Đề 1 TP THUDUC DEHSG TOAN9 22 23

8 điểm Cho đường tròn O có đường kính AB.. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By của đường tròn O, trên đường tròn O lấy một điểm E sao cho AE < EB E khác A.. Tiếp tuyến tại E của đường tròn O cắt A

ỦY BAN NHÂN DÂN

THÀNH PHỐ THỦ ĐỨC

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi có 01 trang)

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2022 - 2023 Môn thi: TOÁN – Ngày thi 24/09/2022 Thời gian làm bài: 120 phút

(Không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (4 điểm) Rút gọn

a) A 20 8 3 20 8 3 4 3 4 3

5 2 3 5 2 3 4 3 4 3

     với x; y > 0 và x  y

Câu 2 (4 điểm)

a) Giải phương trình: x 1   x3 x2    x 1 1 x4 1

b) Giải hệ phương trình:

2

2

4











Câu 3 (3 điểm)

a) Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 2022

xy  2022z  yz  2022x  zx  2022y  2

Dấu “=” xảy ra khi nào?

b) Cho x = 4  10 2 5   4  10 2 5  Tính giá trị của A = x2 + 2x + 2

Câu 4 (8 điểm) Cho đường tròn (O) có đường kính AB Vẽ các tiếp tuyến Ax, By

của đường tròn (O), trên đường tròn (O) lấy một điểm E sao cho AE < EB (E khác A) Tiếp tuyến tại E của đường tròn (O) cắt Ax và By lần lượt tại C, D Kẻ EF AB tại

F, EF cắt CB tại I, BE cắt Ax tại K

a) Chứng minh: AF.AB = KE.EB và I là trung điểm của EF.

b) Đường thẳng CD cắt đường thẳng AB tại S

Chứng minh:  AFC  BFD và SC.ED = SD.EC c) EA cắt CF tại M EB cắt DF tại N Chứng minh M, I, N thẳng hàng

Câu 5 (1 điểm) Cho  ABC vuông tại A, có đường cao AH = 8cm, trung tuyến AM Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi  ABC

-Hết -

(Thí sinh không sử dụng tài liệu, Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)

Họ và tên thí sinh:………Số báo danh:………

HƯỚNG DẪN CHẤM

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 – MÔN TOÁN – NĂM HỌC 2022 – 2023

ĐỀ 1

điểm

20 8 3 20 8 3 4 3 4 3

5 2 3 5 2 3 4 3 4 3

2 5 2 3 5 2 3 4 3 4 3

=

10 2 13 8 2 13 2 3

3



  

1,0

0,5x2

1b

với x, y > 0 và x  y

Rút gọn B

x ( x y ) 2 xy x ( x y ) x ( x y )

=

x ( x y ) 2 xy x ( x y )( x y )

x ( x y ) 2 xy x ( x y)( x y )

x

x ( x y ) x ( x y ) x ( x y ) x

0,5

0,5

0,5x2

Câu

2a

Giải phương trình: x 1  x3x2   x 1 1 x4 1

ĐKXĐ: x1

x 1 x x x 1 1 x 1

x 1 x x x 1 1 (x 1)(x 1)

x 1 x x x 1 1 (x 1)(x 1)(x 1)

x 1 x x x 1 1 (x 1)(x x x 1)

       

3 2

(x 1)(x x x 1) x x x 1 x 1 1 0

x x x 1( x 1 1) ( x 1 1) 0

3 2 ( x 1 1)( x x x 1 1) 0

x 1 1 0 (do x 1 x x x 1 1 0)

 x = 2

0,25

0,5

0,5 0,25

0,5

Câu

2b

ĐKXĐ: x; y; z  0

Ta có



2

(= 12

z )

0,25

0,5

2 2

2 2





z   x  y         2

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x; y; z) = 1 1 1

; ;



0,5

0,5

0,25

Câu

3a

a) Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 2022

xy 2022z  yz2022x zx2022y 2 Dấu “=” xảy ra khi nào?

Ta có: xy + 2022z = xy + (x + y + z)z = xy + xz + yz + z2 = … = (x + z)(y + z)

Tương tự  yz + 2022x = (x + y)(x + z) và zx + 2022y = (x + y)(y +z)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

xy 2022z (x z)(y z) x z y z 2 x z y z

yz 2022x 2 x y x z

zx 1 x z

zx 2022y 2 x y y z

     (3) Từ (1), (2), (3)

.3

xy 2022z yz 2022x zx 2022y 2 x z y z x y 2 2

Dấu “=” xảy ra khi

x z y z

xy xz xy yz xz yz x y

xy yz xz yz xy xz y z x y z

x y x z xy xz xz yz xy yz x z

x y y z













Mà x + y + z = 2022  x = y = z = 674

0,25 0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

Câu

3b

Cho x = 4 10 2 5  4 10 2 5 Tính giá trị của A = x2 + 2x + 2

Ta có 4 10 2 5  4 10 2 5   x 0

2 2

x  4 10 2 5  4 10 2 5 

 4 10 2 5 2 4 10 2 5 4 10 2 5  4 10 2 5

 8 2 1610 2 5  8 2 6 2 5  8 2  5 1 2  8 2 5 1  6 2 5

 5 1 2x 5 1 ( vì x > 0) Vậy A = x2 + 2x + 2 = 6

0,25 0,25 0,25

0,25x3

Câu

4a

Chứng minh: AF.AB = KE.EB và I là trung điểm của EF

ABE nội tiếp đường tròn (O) có AB là đường kính  ABE vuông tại E

ABE vuông tại E có đường cao EF AF.AB = AE2 (Hệ thức lượng)

ABK vuông tại A có đường cao AE KE.EB = AE2 (Hệ thức lượng)

Vậy AF.AB = KE.EB (= AE2)

Ta có CA = CE (t/c 2 tt cắt nhau), OA = OE (bán kính) CO là đường trung trực của AE

  mà AE  BK OC // BK,

lại có O là trung điểm của AB C là trung điểm của AK (định lý 1 - đường trung bình)

EF // AK EI BI IF

CK BC AC

   (Hệ qủa Thales)

mà CK = AC (C là trung điểm AK) EI = IF

0,5 0,5 0,5

0,5 0,5 0,5

Câu

4b

Chứng minh: AFC BFD và SC.ED = SD.EC

Ta có EF // BD // AC CE CI AF

   (Thales)

Mà CE = CA và DE = DB (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)

  và CAF FBD 90   0

 AFC BFD (cgc)

 AFC   BFD (góc t/ư)

CFE EFD

  (phụ với 2 góc = nhau)  FE là tia phân giác góc CFD EC CF

ED DF

Có SF  EF SF là phân giác ngoài của  CFD SC CF SC EC

SD DF SD ED

SC EC

SC.ED SD.EC

SD ED

   

0,5

0,5 0,5

0,5 0,5 0,5

Câu

4c

Chứng minh: M, I, N thẳng hàng

* Tia IM cắt AC tại P Tia IN cắt BD tại Q

CP / /IF (Thales)

IF MI

PC PA

PA / /IE (Thales)

IE MI









P là trung điểm của AC

* C/m tương tự Q là trung điểm của BD

IE / /BD

     và PCI QBI    (so le trong) Vậy PCI∽QBI cgc PICQIB

P, I, Q thẳng hàng  M, I, N thẳng hàng

0,5

0,5 0,5 0,5

Q

P

S

N

M I

F

D

E K

C

B

Câu

5

 ABC vuông tại A, đường cao AH, trung tuyến AM

 AB.AC =AH.BC (hệ thức lượng)

Ta có AM  AH (quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc) dấu “=” khi H  M

 BC = 2AM2AH2.8 16

Chu vi  ABC bằng P = AB + AC + BC

Mà AB + AC 2 AB.AC2 AH.BC2 8.2AM2 8.2.8 16 2

Do đó P = AB + AC + BC  16 + 16 2(cm) Dấu “=” xảy ra khi AB = AC và H  M

Vậy GTNN của chu vi  ABC bằng 16 + 16 2 (cm) khi  ABC vuông cân tại A 1

Học sinh có cách giải khác chính xác, giám khảo cho trọn điểm

8 cm

B

A