cuộc sống
Bên cạnh việc dạy cho học sinh nắm vững các nội dung cơ bản về kiến thức, giáo viên còn phải dạy cho học sinh biết suy nghĩ, tư duy sáng tạo, biết tạo cho học sinh có nhu cầu nhận thức trong quá trình học tập Từ nhu cầu nhận thức sẽ hình thành động cơ thúc đẩy quá trình học tập tự giác, tích cực và tự lực trong học tập để chiếm lĩnh tri thức Những thành quả đạt được sẽ tạo niềm hứng thú, say mê học tập, nhờ đó mà những kiến thức sẽ trở thành “tài sản riêng” của các em
Trong quá trình dạy học toán nói chung, người dạy và người học cần phải tạo ra cho mình một thói quen là: Sau khi đã tìm được lời giải bài toán, dù là đơn giản hay phức tạp, cần tiếp tục suy nghĩ, lật lại vấn đề để tìm kết quả mới hơn Tìm được cái mới hơn rồi, lại tiếp tục đi tìm cái mới hơn nữa hoặc đi tìm mối liên hệ giữa các vấn đề, cứ như thế chúng ta sẽ tìm ra được những kết quả thú vị Việc tư duy, khai thác một bài toán là không xa lạ với người dạy và học toán Tuy nhiên, khai thác các bài toán chia hết trong tập hợp số nguyên lớp 6 thì chúng
ta còn ít đưa ra hệ thống, chuỗi bài tập cho học sinh tham khảo nhiều Từ những khó khăn và vướng mắc trong quá trình hướng dẫn giải bài tập dạng này tôi đã tìm tòi, nghiên cứu tìm ra nguyên nhân và tìm ra được các giải pháp giúp học sinh giải quyết tốt về dạng bài tập này Để có cách giải dạng bài tập phép chia hết trong tập hợp số nguyên hiệu quả nhất, giúp học sinh dễ hiểu, giải quyết vấn đề nhanh, chính xác, đầy đủ và gọn gàng hơn, đồng thời rèn khả năng tư duy độc lập trong
quá trình học tập cho học sinh tôi xin trình bày đề tài “Giải pháp giúp học sinh tư
duy logic và có hệ thống các bài toán về chia hết trong tập hợp số nguyên” hi
vọng giúp các em có kinh nghiệm trong việc giải các bài tập dạng này
1.2 Mục đích nghiên cứu.
- Giúp giáo viên không phụ thuộc vào các loại sách tham khảo, chủ động linh hoạt và sáng tạo xây dựng hệ thống bài tập để giảng dạy phù hợp với các đối tượng học sinh khác nhau
- Giúp học sinh có cái nhìn tổng quát, thấu đáo nhiều chiều về kiến thức đang được đề cập, từ đó tạo niềm tin, hứng thú say mê trong học tập, phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của học trò trong học tập và nghiên cứu
Trang 21.3 Đối tượng nghiên cứu:
Đối tượng là tác động của giáo viên đến việc hình thành một đơn vị kiến thức nâng cao về phép chia hết trong tập hợp các số nguyên cho học sinh lớp 6, 7 đồng thời phân tích hướng dẫn học sinh giải được một số dạng bài tập cơ bản về phép chia hết trong tập hợp các số nguyên Sáng kiến áp dụng trong việc đổi mới phương pháp dạy học môn Toán ở cấp THCS
1.4 Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu tài liệu, thu thập và xử lí các bài tập trong tài liệu, các bài tập trên mạng
- Phương pháp điều tra: Tiến hành dạy thử nghiệm theo phương pháp trong đề tài đối với học sinh trong lớp thành hai, một lớp áp dụng đề tài và một lớp không thực hiện, khái quát thành bài học kinh nghiệm
- Tổng hợp nhận dạng các thể loại bài tập
- Phỏng vấn
1.5.Những điểm mới của sáng kiến:
- Xây dựng hệ thống bài tập Số học phần "Phép chia hết trong tập hợp Z" phong phú một cách có hệ thống, có tính logic với nhau phù hợp với nhiều đối tượng học sinh trên cơ sở một bài tập cơ bản thuộc chương 2 số nguyên lớp 6
- Xây dựng cách tư duy phần bài tập có liên quan Từ đó xây dựng bài tập nâng cao
- Phân tích một số bài tập điển hình về phép chia hết trong tập hợp các số nguyên: + Từ đó học sinh rèn luyện năng lực, kĩ năng nhận dạng bài tập, hình thành cách giải Giúp học sinh tự nghiên cứu, tìm tòi và đưa ra cách giải cho bài toán tương tự
+ Việc phát triển nhiều dạng toán dựa trên một bài toán giúp học sinh tiếp cận bài toán một cách chủ động
+ Học sinh không phải học thuộc các dạng toán một cách thụ động không phải nhớ các dạng toán một cách máy móc
+ Tùy theo từng đối tượng học sinh và từng nhiệm vụ cụ thể (Ôn tập đại trà, Bồi dưỡng HSG, …) giáo viên triển khai xây dựng các dạng toán một cách phù hợp, học sinh tiếp cận nhẹ nhàng
+ Rèn luyện tư duy logic trong giải toán, tránh việc học tập thụ động dựa dẫm, qua đó kích thích sự đam mê, tính tò mò từ đó tạo cho học sinh thói quen tự học,
tự tìm tòi, sáng tạo
2 NỘI DUNG
2.1.Cơ sở lí luận:
ĐÇu ch¬ng tr×nh to¸n cÊp II häc sinh b¾t ®Çu làm quen với số nguyên §©y lµ m«n häc cã tÝnh hÖ thèng vµ logic rÊt cao, do vËy yªu cÇu viÖc häc ph¶i n¾m thËt
Trang 3chắc các kiến thức cơ bản, các mối liên quan của các kiến thức ấy đồng thời luyện tập vận dụng chúng để giải bài tập giải toán
Đối với học sinh lớp 6 mới đợc học một số kiến thức đơn giản về số nguyờn Lên lớp trờn với nhiều kiến thức mới đặc biệt là cách chứng minh một bài toỏn
chia hết trong tập Z, phương trỡnh nghiệm nguyờn
Đây là việc thật chẳng dễ đối với học sinh lớp 6 buộc học sinh phải tìm tòi, các giá trị cần tìm là cha biết, để xác định nó phải dự đoán, tìm mối liên hệ với các số
đã biết, chứng minh các dự đoán mới xác định đợc số nguyờn cần tìm, cho nên loại này càng khó hơn đối với các em
Nguyên nhân do học sinh ít học, ít nghiên cứu, phần lớn học sinh cha say sa trong học chương số nguyờn Trong đó kiến thức về phần chia hết là khó cần học sinh phải có sự tư duy, học sinh phải biết suy luận từ kiến thức này đến kiến thức khác một cách lôgic, kể cả bài toán chứng minh hay tính toán nên hầu hết các em học sinh rất ngại
Bởi vậy tôi nghĩ, bản thân là giáo viên cần phải làm gì để nâng cao chất lợng cho học sinh, đặc biệt là học sinh đại trà, tạo ra sự hứng thú cho mỗi học sinh khi
đợc học phần chia hết trong tập hợp số nguyờn Trong quỏ trỡnh dạy người giỏo viờn cần xõy dựng lại kiến thức cú hệ thống, phõn dạng bài tập, bài tập cú liờn quan để cho học sinh suy luận cú tớnh logic một vấn đề
2.2 Thực trạng:
a Đối với học sinh:
- Học sinh gặp nhiều khú khăn trong việc lựa chọn tài liệu tham khảo trờn thị trường sỏch
- Học sinh lĩnh hội kiến thức một cỏch rời rạc, thiếu tớnh hệ thống, thiếu tớnh logic
- Gặp bài toỏn khú thường học sinh phải nhớ lời giải do khụng liờn hệ được với cỏc dạng bài đơn giản; hoặc phải dựng kiến thức hàn lõm khú hiểu mới giải được
- Học sinh thường nản lũng và e ngại khi giải cỏc bài tập Số học Do đú niềm tin, niềm say mờ hứng thỳ đối với bộ mụn Toỏn đối với cỏc em sẽ bị giảm sỳt
- Tuy nhiờn học sinh cú khả năng làm được cỏc bài tập vận dụng, bài tập tổng hợp, bài tập phỏt triển và nõng cao khi được giỏo viờn gợi ý, hướng dẫn
