de chuyen de 11 toan hk1 20152016 finish 17h30 20122016

Giải phương trình sin xcos xcosxsinx cosx1.. Cho hình chóp .S ABC Gọi E là trung điểm.. A B Dựng thiết diện tạo bởi D EF với hình hộp đã cho... Rõ ràng ta cũng có sinasinb0... Tín

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐỀ THI MÔN CHUYÊN HỌC KÌ I NĂM HỌC 2015 – 2016

Môn thi: Toán – Lớp 11; Thời gian: 150 phút

Câu 1 (1,5 điểm) Giải phương trình

sin xcos xcosxsinx cosx1

Câu 2 (1,5 điểm) Cho , ,x y z là 3 số thỏa mãn sin xsinysinz 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Câu 3 (1,5 điểm) Cho tập E 1; 2; 3  Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số đôi một khác nhau sao cho trong mỗi số đều có cả ba chữ số của tập E, đồng thời không có bất kì hai chữ số nào của E đứng cạnh nhau?

Câu 4 (1,5 điểm) Cho dãy số  x n n 1

 được xác định bởi

2

1 2, n 1 2 n 3 n 4, 1

x  x  x  x  n  Chứng minh rằng x   với mọi n n  1

Câu 5 (2,0 điểm) Cho hình chóp S ABC Gọi E là trung điểm BC H là trung, điểm AE O là trung điểm , SH Lấy hai điểm ', A B lần lượt nằm trên hai cạnh SA'

và SB sao cho OA B cắt đoạn thẳng SC tại '.' ' C

a) Nêu cách xác định điểm ' C

b) Tính giá trị của biểu thức 2

P

Câu 6 (2,0 điểm) Cho hình hộp ABCD A B C D có tất cả các mặt là hình vuông ' ' ' ' cạnh a Gọi , E F lần lượt là trung điểm của ' ' B C và ' A B Dựng thiết diện tạo bởi

D EF với hình hộp đã cho Tính diện tích thiết diện đó theo '  a

- HẾT

-Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!

Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh:

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NĂM HỌC 2015 – 2016

Môn thi: Toán – Lớp 11; Thời gian: 150 phút

Câu Giải phương trình

(1,5đ

)

sin xcos xcosx sinx cosx1 Phân tích phương trình đã cho về dạng

Từ đó giải được nghiệm của phương trình là

x  k x  k  x  k  k  0,5

Câu

2

(1,5đ

)

Cho , ,x y z là 3 số thỏa mãn sin xsinysinz 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Đặt x a y, b z, c Ta có

sinasinbsinc 1; P sin3asin3bsin3c 0,5 Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức

3 3

4

u v

u v   với u v, thỏa mãn u v 0 (1)

Thật vậy (1) tương đương với u v  2 u v  0

0,5

Chú ý rằng, từ đẳng thức sinasinbsinc1 suy ra có ít nhất 1 trong

3 số sin , sin , sina b c dương, giả sử sinc  0 Rõ ràng ta cũng có

sinasinb0 Khi đó áp dụng (1) ta được

3 3

3

Từ đó suy ra 1

9

P 

3

0,5

Câu

3

(1,5đ

)

Cho tập E 1; 2; 3  Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số đôi một khác nhau

sao cho trong mỗi số đều có cả ba chữ số của tập E, đồng thời không có bất kì hai chữ số nào của E đứng cạnh nhau?

Giả sử số có 7 chữ số thỏa mãn ycbt là a a a a a a a Suy ra 3 chữ số1 2 3 4 5 6 7

của tập E phải là 3 chữ số được liệt kê dưới đây:

1 a a a 1, , ;3 5

2 a a a1, , ;3 6

3 a a a, , ;

0,5

4 a a a1, , ;4 6

5 a a a1, , ;4 7

6 a a a1, , ;5 7

7 a a a2, , ;4 6

8 a a a2, , ;4 7

9 a a a2, , ;5 7

10 a a a3, , 5 7

Số các số thỏa mãn ycbt trong mỗi trường hợp từ TH 1 đến TH 6 đều

bằng 3!.A 74 5040

Số các số thỏa mãn ycbt trong mỗi trường hợp từ TH 7 đến TH 10 đều

bằng  4 3

7 6 3! A  A 4320

0,5

Từ đó ta có kết quả của bài toán 6 5040 4 4320 47520    0,5

Câu

4

(1,5đ

)

Cho dãy số  x n n 1

 được xác định bởi

2

1 2, n 1 2 n 3 n 4, 1

x  x   x  x  n  Chứng minh rằng x   với mọi n n  1

Ta có x  và 2 8

Suy ra x n2, x n là các nghiệm của phương trình bậc hai

Theo định lý Viet ta có x n2x n 4x n1, hay x n2 4x n  x n,n 1

Câu

5

(2,0đ

)

Cho hình chóp S ABC Gọi E là trung điểm BC H là trung điểm , AE O là, trung điểm SH Lấy hai điểm ', A B lần lượt nằm trên hai cạnh SA và SB sao'

cho OA B cắt đoạn thẳng SC tại '.' ' C

a) Nêu cách xác định điểm ' C b) Tính giá trị của biểu thức 2

P

a) Trong SAE gọi , I A O' SE Trong SBC gọi ', C B I' SC Khi đó C 'OA B' ' SC

1,0

C' I A' O

S

2

SB SC  SI

Thật vậy, ta có

SB C SB I SC I





Chứng minh tương tự ta có

2 '

SA  SI  SO

Từ đó suy ra

P

0,5

Câu

6

(2,0đ

Cho hình hộp ABCD A B C D có tất cả các mặt là hình vuông cạnh ' ' ' ' a Gọi

,

E F lần lượt là trung điểm của ' ' B C và ' A B Dựng thiết diện tạo bởi D EF' 

với hình hộp đã cho Tính diện tích thiết diện đó theo a

a 10

3

a 5

2

a 13

3

a 13

6

h h

y

E M

D' N

N

M

I

F

E B'

B

C' A'

C

A

D

D'

Gọi I D E' A B' ', đường thẳng IF cắt BB AA', ' lần lượt tại M và

N Khi đó thiết diện tạo bởi D EF với hình hộp đã cho là tứ giác' 

'

MED N

1,0

Vì D EF'  cắt hai mặt phẳng song song BCC B' ' , ADD A' ' theo hai

giao tuyến là ME và ND' nên ME / /ND'

Ta có M là trọng tâm của tam giác BIA' nên 2.

' 3

BM

BB  Suy ra

1. ' 3

AN

AA 

Sử dụng định lý Pitago ta tính được

0,5

Kẻ MM EE', ' vuông góc với ND' theo thứ tự tại M ' và E '. Đặt

' ,

NM x E D' 'y, MM 'EE 'h Ta có hệ phương trình

2

2 2

2

2 2 2

2 2

10

9

6

a

a

a

x y







Từ đó suy ra

2 '

MED N

0,5