Bài giảng Giải tích 12 - Bài tập: Nguyên hàm

Bài giảng Giải tích 12 - Bài tập: Nguyên hàm với mục đích củng cố kiến thức cho các em học sinh về phương pháp đổi biến số; phương pháp tính nguyên hàm từng phần. Đây là tài liệu tham khảo hữu ích hỗ trợ cho quá trình học tập và giảng dạy của giáo viên và học sinh; mời các bạn cùng tham khảo.

Giáo viên thực hiện : Nguyễn Giang Nam

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI BÌNH

TRƯỜNG THPT PHỤ DỰC

Bài 1: Tính

2

1.

1

A Phương pháp đổi biến số

2 cos xsin x dx

2

2 ln ln

3.   x x xdx

Bài giải

1 Ta có :

2 2

 x dx x x x dx

1

1 ( 1) 2

x dx  x  d x 

3

3 1 ( 2 1)2

3

3 2

2



C

3

2 3

1 ( 1)

3 3

Bài 1: Tính

2

1.

1

A Phương pháp đổi biến số

2 cos xsin x dx

2

2 ln ln

3.   x x xdx

Bài giải

2 Ta có :

cos sin  cos sin sin

 x x dx  x x xdx

cos (1 cos ) (cos ) (cos cos ) (cos ) cos





C

Cách 1

Cách 2

cos sin  cos sin cos

sin (1 sin ) (sin ) (sin 2sin sin ) (sin ) sin sin sin





C

Tổng quát hóa

2 1

cos sin 

 m x n x dx

2 1

cos  sin

 m x n x dx

( ,m n N*)

Bài 1: Tính

2

1.

1

A Phương pháp đổi biến số

2 cos xsin x dx

2

2 ln ln

3.   x x xdx

Bài giải

3 Ta có :

2 ln

x

Đặt : Khi đó, nguyên hàm cần tính trở thành

 tdt t dt t C t C

Thay t   2 ln 2 x vào kết quả, ta được :

2

2 3

2 ln ln 2

(2 ln ) 3



 x x xdx x C

A Phương pháp đổi biến số

5

2

(1 )

x dx x

Bài 2: Tính

3

( 1) 1





 x x dx

Bài giải

1 Ta có :

3

2

2 3

3

1 (

1

3 1

3

3 1)





   

 





x

t

dx t dt

Đặt :

Khi đó, nguyên hàm cần tính trở thành

3

5

2

1

3 1

3 5





t

t dt t t dt t

t

t C

Thay t  3 3x  1 vào kết quả, ta được :

3

(3 1) (3 1)

3 1





Bài 1: Tính

A Phương pháp đổi biến số

5

2

(1 )

x dx x

Bài 2: Tính

3

( 1) 1





 x x dx

Bài giải

2 Ta có :

1

1

  

 

 

x

x

t

d dt

t

Đặt :

Khi đó, nguyên hàm cần tính trở thành

4

5 5

5 5

1

( )

(1 )

1 ( 1) 1

ln 1











dt t dt

t t

d t

t

Thay t 1

x vào kết quả, ta được :

5

(1 )  

dx

Bài 1: Tính

B PP tính nguyên hàm từng phần

1.x(cos x sin x dx)

2

2  x ln x dx

3

4 sin x dx

2

3 e x sin cosx x dx

Bài giải

1 Ta có :

2

cos sin (cos sin ) 2sin cos

1 sin 2 1 (1 cos4 )

x

(cos sin ) cos4

x x x dx xdx x xdx

cos 4

4 sin 4 1

sin 4 1

cos 4 '











du dx

u x

x

dv x dx v

x x

x x dx xdx

x x

x C

Bài 1: Tính

B PP tính nguyên hàm từng phần

1.x(cos x sin x dx)

2

2  x ln x dx

3

4 sin x dx

2

3 e x sin cosx x dx

Bài giải

2 Ta có :

2

2 2 2

2ln ln

2 ln

2







 







x

du dx

dv x dx x

v

x x

x x dx x xdx

Vậy

- Đặt

2

2

1 ln

2

ln 1

ln

ln

'















du dx

u x x

dv x dx x

v

x x

x x dx xdx

x x x

C

Bài 1: Tính

B PP tính nguyên hàm từng phần

Bài giải

3 Ta có :

2

2

2

2

sin sin

2 sin

2 sin

sin

2sin cos cos

1 cos sin 2

cos

2





 







x x

x

x

x

du x x dx

u x

v e

dv e x x dx

x e

e x x dx e x xdx

x e

e C

Vậy

2

sin cos



x

e x x dx e C

Bài 1: Tính

B PP tính nguyên hàm từng phần

1.x(cos x sin x dx)

2

2  x ln x dx

3

4 sin x dx

2

3 e x sin cosx x dx

Bài giải

4 Ta có :

- Đặt t 3 x  x t 3  dx 3t dt2

- Đặt

- Khi đó, nguyên hàm cần tính trở thành

2

3 sin

t t dt

2

6 3

cos sin

3 sin 3 cos 6 cos











du tdt

u t

v t

dv t dt

t t dt t t t tdt

- Đặt

cos sin sin sin cos '



u t du dt

dv t dt v t

t t dt t t tdt

t t t C

Thay t 3 x ta được sin 3 x dx  33 x2 cos3 x 63 x cos 3 x 6cos 3 x C

D Bài tập về nhà: Tính các nguyên hàm sau :

2



2

1

2 3

4.

1 

e

7 x(cos x sin x dx)

2 6

sin

cos

 x x dx

1

sin cos

2

cos

 x x dx

1

cos cos( )

4





4sin 3cos

sin 2cos





 x x x x dx

2

ln

9 ( x x) dx

2

2

( 2)



x

x e

dx x