Gọi AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC. Các đường thẳng EF và BC cắt nhau tại P. Qua D kẻ đường thẳng song song với EF, đường thẳng này lần lượt cắt AC tại Q và cắt AB tại R[r]
Trang 1ĐỀ TỰ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 9
(02 4 2020) Câu 1 (3,0 điểm)
a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2+y2−xy= + + x y 2
b) Cho ba số tự nhiên a, b, c trong đó có đúng một số lẻ và hai số chẵn Chứng minh rằng
(a+ +b c) − + −(a b c) − + −(b c a) − − +(a b c) chia hết cho 96
Câu 2 (4,0 điểm)
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có
2
n n 2 n n 2
b) Tính tổng
= + + + + + + + + ++ + +
Câu 3 (4,0 điểm)
a) Giải phương trình 2x2− =x 2x−x 2
b) Giải hệ phương trình
(x 1)y (y 1)x 2(xy 1)
4x y 2x y 6 0
+ + − − =
Câu 4 (7,0 điểm)
Cho BC là dây cung cố định của đường tròn (O ; R), BC < 2R Gọi A là điểm di động trên cung lớn
BC, A không trùng với các điểm B và C Gọi AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC Các đường thẳng EF và BC cắt nhau tại P Qua D kẻ đường thẳng song song với EF, đường thẳng này lần lượt cắt AC tại Q và cắt AB tại R
a) Chứng minh tứ giác BQCR là tứ giác nội tiếp
b) Gọi M là trung điểm cạnh BC Chứng minh tam giác EPM đồng dạng với tam giác DEM
c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR luôn đi qua một điểm cố định
Câu 5 (2,0 điểm)
Cho các số thực dương x, y, z thay đổi thỏa mãn x2+y2+z2= Chứng minh bất đẳng thức sau: 3
3
xy yz xz
yz + xz + xy + +
-Hết -