b Đối với giỏo viờn:
- Thuận lợi: Giỏo viờn chủ động thiết lập cỏc dạng toỏn một cỏch chủ quan thụng
qua tần xuất xuất hiện cỏc dạng toỏn trong cỏc đề thi thuận lợi
Thời gian nghiờn cứu khụng nhiều, khụng nặng tư duy hệ thống và cú thể ỏp đặt một cỏch mỏy múc
Học sinh dễ dàng tiếp cận cỏc dạng toỏn và thực hiện lời giải nếu đỳng dạng toỏn đó cho
Hầu hết học sinh cú lực học từ trung bỡnh trở lờn đều cú thể thực hiện lời giải theo mẫu
Trang 4Cả giáo viên và học sinh mất ít thời gian phải nghiên cứu, giáo viên chủ động được kiến thức vì chỉ sử dụng phương pháp thuyết trình là chủ yếu
- Khó khăn: Trong công tác giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi các thầy cô thường đưa ra nhóm các bài tập khó ở một số dạng đơn lẻ rời rạc rồi hướng dẫn các em giải theo một phương pháp do giáo viên đã định hình sẵn, phương pháp giải các bài tập số học cũng thường gắn với mỗi kiểu bài cụ thể không có tính hệ thống và logic
- Giáo viên phụ thuộc nhiều vào các loại sách tham khảo, không sáng tạo trong việc đưa ra các bài tập cho học sinh
c Kết quả của thực trạng:
Qua khảo sát khi chưa áp dụng đề tài, được điều tra như sau:
Năm học Tổng số
học sinh
Khảo sát trước khi áp dụng đề tài Làm được bài tập Không làm được bài
tập
Để khắc phục những nhược điểm trên, tôi đưa ra giải pháp để giải quyết vấn đề như sau:
2.3 Giải pháp :
2.3.1 Các giải pháp:
Xuất phát từ kiến thức mức độ cơ bản nhất theo chuẩn kiến thức và kỹ năng mà học sinh cần phải đạt được trong SGK Số học 6 phần chia hết trong Z:
Kiến thức cơ bản: Nếu có số nguyên q sao cho a = bq (a, b là 2 số nguyên, b
0) thì ta nói a chia hết cho b.Ta còn nói a là bội của b và b là ước của a.
Tôi phát triển kiến thức này theo hướng chuyển thành 4 dạng bài tập khác nhau theo từng mức độ nhận thức của học sinh
*Dạng 1: Xây dựng các bài toán tìm số nguyên n thỏa mãn A(n) B(n), trong
đó A(n) và B(n) là các biểu thức nguyên
*Dạng 2: Xây dựng bài toán chứng minh phân số tối giản.
*Dang 3: Xây dựng cách giải cho bài toán có dạng giải phương trình nghiệm
nguyên
*Dạng 4: Tìm ẩn số để biểu thức đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
2.3.2 Tổ chức thực hiện:
Dạng 1 Tìm ẩn số trong bài toán chia hết trong Z.
Xuất phát từ quan hệ chia hết ta có thể thay đổi số chia để có bài toán dạng khác:
- Mức độ 1: Tìm số nguyên n thỏa mãn điều kiện:
Trang 5) 7 ( 1)
) 2 3
d n e)27n 5 8
* Nhận xét: Cũng là bài toán chia hết nhưng khi kết quả luôn thoả mãn với
mọi số nguyên n thì ta có bài toán dạng khác như sau:
- Mức độ 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì giá trị các biểu thức
sau là một số nguyên
2 3
)
n n n
a P
11 )
n n n n
b Q
* Nhận xét: Các bài toán trên có dạng: “Tìm số nguyên n để a A n ( ) với
,
a Z n Z ” Ta có thể thay a bằng một biểu thức nguyên để được một dạng toán khác ở mức độ cao hơn:
- Mức độ 3 Tìm số nguyên n thỏa mãn điều kiện:
2
) 2 5 ( 1); ) 2 5 ( 2); ) ( 5)( 6) 6
* Nhận xét: Ta đã biết nếu một phân số có tử chia hết cho mẫu thì phân số
đó là một số nguyên, từ đó ta có bài toán dạng khác :
- Mức độ 4: Tìm n Z để các biểu thức sau có giá trị nguyên:
1
n a
n
2 6
1
n b n
Dạng 2: Xây dựng bài toán chứng minh phân số tối giản.
Từ tính chất chia hết của một tổng và tính chất chia hết của một tích, ta kết hợp để có bài toán dạng sau:
- Mức độ 1: Tìm số nguyên x thỏa mãn điều kiện với mọi số nguyên n thì:
2n 1 và 6n 7 cùng chia hết cho x
*Nhận xét: Khi chỉ tồn tại 1 hoặc – 1 để là ước chung của hai biểu thức thì
ta có thể phát triển bài toán dưới dạng khác, cụ thể.
- Mức độ 2: Chứng minh các phân số sau là phân số tối giản:
2
n a
n
21 4
14 3
n a n
* Nhận xét: Sử dụng tính chất chia hết , ta có bài toán ở mức độ cao hơn.
- Mức độ 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì các phân số sau là
phân số tối giản
2 2
6 8 15
13 21 30
a P
2 7 8
1 ) 1
n n
b Q
n n
*Nhận xét: Đảo lại bài toán trên ta có thể đưa ra dạng toán về việc tìm điều
kiện để phân số tối giản.
- Mức độ 4: Tìm số tự nhiên n để các phân số sau là phân số tối giản.
7 13 )
n a
n
8 193 )
n b n
Trang 6*Nhận xét: Kết hợp giữa tính chất chia hết và kĩ thuật phân tích đa thức
thành nhân tử, ta có bài toán ở mức độ cao hơn.
Dạng 3 Xây dựng cách giải cho bài toán có dạng giải phương trình nghiệm nguyên.
- Mức độ 1: Tìm cặp số nguyên dương (x,y) thỏa mãn điều kiện:
a x y b x)3 17y 159 c xy) 5x 7
*Nhận xét: Đưa bài tập mức độ 2 dạng 3 về bài tập mức độ 2 dạng 1 kết hợp
tính chất chia hết của một tổng.
- Mức độ 2: Tìm cặp số nguyên dương (x,y) thỏa mãn điều kiện:
)(2 1)( 5) 12
a x y b x)( 2)(2y 1) 8 c)(8 x)(4y 1) 20
*Nhận xét: Đưa bài tập mức độ 2 dạng 3 về bài tập mức độ 1 dạng 1.
- Mức độ 3: Giải phương trình nghiệm nguyên:
)
a xy x y b xy) x y
)
d
x y xy
- Mức độ 4: Tìm cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn điều kiện:
)
4 8
y a
x
)
x b y
Dạng 4: Tìm ẩn số để biểu thức đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
- Mức độ 1: Tìm số n N để biểu thức 15 12
11
A
n
có giá trị nguyên nhỏ nhất
* Nhận xét: Đưa bài toán mức độ 1 dạng 4 về bài toán mức độ1 dạng 1, tức
là tìm n N để 12 11 n
- Mức độ 2: Tìm số n N để các biểu thức có giá trị nguyên lớn nhất
14 ) 4
n
a A
n
) 10 3
4 10
n
b B
n
) 6 5
n
c C
n
* Nhận xét: Đưa bài toán mức độ 2 dạng 4 về bài toán mức độ 1 dạng 4.
2.3.3.Một số dạng bài tập cụ thể:
* Dạng 1 Tìm ẩn số trong bài toán chia hết trong Z.
