Cho hàm sốf xliên tục trên R.. Phân tích hướng dẫn giải a DẠNG TOÁN: Đây là dạng sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần... Tìm một nguyên hàm của hàm số f0x ln x... Tìm một nguyên hàm
Trang 1Hàm số F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) nếu F0(x) = f (x)
a) Công thức nguyên hàm từng phần
®
u = f (x)
dv = g(x) dx ⇒
du = f0(x) dx
v =
Z g(x) dx = G(x)(C = 0)
Khi đó ta có
Z
u · dv = u · v −
Z
v · du hay
Z
f (x)g(x) dx = f (x)G(x) −
Z G(x)f0(x) dx
b) Công thức tích phân từng phần
®
u = f (x)
dv = g(x) dx ⇒
du = f0(x) dx
v =
Z g(x) dx = G(x)(C = 0)
Khi đó ta có
b Z
a
u · dv = (u · v)
b
a
−
b Z
a
v · du hay
b Z
a
f (x)g(x) dx = [f (x)G(x)]
b
a
−
b Z
a G(x)f0(x) dx
c) Công thức đạo hàm của hàm số sơ cấp và hàm hợp
• (xα)0= αxα−1.
• (un)0 = nun−1u0.
• (uv)0 = u0v + uv0.
• (sin u)0= u0cos u
• (cos u)0 = −u0sin u
• (ex)0 = ex.
• (eu)0 = euu0.
• (ln x)0= 1
x d) Nguyên hàm các hàm số thường gặp
•
Z
u(x)·v0(x) dx = u(x)·v(x)−
Z v(x)·u0(x) dx
•
Z
xαdx = x
α+1
α + 1+ C, với α 6= −1
•
Z
1
xdx = ln |x| + C.
•
Z
exdx = ex+ C.
•
Z sin x dx = − cos x + C.
• Z cos x dx = sin x + C
Trang 2Ví dụ 1 Cho hàm sốf (x)liên tục trên R Biết cos 2xlà một nguyên hàm của hàm sốf (x)·ex,
họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) · ex là
A − sin 2x + cos 2x + C B −2 sin 2x + cos 2x + C
C −2 sin 2x − cos 2x + C D 2 sin 2x − cos 2x + C.
Lời giải.
Phân tích hướng dẫn giải
a) DẠNG TOÁN: Đây là dạng sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần.
b) HƯỚNG GIẢI:
Bước 1: Dựa trên giả thuyết cos 2x là một nguyên hàm của hàm số f (x) · ex ta tìm được hàm số f (x) · ex.
Bước 2: Áp dụng công thức nguyên hàm từng phân ta tính được I =
Z
f0(x) · exdx bằng cách đặt
®
u = ex
dv = f0(x) dx ⇒
®
du = exdx
v = f (x)
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có cos 2x là một nguyên hàm của hàm số f (x) · ex suy ra f (x) · ex= (cos 2x)0= −2 sin 2x
Xét I =
Z
f (x) · exdx
Đặt
®
u = ex
dv = f0(x) dx ⇒
®
du = exdx
v = f (x)
Khi đó ta có I =
Z
f0(x) · exdx = f (x) · ex−
Z
f (x) · exdx = −2 sin 2x − cos 2x + C
Chọn phương án C
Câu 1 Cho hàm số f (x) liên tục trên R Biết sin 3x là một nguyên hàm của hàm số f (x) · ex, họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f0(x) · ex là
A 3 cos 3x − sin 3x + C B −3 cos 3x − cos 3x + C.
C 3 sin 3x − cos 3x + C D 3 cos 3x − cos 3x + C.
Lời giải.
Trang 3Ta có sin 3x là một nguyên hàm của hàm số f (x) · ex suy ra f (x) · ex= (sin 3x)0= 3 cos 3x
Xét I =
Z
f (x) · exdx
Đặt
®
u = ex
dv = f0(x) dx ⇒
®
du = exdx
v = f (x)
Khi đó ta có I =
Z
f0(x) · exdx = f (x) · ex−
Z
f (x) · exdx = 3 cos 3x − sin 3x + C
Chọn phương án A
Câu 2 Cho hàm số f (x) liên tục trên (0; +∞) Biết ln x là một nguyên hàm của hàm số f (x)
ex , họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f0(x) · x2 là
A x · ex+ C B x · ex− 2ex+ C C −x · ex+ 2ex+ C D x · ex+ 2ex+ C Lời giải.
