Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất.. Câu II.[r]
Trang 1TTBDVH KHAI TRÍ
ĐỀ SỐ 10
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC - NĂM 2011
Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu I (2.0 điểm)
Cho hàm số y = (C)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất
Câu II (3.0 điểm)
1 Giải phương trình 2 os6x+2cos4x- 3 os2x = sin2x+ 3c c
2 Giải hệ phương trình
2
1
y
3 Giải bất phương trình
2
0
Câu III (1.0 điểm)
Tính tích phân
1
2 3 0
1
x
x
Câu IV (1.0 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi SA = x (0 < x < ) các cạnh còn lại đều bằng 1 Tính thể tích của hình chóp S.ABCD theo x
Câu V (2.0 điểm)
1 Cho điểm A(-1 ;0), B(1 ;2) và đường thẳng (d): x - y - 1 = 0 Lập phương trình đường tròn đi qua 2 điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng (d)
2 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh bằng 2 Gọi M là trung điểm của đoạn AD, N là tâm hình vuông CC’D’D Tính bán kính mặt cầu đi qua các điểm B, C’, M, N
Câu VI (1.0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn các điều kiện:
z i z 2 3 i Trong các số phức thỏa mãn điều kiện trên, tìm số phức có mô đun nhỏ nhất
HẾT
Trang 2ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 10
ĐIỂM
Câu I
(2.0đ)
1
(1.0đ)
Chiều biến thiên
x f x x f x
nên y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
x f x x
nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
y’ = 2
1 0
0.25
Bảng biến thiên
1 +
-
1
-y
y'
x - 1 +
Hàm số nghịc biến trên ( ;1)và (1;)
Hàm số không có cực trị
0.25
Đồ thị.(tự vẽ)
Giao điểm của đồ thị với trục Ox là (0 ;0)
Vẽ đồ thị
Nhận xét : Đồ thị nhận giao điểm của 2 đường tiệm cận I(1 ;1) làm tâm đối xứng
0.25
2
(1.0đ)
Giả sử M(x0 ; y0) thuộc (C) mà tiếp tuyến với đồ thị tại đó có khoảng cách từ tâm đối
xứng đến tiếp tuyến là lớn nhất
Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng :
0 0 2
1
x
2 0
1
0
x
x y
0.25
Ta có d(I ;tt) =
0
4 0
2 1 1 1
x x
Xét hàm số f(t) = 4
2
1
t t
ta có f’(t) =
2
0.25
Trang 3f’(t) = 0 khi t = 1
Bảng biến thiên
từ bảng biến thiên ta c
d(I ;tt) lớn nhất khi và
chỉ khi t = 1 hay
0 0
0
2
1 1
0
x x
x
0.25
+ Với x0 = 0 ta có tiếp tuyến là y = -x
+ Với x0 = 2 ta có tiếp tuyến là y = -x+4
0.25
Câu II
(2.0đ)
1
(1.0đ)
os x=0 2cos5x =sinx+ 3 cos
c
x
0.25
os5x=cos(x- )
6
x
0.25
2
2
k x
k x
0.25
2
(1.0đ) ĐK :
0
y
hệ
2
2
1
2 0
y x
đưa hệ về dạng
2 2
0.5
2
1 1
2
1
2
2
2
u v
u v
u
u v
u v
0.5
_f(t)
_ f'(t)
_x
+ 0
-+
_2
Trang 4Từ đó ta có nghiệm của hệ (-1 ;-1),(1 ;1), (
;
;
3
(1,0đ)
bất phương trình
3 3
3
log 4
0
x x
3
0
x
0.25
0.25
Câu III
(1.0đ)
sin
1
x
x
Ta tính I1 =
1
0 sin
đặt t = x3 ta tính được I1 = -1/3(cos1 - sin1)
0.25
Ta tính I2 =
1
01
x dx x
đặt t = x ta tính được I2 =
1
2 0
1
Từ đó ta có I = I1 + I2 = -1/3(cos1 - 1)+2 2
Câu IV
(1.0đ) Ta có SBDDCB c c c( ) SO CO
Tương tự ta có SO = OA
vậy tam giác SCA vuông tại S
2
1
Mặt khác ta có AC2BD2 AB2BC2CD2AD2
2
1
4
ABCD
0.5
Gọi H là hình chiếu của S xuống (CAB)
Vì SB = SD nên HB = HD
0.25
1
x SH
Vậy V =
2 1
0.25
Câu V
(2.0đ)
1
Giả sử phương trình cần tìm là (x-a)2 + (x-b)2 = R2 0.25
Vì đường tròn đi qua A, B và tiếp xúc với d nên ta có hệ phương trình 0.25
O C
B
A D S
H
Trang 5(1.0đ) 2 2 2
2
0 1 2
a b R
Vậy đường trũn cần tỡm là: x2 + (y - 1)2 = 2
0.5
2
(1.0đ) Chọn hệ trục toạ độ như hỡnh vẽ
Ta cú M(1 ;0 ;0), N(0 ;1 ;1)
B(2 ;0 ;2), C’(0 ;2 ;2)
Gọi phương tỡnh mặt cầu đi qua 4 điểm
M,N,B,C’ cú dạng
x2 + y2 + z2 +2Ax + 2By+2Cz +D = 0
Vỡ mặt cầu đi qua 4 điểm nờn ta cú
5 2
5
2
1
4
A
A D
C
D
Vậy bỏn kớnh R = A2B2C2 D 15
1.0
Cõu VI
(1.0đ) Đặt z = x + yi; trong đú x, y R
|z - i| = |z - 2 - 3i| |x + (y - 1)i| = |(x - 2) - (y + 3)i|
x - 2y - 3 = 0 Tập hợp điểm M(x; y) biểu diễn số phức z là đường thẳng
cú phương trỡnh x - 2y - 3 = 0 ()
* |z| nhỏ nhất |OM
| nhỏ nhất M là hỡnh chiếu của điểm O(0; 0) trờn ()
3
;-6
5) z =
3
-6
0,5
0,5
Chú ý: Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì đợc đủ điểm từng phần nh đáp án quy định.
B' Y
X
Z
N
D'
C'
A'
C
B M