Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B,.. Tính theo a thể tích khối chóp.. PHẦN RIÊNG 3,0 điểm Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần phần A hoặc phần B A..
Trang 1SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ KTCL ÔN THI ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM HỌC 20132014
Môn: TOÁN; Khối D Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số 3 ( 2 ) 2 ( )
y=x - m +m- x+m - m + , trong đó m là tham số.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) với m = 2 .
b) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y = 2 tại ba điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x x x và đồng thời thỏa mãn đẳng thức 1, 2, 3 x12+x22+x 3 2 = 18 .
Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình: cos2 cos 2 4 sin
x
Câu 3 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: 2 2 4 ( , )
x y
ï
Î
í
ï
¡
Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân: ( )
1
2
0
2014 x
I=ò x- e dx .
Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B,
AB=a BC=a AD= a Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng ( ABCD , góc giữa mặt phẳng )
( SCD với mặt phẳng () ABCD bằng ) 60 Tính theo a thể tích khối chóp 0 S ABCD và khoảng cách từ đỉnh
B đến mặt phẳng ( SCD )
Câu 6 (1,0 điểm ). Tìm các số thực dương , x y thỏa mãn hệ phương trình sau:
1
2
ï
í
+ - + =
ï
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng ( ) : 2 d x- + = y 2 0 và hai điểm (4; 6), (0; 4)
A B - Tìm trên đường thẳng ( ) d điểm M sao cho véc tơ AMuuuur uuuur + BM
có độ dài nhỏ nhất.
Câu 8.a (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 4 điểm A( 1; 0; 1 ,- ) B( 1; 2; 3 ,- ) C ( 0;1; 2 ) và ( 1; 1 ; 1 6 )
D -m + m Tìm m để bốn điểm , A B C D cùng thuộc một mặt phẳng. , ,
Câu 9.a (1,0 điểm). Lấy ngẫu nhiên lần lượt 3 chữ số khác nhau từ 5 chữ số {0;1; 2;3; 4} và xếp thành hàng
ngang từ trái sang phải . Tính xác suất để nhận được một số tự nhiên có 3 chữ số.
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại đỉnh A, biết A ( 3; 3 - , hai )
đỉnh B, C thuộc đường thẳng x-2y + = , điểm 1 0 E ( 3; 0 ) nằm trên đường cao kẻ từ đỉnh C. Tìm tọa độ hai
đỉnh B và C.
Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (0; 1; 3), (3; 0; 3) - - B - và mặt cầu
(S) có phương trình : x2+y2+z2 +2x+2y+2z - = Viết phương trình mặt phẳng ( ) 6 0 P đi qua hai điểm ,
A B và mặt phẳng ( ) P cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính là 5
Câu 9.b (1,0 điểm). Giải phương trình: ( 2 ) ( ) 2 ( ) 2
2 log x -4 +3 log x+2 -log x -2 = 4
Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
Trang 2SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KTCL ÔN THI ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM HỌC 20132014
Môn: TOÁN; Khối D HƯỚNG DẪN CHẤM
I. LƯU Ý CHUNG:
Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.
Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
Với Câu 5 nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó.
II. ĐÁP ÁN:
1 a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2 1,0
Khi m = 2 hàm số (1) có dạng 3
3
y=x - x a) Tập xác định D = ¡
b) Sự biến thiên
+) Chiều biến thiên: y'=3x 2 - , '3 y =0Ûx = ± 1
Hàm số đồng biến trên các khoảng ( -¥ - ; 1 ) và ( 1; + ¥ )
Hàm số nghịch biến trên khoảng ( - 1;1 ) .
0.25
+) Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x= -1,y CD = 2
Hàm số đạt cực tiểu tại x=1,y CT = - 2
.