Ta có ln x là một nguyên hàm của hàm số f (x)
ex suy ra f (x)
ex = (ln x)0= 1
x ⇒ f (x) = e
x
x Suy ra f (x) = e
xx − ex
x2 Xét I =
Z
f0(x) · x2dx =
Z
exx − ex
x2 · x2· dx =
Z (exx − ex) · dx =
Z
exx dx −
Z
exdx
Đặt
®
u = x
dv = exdx ⇒
®
du = dx
v = ex , suy ra Z
exx dx −
Z
exdx =
Å
x · ex−
Z
exdx
ã
−
Z
exdx = x · ex− 2ex+ C
Chọn phương án B
Câu 3 Cho hàm số f (x) liên tục trên R Biết x2− 3x + 1 là một nguyên hàm của hàm số f (x)
x ,
họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f0(x) · e2x là
A 4x − 11e
2x
2 + C B 2x − 2e2x+ C C 4x − 5e
x
2 + C D 4x − 5e
2x
2 + C Lời giải.
Ta có x2− 3x + 1 là một nguyên hàm của hàm số f (x)
x suy ra f (x)
x = x
2− 3x + 10
= 2x − 3 Suy ra f (x) = 2x2− 3x suy ra f (x) = 4x − 3
Xét I =
Z
(4x − 3) · e2xdx
Đặt
®
u = 4x − 3
dv = e2xdx ⇒
du = 4 dx
v = 1
2e 2x Khi đó ta có
I =
Z
(4x − 3) · e2xdx = (4x − 3) · e
2x
Z
e2xdx = (4x − 3) · e
2x
2 − e2x+ C = 4x − 5e
2x
2 + C. Chọn phương án D
Trang 4Câu 4 Cho hàm số f (x) liên tục trên R Biết sin2x là một nguyên hàm của hàm số f (x) · ex, họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f0(x) · ex là
A 2 cos x − cos 2x + C B sin 2x − sin2x + C C 2 sin x − sin2x + C D sin 2x + sin2x + C Lời giải.
Ta có sin2x là một nguyên hàm của hàm số f (x) · ex suy ra f (x) · ex= sin2x0= sin 2x
Xét I =
Z
f (x) · exdx
Đặt
®
u = ex
dv = f0(x) dx ⇒
®
du = exdx
v = f (x)
Khi đó ta có I =
Z
f0(x) · exdx = f (x) · ex−
Z
f (x) · exdx = sin 2x − sin2x + C Chọn phương án B
Câu 5 Cho hàm số f (x) liên tục trên R Biết cos2x là một nguyên hàm của hàm số f (x) · e2x, họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f0(x) · e2x là
A − sin 2x + 2 cos2x + C B sin 2x − 2 cos2x + C.
C − sin 2x − 2 sin2x + C D − sin 2x − 2 cos2x + C
Lời giải.
Ta có cos2x là một nguyên hàm của hàm số f (x) · e2x suy ra f (x) · e2x = cos2x0= − sin 2x
Xét I =
Z
f0(x) · e2xdx
Đặt
®
u = e2x
dv = f0(x) dx
⇒
®
du = 2e2xdx
v = f (x)
Khi đó ta có I =
Z
f0(x) · e2xdx = f (x) · e2x− 2
Z
f (x) · e2xdx = − sin 2x − 2 cos2x + C
Chọn phương án D
Câu 6 Cho F (x) = 1
2x2 là một nguyên hàm của hàm số f (x)
x Tìm một nguyên hàm của hàm số
f0(x) ln x
A
Z
f (x) ln x dx = ln x
x2 + 1
Z
f (x) ln x dx = ln x
x2 + 1
x2 + C
C
Z
f (x) ln x dx = −
Å
ln x
x2 + 1 2x2
ã
Z
f (x) ln x dx = −
Å
ln x
x2 + 1
x2
ã + C Lời giải.
Ta có F (x) = 1
2x2 là một nguyên hàm của hàm số f (x)
x suy ra f (x)
x =
1 2x2
0
= − 1
x3 Đặt
®
u = ln x
dv = f0(x) dx ⇒
du = 1
xdx
v = f (x)
Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần ta có
Z
f0(x) ln x dx = f (x) ln x −
Z
f (x)
x dx == −
1
x3(x ln x) − 1
2x2 + C = −
Å
ln x
x2 + 1 2x2
ã + C
Chọn phương án C
Trang 5Câu 7. F (x) = x2 là một nguyên hàm của f (x)e2x Tìm một nguyên hàm của hàm số f0(x)e2x A
Z
f0(x)e2xdx = 2x2− 2x + C B
Z
f0(x)e2xdx = −2x2+ 2x + C
C
Z
f0(x)e2xdx = −x2+ x + C D
Z
f0(x)e2xdx = −x2+ 2x + C
Lời giải.
F (x) = x2 là một nguyên hàm của f (x)e2x suy ra f (x)e2x = 2x
Đặt
®
u = e2x
dv = f0(x) dx ⇒
®
du = 2 · e2xdx
v = f (x) Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần ta có Z
f0(x)e2xdx = f (x)e2x− 2
Z
f (x)e2xdx = 2x − 2
Z
f (x)e2xdx = −2x2+ 2x + C
Chọn phương án B
Câu 8 Cho F (x) = (x − 1)ex là một nguyên hàm của hàm số f (x)e2x Tìm một nguyên hàm của hàm số f0(x)e2x.
A
Z
f0(x)e2xdx = 2 − x
2 e
Z
f0(x)e2xdx = (4 − 2x)ex+ C C
Z
f0(x)e2xdx = (x − 2)ex+ C D
Z
f0(x)e2xdx = (2 − x)ex+ C Lời giải.
Ta có F (x) = (x − 1)ex là một nguyên hàm của hàm số f (x)e2x suy ra f (x)e2x = [(x − 1)ex]0 =
ex+ (x − 1)ex.
Đặt
®
u = e2x
dv = f0(x) dx ⇒
®
du = 2 · e2xdx
v = f (x) Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần ta có Z
f0(x)e2xdx = f (x)e2x− 2
Z
f (x)e2xdx
= [ex+ (x − 1)ex] − 2
Z
f (x)e2xdx
= (ex+ (x − 1)ex) − 2(x − 1)ex+ C = (2 − x)ex+ C
Chọn phương án D
Câu 9 Cho F (x) = 1
3x3 là một nguyên hàm của hàm số f (x)
x Tìm một nguyên hàm của hàm số
f0(x) ln x
A
Z
f0(x) ln x dx = ln x
x3 + 1
Z
f0(x) ln x dx = ln x
x3 + 1
x3 + C C
Z
f0(x) ln x dx = −
Å
ln x
x3 + 1 3x3
ã
Z
f0(x) ln x dx = −
Å
ln x
x3 + 1
x3
ã + C
Lời giải.
Ta có F (x) = 1
3x3 là một nguyên hàm của hàm số f (x)
x suy ra f (x)
x =
1 3x3
0
= − 1
x4.
Trang 6Đặt
®
u = ln x
dv = f0(x) dx ⇒
du = 1
xdx
v = f (x)
Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần ta có
Z
f0(x) ln x dx = f (x) ln x −
Z
f (x)
x dx = −
1
x3(x ln x) − 1
3x3 + C = −
Å
ln x
x3 + 1 3x3
ã + C
Chọn phương án C
Câu 10 Cho F (x) = excos x là một nguyên hàm của hàm số f (x)e2x Tìm một nguyên hàm của hàm số f0(x)e2x.
A
Z
f0(x)e2xdx = −ex(sin x + cos x) + C B
Z
f0(x)e2xdx = ex(sin x + cos x) + C C
Z
f0(x)e2xdx = −ex(sin x − cos x) + C D
Z
f0(x)e2xdx = ex(sin x − cos x) + C
Lời giải.
Vì F (x) = excos x là một nguyên hàm của hàm số f (x)e2x nên f (x)e2x = F0(x) = excos x − exsin x Đặt
®
u = e2x
dv = f0(x) dx ⇒
®
du = 2 · e2xdx
v = f (x) Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần ta có
Ta có
Z
f0(x)e2xdx = f (x)e2x− 2
Z
f (x)e2xdx
= ex(cos x − sin x) − 2
Z
f (x)e2xdx
= ex(cos x − sin x) − 2excos x + C = −ex(sin x + cos x) + C
Chọn phương án A
Câu 11 Cho F (x) = e
x
x là một nguyên hàm của hàm số f (x) Tìm một nguyên hàm của hàm số (f (x) + f0(x)) ex.
