Rèn kỹ năng giải toán cho học sinh lớp 4 thông qua hệ thống các bài toán về chia hết

Giả thuyết khoa học Nếu xây dựng được hệ thống bài toán có nội dung chia hết một cách khoa học, phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh lớp 4 và sử dụng chúng hợp lý sẽ giúp các em

LỜI CẢM ƠN

Sau hơn 7 tháng nghiên cứu và thực hiện đến nay đề tài khoá luận tốt nghiệp

của em đã hoàn thành Để hoàn thành được đề tài khoá luận tốt nghiệp này

phải kể đến công lao to lớn của các thầy, cô khoa Giáo dục Tiểu học và Mầm

non – trường Đại học Hùng Vương Các thầy cô đã không quản khó khăn động

viên, giúp đỡ để em hoàn thành đề tài khoá luận tốt nghiệp này Qua đây em

xin gửi lời cảm ơn tới các thầy, cô giáo và các em học sinh trường Tiểu học

Phù Lỗ - huyện Phù Ninh - tỉnh Phú Thọ Các thầy cô và các em học sinh đã

tạo mọi điều kiện để em tiến hành công việc điều tra, giảng dạy và thu thập số

liệu,

Đặc biệt, em xin dành những tình cảm và lòng biết ơn sâu sắc nhất tới thầy

giáo Th.s Trần Ngọc Thuỷ Em xin cảm ơn thầy trong suốt thời gian qua đã

hướng dẫn, chỉ bảo em tận tình để em có thể hoàn thành tốt đề tài khoá luận

này Em chúc thầy luôn mạnh khoẻ, hạnh phúc và thành công hơn nữa trong sự

nghiệp của mình

Do điều kiện thời gian và trình độ hiểu biết của bản thân có hạn, nên đề tài

khoá luận của em không tránh khỏi những sai sót Em rất mong nhận được

những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên để đề tài khoá

luận của em được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Phần mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Trong cuộc chạy đua với sự tiến bộ về mọi mặt của xã hội thì nhiệm vụ đặt ra

cho nền giáo dục nói chung và nền giáo dục tiểu học nói riêng là giáo dục cho

học sinh phát triển một cách toàn diện, hài hoà, đầy đủ về mọi măt tri thức, đạo

đức, thẩm mĩ và thể chất đáp ứng nhu cầu ngày càng cao của xã hội

Tiểu học là bậc học nền tảng đặt nền móng vững chắc cho giáo dục Mỗi môn

học ở tiểu học đều góp phần vào việc hình thành và phát triển những cơ sở ban

đầu quan trọng của nhân cách con người Việt Nam Mục tiêu đặt ra cho nền giáo

dục tiểu học đó là: Hình thành cho học sinh những cơ sở ban đầu cho sự phát

triển đúng đắn và lâu dài về đạo đức, trí tụê, thể chất, thẩm mĩ và các kỹ năng cơ

bản để học sinh tiếp tục học lên Trung học cơ sở

Có thể thấy rằng, trong các môn học ở tiểu học cùng với môn Tiếng Việt, môn

Toán có vai trò quan trọng góp phần đào tạo nên những con người phát triển

toàn diện Toán học có khả năng hình thành ở người học óc trừu tượng, năng lực

tư duy logic chính xác, rèn luyện cho học sinh các phương pháp tư duy khoa học

trong việc giải quyết các vấn đề, biết cách quan sát, phân tích, tổng hợp …đồng

thời hình thành ở các em những phẩm chất đáng quý như kiên trì, sáng tạo…

Hiện nay, trong dạy học toán ở tiểu học, giải toán chiếm vị trí quan trọng Các

bài toán được sử dụng để gợi động cơ tìm hiểu kiến thức mới; giải toán được sử

dụng để củng cố, luyện tập kiến thức; giải toán giúp nâng cao năng lực tư duy

của học sinh Khi học giải toán, học sinh thực hành các công việc của một người

làm toán Vì vậy, một yêu cầu đặc biệt quan trọng đối với giáo viên tiểu học là

phải nắm chắc các bài toán cơ bản ở tiểu học để cung cấp cho học sinh những

kiến thức vững chắc làm nền tảng cho việc học các bậc học cao hơn Trong

chương trình toán học, có thể nói toán chia hết là mảng kiến thức toán vô cùng

quan trọng không chỉ ở chương trình toán tiểu học mà nó xuyên suốt trong các

bậc học sau

Qua các bài toán về chia hết sẽ góp phần củng cố kiến thức về số học, phát

triển năng lực thực hành, tư duy logic, biết cách vận dụng lý thuyết vào giải

quyết bài tập cũng như các vấn đề trong cuộc sống cho học sinh Đồng thời rèn

luyện cho học sinh những đức tính, phẩm chất tốt như: cần cù, cẩn thận, kiên trì,

làm việc có kế hoạch…

Trong chương trình toán Tiểu học thì các dạng toán về chia hết là một trong

những dạng toán quan trọng có nội dung xuyên suốt từ lớp 2 cho đến lớp 5 Việc

dạy cho học sinh nắm vững những kiến thức về các dấu hiệu chia hết sẽ giúp các

em thực hành giải toán chính xác hơn, dễ dàng hơn Từ đó đạt hiệu quả cao trong

học tập và dễ dàng vận dụng vào giải quyết các vấn đề của cuộc sống

Hiện nay, thực trạng dạy học trong hầu hết các trường Tiểu học cho thấy:

Trong quá trình dạy học không ít giáo viên còn lúng túng trong phương pháp tổ

chức cho học sinh khám phá kiến thức, nhất là kiến thức về chia hết Một số giáo

viên chưa thấy được vai trò của mình với tư cách là người thiết kế, điều khiển

quá trình dạy học Việc chuyển giao cho trò không phải là những tri thức có sẵn

mà là những tình huống để trò hoạt động Về phía học sinh, do những đặc điểm

tâm lý của học sinh tiểu học như: các em mới chuyển từ hoạt động vui chơi là

chủ đạo sang hoạt động học là chủ đạo, nhận thức còn chưa cao, tư duy còn

nhiều dấu vết của tư duy nguyên thuỷ, mang nhiều tính chủ quan và tính xúc

cảm; chú ý, ghi nhớ còn chưa sâu…Vì vậy mà việc tiếp cận với những kiến thức

của các em gặp nhiều khó khăn đặc biệt là những kiến thức khó Do đó, giáo

viên cần phải nắm vững những đặc điểm tâm lý của học sinh để đưa ra những

biện pháp giáo dục hiệu quả

Các bài toán chia hết là một phần kiến thức cơ bản nhưng khó và dễ nhầm lẫn

Trong quá trình dạy học không ít giáo viên chỉ tổ chức cho học sinh lĩnh hội các

kiến thức cơ bản là chủ yếu Quá trình học tập môn toán của học sinh về toán

chia hết còn hạn chế, nhất là việc nhận dạng toán chia hết, việc rèn luyện, thực

hành còn hạn chế khiến học sinh còn lúng túng khi áp dụng lý thuyết vào giải bài

không cao Nên việc lựa chọn phương pháp giải một bài toán về chia hết là rất

quan trọng trong bộ môn toán ở tiểu học Xuất phát từ những lý do trên, chúng tôi

mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu “Rèn kỹ năng giải toán cho học sinh lớp 4

thông qua hệ thống các bài toán về chia hết ” Chúng tôi chọn đề tài này để

nghiên cứu sâu hơn về dạng toán chia hết, từ đó tìm xây dựng một hệ thống bài

tập thích hợp để giúp cho việc giảng dạy và hướng dẫn học sinh giải toán tốt hơn

+ Xây dựng hệ thống bài toán về chia hết theo định hướng rèn kỹ năng giải

toán cho học sinh lớp 4

3 Đối tượng và khách thể nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu

+ Nghiên cứu thực tiễn việc học tập môn toán của học sinh tiểu học nói chung

và học sinh lớp 4 nói riêng

+ Nghiên cứu nội dung, chương trình, sách giáo khoa, các tài liệu khác về

môn toán lớp 4 lựa chọn xây dựng hệ thống và phân loại bài tập có nội dung liên

quan đến chia hết, cách sử dụng các dấu hiệu chia hết trong giải toán

3.2 Khách thể nghiên cứu

Học sinh lớp 4

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

+ Xây dựng hệ thống lý luận và thực tiễn về vấn đề rèn kỹ năng giải toán cho

học sinh lớp 4 thông qua hệ thống bài tập về chia hết

+ Nghiên cứu nội dung chương trình, sách giáo khoa, phương pháp dạy học

các yếu tố chia hết ở tiểu học

+ Tìm hiểu thực trạng việc dạy học các yếu tố chia hết cho học sinh lớp 4 qua đó

5 Phạm vi nghiên cứu

Do điều kiện thời gian và năng lực của bản thân nên chúng tôi chỉ đi sâu vào

nghiên cứu các dạng toán chia hết ở khối lớp 4 tại trường Tiểu học Phù Lỗ - Phù

Ninh - Phú Thọ để từ đó đưa ra nhận xét, đánh giá và kiến nghị của mình nhằm

nâng cao hơn nữa chất lượng giảng dạy môn toán ở Tiểu học

6 Giả thuyết khoa học

Nếu xây dựng được hệ thống bài toán có nội dung chia hết một cách khoa

học, phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh lớp 4 và sử dụng chúng hợp lý

sẽ giúp các em rèn kỹ năng giải toán Từ đó hiệu quả học tập sẽ được nâng cao,

đảm bảo mục tiêu giáo dục đã đề ra

7 Phương pháp nghiên cứu

Trong quá trình nghiên cứu đề tài chúng tôi sử dụng một số phương pháp sau:

7.1 Phương pháp nghiên cứu lý thuyết

Phương pháp nghiên cứu lý thuyết là phương pháp dựa trên cơ sở tìm hiểu,

thu thập những thành tựu lý luận đã làm cơ sở cho giả thuyết khoa học mà mình

đã đặt ra Cụ thể là đưa ra lý thuyết về chia hết, thế nào là chia hết, chia có dư,

các dạng toán, phương pháp giải toán…từ đó mới đưa ra các dạng bài tập và

cách giải

7.2 Phương pháp nghiên cứu thực tiễn

7.2.1 Phương pháp trò chuyện phỏng vấn

Tiến hành trò chuyện với giáo viên và học sinh xung quanh các vấn đề về

dạng toán chia hết Từ đó lấy ý kiến của giáo viên và học sinh về việc dạy học

các dạng toán chia hết

7.2.2 Phương pháp quan sát

Sử dụng phương pháp quan sát nhằm thu thập thông tin thực tế về môn toán

đối với sự phát triển tâm lý học sinh để bổ sung thêm chính xác cho kết quả

nghiên cứu từ phương pháp điều tra

Cách tiến hành: Chúng tôi tiến hành dự giờ, quan sát thái độ, hành vi học tập,

hành, thảo luận, kiểm tra

7.2.3 Phương pháp điều tra

Điều tra bằng các phiếu điều tra

Cách tiến hành:

+ Phát phiếu điều tra cho giáo viên và học sinh, yêu cầu học sinh ghi rõ họ

tên, lớp

+ Trực tiếp hướng dẫn học sinh trả lời câu hỏi

+ Yêu cầu giáo viên và học sinh có thái độ nghiêm túc, trả lời đầy đủ, chân

thành các câu hỏi

7.3 Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia

Trong quá trình nghiên cứu chúng tôi không thể tránh khỏi những sai sót và

bế tắc Vì vậy, phương pháp lấy ý kiến chuyên gia sẽ phục vụ đắc lực cho quá

trình nghiên cứu

7.4 Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

Trong quá trình nghiên cứu cũng như hoàn thiện đề tài cần phải có sự đúc kết

kinh nghiệm làm hành trang cho việc học tập cũng như công tác giảng dạy sau

này

PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI 1.1 Lịch sử vấn đề

Vấn đề rèn kỹ năng giải toán cho học sinh Tiểu học đã được nhiều tác giả, các

nhà khoa học giáo dục nghiên cứu và đề cập đến trong rất nhiều tài liệu và cũng

được áp dụng, thực hiện ở nhiều trường Tiểu học trên cả nước với những mức độ

khác nhau từ đơn giản đến phức tạp ở từng giai đoạn giáo dục

Trong “ Phương pháp dạy học đại cương môn toán ’’, tác giả Nguyễn Bá Kim,

Bùi Huy Ngọc cho rằng “ bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn toán,

điều căn bản là bài tập có vai trò giá mang hoạt động của học sinh Thông qua

giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả định

nghĩa, định lí, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động toán học phức hợp,

những hoạt động tri tuệ phổ biến trong toán học…’’( tr.226 )

Việc rèn các kỹ năng giải toán cho học sinh Tiểu học thông qua hệ thống các

bài toán về chia hết cũng là một trong những phương pháp tích cực giúp học sinh

có được những kỹ năng tư duy, lý luận, logic trong việc giải toán Có thể nói

toán chia hết là trọng tâm của số học, những bài toán về chia hết hết sức phong

phú và đa dạng Nó không chỉ vận dụng những kiến thức cơ bản vào giải toán

mà còn phát triển tư duy cho học sinh Toán chia hết là dạng toán đòi hỏi học

sinh có sự tư duy cao Vì vậy, đã có rất nhiều nhà giáo dục đã nghiên cứu và xây

dựng những hệ thống bài tập về toán chia hết

Các bài viết của tác giả Bùi Huy Hiếu đã đưa ra một số dạng toán và một số

cách giải về dạng toán liên quan đến dấu hiệu chia hết rất hay Song, chúng tôi

thấy một số bài tác giả đưa ra cách giải như vậy thì chưa thực sự phù hợp với đối

tượng học sinh Tiểu học và nếu hướng dẫn học sinh giải như vậy thì các em sẽ

rất khó nắm bắt nên ít hiệu quả ( cách giải gần giống với cách giải của bậc

THCS )

Hay một số tác giả như Trần Diên Hiển, Nguyễn Áng – Dương Quốc Ấn –

Hoàng Thị Phước Thảo cũng đã xây dựng được một số bài toán có liên quan đến

dấu hiệu chia hết nhưng còn ít và chưa đầy đủ Nói chung, hầu hết các tác giả có

nghiên cứu về toán chia hết trong chương trình toán tiểu học từ rất lâu Nhưng

việc nghiên cứu này chưa chuyên sâu về việc rèn luyện kỹ năng giải toán qua hệ

thống các bài tập về chia hết

Chính vì vậy, chúng tôi đã mạnh dạn tiến hành nghiên cứu và xây dựng một

hệ thống bài tập về chia hết Qua đó giúp học sinh có được hệ thống kiến thức

vững chắc, phát triển tư duy, logic và cách lập luận chính xác, hợp lý trong giải

toán Từ đó nâng cao kỹ năng giải toán cho học sinh Tiểu học

1.2 Cơ sở lí luận

1.2.1 Cơ sở tâm lý học

Cùng với sự phát triển và thay đổi mọi mặt của đời sống xã hội, quan niệm về

trẻ em ngày một khác đi Trước đây trẻ em được quan niệm là “người lớn thu

nhỏ lại thì ngày nay người ta quan niệm trẻ em hiện đại là sản phẩm của xã hội

hiện đại chưa hề có trong quá khứ” Trẻ em được đặt vào vị trí trung tâm của quá

trình giáo dục Vì vậy, dạy học phải xuất phát từ trẻ em và đi đến trẻ em

Tâm lý học hiện đại cho rằng :” muốn giáo dục trẻ em thì phải hiểu trẻ em và

ngược lại muốn hiểu trẻ em thì phải giáo dục trẻ” Đó là mối quan hệ biện chứng

giữa quá trình giáo dục trẻ và quá trình nghiên cứu sự phát triển tâm lý của trẻ

Như vậy, việc giáo viên nắm bắt và hiểu biết về đặc điểm tâm lý lứa tuổi

cũng như hoạt động học tập của trẻ đặc biệt là trẻ em lứa tuổi tiểu học chính là

cơ sở để giáo viên tìm ra được những phương pháp giáo dục trẻ tốt nhất, từ đó

thực hiện tốt nhiệm vụ giáo dục của mình

1.2.1.1 Đặc điểm và cơ chế nhận thức của học sinh lớp 4

Ở lứa tuổi tiểu học bước đầu diễn ra sự phát triển toàn diện về các quá trình

nhận thức Nhu cầu nhận thức của học sinh tiểu học chính là sự biểu hiện sinh

động nhất đánh dấu sự chuyển biến cả về lượng và về chất so với học sinh mẫu

giáo Nhu cầu nhận thức phát triển như động cơ thôi thúc trẻ học tập, tìm hiểu,

khám phá thế giới xung quanh

Mặc dù trong những hoàn cảnh, điều kiện sống khác nhau nhưng trẻ đều có

khả năng phát triển về nhận thức nổi bật nhất là sự phát triển của tri giác, chú ý,

trí nhớ, tưởng tượng và tư duy

• Tri giác:

Ở lớp 4 tri giác phân tích được hình thành và phát triển mạnh Tri giác bắt

đầu mang tính xúc cảm, trẻ thích quan sát các sự vật, hiện tượng có màu sắc sặc

sỡ, hấp dẫn, tri giác của trẻ đã mang tính mục đích, có phương hướng rõ ràng

Vì vậy trong dạy học toán ở Tiểu học, giáo viên cần nắm chắc đặc điểm này

để hướng dẫn học sinh phương pháp quan sát thích hợp, quan sát có tổ chức từ

đó phát triển tri giác cho các em

• Chú ý:

Với học sinh lớp 4 khối lượng chú ý tăng lên, trẻ dần hình thành kỹ năng tổ

chức, điều chỉnh chú ý của mình Chú ý có chủ định phát triển dần và chiếm ưu

thế Trong sự chú ý của trẻ đã bắt đầu xuất hiện giới hạn của yếu tố thời gian, trẻ

đã định lượng được khoảng thời gian cho phép để làm một việc nào đó và cố

gắng hoàn thành công việc trong thời gian quy định

• Trí nhớ:

Trí nhớ của học sinh Tiểu học được phát triển theo hai hướng:

Một là: Tăng cường vai trò của ghi nhớ có ý nghĩa và ghi nhớ của từ lôgic so

với trí nhớ trực quan hình tượng

Hai là: Trẻ có khả năng điều khiển một cách có ý thức trí nhớ của mình như

điều khiển sự nhận lại và nhớ lại một cách có chủ định

Ở học sinh lớp 4, trí nhớ trực quan hình tượng và trí nhớ từ ngữ lôgic được

tăng cường Hiệu quả của việc ghi nhớ có chủ định do tính tích cực hoạt động

của học sinh quy định Vì vậy, trong quá trình dạy học người giáo viên phải có

nhiệm vụ giúp học sinh hạn chế ghi nhớ không chủ định, phát triển ghi nhớ có

các em đâu là điểm chính, điểm quan trọng của bài học, kích thích vào sự ghi

nhớ có ý nghĩa, học có mục đích, biết tạo các điểm tựa và dựa vào các điểm tựa

đó để ghi nhớ tốt hơn

• Tưởng tượng:

Tưởng tượng của học sinh tiểu học được hình thành và phát triển trong hoạt

động học và các hoạt động khác của các em

Khả năng tưởng tượng tái tạo của học sinh lớp 4 từng bước được hoàn thiện

gắn liền với những hình tượng đã tri giác hoặc tạo ra những hình tượng phù hợp

với những điều mô tả, sơ đồ, hình vẽ…Các biểu tượng của tưởng tượng dần trở

nên hiện thực hơn, phản ánh đúng đắn hơn nội dung các môn học

Như vậy, tưởng tượng của học sinh Tiểu học đã mất dần, thoát khỏi ảnh

hưởng của những ấn tượng trực tiếp, tính hiện thực trong tưởng tượng của học

sinh gắn liền với sự phát triển tư duy và ngôn ngữ

Dựa vào sự phát triển nhận thức của học sinh lớp 4, các nhà giáo dục phải tạo

điểu kiện phát triển tư duy và trí tưưỏng tượng cho các em bằng cách biến những

kiến thức khô khan thành những hình ảnh có cảm xúc, đặt ra cho các em những câu

hỏi có tính gợi mở để các em tự giải quyết vấn đề Từ đó các em có cơ hội phát

triển trí thông minh và óc sáng tạo trong quá trình học tập và trong cuộc sống

• Tư duy:

Ở giai đoạn này, tư duy cụ thể vẫn tiếp tục phát triển, tư duy trừu tượng đang

dần chiếm ưu thế hơn Học sinh tiếp thu tri thức các môn học bằng cách tiến

hành các thao tác tư duy với các kí hiệu

Học sinh xác lập mối quan hệ từ nguyên nhân đến kết quả tốt hơn từ kết quả

đến nguyên nhân Đặc điểm tư duy của học sinh không có ý nghĩa tuyệt đối mà

có ý nghĩa tương đối Trong quá trình học tập, tư duy của học sinh thay đổi rất

nhiều Sự phát triển của tư duy dẫn đến sự tổ chức lại một cách căn bản quá trình

nhận thức, biến chúng tiến hành một cách có chủ định

Vì vậy trong quá trình dạy học giáo viên phải đặc biệt chú ý đến đặc điểm

được tâm lý của các em sẽ giúp giáo viên điều chỉnh phương pháp dạy học sao

cho phù hợp đảm bảo tính vừa sức với các em

1.2.1.2 Hoạt động học của học sinh tiểu học

 Khái niệm

Với học sinh tiểu học hoạt động học là hoạt động chủ đạo Theo nhà tâm lý

học D B Elconin thì “ hoạt động học là hoạt động có ý thức nhằm thay đổi bản

thân chủ thể của hoạt động học " Trong hoạt động này các phương thức chung

của việc thực hiện hoạt động được học sinh ý thức và phân biệt với kết quả của

hoạt động Như vậy, hoạt động học không chỉ được xem xét dưới góc độ nhờ đó

học sinh lĩnh hội được cái gì, bằng cách nào mà còn được xem xét sự biến đổi

của bản thân chủ thể hoạt động

 Bản chất của hoạt động học

Đối tượng của hoạt động học là tri thức, khái niệm khoa học, kỹ năng, kỹ

xảo,… Đích của hoạt động học hướng tới là bằng hoạt động của mình học sinh

chiếm lĩnh tri thức, khái niệm, hệ thống kỹ năng, kỹ xảo tương ứng Hoạt động

học làm thay đổi chính bản thân chủ thể của hoạt động học Nó là hoạt động có

tính tự giác cao, được điều khiển một cách có ý thức nhằm lĩnh hội nền văn minh

nhân loại

Vì vậy nhiều giáo viên tiểu học không chỉ dạy tri thức khoa học, dạy kỹ năng

mà còn phải dạy học sinh cách chiếm lĩnh tri thức đó một cách có hiệu quả

Đồng thời việc hình thành hoạt động học phải được giáo viên ý thức và xem là

một trong những mục đích quan trọng của hoạt động dạy

Theo các nhà tâm lý học tiểu học, hoạt động học của học sinh Tiểu học

gồm các thành tố: nhiệm vụ học tập, hành động học tập, động cơ học tập và nhu

cầu học tập

Nhiệm vụ học tập: Để thực hiện được nhiệm vụ học tập học sinh phải tiến

hành các hoạt động học Hoạt động học gồm: hoạt động phân tích, hoạt động mô

Động cơ học tập: Là những cái thôi thúc trẻ học tập, là yếu tố tâm lý tạo

động lực thúc đẩy học sinh tiến hành các hoạt động học tập tích cực

Nhu cầu học tập : Là lòng ham muốn , niềm hứng thú , say mê của học

sinh với việc học tập

Tóm lại hoạt động học là hoạt động chủ đạo của học sinh Tiểu học Trong

quá trình học tập của học sinh chỉ đạt được kết quả cao khi học sinh thực sự

tham gia vào hoạt động học Trong quá trình dạy học ở Tiểu học, giáo viên phải

tổ chức cho học sinh tham gia các hoạt động một cách tích cực, chủ động Để

làm được điều đó giáo viên cần có sự kết hợp đồng thời giữa nội dung dạy học,

phương pháp dạy học và cách tổ chưc dạy học

1.2.2 Sơ lược về Toán học và đặc điểm Toán học

Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các

phép biến đổi Nói một cách khác , người ta cho rằng đó là môn học về “ hình và

số ’’ Theo quan điểm chính thống thì đó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc

trừu tượng định nghĩa về các tiêu đề, bằng cách sử dụng lý luậnhọc logic và kí

hiệu toán học Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa, toán học được

mệnh danh là “ ngôn ngữ trong vũ trụ”

Toán học là một ngành, một môn học đòi hỏi suy luận và trí thông minh cao

Nó chứa tất cả những gì thách thức đến bộ não của chúng ta Học toán hay

nghiên cứu toán học là vận dụng khả năng suy luận và trí óc thông minh của

chúng ta

Toán học là nền tảng cho tất cả các nghành khoa học tự nhiên khác Có thể

nói rằng “ không có toán học sẽ không có ngành khoa học nào cả”

Toán học chỉ dành cho những ai thông minh, biết kiên trì, biết tự lập, vì thế

toán học rèn luyện cho chúng ta những đức tính đó Nói đến toán học là nói đến

sự chính xác, gọn gàng, logíc…

1.2.2.1 Đặc điểm môn toán

Thứ nhất, tính trừu tượng cao độ và thực tiễn phổ dụng : Toán học là khoa

quan mà người ta có thể trang bị cho một tập hợp bằng một hệ tiên đề

Sự trừu tượng hoá trong toán học diễn ra trên nhiều bình diện khác nhau Có

những khái niệm toán học là kết quả của sự trừu tượng hoá nhưng đối tượng vật

chất cụ thể, chẳng hạn khái niệm số tự nhiên, hình bình hành Nhưng cũng có

nhiều khái niệm là kết quả của sự trừu tượng đã đạt được trước đó, chẳng hạn

những khái niệm nhóm, vành, trường, không gian vectơ…

Thứ hai, tính logic và thực tiễn của toán học : Khi xây dựng toán học, người ta

dùng suy diễn logic, cụ thể là dùng phương pháp tiên đề Theo phương pháp đó,

xuất phát từ những khái niệm nguyên thuỷ và các tiền đề rồi dùng các quy tắc

logic để định nghĩa các khái niệm khác nhau và chứng minh các mệnh đề khác

Các giáo trình toán phổ thông mang tính logic, hệ thống, tri thức trước chuẩn

bị cho tri thức sau, tri thức sau dựa vào tri thức trước, tất cả như những mắt xích

liên kết với nhau một cách chặt chẽ

Toán học có thể xét theo hai phương diện Nếu chỉ trình bày những kết quả

toán học đã đạt được thì nó là khoa học suy diễn và nổi bật lên Nhưng nếu nhìn

toán học trong quá trình hình thành và phát triển, trong quá trình tìm tòi phát

minh thì trong phương pháp của nó vẫn có tìm tòi dự đoán, vẫn có “ thực nghiệm

” và “ quy nạp ”