0.25
+) Bảng biến thiên:
/
y + 0 - 0 +
y
0.25
c) Đồ thị: 3
y= Û x - x= Û x= x = ±
Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại các điểm ( 0; 0 ,) ( - 3; 0 ,) ( 3; 0 ) .
y = Û x= Ûx = Þ đồ thị hàm số nhận điểm ( 0; 0 làm điểm uốn. )
0.25
b Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y = 2 tại
1.0
4
2
2
4
2
1
2
1
0
(Đáp án có 06 trang)
Trang 3ba điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x x x và đồng thời thỏa mãn đẳng thức 1, 2, 3
x +x +x =
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) và đường thẳng y = : 2
x - m +m- x+m - m+ = Û x - m +m- x+m - m = 0.25
( )
2
2
3 0
3 0 2
x m
x mx m
=
é
ë
Đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y = 2 tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi (2) có hai
nghiệm phân biệt khác m
2
6
m
ì + - + ¹ é >
ï
ê < -
D = - - + > ë
ï
0.25
Giả sử x1= m x x ; 2, 3 là 2 nghiệm của (2). Khi đó theo định lí Viet ta
được: 2 3
x x m
+ = -
ì
í
= - +
î
x +x +x = Ûm + x +x - x x =
0.25
4
m
m
=
é
ë
.
So sánh với điều kiện của m ta được m = 3 thỏa mãn.
0.25
2
x
x
4 sin
x
+
0.25
0.25
2
sinx 2 cos 2x 0 2 sin x sinx 3 0
3
2
x
= -
é
ê
Û
ê =
ë
2
2
x p k
p
3
Giải hệ phương trình: 2 2 4
ï
í
ï
1,0
Điều kiện: 2
2
x
y
³ -
ì
í
³
î
. Ta có:
Û
0.25
Đặt u= x+7+ x + 2 và v= y+ +3 y-2 ( u v ; > 0 ) , ta được hệ
10
5 5
2
u v
u v
+ =
ì
ï
í
+ =
ï
0.25
( )
ï
í
Trang 4Giải pt (1) ta được: x = 2
Giải pt(2) ta được: y = 6. Khi đó 7 2 5 2
6
y
ì + + + = ì =
ï
Û
=
ï Vậy nghiệm của hệ phương trình là: (x; y) = (2; 6)
0.25
4
Tính tích phân: ( )
1
2
0
2014 x
2
2014
1
2
x
x
du dx
u x
v e
dv e dx
=
ì
= -
Þ
=
=
0.25
1
0
1
2014
0
2
2 1
1007
0
x
e
e
2
4029 4027
4
e
-
5 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông ở A và B,
AB=a BC=a AD= a SA^ ABCD , góc giữa mặt phẳng ( SCD ) với mặt đáy
bằng 60 Tính theo a thể tích khối chóp 0 S ABCD và khoảng cách từ đỉnh B đến mặt
phẳng ( SCD ) .
1,0
Gọi O là trung điểm AD ta có ABCO là hình vuông nên · 0
90
2
AD
CO= Þ ACD =
0.25
Dễ thấy: CD^( SAC) ÞCD^ SC , do đó góc giữa (SCD) và mặt đáy là góc · SCA
.
S ABCD
0.25
Trong mp SAC kẻ ( ) AH ^SCÞ AH ^( SCD) Þ AH = d A SCD ( , ( ) ) .
Trong tam giác vuông SAC ta có:
( ) ( 2 ) 2
0.25
Vì / /( ) ( ,( ) ) ( ,( ) ) 1 ( , ( ) ) 3 6
1
2
x y x y
ï
í
+ - + =
ï
1,0
O
S
H
Trang 52 2
2 (4 1) 2 y (2 1) 32(1)
1 (2)
2
x y x y
ï
í
+ - + =
ï
x- =a y+ =bÞa +b = 1
1
a
b
ì £
ï
Þ í
£
ï
0.25
8a 14a 8a 4b 4b 30
(4 a 11a 15)(a 1) 2b b ( 1) 0
Vì:
2
1 0
a
ì + + >
í
- £
î
(4 a 11a 15)(a 1) 0
và: 2b b -2 ( 1)£ 0 ( do b £ 1 )
0.25
Þ (3)
0
1
1
0
1
b
a
b
b
a
ìé =
=
ì
ïê
Ûíë = Û í
=
î
ï =
î
1
+ Với
1
0
a
b
=
ï
î
( thỏa mãn)
2 2
x y =
0.25
AM + BM
uuuur uuuur
có độ dài nhỏ nhất.
