de 11 toan

Điểm M di động trên đoạn BE khác các điểm , ., B E Đường thẳng đối xứng với AM qua AI cắt  O tại điểm thứ hai là .N Điểm K nằm trên AM sao cho IK song song với BC.. Chứng minh khi M di

ĐỀ CHÍNH THỨC

Họ và tên thí sinh:………Số báo danh:………

Câu 1 (4,0 điểm) Cho dãy số   1 1

2

n

n

nx





a Chứng minh x n    n 2, n 3

1

lim n n

n n

x x

x x





Câu 2 (4,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có AB AC , nội tiếp đường tròn  O và ngoại

tiếp đường tròn  I Đường thẳng AI cắt BC và  O lần lượt tại E và D D  A. Điểm M

di động trên đoạn BE khác các điểm , , B E Đường thẳng đối xứng với AM qua AI cắt  O

tại điểm thứ hai là N Điểm K nằm trên AM sao cho IK song song với BC

a Chứng minh khi M di động trên đoạn BE thì giao điểm của DK và IN luôn nằm trên

một đường tròn cố định

b Đường thẳng AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC tại J  Gọi H là giao I

điểm thứ hai của JN và  O , L là trung điểm của MJ Chứng minh khi M di động trên

đoạn BE thì đường thẳng LH luôn đi qua một điểm cố định.

Câu 3 (4,0 điểm) Tìm tất cả các hàm số :f ¡ ¡ thỏa mãn

 

f x f y  x f x  f y x y ¡

Câu 4 (4,0 điểm) Cho số nguyên tố p Chứng minh các ước nguyên lớn hơn 1 của3

3

p

đều có dạng 2kp1,k ¥*

Câu 5 (4,0 điểm) Xét 2021 điểm A A1, , ,2 A2021 phân biệt thay đổi trên đường tròn Đặt S là

số tam giác nhọn có 3 đỉnh là 3 trong số các điểm đã cho

a Khi 2021 điểm trên tạo thành đa giác đều, tính S

b Với mọi cách cho các điểm, tìm giá trị lớn nhất của S

………HẾT………

Lưu ý: - Thí sinh không được sử dụng tài liệu

- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm