Lưu ý: - Thí sinh không được sử dụng tài liệu - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm ĐỀ CHÍNH THỨC.
Trang 1TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG
LẦN THỨ XVI – ĐIỆN BIÊN 2022
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN: Toán - KHỐI 10
Ngày thi: 12 tháng 8 năm 2022 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm có 01 trang
Họ và tên thí sinh:………Số báo danh:………
Câu 1 (4,0 điểm) Giải hệ phương trình
2 2
2 2
+ − + − + =
− + + = + + +
Câu 2 (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, không cân nội tiếp đường tròn ( )O các đường cao,
AD BE CF Gọi M là giao điểm của EF và BC N là giao điểm của FD và , AC P là giao điểm,
của ED và AB
a Chứng minh các điểm M N P thẳng hàng., ,
b Dựng đường tròn đi qua 2 điểm ,E F và tiếp xúc với cung nhỏ BC của ( )O tại , X đường
tròn đi qua 2 điểm ,F D và tiếp xúc với cung nhỏ CA của ( )O tại , Y đường tròn đi qua 2 điểm , D E
và tiếp xúc với cung nhỏ AB của ( )O tại Z Chứng minh các đường thẳng AX BY CZ đồng quy., ,
Câu 3 (4,0 điểm) Xét các đa thức P x và ( ) Q x với hệ số thực, khác đa thức hằng và thỏa mãn( )
điều kiện ( ( ) ) ( )5 ( ( ) )3
P Q x− =P x Q x− ∀ ∈x ¡
a Chứng minh P x luôn có nghiệm thực.( )
b Chứng minh Q x là đa thức monic và có ít nhất 4 cặp đa thức monic ( ) (P x Q x thỏa( ) ( ), )
mãn điều kiện bài toán (Đa thức monic là đa thức có hệ số của bậc cao nhất là 1)
Câu 4 (4,0 điểm) Cho số nguyên tố lẻ p và đa thức Q x( ) (= p+1)x p−2 x Có tồn tại hay không hoán vị (a a1; ; ;2 a p−1) của {1;2; ;p−1} mà {a Q1 1 ; ( ) a Q2 ( )2 ; ;a p−1.Q p( −1) } là hệ thặng dư thu gọn mô đun ?p
Câu 5 (4,0 điểm) Với hai số nguyên dương ,k n ta kí hiệu p n k là số nghiệm nguyên không âm( ), của phương trình x1+ + +x2 x k =n mà x1≤ x2 ≤ ≤ x k Tính p n( ),2 và p n( ),3 theo n
………HẾT………
Lưu ý: - Thí sinh không được sử dụng tài liệu
- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
ĐỀ CHÍNH THỨC