A
Z
f (x) + f0(x)· exdx = e
x(xex− ex)
x2 + C
B
Z
f (x) + f0(x)· exdx = e
2x
x + C C
Z
f (x) + f0(x)· exdx = −e
2x
x + C D
Z
f (x) + f0(x)· exdx = −e
x(xex− ex)
x2 + C Lời giải.
Ta có F (x) = e
x
x là một nguyên hàm của hàm số f (x) suy ra f (x) =
Å
ex x
ã0
= xe
x− ex
x2 Đặt
®
u = f (x)
dv = exdx ⇒
®
du = f0(x) dx
v = ex Theo công thức nguyên hàm từng phần, ta có
Z
f (x)exdx = exf (x) −
Z
exf0(x) dx ⇒
Z
f (x) + f0(x)· exdx = exf (x) + C = e
x(xex− ex)
x2 + C
Trang 7Chọn phương án A
Câu 12 Cho F (x) = x2ex là một nguyên hàm của hàm số f (x)
x Tìm một nguyên hàm của hàm
số f0(x) ln x
A
Z
f0(x) ln x dx = ex x3ln x + 2x2ln x + x2+ C.
B
Z
f0(x) ln x dx = −ex x3ln x + 2x2ln x − x2+ C.
C
Z
f0(x) ln x dx = ex x3ln x − 2x2ln x − x2+ C
D
Z
f0(x) ln x dx = ex x3ln x + 2x2ln x − x2+ C.
Lời giải.
Ta có F (x) = x2ex là một nguyên hàm của hàm số f (x)
x suy ra f (x)
x = x
2ex0 = 2xex+ x2ex Đặt
®
u = ln x
dv = f0(x) dx ⇒
du = 1
xdx
v = f (x)
Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần ta có
Z
f0(x) ln x dx = f (x) ln x −
Z
f (x)
x dx
=
Å
f (x) x
ã (x ln x) − x2ex+ C
= x ln x 2xex+ x2ex− x2ex+ C
= ex x3ln x + 2x2ln x − x2+ C
Chọn phương án D
Câu 13 Cho F (x) = cos x
x là một nguyên hàm của hàm số f (x) sin x Tìm một nguyên hàm của hàm số f (x) cos x
A
Z
f0(x) cos x dx = −cos x
x − cos
2x
x2sin x+ x cos x + C B
Z
f0(x) cos x dx = −cos x
x − cos
2x
x2sin x− x cos x + C
C
Z
f0(x) cos x dx = cos x
x +
cos2x
x2sin x+ x cos x + C D
Z
f0(x) cos x dx = cos x
x +
cos2x
x2sin x− x cos x + C
Lời giải.
Ta có F (x) = cos x
x là một nguyên hàm của hàm số f (x) sin x suy ra f (x) sin x =
cos x x
0
=
−x sin x − cos x
x2 .
Trang 8Đặt
®
u = cos x
dv = f0(x) dx ⇒
®
du = − sin x dx
v = f (x) Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần ta có Z
f0(x) cos x dx = f (x) cos x −
Z
f (x) sin x dx
= (f (x) sin x) cot x +
Z
f (x) sin x dx
=
−x sin x − cos x
x2
cot x + x cos x + C
= −cos x
x − cos
2x
x2sin x+ x cos x + C.
Chọn phương án A
Câu 14 Cho hàm số f (x) thỏa mãn
π 2 Z
0 sin x · f (x) dx = f (0) = 1 Tính
π 2 Z
0 cos x · f0(x) dx
Lời giải.
Đặt
®
u = cos x
dv = f0(x) dx ⇒
®
du = − sin x dx
v = f (x) Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có
Ta có:
π
2
Z
0
cos x · f0(x) dx = (f (x) cos x)
π 2
0
−
Z
f (x) sin x dx = −f (0) +
π 2 Z
0
f (x) sin x dx = −1 + 1 = 0 Chọn phương án C
Câu 15 Cho hàm số f (x) có đạo hàm f0(x) liên tục trên R thỏa mãn f (0) = f (1) = 1 Biết 1
Z
0
ex f (x) + f0(x) dx = ae + b Tính S = a2017+ b2018.
Lời giải.