Như vậy sự thống nhất giữa suy diễn và suy đoán là một đặc điểm tư duy

của toán học, phải chú ý cả hai phương diện đó mới có thể hướng dẫn học

sinh học toán

1.2.2.2 Vị trí và chức năng của bài tập toán học

Ở nhà trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học Đối với học sinh

có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Các bài

toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay

thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình hành

kỹ năng, kỹ xảo, ứng dụng toán học vào thực tế Hoạt động của bài tập toán học

là điều kiện để thực hiện tốt mục đích dạy học toán ở nhà trường phổ thông Vì

vậy, tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán học có vai trò quyết định đối

với chất lượng dạy học toán

Trong thực tiễn dạy học, bài tập toán học được sử dụng với những dụng ý

khác nhau Mỗi bài tập có thể dùng để tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để

làm việc với nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra…Tất nhiên, việc dạy giải

một bài tập cụ thể thường không nhằm vào một dụng ý đơn nhất nao đó mà

thường bao hàm những ý đồ nhiều mặt đã nêu

Mỗi bài tập toán cụ thể được đặt ra ở thời điểm nào đó của quá trình dạy học

đều chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau

Những chức năng này đều hướng đến việc thực hiện các mục đích dạy học

Trong môn toán, các bài tập mang các chức năng sau:

- Với chức năng dạy học, bài tập nhằm hình thành củng cố cho học sinh

những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học

- Với chức năng giáo dục, bài tập nhằm hình thành cho học sinh thế giới quan

duy vật biện chứng, hứng thú học tập, niềm tin và nhân phẩm đạo đức của người

lao động mới

- Với chức năng kiểm tra, bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy và học,

đánh giá khả năng độc lập toán học và trình độ phát triển của học sinh

Trên thực tế các chức năng không bộc lộ một cách riêng lẻ và tách rời nhau

Khi nói đến chức năng này hay chức năng khác của một bài tập cụ thể tức là

hàm ý nói đến việc thực hiện chức năng ấy một cách tường minh và công khai

hiệu quả của việc dạy học toán ở trường phổ thông phần lớn phụ thuộc vào việc

khai thác và thực hiện một cách đầy đủ các chức năng có thể có của một bài tập

mà người viết sách giáo khoa đã có dụng ý chuẩn bị Người giáo viên chỉ có thể

khám phá và thực hiện được những dụng ý đó bằng năng lực sư phạm và thái độ

dạy học của mình

1.2.3 Vai trò, vị trí và tầm quan trọng của hoạt động giải toán trong dạy và

học toán ở tiểu học

có vị trí đặc biệt quan trọng Trong giải toán học sinh phải tư duy một cách tích

cực, năng động và sáng tạo Vì vậy có thể coi giải toán là một trong những biểu

hiện năng động nhất trong hoạt động trí tuệ của học sinh

Qua hoạt động giải toán, học sinh biết vận dụng các khái niệm, quy tắc, công

thức đã được học trong sách giáo khoa để xử lý những tình huống đặt ra trong

toán học, trong các bộ môn khác và trong thực tiễn đời sống lao động sản xuất

Đồng thời thông qua hoạt động giải toán, giáo viên có thể phát hiện ưu điểm

cũng như những thiếu sót của học sinh về kiến thức, kĩ năng và tư duy để có biện

pháp kịp thời giúp đỡ các em phát huy hay khắc phục những điều đó Ngoài ra,

thông qua hoạt động giải toán học sinh tự rút ra những ưu điểm và hạn chế của

bản thân để có thể có cách khắc phục, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học

toán Qua việc giải toán, học sinh rèn luyện được những đức tính và phong cách

làm việc khoa học như: ý chí khắc phục khó khăn, tính cẩn thận, sự tìm tòi sáng

tạo trong học tập, cụ thể chi tiết, làm việc có kế hoạch, xét đoán có căn cứ, làm

việc có kiểm tra, đánh giá thói quen suy nghĩ độc lập, linh hoạt, hạn chế sự áp

dụng theo khuôn mẫu, máy móc

Qua hoạt động giải toán học sinh có thể củng cố và rèn luyện kỹ năng về các

môn học khác như Tiếng Việt, Tự nhiên và Xã hội….Môn toán và vai trò quan

trọng trong việc thực hiện mục tiêu chung của giáo dục góp phần phát triển nhân

cách cho học sinh

Mục tiêu của việc dạy học toán ở Tiểu học

Kiến thức: Giúp học sinh có những kiến thức cơ bản ban đầu về số học: các

số tự nhiên, phân số, số thập phân, các đại lượng thông dụng, một số yếu tố hình

học và thống kê đơn giản

Kỹ năng: Hình thành các kĩ năng thực hành tính, đo lường, giải toán có nhiều

ứng dụng thiết thực trong đời sống.Góp phần bước đầu phát triển năng lực tư

duy, khả năng suy luận hợp lý và cách diễn đạt chúng; cách phát hiện và giải

quyết những vấn đề đơn giản, gần gũi trong cuộc sống

Thái độ: Khuyến khích trí tưởng tượng, gây hứng thú học tập toán; góp phần

hình thành bước đầu phương pháp tự học và làm việc có kế hoạch, khoa học, chủ

động, linh hoạt , sáng tạo

Mục tiêu dạy toán ở Tiểu học nhấn mạnh việc giúp học sinh những kiến

thức và kĩ năng cơ bản, thiết thực, có hệ thống nhưng chú ý hơn đến tính hoàn

chỉnh tương đối của các kiến thức và kĩ năng cơ bản đó Ngoài các mạch kiến

thức quen thuộc, ở Tiểu học có giới thiệu một số yếu tố thống kê có ý nghĩa thiết

Tính chất giao hoán, kết hợp của phép cộng, nhân Các quy tắc “Một số nhân

một tổng (hiệu)”, “Một tổng chia một số”, “Một số chia một tích”, “Một tích

chia một số”

- Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9

- Tính giá trị biểu thức có đến 4 dấu phép tính Tính giá trị biểu thức chứa đến

3 chữ số dạng đơn giản

+ Phân số Các phép tính về phân số

- Giới thiệu khái niệm ban đầu về phân số; đọc, viết, so sánh các phân số,

phân số bằng nhau

- Tính chất giao hoán, kết hợp của phép cộng, nhân các phân số

- Giới thiệu quy tắc nhân phân số với phân số, nhân phân số với số tự nhiên,

nhân một tổng hai phân số với một phân số

- Thực hành tính nhẩm về cộng, trừ hai phân số có cùng mẫu số, tử số của

tổng hoặc hiệu có không quá hai chữ số Tính nhẩm về nhân phân số với phân số

hoặc với số tự nhiên, tử số và mẫu số của tích có không quá hai chữ số

- Tính giá trị biểu thức có không quá ba dấu phép tính với các phân số đơn giản

+ Tỉ số

- Giới thiệu khái niệm ban đầu về tỉ số

- Giới thiệu các bài toán về tìm hai số biết tổng (hiệu) và tỉ số của chúng

- Tỉ lệ bản đồ

1.2.4.2 Đại lượng và đo đại lượng

- Bổ sung và hệ thống hoá các đơn vị đo khối lượng

- Bổ sung và hệ thống hoá các đơn vị đo thời gian

- Diện tích và một số đơn vị đo diện tích

- Thực hành đổi đơn vị đo đại lượng, làm tính với các số đo Thực hành đo,

tập làm tròn số đo và tập ước lượng các số đo

1.2.4.3 Yếu tố hình học

- Giới thiệu góc nhọn, tù, bẹt Vẽ các góc bằng thước thẳng hoặc êke Nhận

dạng góc trong các hình đã học

- Giới thiệu hai đường thẳng cắt nhau, vuông góc với nhau, song song với nhau

- Giới thiệu thêm về hình bình hành, hình thoi và diện tích hình bình hành,

hình thoi

- Thực hành vẽ hình bằng thước và êke, cắt ghép, gấp hình

1.2.4.4 Yếu tố thống kê

- Lập bảng số liệu và nhận xét bảng số liệu

- Giới thiệu biểu đồ Lập biểu đồ đơn giản Tập nhận xét trên biểu đồ

1.2.4.5 Giải toán có lời văn

- Tìm số trung bình cộng của nhiều số

- Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó

- Tìm phân số của một số

- Tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số của hai số đó

- Tính chu vi, diện tích của một số hình đã học

1.2.5 Cấu trúc của một bài toán

Cấu trúc của một bài toán là hệ thống các quan hệ toán học trong bài toán đó

Nói cách khác, nó là một hệ thống các điều kiện ở trong bài toán Khi xem xét

cấu trúc của bài toán ta chỉ quan tâm đến sự tồn tại của dữ liệu chứ không để ý

đến giá trị cụ thể của dữ kiện

Có hai cách thường dùng để mô tả cấu trúc của một bài toán là “ sử dụng

biểu thức chữ để ghi lại cách tìm ẩn số thông qua giá trị của các dữ kiện” hoặc “

sử dụng công thức chữ để ghi lại mối quan hệ giữa các ẩn số và dữ kiện”

1.2.6 Định hướng chung để hướng dẫn học sinh giải một bài toán hợp

Giải toán là một hoạt động trí tuệ khó khăn, phức tạp Vì vậy, việc hình

thành kỹ năng giải toán khó hơn nhiều so với kỹ xảo tính Công việc giải toán

đòi hỏi không chỉ nhờ mẫu rồi áp dụng mà phải nắm chắc khái niệm, quan hệ

toán học, nắm chắc ý nghĩa các phép tính và đòi hỏi khả năng độc lập suy luận

của học sinh, đòi hỏi học sinh biết làm tính thông thạo

•Các bước học sinh cần tiến hành khi giải toán

Bước 1: Tìm hiểu đầu bài

- Nghiên cứu kĩ đề bài:

Đọc kĩ đề toán và suy nghĩ về những dữ liệu đã cho,đặc biệt chú ý đến câu

hỏi của bài toán

- Thiết lập mối quan hệ giữa các só đã cho và phải tìm:

Cần tóm tắt được nội dung bài toán bằng ngôn ngữ và kí hiệu ngắn gọn để

ghi tóm tắt các điều kiện; hoặc minh hoạ các điều kiện bằng sơ đồ, hình vẽ

Bước 2: Lập kế hoạch giải toán

tính gì Suy nghĩ xem từ các số đã cho và điều kiện của bài toán có thể biết gì, có

thể tính gì, phép tính đó có giúp trả lời câu hỏi của bài toán không? Trên cơ sở

đó, suy nghĩ để thiết lập trình tự giải bài toán

Bước 3: Thực hiện kế hoạch giải

Thực hành giải các phép tính theo trình tự đã thiết lập để viết bài giải Sau

mỗi bước giải cần kiểm tra xem đã tính đúng chưa? Giải xong phải thử xem

đáp số tìm ra có trả lời đúng câu hỏi của bài toán, có phù hợp với điều kiện

của bài toán không

Bước 4: Nhìn lại bài toán

- Kiểm tra, rà soát lại công việc giải

- Tìm cách giải khác và so sánh các cách giải

- Suy nghĩ khai thác thêm đề bài

1.2.7 Một số vấn đề về nội dung và phương pháp dạy học toán chia hết ở

tiểu học

1.2.7.1 Vị trí, vai trò của toán chia hết

Để làm quen với số học thì việc đầu tiên chúng ta phải biết đến toán chia

hết Vì nó là một khái niệm cơ bản và cũng là trọng tâm của số học

Những bài toán về chia hết có thể nói là không thể thiếu trong số học nói riêng

và toán học nói chung Các tính chất của số tự nhiên có liên quan tới tính chia

hết như: Sự phân bố của các số nguyên tố được nghiên cứu trong ngành lí thuyết

số Các vấn đề liên quan đến sự đếm, chẳng hạn lý thuyết Ramsay được nghiên

cứu trong toán tổ hợp Trên thế giới có nhiều bài toán về chia hết rất hay và cũng

có những phương pháp chứng minh nó khá thú vị và bổ ích

Trong chương trình số học những bài toán về chia hết hết sức phong phú và

đa dạng Vì nó vận dụng những kiến thức cơ bản vào giải toán và còn phát triển

tư duy cho học sinh Khi gặp một bài toán chứng minh chia hết, học sinh sẽ gặp

khó khăn nếu không nắm vững kiến thức cơ bản và các dạng bài tập, cách làm

các dạng bài tập đó Như vậy làm thế nào để học sinh biết làm các bài toán về

tế? Làm thế nào để học sinh cảm thấy có sự say mê, hào hứng khi giải các bài

toán về chia hết, nhất là các học sinh giỏi toán?

Trong quá trình hướng dẫn học sinh giải toán, giáo viên phải truyền thụ cho

học sinh những tri thức, phương pháp để học sinh biết cách học, biết cách suy

luận, vận dụng cái đã biết để tìm những kiến thức mới có tính chất thuật toán

Đặc biệt, khi hướng dẫn giải toán giáo viên cần coi trọng phương pháp có tính

chất tìm đoán và ngầm thực hiện cho các bước giải Học sinh cần được rèn luyện

các thao tác tư duy, phân tích tổng hợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá, tương tự,

quy lạ về quen

Toán chia hết là một trong số các dạng toán quan trọng trong chương trình

toán Nó có mặt nhiều trong các lần kiểm tra định kì, thi học kì, thi học sinh giỏi,

thi vào trường chuyên, lớp chất lượng cao…Điều này còn được thể hiện ở chỗ

lượng bài tập trong sách giáo khoa, trong sách bài tập khá nhiều và phương pháp

dạy toán chia hết được đề cập từ lớp 3 và xuyên suốt cả chương trình toán trung

học cơ sở Ở mỗi khối học yêu cầu về mặt kiến thức khác nhau và mức độ yêu

cầu cũng khác nhau Nhưng kiến thức đòi hỏi sự kế thừa, cái này là cơ sở của cái

kia, chúng bổ trợ cho nhau Có thể nói rằng dạng toán chia hết luôn là dạng toán

khó đối với học sinh và không ít học sinh cảm thấy sợ khi học dạng toán này

Chính vì thế yêu cầu người học phải nắm vững được kiến thức cơ bản, được cụ

thể hoá trong từng bài toán và tóm tắt trong từng chương của sách giáo khoa

từng khối lớp Biết vận dụng linh hoạt các phương pháp để giải quyết tốt được

bài tập dạng này

1.2.7.2 Một số phương pháp dạy học toán chia hết

-Phương pháp 1: Sử dụng dấu hiệu chia hết

Giải

Ta thấy 45 = 5 x 9 mà (5 ; 9) = 1

để a56b  45  a56b  5 và 9

Vậy tích của 2 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2

- Phương pháp 3: Xét tập hợp số dư trong phép chia

(m – 1), m là 2 số nguyên liên tiếp nên (m – 1)m 2

(m – 1), m, (m + 1) là 3 số nguyên liên tiếp nên (m – 1)m(m + 1) 3

- Phương pháp 8: Sử dụng nguyên lý Dirichlet

Ví dụ: CMR: Trong n + 1 số nguyên bất kỳ có 2 số có hiệu chia hết cho n

Vậy trong n +1 số nguyên bất kỳ có 2 số có hiệu chia hết cho n

Nếu không có 1 tổng nào trong các tổng trên chia hết cho n như vậy số dư khi

chia mỗi tổng trên cho n ta được n số dư là 1; 2; …; n - 1

Vậy theo nguyên lý Đirichlet sẽ tồn tại ít nhất 2 số mà khi chia cho n có cùng

số dư  hiệu của 2 số này chia hết cho n (ĐPCM)

Vì 3 là số nguyên tố  2 3

1 3

n n

- Định nghĩa: Chon hai số tự nhiên a, b; b ≠ 0 Nếu có số tự nhiên q sao cho

a = b.q thì ta nói a chia hết cho b Số q gọi là thương của a và b, và ký hiệu là:

q = a : b hay q = a

b Quy tắc tìm thương của hai số được gọi là phép chia

- Tính chất

+ Số 0 chia hết cho mọi số tự nhiên khác 0

+ Mọi số tự nhiên đều chia hết cho 1

+ Nếu a1, a2,… an là những số tự nhiên chia hết cho b thì

a1x1 + a1x2 +… + anxn cũng chia hết cho b với x1… xn là những số tự nhiên

tuỳ ý

• Phép chia có dư

- Định lí: Với mọi cặp số tự nhiên a, b trong đó b # 0 bao giờ cũng tồn tại duy

nhất cặp số tự nhiên q và r sao cho:

a = bq + r 0 ≤ r < b

- Định nghĩa: Số q và r thoả mãn đẳng thức

a = bq + r 0≤ r < b

Được gọi tương ứng là thương và dư trong phép chia của a cho b Việc tìm q

và r gọi là thực hiện phép chia có dư của a cho b ( khi r = 0 thì phép chia có dư

trở thành phép chia hết Như vậy phép chia hết là một trường hợp đặc biệt của

phép chia có dư)

• Đồng dư thức

- Định nghĩa: Cho m là số tự nhiên dương

Nếu hai số tự nhiên a, b cho cùng số dư khi chia cho m thì ta nói a đồng dư với b

theo modun m

Kí hiệu: a  b (mod m)

- Các tính chất

1 Với  a  a  a (mod m)

2 Nếu a  b ( mod m)  b  a (mod m)

3 Nếu a  b (mod m), b  c (mod m)  a  c (mod m)

4 Nếu a  b (mod m) và c  d (mod m)  a+c  b+d (mod m)

5 Nếu a  b (mod) và c  d (mod m)  ac  bd (mod m)

6 Nếu a  b (mod m), d  Uc (a, b) và (d, m) =1



d

b d

d

m

)

• Các dấu hiệu chia hết

* Dấu hiệu chia hết cho 2 và 5

Một số chia hết cho 2 ( hoặc 5 ) khi và chỉ khi chữ số hàng đơn vị của nó chia

Vì 10 chia hết cho 2 và 5 nên điều kiện cần và đủ để a chia hết cho 2 (hoặc

5 ) là a0 chia hết cho 2 (hoặc 5) Từ đó suy ra dấu hiệu trên

* Dấu hiệu chia hết cho 4 và 25

Một số chia hết cho 4 (hoặc 25) khi và chỉ khi số tạo bởi hai chữ số cuối

cùng của nó chia hết cho 4 (hoặc 25)

Chứng minh:

Thật vậy, số tự nhiên a = anan-1…a1a0 được viết thành

a = an10n + an-110n-1 + … + a2102 + a110 + a0

a = 102(an10n-2 + … + a2) + a110 + a0

Vì 100 chia hết cho 4 và 25 nên a chia hết cho 4 (hoặc 25) khi và chỉ khi a110 +

a0 chia hết cho 4 (hoặc 25) nghĩa là khi và chỉ khi a1a0 chia hết cho 4 (hoặc 25)

* Dấu hiệu chia hết cho 3 và 9

Một số chia hết cho 3 (hoặc 9) khi và chỉ khi tổng các chữ số của nó chia hết

Suy ra a : 3 (hoặc 9) dư an + an-1 + … + a1 + a0

Vì vậy, a chia hết cho 3 (hoặc 9) khi và chỉ khi an + an-1 +… + a1 + a0 chia

hết cho 3 (hoặc 9)

* Dấu hiệu chia hết cho 8

Một số chia hết cho 8 khi và chỉ khi số tạo bởi ba chữ số cuối chia hết cho 8

Chứng minh:

Ta có số tự nhiên a = anan-1…a1a0 được viết thành

a = an10n + an-110n-1 +… + a2102 + a110 + a0

a = 103 ( an10n-3 + ….+ a3 ) + a2100+ a110 + a0

Vì 1000 chia hết cho 8 nên a chia hết cho 8 khi và chỉ khi a2100 + a110 +

a0 chia hết cho 8 nghĩa là khi và chỉ khi a2a1a0 chia hết cho 8

* Dấu hiệu chia hết cho 11

Một số chia hết cho 11 khi và chỉ khi tổng các chữ số hàng chẵn trừ tổng các

chữ số hàng lẻ được hiệu chia hết cho 11

Như vậy 10n = 11q +1 nếu n chẵn và 10n = 11q – 1 nếu n lẻ

Nhờ vậy số tự nhiên a = cncn-1…c1c0 có thể viết thành:

1.2.7.4 Lý thuyết toán chia hết ở Tiểu học

a Dấu hiệu chia hết cho 2

Các số có chữ số tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8 thì chia hết cho 2

Chú ý: Các số có chữ số tận cùng là 1; 3; 5; 7; 9 thì không chia hết cho 2

b Dấu hiệu chia hết cho 3

Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3

Chú ý: Các số có tổng các chữ số không chia hết cho 3 thì không chia hết cho 3

c Dấu hiệu chia hết cho 5

Các số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5

Chú ý: Các số không có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 thì không chia hết cho 5

d Dấu hiệu chia hết cho 9

Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9

Chú ý: Các số có tổng các chữ số không chia hết cho 9 thì không chia hết cho 9

Bên cạnh các dấu hiệu chia hết cơ bản ở trên mà học sinh được học trong

chương trình toán tiểu học còn có một số dấu hiệu chia hết được mở rộng trong

chương trình toán nâng cao như:

e Dấu hiệu chia hết cho 4 ( hoặc 25)

Các số có số tạo bởi 2 chữ số tận cùng chia hết cho 4 ( hoặc 25) thì chia hết

cho 4 (hoặc 25)

f Dấu hiệu chia hết cho 8 ( hoặc 125)

Các số có số tạo bới 3 chữ số tận cùng chia hết cho 8 ( hoặc 125) thì chia hết

cho 8 ( hoặc 125)

g Dấu hiệu chia hết cho 11

Các số có tổng các chữ số hàng chẵn trừ tổng các chữ số hàng lẻ được hiệu

chia hết cho 11 thì chia hết cho 11

* Một số dấu hiệu chia hết mở rộng

1 Dấu hiệu chia hết cho 7

Số tạo bởi các chữ số đứng trước hàng đơn vị trừ đi 2 lần số ở hàng đơn vị

chia hết cho 7 thì số đó chia hết cho 7

Ví dụ: số 623

Ta có: 62 - (3 x 2) = 56, mà 56 : 7=8 (56 chia hết cho 7) nên suy ra số 623

chia hết cho 7

2 Dấu hiệu chia hết cho 13

Lấy số hàng đơn vị nhân 4 rồi cộng với số tạo bởi các chữ số còn lại nếu tổng

chia hết cho 13 thì số đó chia hết cho 13

Ta có: 236 + (6 x 4) = 260 mà 260: 13 = 20, tiếp tục 26 + (0 x 4) = 26

Mà 26 : 13 = 2 (26 chia hết cho 13) nên 2366 chia hết cho 13

3 Dấu hiệu cia hết cho 17

Lấy các số đứng trước số ở hàng đơn vị trừ đi 5 lần số hàng đơn vị, nếu hiệu

đó chia hết cho 17 thì nó chia hết cho 17

Ví dụ: số 561

Ta có: 56 – (1 x 5) = 51, mà 51 : 17 = 3 (51 chia hết cho 17) nên 561 chia hết

cho 17

Hoặc số 9537,ta có: 953 - 7 x 5 = 918 sau đó tiếp tục lấy 91 – (8 x 5) = 51, mà

51 : 17 =3 (51 chia hết cho 17) nên 9537 chia hết cho 17

đó chia hết cho 17 thì nó chia hết cho 17

4 Dấu hiệu chia hết cho 19

Lấy các số đứng trước số ở hàng đơn vị cộng với 2 lần số hàng đơn vị,

nếu tổng đó chia hết cho 19 thì nó chia hết cho 19

Ví dụ: số 4579

Ta có: 457 + (9 x 2) = 475 tiếp tục lấy 47 + (5 x 2) = 57, mà 57 : 19 = 3 (57

chia hết cho 19) nên 4579 chia hết cho 19

5 Dấu hiệu chia hết cho 23

Lấy các số đứng trước số ở hàng đơn vị cộng với 7 lần số ở hàng đơn vị, nếu

tổng đó chia hết cho 23 thì số đó chia hết cho 23

Ví dụ: số 1265

Ta có: 126 + (5 x 7) = 161 tiếp tục 16 + (1 x 7) = 23 mà 23 : 23 = 1 (23 chia

hết cho 23) nên 1265 chia hết cho 23

6 Dấu hiệu chia hết cho 29

Ta lấy số hàng đơn vị nhân 3 rồi lấy kết quả cộng với số tạo bởi các số liền

trước, nếu tổng chia hết cho 29 thì nó chia hết cho 29

Ví dụ: số 435

Ta có: 43 + (5 x 3) = 58, tiếp tục 5 + (8 x 3) = 29,mà 29 : 29 = 1 (29 chia hết

7 Dấu hiệu chia hết cho 31

Lấy số tạo bởi các số liền trước hàng đơn vị trừ đi số hàng đơn vị nhân 3, nếu

hiệu chia hết cho 31 thì nó chia hết cho 31

Ví dụ: số 1736

Ta có: 173 – (6 x 3) =155, tiếp tục 15 – (5 x 3) = 0, mà 0 : 31 = 0 (0 chia hết

cho 31) nên số 1736 chia hết cho 31

8 Dấu hiệu chia hết cho 37

Lấy số tạo bởi các số liền trước hàng đơn vị trừ đi số hàng đơn vị nhân 11,

nếu hiệu chia hết cho 37 thì nó chia hết cho 37

Ví dụ: số 1554

Ta có: 155 – (4 x 11) = 111, tiếp tục 11 – (1 x 11) = 0, mà 0 : 37 = 0 ( 0 chia

hết cho 37) nên 1554 chia hết cho 37

9 Dấu hiệu chia hết cho 41

Lấy số tạo bởi các số liền trước hàng đơn vị trừ đi số hàng đơn vị nhân 4, nếu

hiệu chia hết cho 41 thì nó chia hết cho 41

Ví dụ: số 451

Ta có: 45 – (1 x 4) = 41, mà 41 : 41 = 1 (41 chia hết cho 41) nên số 451 chia

hết cho 41

10 Dấu hiệu chia hết cho 43

Ta lấy số hàng đơn vị nhân 13 rồi lấy kết quả cộng với số tạo bởi các số liền

trước, nếu tổng chia hết cho 43 thì nó chia hết cho 43

Ví dụ: số 645

Ta có: 64 + (5 x 13) = 129, mà 129 : 43 = 3 ( 129 chia hết cho 43) nên 645

chia hết cho 43

1.3 Cơ sở thực tiễn

1.3.1 Thực trạng việc dạy học các dạng toán chia hết và việc rèn kỹ năng

giải toán cho học sinh lớp 4 trường Tiểu học Phù Lỗ - Phù Ninh – Phú Thọ

1.3.1.1 Mục đích điều tra

giải toán cho học sinh lớp 4

1.3.1.2 Đối tượng điều tra

Giáo viên đang giảng dạy bộ môn Toán tại trường Tiểu học Phù Lỗ - Phù

Ninh – Phú Thọ

1.3.1.3 Nội dung điều tra

- Đối với giáo viên chúng tôi tiến hành điều tra các vấn đề sau:

• Quan niệm của giáo viên về số lượng các bài tập có nội dung chia hết trong

sách giáo khoa ở Tiểu học giúp rèn kỹ năng giải toán cho học sinh Tiểu học

• Tầm quan trọng của việc rèn kỹ năng giải toán cho học sinh Tiểu học thông

qua hệ thống các bài toán về chia hết

• Nhận thức của giáo viên về mức độ rèn kỹ năng giải toán cho học sinh Tiểu

học thông qua hệ thống bài tập về chia hết

- Đối với học sinh:

• Nhận thức của học sinh về mức độ khó của toán chia hết

• Đánh giá của học sinh về mức độ khó của các dạng toán chia hết

1.3.1.4 Phương pháp điều tra

- Phương pháp quan sát

- Phương pháp điều tra bằng phiếu trưng cầu ý kiến giáo viên

- Phương pháp phỏng vấn - toạ đàm

- Phương pháp thống kê toán học

1.3.1.5 Phân tích kết quả điều tra

Sau khi nghiên cứu lí luận liên quan tới đề tài, chúng tôi đã tiến hành quan sát,

đàm thoại và phát phiếu điều tra tới các giáo viên và học sinh của trường Tiểu học

Phù Lỗ - Phù Ninh – Phú Thọ Chúng tôi đã tiến hành phát ra 30 phiếu dành cho

giáo viên và 60 phiếu điều tra dành cho học sinh, thu lại toàn bộ số phiếu này

Chúng tôi đã sử dụng phương pháp thống kê và thu được kết quả như sau:

Bảng 1: Quan niệm của giáo viên về số lượng các bài tập có nội dung chia

hết trong sách giáo khoa ở Tiểu học giúp rèn kỹ năng giải toán cho học sinh

Tiểu học

STT

Số lượng bài tập có nội dung chia hết trong

SGK ở Tiểu học giúp rèn luyện và phát triển kỹ

năng giải toán cho học sinh

Số lượng

ý kiến

Tỷ lệ ( % )

Bảng 2: Tầm quan trọng của việc rèn kỹ năng giải toán cho học sinh Tiểu

học thông qua hệ thống các bài toán về chia hết

STT

Tầm quan trọng của việc rèn kỹ năng giải toán

cho học sinh thông qua hệ thống các bài toán về

chia hết

Số lượng

ý kiến

Tỷ lệ ( % )

Bảng 3: Nhận thức của giáo viên về mức độ rèn kỹ năng giải toán cho học

sinh Tiểu học thông qua hệ thống bài tập về chia hết

STT Mức độ rèn luyện và phát triển kỹ năng giải toán

cho học sinh thông qua hệ thống bài tập về chia hết

Số lượng

ý kiến

Tỷ lệ ( % )

Bảng 4: Nhận thức của học sinh về mức độ khó của toán chia hết

Trên cơ sở nghiên cứu lý luận chúng tôi tiến hành tìm hiểu thực trạng dạy học

các bài toán về chia hết trong việc rèn các kỹ năng giải toán cho học sinh Tiểu

học trường Tiểu học Phù Lỗ Căn cứ vào kết quả điều tra khảo sát ta thấy chất

lượng học tập của học sinh trường Tiểu học Phù Lỗ vẫn chưa hoàn toàn đáp ứng

mục tiêu, vẫn còn nhiều học sinh chưa nắm vững được các kỹ năng giải toán

Điều này do một số nguyên nhân sau:

- Do đặc điểm tâm lý và trình độ nhận thức của học sinh còn hạn chế và kiến

thức về toán chia hết khá là khó

- Do tiếp cận việc đổi mới nội dung và chương trình dạy học toán chia hết nên

không ít giáo viên còn lúng túng trong phương pháp tổ chức cho học sinh khám

phá kiến thức nên chưa phát huy được tối đa tính tích cực của học sinh

- Khi dạy các bài toán về chia hết giáo viên chủ yếu quan tâm đến việc hình

thành các định nghĩa chia hết mà chưa chú ý đến việc rèn luyện và phát triển các

kỹ năng giải toán cho học sinh

- Các em tiếp thu các kiến thức về toán chia hết còn chậm, thụ động, lệ thuộc

nhiều vào giáo viên

Từ kết quả trên có thể thấy rằng việc triển khai thực hiện đề tài là có tính khả

thi và đạt hiệu quả trong việc rèn kỹ năng giải toán cho học sinh lớp 4

CHƯƠNG 2 RÈN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH THÔNG QUA HỆ

THỐNG CÁC BÀI TOÁN VỀ CHIA HẾT 2.1 Kỹ năng và kỹ năng giải toán

2.1.1 Khái niệm kỹ năng

Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến thức đã thu nhận được trong lĩnh

vực nào đó rồi vận dụng vào thực tế để giải quyết các tình huống hoặc công việc

nào đó phát sinh trong cuộc sống

Trong giáo dục, kỹ năng là tập hợp những khả năng được rèn luyện và đáp

ứng các nhu cầu cụ thể của cuộc sống hiện đại hoá

Kỹ năng được chia làm 2 loại là: kỹ năng tâm lí xã hội và kỹ năng cá nhân, lĩh

hội và tư duy với nhiều yếu tố như: sự nhận thức, sự tư duy, sáng tạo, giải quyết

vấn đề, kỹ năng giao tiếp ứng xử với người khác, ứng phó với tình huống căng

thẳng và cảm xúc biết cảm thông, tư duy bình luận và phê phán, cách quyết định

giao tiếp hiệu quả và cách thương thuyết

• Nguồn gốc hình thành kỹ năng

Nguồn gốc hình thành kỹ năng được lí giải từ 2 lý thuyết về phản xạ có điều

kiện (được hình thành trong thực tiễn cá nhân) và phản xạ không điều kiện ( là

những phản xạ bẩm sinh mà cá nhân sinh ra đã có sẵn) Trong đó, kỹ năng cá

nhân gần như thuộc về cái gọi là phản xạ có điều kiện nghĩa là kỹ năng được

hình thành từ khi một cá nhân sỉnh ra, trưởng thành và tham gia hoạt động tthực

tế cuộc sống

• Làm thế nào để có kỹ năng?

Bản thân chúng ta sinh ra chưa có kỹ năng về một khía cạnh nào ( trừ kỹ năng

bẩm sinh) nhất là kỹ năng công việc, đó là lí do hinh thành hệ thống đào tạo

nghề nghiệp hiện có ở bất kì quốc gia nào

Như vậy, đa số kỹ năng mà chúng ta có được và hữu ích với cuộc sống của

chúng ta là xuất phát từ việc chúng ta được đào tạo Và như thế, nền tảng sự

thành công của chúng ta trong cuộc sống là 98% do đào tạo và tự đào tạo rèn kỹ

năng, chỉ có 2% là kỹ năng bẩm sinh tham gia vào sự thành công của chúng ta

Từ đó ta nhận thấy rằng, kỹ năng trong toán học cũng như trong cuộc sống nó

rất cần sự giáo dục, sự rèn luyện của bản thân Đó chính là mấu chốt của sự

thành công

• Vì sao cần phải có kỹ năng

Khi tham gia vào bất kí nghề nghiệp nào phục vụ cho cuọc sống của chúng ta

đều đòi hỏi ta phải thoả mãn những kỹ năng tương ứng

VD: Nghề tư vấn thì tương ứng là nhà tư vấn phải có những kỹ năng tư vấn,

nghề luật sư thì phải có kỹ năng hành nghề luật sư Như vậy bất kỳ hoạt động

hay nghề nghiệp nào mà chúng ta tham gia chúng ta đều phải đáp ứng những kỹ

năng mà hoạt động hay nghề nghiệp đó đòi hỏi nếu không chúng ta không thể

tham gia vào cuộc chơi

 Có những loại kỹ năng nào ?

Có người đã phân loại kỹ năng thành hai loại kỹ năng cơ bản là kỹ năng cứng

và kỹ năng mềm :

Kỹ năng cứng là kỹ năng mà chúng ta có được do được đào tạo từ nhà trường

hoặc tự học, đây là kỹ năng có tính nền tảng

Kỹ năng mềm là chúng ta có được từ hoạt động thực tế cuộc sống hoặc thực tế

nghề nghiệp, kỹ năng mềm là loại kỹ năng cực kỳ phong phú và không kém

phần quan trọng như kỹ năng cứng Kỹ năng mếm có thể là kỹ năng giao tiếp, kỹ

năng thuyết trình kỹ năng đàm phán…

Để thành công trong cuộc sống ta phải thoả mãn cả kỹ năng cứng và kỹ năng

mềm; phải vận dụng linh hoạt và phù hợp hai loại kỹ năng cơ bản này vào trong

cuộc sống và trong công việc

2.1.2 Kỹ năng giải toán

Trong chương trình toán Tiểu học, việc giải các bài toán chiếm một vị trí rất

quan trọng Được thể hiện qua các khái niệm toán học, các quy tắc toán học đều

dụng các kiến thức , rèn luyện kỹ năng tính toán Đồng thời qua việc giải toán

cho học sinh mà giáo viên có thể dễ dàng phát hiện những mặt mạnh, mặt yếu

của các em về kiến thức kỹ năng và tư duy để từ đó giúp học sinh phát huy được

tính chủ động, sáng tạo trong học tập Hướng dẫn học sinh tìm ra được lời giải

đúng và hay là rất khó Hoạt động giải toán là hoạt động phức tạp bao gồm nhiều

thành tố tham gia mà lâu nay đã được các nhà nghiên cứu và chỉ rõ ra bốn giai

đoạn như sau:

*Giai đoạn 1: quan sát tiếp thu

Giáo viên giúp học sinh nắm kiến thức cơ bản tối thiểu cần thiết

- Giáo viên cần kế hợp vừa giảng vừa luyện phân tích chi tiết, cụ thể giúp học

sinh hiểu khái niệm không hình thức

- Đồng thời với cấp kiến thức mới là củng cố khăc sâu thông qua ví dụ và

phản ví dụ Chú ý phân ích các sai lầm thường gặp

- Tổng kết tri thức và phản tri thức, phương pháp có trong bài

Đây là giai đoạn khó khăn nhất, giai đoạn làm quen tiến tới hiểu kiến thức

mới, đồng thời là giai đoạn quan trọng nhất, giai đoạn cung cấp kiến thức chuẩn

cho học sinh Kinh nghiệm cho thấy khi hoàn tốt giai đoạn này học sinh sẽ tiếp

thu tốt hơn ở các giai đoạn sau

*Giai đoạn 2: Làm theo hướng dẫn

Giáo viên cho ví dụ tương tự học sinh bước đầu làm theo hướng dẫn, chỉ đạo

của giáo viên

Học sinh bước đầu vận dụng hiểu biết của mình vào giải toán, giai đoạn này

thường vẫn còn lúng túng và sai lầm, học sinh chưa thuộc chưa hiểu sâu sắc

Tuy nhiên, giai đoạn 2 vẫn có tác dụng gợi động cơ cho giai đoạn 3

*Giai doạn 3: Giáo viên ra một bài tập khác, học sinh tự làm theo mẫu mà

giáo viên đã đưa ra ở giai đoạn 1 và giai đoạn 2

Giáo viên tạm thời đứng ngoài cuộc Ở giai đoạn này, học sinh độc lập tham

gia Học sinh nào hiểu bài thì có thể hoàn thành được bài tập, học sinh nào chưa

mức độ hiểu bài của học sinh Giáo viên thường vận dụng giai đoạn này khi ra

bài tập về nhà

*Giai đoạn 4: Độc lập làm bài tập

Giáo viên nên giao cho học sinh:

- Hoặc là một bài tập tương tự khác để học sinh làm ngay tại lớp

- Hoặc là đề thi của năm học trước nhằm kích thích học tập bộ môn

Để có thể dạy học theo 4 giai đoạn như trên đòi hỏi giáo viên phải:

- Hiểu sâu sắc kiến thức và các tri thức phương pháp

- Trong soạn bài, giáo viên cần chuẩn bị cả bốn dạng bài tập cho bốn giai

đoạn, bên cạnh đó còn phải biết phân bậc bài tập cho từng đối tượng học sinh

trong lớp

- Phải biết điều hành các đối tượng học sinh trong lớp cùng hoạt động bằng

cách giao cho mỗi loại đối tượng một dạng bài tập phù hợp với nhận thức của

học sinh, có như thế giờ học mới sinh động và lôi cuốn

2.2 Rèn kỹ năng giải toán

2.2.1 Rèn kỹ năng nhận thức

Nhóm kỹ năng nhận thức trong môn toán bao gồm kỹ năng nắm vững khái

niệm, định lý, quy tắc và dự đoán, suy đoán

2.2.1.1 Kỹ năng nắm vững khái niệm

Rèn luyện cho học sinh hiểu được các dấu hiệu đặc trưng của một khái niệm,

từ đó biết nhận dạng một khái niệm, tức là biết phát hiện xem một đối tượng cho

trước có thuộc phạm vi khái niệm nào đó không, đồng thời biết thể hiện khái

niệm, nghĩa là biết tạo ra một đối tượng thuộc phạm vi một khái niệm cho trước

Trên cơ sở đó, học sinh có thể hiểu được quan hệ giữa các khái niệm Chẳng hạn

hiểu được “hình hộp chữ nhật” và “hình lăng trụ đứng” có đáy là hình chữ nhật

là như nhau

2.2.1.2 Kỹ năng nắm vững định lý

Nắm vững một định lý là phân biệt được phần giả thiết và phần ký hiệu của

lôgic giữa các định lý

2.2.1.3 Kỹ năng vận dụng các quy tắc

Một khía cạnh khác của kỹ năng nhận thức trong môn toán là kỹ năng áp dụng

thành thạo mỗi quy tắc Trong đó yêu cầu vận dụng linh hoạt tránh máy móc

Chặng hạn quy tắc “chia một tổng cho một số”, ta phải vận dụng một cách linh

hoạt nếu các số hạng của tổng đều chia hết cho số chia thì ta mới vận dụng quy

tắc để tìm kết quả

Giáo viên cần chú ý lựa chọn, kết thúc những ví dụ, những bài tập có cách

giải quyết linh hoạt, đơn giản hơn là áp dụng quy tắc tổng quát nhằm khắc phục

tinh ý của tư duy và rèn luyện tính linh hoạt của trí tuệ

Mặt khác, cũng cần chú ý luyện tập cho học sinh không thực hiện phép tương tự,

mà cách không kiểm tra khi chuyển từ loại đối tượng này sang loại đối tượng khác

2.2.1.4 Kỹ năng dự đoán và suy đoán

Để rèn luyện cho học sinh kỹ năng tìm tòi, dự đoán được những tính chất,

những quy luật của hiện thực khách quan, tự mình phát hiện và phát biểu vấn đề,

cần phải luyện tập cho học sinh kỹ năng dự đoán và suy đoán (quan sát, so sánh,

đặc biệt hoá, khái quát hoá, tương tự…)

2.2.2 Rèn kỹ năng thực hành

Kỹ năng thực hành trong môn Toán bao gồm kỹ năng vận dụng tri thức vào

hoạt động giải toán, kỹ năng toán học hoá tình huống thực tiễn

2.2.2.1.Hoạt động giải toán

Hoạt động giải toán có thể xem là hình thức chủ yếu của hoạt động Toán học

của học sinh Nó là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích của việc dạy học

môn Toán ở trường phổ thông Kỹ năng vận dụng tri thức một cách có hiệu quả

và hoạt động giải toán của học sinh được huấn luyện trong quá trình học, tìm tòi

lời giải của bài toán Quá trình này thường được tiến hành theo 4 bước: Tìm hiểu

nội dung bài toán, xây dựng chương trình giải, giới thiệu chương trình giải, kiểm

tra và nghiên cứu lời giải tìm được

Trong hoạt động giải toán, cần chú ý rèn luyện cho học sinh kỹ năng chuyển

từ tư duy thuận sang tư duy nghịch, đó là điều kiện quan trọng để nắm vững và

vận dụng kiến thức, một thành phần của tư duy toán học

Trong dạy học cần chú ý rèn luyện cho học sinh kỹ năng biến đổi xuôi chiều

và ngược chiều song song với nhau, giúp cho việc hình thành các liên tưởng

ngược diễn ra đồng thời với việc hình thành liên tưởng thuận

2.2.2.2 Kỹ năng toán học hoá tình huống thực tiễn

Tình huống thực tiễn được cho trong bài toán học nảy sinh từ thực tế đời sống

nhằm tạo điều kiện cho học sinh biết vận dụng kiến thức toán học trong nhà

trường vào cuộc sống góp phần gây hứng thú học tập, giúp học sinh nắm được

thực chất nội dung vấn đề và tránh hiểu các sự kiện toán học một cách hiện thực

Để rèn luyện cho học sinh kỹ năng toán học hoá tình huống thực tiễn, cần chú

ý lựa chọn các bài toán có nội dung thực tế của khoa học, kĩ thuật, của các môn

học khác và nhất là thực tế đời sống thường ngày quen thuộc với học sinh

Đồng thời nên phát triển một số bài toán dưới dạng thuần tuý toán học mà

dưới dạng một vấn đề thực tế phải giải quyết

Để tạo điều kiện vận dụng tri thức vào thực tế, còn phải có những kỹ năng

thực hành cần thiết Đó là các kỹ năng tính toán, vẽ hình, đo đạc

Trong hoạt động thực tế, ở bất kì lĩnh vực nào cũng đòi hỏi kỹ năng tính toán

đúng, nhanh, hợp lý, cùng với các đức tính cẩn thận, chu đáo, kiên nhẫn…Để rèn

luyện cho học sinh những kỹ năng này, cần tránh tình trạng ít ra bài tập đòi hỏi

tính toán, cũng như hành vi dạy giải bài tập chỉ dừng lại ở “ phương hướng ” mà

ngại làm những phép tính cụ thể để đi đến kết quả cuối cùng

Giáo viên cần thường xuyên khuyến khích học sinh tìm tòi cách tính toán khác

nhau và biết chọn phương án hợp lý nhất Chẳng hạn, tăng cường khả năng tính

nhẩm, rèn luyện kỹ năng tính ước chừng khi học sinh sử dụng máy tính điện tử

Cần phải luyện tập cho học sinh thói quen vẽ hình cẩn thận, chính xác theo

đúng quy ước và phối hợp với lý thuyết biểu diễn hình học, tránh vẽ ẩu, tuỳ tiện