Mức độ 1:
Tìm số nguyên n thoả mãn điều kiện:
)7 1
a n
)12 2 1
b n
2
c n
) 2 3
d n
* Gợi ý trả lời
)7 1
a n Ư(7) 1; 7
ta có bảng giá trị:
Trang 7)
b Tương tự
)
c Tương tự
d n n B n k k Z n 3k 2
Mức độ 2:
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì giá trị các biểu thức sau là một
số nguyên:
2 3
)
n n n
a P
4 3 11 2
)
n n n n
b Q
*Gợi ý trả lời:
2 3
)
n n n
a P
2 3
2 3
6
( 1)( 2)
6
n n n
P
n n n
Do n n, 1,n 2 là 3 số nguyên liên tiếp nên n n( 1)(n 2) 6
P là 1 số nguyên với mọi n nguyên dương
)
b Tương tự: n(n+1)(n+2)(n+3)24
Mức độ 3:
Tìm số nguyên n thoả mãn điều kiện:
a n n
2
b n n n
2
c n n n
* Gợi ý trả lời
)
a Ta có: 2n 5 2n 2 3 2(n 1) 3
Ta có : 2(n 1) ( n 1)
2n 5 n 1
khi 3 n 1
1
n
Ư(3)
Ta có bảng sau:
)
b Tương tự
)
c Tương tự: (n+3)(n-5) - 7n+3
Mức độ 4:
Tìm số nguyên n để phân số sau có giá trị là số nguyên
Trang 83 9
)
4
n
a A
n
)
2 1
n
b B
n
* Gợi ý trả lời
)
a Ta có
3
A
4
n
4
n là Ư(21)= { 1; 3; 7; 21}
)
b Tương tự : 2n – 1 là Ư(8) = {1 ; 2 ; 4 ; 8}
Bài tập vận dụng :
Bài 1 Tìm số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện:
2
)15 1
)18 2 1
Bài 2 Tìm số nguyên n sao cho:
2
)4 5 2 1
)3 1 2 3
a n n
b n n
f n n
Bài 3 Tìm số nguyên n đề phân số sau có giá trị là số nguyên
5
)
3
a
n
1 ) 2
n b n
1 ) 3
n c n
12 1 )
n d n
)
3
n
e
n
10 )
n f n
) 2
n g n
)
1
n n h
n
*Dạng 2: Xây dựng bài toán chứng minh phân số tối giản.
Mức độ 1:
Tìm số nguyên x thỏa mãn điều kiện với n Z thì:
)2 1
a n và 6n 7 cùng chia hết cho x
)12 1
b n và 30n 2 cùng chia hết cho x
)2 3
c n và 3 4n cùng chia hết cho x
* Gợi ý trả lời
)
a Ta có
2 1
3(2 1)
Trang 96 7
[(6 7) (6 3)]
(6 7 6 3)
4
x
x
là Ư(4)
Mà với n Z thì 2n 1 là số lẻ nên nếu x 2 hoặc x 4 thì
2n 1 x x 2 x 2;x 4
Vậy x = 1
)
b Tương tự
)
c Tương tự
Mức độ 2:
Chứng minh phân số tối giản:
2
)
n
a
n
21 4
)
14 3
n
b
n
10 3
)
10 4
n
c
n
* Gợi ý trả lời
)
a Gọi ƯCLN(n 2; 2n 5) d ta có:
2
n d và 2n 5 d
2(n 2) d
và 2n 5 d
2n 4 d
và 2n 5 d
[(2n 5) (2n 4)] d
1 d
1
d
Vậy 2
n
n
là phân số tối giản
)
b Tương tự
)
c Tương tự
Mức độ 3 :
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì các phân số sau là phân số tối giản:
2 2
6 8 15
13 21 30
a P
2 7 8
1 ) 1
n n
b Q
n n
*Gợi ý trả lời
)
a Gọi d là ước chung lớn nhất của 6 8 n 15n2 và 13 21 n 30n2
Trang 102 2
6 8n 15n d;13 21n 30n d
Ta có:
2
12 16n 30n d
mà 13 21 n 30n d2
5n 1 (1)d
2
3 (5 1)
n n d
5n 6 5(2)
Từ (1) và (2) (5n 6) (5 n 1) d
5 d
Mà 5n 6 d 5n 5 1 d 1 d d 1
Vậy phân số 6 8 15 22
13 21 30
P
tối giản với mọi số nguyên dương n
)
b Tương tự
Mức độ 4 :
Tìm số tự nhiên n để các phân số sau là phân số tối giản:
7 13
)
n
a
n
8 193 )
n b n
*Gợi ý trả lời
)
a Giả sử phân số7 13
n n
(nN) có thể rút gọn được cho số nguyên tố d
7n 13 d
và 2n 4 d
Vì 7n 13 d nên 2(7n 13) d hay14n 26 d (1)
Và 2n 4 d nên7(2n 4) d hay 14n 28 d (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
(14n 28) (14 n 26) d
2 d
Mà d là số nguyên tố nên d 2
7n 13 2
( vì 2n 4 2 )
7n 13 6 2
(vì 6 2 )
7n 7 2
7(n 1) 2
1 2
n
(vì (7, 2) 1 )
*
2 1
n k
Với n 2k 1(k N * ) thì phân số rút gọn được cho 2
Vậy vớin 2k 1(k N * ) thì phân số 7 13
n n
là phân số tối giản