1,0
( ; 2 2) ( )
M x x + Î d Þuuuur AM x( 0-4; 2x 0 - 4)
, uuuur BM(x ; 20 x + 0 6)
(2 4; 4 2)
uuuur uuuur
2
0
20 20 2 5
AM +BM = x + ³
uuuur uuuur
0.25
AM + BM
uuuur uuuur
8.a Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 4 điểm A( 1; 0; 1 ,- ) B( 1; 2; 3 ,- ) C ( 0;1; 2 )
và D( 1; 1-m ; 1 6 + m ) . Tìm m để bốn điểm , A B C D cùng thuộc một mặt phẳng. , , 1.0
Ta có uuurAB=( 0; 2; 4 ,- ) uuur AC = - ( 1;1;3 )
0.25 Suy ra n=éAB AC , ù = -( 10; 4; 2 - - )
r uuur uuur
. Chọn n ur 1 ( 5; 2;1 )
làm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC)
0.25
mp ABC x y z
Þ + + - = . Để A, B, C, D đồng phẳng thì DÎ ( ABC ) 0.25
5.1 2 1 m 1 6m 4 0 4m 4 0 m 1
hàng ngang từ trái sang phải . Tính xác suất để nhận được một số tự nhiên có 3
chữ số.
1,0
Trang 6{ 0;1; 2; 3; 4 }
X =
+ Số cách lấy 3 chữ số khác nhau bất kỳ từ X và xếp chúng thành hàng ngang từ
5 60
A = ( cách). Không gian mẫu : W = 60
0.25
+ Gọi A là biến cố: “ Nhận được 1 số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau”
0
0.25
3.4.4 48
A
60 5
A
P A = W = =
7.b Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại đỉnh A, biết A ( 3; 3 - , )
hai đỉnh B, C thuộc đường thẳng x-2y + = , điểm 1 0 E ( ) 3; 0 nằm trên đường cao kẻ
từ đỉnh C. Tìm tọa độ hai đỉnh B và C.
1,0
Gọi I là trung điểm BC, do IÎBCÞI( 2m- 1; m ) , mà A(3;3) Þuur AI=( 2m-4;m + 3 )
Do uur r AI^ u BC
, mà u r BC ( ) 2;1
2 2m 4 m 3 0 m 1 I 1;1
0.25 ( 2 1; ) , .
BÎBCÞB b- b b Î ¡ . Do C đối xứng với B qua I, suy ra
( 3 2 ; 2 )
C - b - b , uuurAB=( 2b-4;b+3 ,) CE uuur =( 2 ;b b - 2 )
Do ABuuur^ CE uuur
nên ta được: 2 ( 2 4) ( 2)( 3) 0 2; 3
5
Với b=2ÞB( 3; 2 ,) C ( - 1; 0 ) .
Với 3 11; 3 , 21 13 ;
b= - ÞBæç- - ö÷ C æç ö ÷
1,0
Mặt cầu ( ) S có tâm I - - - ( 1; 1; 1) , bán kính R = 3 .
(a +b +c > 0) .
3 0
ax by cz b c
BÎ P a- c b+ + c= Ûb= - a
0.25
( , ( )) 3 ( 5) 2
3
2
a b c b c
a b c
- - - + +
+ +
2
0
39
a
a
=
é
ê
ê = -
ë
0.25
39
0.25
Trang 7Giải phương trình: ( 2 ) ( ) 2 ( ) 2
2 log x -4 +3 log x+2 -log x -2 = 4 1,0
Điều kiện: ( )
2
2
2
3
2
4 0
; 3 2;
x
x
x
x
x
ì - >
ï + >
ï
í
ï
ï
- >
ï
Biến đổi pt đã cho ta được:
2
2
4
2
x
x
-
0.25
Đặt t=log3 ( x+2) ( 2 t ³ 0 ) thì pt (3) trở thành
3 4 0
4
t
t t
t loai
=
é + - = Û ê
= -
ë ( ) 2 ( ) 2
3
2 3 ( )
2 3
x
é = - +
= - -
ê
0.25
Hết