Bài giảng Giải tích 12 - Bài tập: Nguyên hàm với mục đích củng cố kiến thức cho các em học sinh về phương pháp đổi biến số; phương pháp tính nguyên hàm từng phần. Đây là tài liệu tham khảo hữu ích hỗ trợ cho quá trình học tập và giảng dạy của giáo viên và học sinh; mời các bạn cùng tham khảo.
Trang 1Giáo viên th c hi n : Nguy n Giang Nam ự ệ ễ
TRƯỜNG THPT PHỤ DỰC
Trang 22
1.
1
x dx
A. Ph ươ ng pháp đ i bi n ổ ế
số
2 cos xsin x dx
2
2 ln ln
3 + x xdx
x
Bài gi iả
1. Ta có :
2 2
1 = + − + −
x x
( ) 1
2 1 2 1 2 ( 2 1)
2
= �x dx + �x − d x −
3
3 1 (. 2 1)2
3
3 2
2
−
= x + x + C
3
2 3
1 ( 1)
3 3
= x + x − + C
Trang 32
1.
1
x dx
A. Ph ng pháp đ i bi n
số
2 cos xsin x dx
2
2 ln ln
3 + x xdx
x
2. Ta có :
cos sin = cos sin sin
� x x dx � x x xdx
cos (1 cos ) (cos ) (cos cos ) (cos ) cos
= − −
x cox x C
Cách 1
Cách 2
cos sin = cos sin cos
sin (1 sin ) (sin ) (sin 2sin sin ) (sin ) sin sin sin
T ng quát hóaổ
2 1 cosm xsin n+ x dx
2 1 cos m+ xsinn x dx
( ,m n N*)
Trang 42
1.
1
x dx
A. Ph ươ ng pháp đ i bi n ổ ế
số
2 cos xsin x dx
2
2 ln ln
3 + x xdx
x
Bài gi iả
3. Ta có :
2 ln
x
Đ t :ặ Khi đó, nguyên hàm c n tính tr thành ầ ở
�tdt �t dt t C t C
Thay t = + 2 ln 2 x vào k t qu , ta đế ả ược
:
2
2 3
2 ln ln 2 (2 ln )
3
x
Trang 5A. Ph ng pháp đ i bi n
số
5
2
(1+ )
dx
Bài 2: Tính
3
( 1) 1
3 1
+ +
x dx x
1. Ta có :
3
2
2 3
3
1 (
1
3 1
3
3 1)
−
=
=
+
x
t
dx t dt
Đ t :ặ
Khi đó, nguyên hàm c n tính tr thành ầ ở
3
5
2
1 1
1
3
1( )
3 5
− +
t
t dt t t dt t
t t C
Thay t = 3 3x + 1 vào k t qu , ta đế ả ược
:
3
( 1) 1 (3 1) 1 (3 1)
3 1
+
x
Trang 6A. Ph ươ ng pháp đ i bi n ổ ế
số
5
2
(1+ )
dx
Bài 2: Tính
3
( 1) 1
3 1
+ +
x dx x
Bài gi iả
2. Ta có :
1
1
= −
= −
x
x
t
d dt
t
Đ t :ặ
Khi đó, nguyên hàm c n tính tr thành ầ ở
4
2 5 5
5
5 5
1 ( )
1 ( 1) 1
ln 1
+ +
+
+
� dt t �t t dt
t t
d t
t
Thay t = 1
x vào k t qu , ta đế ả ược :
5
+
dx
C
(1 ) >
+ n
dx
Trang 7B. PP tính nguyên hàm t ng ph n
1 x(cos x + sin x dx)
2
2 x ln x dx
3
4 sin x dx
2
3 e x sin cosx x dx
1. Ta có :
2
cos sin (cos sin ) 2sin cos
1 sin 2 1 (1 cos4 )
= − = − − = +
x
Do đó (cos4 sin ).4 3 1 cos4
cos 4
4
=
=
du dx
x
x C
V y ậ (cos4 sin4 ). 3 2 1 sin 4 1 cos 4
Trang 8B. PP tính nguyên hàm t ng ph n ừ ầ
1 x(cos x + sin x dx)
2
2 x ln x dx
3
4 sin x dx
2
3 e x sin cosx x dx
Bài gi iả
2. Ta có :
Đ t ặ 2
2
2
2ln ln
2 ln
2
=
=
x
V y ậ
2
1 ln
2
ln
=
=
=
v
2 2 2 2
ln
Trang 9B. PP tính nguyên hàm t ng ph n
Bài gi iả
3. Ta có :
2
2
2
2
sin sin
sin
2sin cos cos
1
cos
2
= −
=
=
=
x x
x
x
x
x e
V y ậ
2
Trang 10B. PP tính nguyên hàm t ng ph n ừ ầ
1 x(cos x + sin x dx)
2
2 x ln x dx
3
4 sin x dx
2
3 e x sin cosx x dx
Bài gi iả
4. Ta có :
Đ t ặ t = 3 x x t= 3 dx = 3t dt2
Đ t ặ
Khi đó, nguyên hàm c n tính tr thành ầ ở
2
3 sin t t dt
2
6
3
cos sin
=
=
du tdt
Đ t ặ
Thay t = 3 x ta được sin 3 x dx = −33 x2 cos 3 x + 63 x cos 3 x + 6cos 3 x C+
Trang 11D Bài t p v nhà: ậ ề Tính các nguyên hàm sau :
2
2 3
4 5
+
2
1
(2 x − 1) (4 x − 5) dx
2 3
3 3 3
3 2
4.
1 + x
dx e
7 x(cos x + sin x dx)
2 6
sin
cos
x dx x
1
sin xcos x dx
2
cos
x dx x
1
cos cos( )
4
π
+ dx
4sin 3cos
sin 2cos
+ +
2
ln
9 ( x) dx
x
2
2
( + 2)
x
x e
dx x