CHUYÊN đề 2 lũy THỪA

CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊNBài 1: SỬ DỤNG CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA LŨY THỪA - Nhân hai luỹ thưa cùng cơ số: a a m... Bài 2: SO SÁNH HAI LŨY THỪA BẰNG PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH TRỰ

CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN

Bài 1: SỬ DỤNG CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA LŨY THỪA

- Nhân hai luỹ thưa cùng cơ số: a a m. n a m n

- Chia hai luỹ thừa cùng cơ số: a m:a n a m n (a0; m n )

- Luỹ thừa của một thương: ( : )a b n a b b n: (n 0)

- Luỹ thừa của luỹ thừa: (a m n) a m n.

- Luỹ thừa tầng: a m n a(m n)

- Luỹ thừa với số mũ âm:

1 ( 0)

n n

a 102008 125 chia hết cho 45 b 5 2008  5 2007  5 2006 chia hết cho 31

c 88220 chia hết cho 17 d 313 299 313 36 5  6 chia hết cho 7

Chia hết cho 7 vì mỗi số hạng trong hiệu đều chia hết cho 7

Bài 8: Cho A    2 22 23 260 Chứng minh rằng AM M M 3;A 5;A 7

Bài 2: SO SÁNH HAI LŨY THỪA BẰNG PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH TRỰC TIẾP

A Quy tắc so sánh: Ta biến đổi hai lũy thừa cần so sánh thành các lũy thừa hoặc cùng cơ sốhoặc cùng số mũ để so sánh

- Nếu 2 luỹ thừa cùng cơ số (lớn hơn 1) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn

- Khi cơ số bằng 1, thì hai lũy thừa bằng nhau với mọi số mũ tự nhiên

Dạng 1: Biến đổi về cùng cơ số hoặc số mũ

so sánh hai số e và c Từ đó so sánh được hai số a n và b m

a) Ta có: 5235.5226.5226.522 523

b) Ta có: 7.2138.213 2 23 13216216 7.213

Bài 3: SO SÁNH HAI LŨY THỪA – PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH GIÁN TIẾP

Dạng 1: So sánh thông qua một lũy thừa trung gian

Cách giải: Để so sánh 2 lũy thừa A và B, ta tìm một lũy thừa M sao cho A M B hoặc

Ta có: 63  7 9 9

2  2  128 ; 27  3 9 9 63 27 

5  5  125  2  5 1Lại có: 63  7 9 9

Dạng 2: So sánh thông qua hai lũy thừa trung gian

Cách giải: Để so sánh hai lũy thừa A và B, ta tìm hai lũy thừa X và y sao cho: A X Y  B

Bài 4: SO SÁNH BIỂU THỨC LỸ THỪA VỚI MỘT SỐ ( SO SÁNH HAI BIỂU THỨC LŨY

THỪA )

Cách giải:

* Thu gọn biểu thức lũy thừa bằng cách vận dụng các phép tính lũy thừa, cộng trừ các số theoquy luật

* Vận dụng phương pháp so sánh hai lũy thữa ở phần B

* Nếu biểu thức lũy thừa là dạng phân thức: Đối với từng trường hợp bậc của luỹ thừa ở tửlớn hơn hay bé hơn bậc của luỹ thừa ở mẫu mà ta nhân với hệ số thích hợp nhằm tách phầnnguyên rồi so sánh từng phần tương ứng

- Ở câu a, biểu thức A và B có chứa luỹ thừa cơ số 10 nên ta so sánh 10A và10B

- Ở câu b, biểu thức C và D có chứa luỹ thừa cơ số 2 nên ta so sánh

BÀI 5: PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG ĐỂ TÌM THÀNH PHẦN CHƯA BIẾT

CỦA LŨY THỪA

      

       Vậy m n 1

Bài 10: Cho A    3 32 33 3 100 Tìm số tự nhiên n, biết 2A  3 3n

Lời giải

Ta có: A     3 32 33 3100 3A    32 33 3100 3101 3A A  2A 3101  3 2A 3101 3

101

2A 3 3 ,

   theo đầu bài ta có 2A   3 3n 3 101    3n n 101.

Bài 11: Tìm số tự nhiên n biết rằng 4 915 15  2 3n n  18 216 16

BÀI 6: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ ĐỂ TÌM THÀNH PHẦN CHƯA BIẾT CỦA LŨY THỪA

Từ (1)(2)    4 n 11

Vậy n nhận các giá trị nguyên là: 5;6;7;8;9;10;11

Bài 2: Tìm số nguyên dương n biết rằng

- Nếu x  4 3x 32 1x   34 37 2268 (không thỏa mãn)

- Nếu x   4 3x 32 1x  226 VP (không thỏa mãn)

Vậy không tồn tại giá trị nào của x thỏa mãn bài toán.

Bài 6: Tìm số tự nhiên x, biết 3x3x12x2 388

Lời giải

- Nếu x 4 thì VT(1) VP(1)  không tồn tại x

- Nếu x 4 thì VT(1) VP(1)  không tồn tại x

Bài 5: Tìm các số nguyên x, y sao cho 5x3   3y 317

Bài 7: Tìm các số nguyên dương m và n sao cho: 2m 2n 256

Lời giải

Ta có: 2m  2n 256 2   8 2 2n m n   1 2 8 (1)

Dễ thấy m n, ta xét 2 trường hợp:

- Nếu m n 1, từ (1) ta có 2 2 1n     2 8 n 8;m 9

- Nếu m n  2 2m n 1 là một số lẻ lớn hơn 1 nên vế trái của (1) chứa thừa số nguyên tố lẻ

khi phân tách ra thừa số nguyên tố Còn vế phải của (1) chỉ chứa thừa số nguyên tố 2

 mâu thuẫn.

Vậy m9;n8 là đáp số duy nhất.

BÀI 7: MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC TÌM THÀNH PHẦN CHƯA BIẾT CỦA LŨY THỪA

Bài 1: Tìm các số tự nhiên x, y, z khác 0 biết x2y2z2 116 và khi chia x, y, z cho 2, 3, 4 thìđược thương bằng nhau và số dư bằng 0

Lời giải

Theo đầu bài, ta đặt x 2m; y 3m; z 4m m N  *

Vì x2y2z2 116( m )2 2( m )3 2( m )4 2 11629m2 116m2   4 m 2

Vậy x4; y4; z8

Bài 2: Tìm các số tự nhiên x, y biết rằng

Lời giải

a) Nếu x  1 2x luôn là một số chẵn   2x 124 luôn là một số chẵn

Mặt khác 5y luôn là một số lẻ với mọi y N 2x124 5 y (loại)

b) Chứng minh tương tự ta được x0; y4

Bài 3: Tìm các số nguyên dương x, a, b biết rằng 4x  19 3 1a  và 2x 5 3b

Lời giải

*) Phân tích: Ta phải tìm cách khử đi ẩn là a, b hoặc x

Theo đầu bài ta có: 2x   5 3b 4x  10 2 3 2 b 

2

b b

M chia cho 3 dư 2

Ta có vế trái của (1) chia 3 dư 2, vế phải của (1) chia 3 dư 0 hoặc 1 nên loại

y y

khong k y

Giả sử y là số lẻ  y2 chia 4 dư 1; 2 y2 chia 4 dư 2; 2y21 chia 4 dư 3

Mà x2 chia 4 dư 0 hoặc 1 nên suy ra y phải chẵn (đpcm)

Bài 6: Tìm các số nguyên dương a, b, c thỏa mãn a3 3a2  5 5b và a  3 5c

mà 5b chia hết 25 với mọi b  3 c 2( loai ) c 1;a2;b2

Bài 7: Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn x y và x2 y2  20 1 2 

Lời giải

Ta có 202 là số chẵn suy ra x, y phải cùng tính chẵn lẻ

Nếu x, y lẻ thì vế trái chia 4 dư 2 và vế phải chia 4 dư 0 nên vô lý x, y cùng chẵn

Đặt x 2x ; y1  2y2 thay vào (1) ta được {

Ta có 9 chai 4 dư 1 nên 9k chia cho 4 dư 1 3 9. k chia 4 dư 3   9k 63 chia 4 dư 2

Mà y2 chia 4 dư 0 hoặc 1 x là số lẻ loại

Vậy x là số chẵn Đặt x 2k, thay vào (1) ta được:

y y

loai y

k

k k

y

t m k

y

loai k

b Cách 1: Dùng công thức an – bn chia hết cho a – b ( a , b thuộc N , a > b )

72015 – 32015 chia hết cho ( 7 – 3 ) = 4 Vậy S chia hết cho 4

Cách 2: 72015 = (72)1007 7 = 491007 7 chia 4 dư 3

32015 = (32)1007 3 = 91007 3 chia cho 3 dư 3

Vậy 72015 – 32015 chia hết cho 4, mà S có tận cùng là 6 Suy ra chữ số hàng chục là lẻ ( đpcm)

*) Chú ý: một số có chữ số tận cùng là 6 mà chia hết cho 4 thì chữ số hàng chục phải là lẻ

BÀI TẬP VỀ NHÀ:

Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của

a 201420142014

Có : 2014 = 4q + 2; (2014)2 = 4m suy ra : 20142014 chia hết cho 4  20144q tận cùng là 6

b 4220742

Có: 207 chia 4 dư 3  207 = 4k + 3 ; 2072 = 4q + 1 ; 20742 = 4q + 1 suy ra 424q+1 tận cùng là 2

Bài 2: Chứng minh rằng: 19831983 – 19171917 là một số tự nhiên chia hết cho 10

19952000 tận cùng bởi chữ số 5 nên chia hết cho 5, vậy tư tưởng n2 + n + 1 chia hết cho 5

Ta có : n2 + n = n ( n + 1 ) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp suy ra có tận cùng là 0, 2, 6Suy ra n2 + n + 1 tận cùng 1, 3, 7 suy ra không chia hết cho 5 Suy ra không tồn tại