Đặt
®
u = f (x)
dv = exdx
⇒
®
du = f0(x) dx
v = ex Theo công thức tích phân từng phần, ta có
1
Z
0
f (x)exdx = (exf (x))
1
0
=
1 Z
0
exf0(x) dx ⇒
1 Z
0
f (x) + f0(x)·exdx = (exf (x))
1
0
= f (1)e−f (0) = e−1
Vậy a = 1; b = −1 ⇒ S = 2
Chọn phương án D
Câu 16 Cho 0 < a < π
2 và b =
π 2 Z
a cot x · exdx Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Trang 9A
π
2
Z
a
ex sin2xdx = e
π 2 Z
a
ex sin2xdx = −e
acot a − b
C
π
2
Z
a
ex sin2xdx = e
π 2 Z
a
ex sin2xdx = −e
acot a + b
Lời giải.
Đặt
u = ex
dv = 1
sin2xdx
⇒
®
du = exdx
v = − cot x Theo công thức tích phân từng phần, ta có
π 2 Z
a
ex sin2xdx = −e
xcot x
π 2
a +
π 2 Z
a
excot x dx = eacot a + b
Chọn phương án C
Câu 17 Cho hàm sốy = f (x)thỏa mãn
1 Z
0
f0(x)
x + 1dx = 1vàf (1)−2f (0) = 2 TínhI =
1 Z
0
f (x) (x + 1)2dx
Lời giải.
Xét tích phân
1 Z
0
f0(x)
x + 1 dx = 1
Đặt
u = 1
x + 1
dv = f0(x) dx
⇒
du = 1 (x + 1)2dx
v = f (x)
Theo công thức tích phân từng phần, ta có:
Theo công thức tích phân từng phần, ta có
I =
1 Z
0
f0(x)
x + 1dx =
f (x)
x + 1
1
0
−
1 Z
0
f (x) (x + 1)2dx = 1
2f (1) − f (0) +
1 Z
0
f (x) (x + 1)2dx = 1 + I ⇒ I = 0 Chọn phương án A
Câu 18 Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) với F (1) = 1,
1 Z
0
F (x) dx = −1
Tính
1
Z
0
xf (x) dx
A
1
Z
xf (x) dx = 0 B
1 Z
xf (x) dx = −1 C
1 Z
xf (x) dx = −2 D
1 Z
xf (x) dx = 2
Trang 10Lời giải.
Đặt
®
u = x
dv = f (x) dx →
®
du = dx
v = F (x)
Theo công thức tích phân từng phần, ta có
I =
1 Z
0
xf (x) dx = (xF (x))
1
0
−
1 Z
0
F (x) dx = F (1) −
1 Z
0
F (x) dx = 1 − (−1) = 2
Chọn phương án D
Câu 19 Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn f (1) sin 1 = 10 Tính I = Z
f (x) cos x + f0(x) sin x dx
Lời giải.
Đặt
®
u = f (x)
dv = cos x · dx →
®
du = f (x) dx
v = sin x
Theo công thức tích phân từng phần, ta có
1 Z
0
f (x) cos x dx = (sin xf (x))
1
0
−
1 Z
0 sin x · f (x) dx
Suy ra I =
1 Z
0
f (x) cos x + f0(x) sin x dx = f (1) sin 1 = 10
Chọn phương án D
Câu 20 Cho hàm sốf (x)có đạo hàm cấp haif00(x)liên tục trên đoạn[0; 1]thỏa mãnf (1)+f (0) = 0 và
1
Z
0
f (x) dx = 2018 Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A
1
Z
0
x2− x
f00(x) dx = 2018 B
1 Z
0
x2− x
f00(x) dx = −4036
C
1
Z
0
x2− x
f00(x) dx = −2018 D
1 Z
0
x2− x
f00(x) dx = 4036
Lời giải.
Xét tích phân
1 Z
0
x2− x
f00(x) dx
Đặt
®
u = x2− x
dv = f00(x) dx →
®
du = (2x − 1) dx
v = f0(x)
Trang 11Theo công thức tích phân từng phần, ta có
1 Z
0
x2− x
f00(x) dx = x2− x
f0(x)
1
0
−
1 Z
0 (2x − 1)f0(x) dx
Xét tích phân
1 Z
0 (2x − 1)f (x) dx
Đặt
®
u = 2x − 1
dv = f0(x) dx →
®
du = 2 dx
v = f (x) Ta có
1 Z
0 (2x − 1)f0(x) dx = (2x − 1)f (x)
1
0 + 2
1 Z
0
f (x) dx
Vậy
1
Z
0
x2− xf00(x) dx = x2− xf0(x)
1
0
− (2x − 1)f (x)
1
0 + 2
1 Z
0
f (x) dx = 4036
Chọn phương án D
Câu 21 Cho hàm số f (x) liên tục trên R Biết cos x là một nguyên hàm của hàm số f (x)ex, họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f0(x)ex là
A − sin x + cos x + C B − sin x − cos x + C C sin x − cos x + C D sin x + cos x + C Lời giải.
Ta có cos x là một nguyên hàm của hàm số f (x)ex nên ta có
(cos x)0 = f (x) · ex ⇔ − sin x = f (x) · ex Tính I =
Z
f0(x) · exdx
Đặt
®
u = ex
dv = f0(x) dx ⇒
®
du = exdx
v = f (x)
Suy ra I =
Z
f0(x) · exdx = f (x) · ex−
Z
f (x) · exdx = − sin x − cos x + C
Chọn phương án B
Câu 22 Cho hàm số f (x) liên tục trên R Biết sin x là một nguyên hàm của hàm số f (x)ex, họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f0(x)ex là
A cos x − sin x + C B − sin x − cos x + C C sin x − cos x + C D sin x + cos x + C Lời giải.
Ta có sin x là một nguyên hàm của hàm số f (x)ex nên ta có
(sin x)0= f (x) · ex⇔ cos x = f (x) · ex
Trang 12Tính I =
Z
f0(x) · exdx
Đặt
®
u = ex
dv = f0(x) dx ⇒
®
du = exdx
v = f (x)
Suy ra I =
Z
f0(x) · exdx = f (x) · ex−
Z
f (x) · exdx = cos x − sin x + C
Chọn phương án A
Câu 23 Cho hàm số f (x) liên tục trên R Biết sin 3x là một nguyên hàm của hàm số f (x)ex, họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f0(x)ex là
A 3 cos 3x − sin 3x + C B −3 cos 3x − sin 3x + C.
C −3 cos 3x + sin 3x + C D 3 cos 3x + sin 3x + C
Lời giải.
Ta có sin 3x là một nguyên hàm của hàm số f (x)ex nên ta có
(sin 3x)0= f (x) · ex⇔ 3 cos 3x = f (x) · ex Tính I =
Z
f0(x) · exdx
Đặt
®
u = ex
dv = f0(x) dx ⇒
®
du = exdx
v = f (x)
Suy ra I =
Z
f0(x) · exdx = f (x) · ex−
Z
f (x) · exdx = 3 cos 3x − sin 3x + C
Chọn phương án A
Câu 24 Cho hàm số f (x) liên tục trên R Biết ln x là một nguyên hàm của hàm số f (x)
x3 , họ tất
cả các nguyên hàm của hàm số f0(x) ln x là
A x2ln x −x
2
2 + C B x2ln x + x
2
2 + C C x2ln x − x + C D −x2ln x − x
2
2 + C Lời giải.
Ta có ln x là một nguyên hàm của hàm số f (x)
x3 nên ta có
(ln x)0= f (x)
x3 ⇔ 1
x =
f (x)
x3 ⇔ f (x) = x2 Tính I =
Z
f0(x) ln x dx
Đặt
®
u = ln x
dv = f0(x) dx ⇒
du = 1
xdx
v = f (x)
Suy ra I =
Z
f0(x) · ln x dx = f (x) · ln x −
Z
f (x)
x dx = x
2ln x −
Z
x dx = x2ln x −x
2
2 + C
Chọn phương án A
Câu 25 Cho hàm số f (x) liên tục trên R Biết ln x là một nguyên hàm của hàm số f (x)
x2 , họ tất
cả các nguyên hàm của hàm số f0(x) ln x là
... data-page="2">Ví dụ Cho hàm sốf (x)liên tục R Biết cos 2xlà nguyên hàm hàm sốf (x)·ex,
họ tất nguyên hàm hàm số f (x) · ex... dụng phương pháp nguyên hàm phần.
b) HƯỚNG GIẢI:
Bước 1: Dựa giả thuyết cos 2x là nguyên hàm hàm số f (x) · ex ta tìm hàm số f (x)... phương án C
Câu Cho hàm số f (x) liên tục R Biết sin 3x là nguyên hàm hàm số f (x) · ex, họ tất nguyên hàm hàm số f0(x) · ex
