Chủ đề 1. Hàm số lượng giác

Tài liệu hệ thống kến thức cơ bản, phân dạng bài tập chủ đề Hàm số lượng giác. Phương trình lượng giác thuộc chương trình Đại số 11: Các hàm số lượng giác cơ bản; Phương trình lượng giác cơ bản; phương trình lượng giác thường gặp.

CHỦ ĐỀ 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

§0 ÔN TẬP

A LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa các giá trị lượng giác

cos

sin

tan

' cot









Nhận xét:

   a, 1 cosa 1; 1 sin     1

 tana xác định khi ,

2

a  k k Z 

,

 cota xác định khi a k k Z , 

2 Hệ thức cơ bản:

sin2a + cos2a = 1; tana.cota = 1

3 Cung liên kết:

Cung đối nhau Cung bù nhau Cung phụ nhau









cosin

O

cotang

M

Q

B T'

a

T

4 Bảng giá trị lƣợng giác của các góc (cung) đặc biệt

5 Công thức cộng

6 Công thức nhân đôi:

sin2a = 2sina.cosa

cos2a  cos asin a 2cos a  1 1 2sin a

2 2

2cot

1 tan

a a





7 Công thức hạ bậc: 8 Công thức nhân ba:

9 Công thức biểu diễn sina, cosa, tana theo t = tan

2

a

:

2

a

t  a  k thì: sin 2 2

1

t a

t



 ;

2 2

1 cos

1

t a

t





2 tan

1

t a

t





0

00 300 450 600 900 1200 1350 1800 2700 3600

Hệ quả:

10 Công thức biến đổi tổng thành tích:

sin sin 2sin cos

sin sin 2cos sin

a b a b

a b a b

sin( ) tan tan

cos cos

a b



sin( ) tan tan

cos cos

a b



sin( ) cot cot

sin sin

a b



sin( ) cot cot

sin

b a

a sinb



a a  a  a 

a a a   a 

11 Công thức biến đổi tích thành tổng:

1

2 1

2 1

2

§1 HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC Vấn đề 1: TẬP XÁC ĐỊNH, TẬP GIÁ TRỊ, TÍNH CHẴN – LẺ, CHU KỲ

sin

y  x : Tập xác định D = R; tập giá trị T    1, 1 ; hàm lẻ, chu kỳ T0 2

* y = sin(ax + b) có chu kỳ T0 2

a

 

* y = sin(f(x)) xác định  f x( ) xác định

cos

y  x : Tập xác định D = R; Tập giá trị T    1, 1 ; hàm chẵn, chu kỳ T0 2

* y = cos(ax + b) có chu kỳ T0 2

a

 

* y = cos(f(x)) xác định  f x( ) xác định

tan

2

D R  k k Z 

 

; tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ T0 

* y = tan(ax + b) có chu kỳ T0

a

 

* y = tan(f(x)) xác định  f x( ) ( )

     cot

y  x : Tập xác địnhD  R k k Z\ ,  ; tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ T0 

* y = cot(ax + b) có chu kỳ T0

a

 

* y = cot(f(x)) xác định  f x( )  k (k Z )

* y = f1(x) có chu kỳ T1 ; y = f2(x) có chu kỳ T2

Thì hàm số y  f x1( ) f x2( ) có chu kỳ T0 là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2

B BÀI TẬP

1 Tìm tập xác định và tập giá trị của các hàm số sau:

a/ sin 2

1

x y

x



  b/ y  sinx c/ y  2 sin x

d/ y  1 cos 2x e/ tan

6

y  x 



f/ cot

3

y  x 



2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a/ y = 2sin 1

4

x

 b/ y  2 cosx 1 3 c/ y sinx d/ y  4sin2x4sinx3 e/ y cos2x2sinx2 f/ y sin4x2cos2x1

3 Xét tính chẵn – lẻ của hàm số:

a/ y = sin2x b/ y = 2sinx + 3 c/ y = sinx + cosx d/ y = tanx + cotx e/ y = sin4x f/ y = sinx.cosx

4 Tìm chu kỳ của hàm số:

3

x

y  c/ y sin2x

d/ sin2 cos

2

x

ĐS: a/  b/ 6 c/  d/ 4 e/  f/ 70 g/ h/

4

 i/

3



Vấn đề 2 Đồ thị hàm số lƣợng giác

1/ Vẽ đồ thị hàm số lƣợng giác:

– Tìm tập xác định D

– Tìm chu kỳ T0 của hàm số

– Xác định tính chẵn – lẻ (nếu cần)

– Lập bảng biến thiên trên một đoạn có độ dài bằng chu kỳ T0 có thể chọn:

0

0,

x   T   hoặc 0, 0

2 2

T T

x  

  – Vẽ đồ thị trên đoạn có độ dài bằng chu kỳ

– Rồi suy ra phần đồ thị còn lại bằng phép tịnh tiến theo véc tơ v k T i 0 về bên trái

và phải song song với trục hoành Ox (với i là véc tơ đơn vị trên trục Ox)

2/ Một số phép biến đổi đồ thị:

a/ Từ đồ thị hàm số y = f(x), suy ra đồ thị hàm số y = f(x) + a bằng cách tịnh tiến đồ thị y = f(x) lên trên trục hoành a đơn vị nếu a > 0 và tịnh tiến xuống phía dưới trục hoành a đơn vị nếu a < 0

b/ Từ đồ thị y = f(x), suy ra đồ thị y = –f(x) bằng cách lấy đối xứng đồ thị y = f(x) qua trục hoành

c/ Đồ thị ( ) ( ), neáu f(x) 0

-f(x), neáu f(x) < 0f x

y  f x   

 được suy từ đồ thị y = f(x) bằng cách giữ

nguyên phần đồ thị y = f(x) ở phía trên trục hoành và lấy đối xứng phần đồ thị y = f(x) nằm ở phía dưới trục hoành qua trục hoành

Ví dụ 1: đồ thị hàm số y = f(x) = sinx

– Tập xác định: D = R

– Tập giá trị:  1, 1 

– Chu kỳ: T = 2p

– Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2

– Tịnh tiến theo véctơ v  2 k i ta được đồ thị y = sinx

Nhận xét:

– Đồ thị là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

– Hàm số đồng biến trên khoảng 0,

2



và nghịch biến trên ,

2

 

Ví dụ 2: đồ thị hàm số y = f(x) = cosx

– Tập xác định: D = R

– Tập giá trị:  1, 1 

– Chu kỳ: T = 2p

– Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2:

– Tịnh tiến theo véctơ v  2 k i ta được đồ thị y = cosx

Nhận xét:

– Đồ thị là một hàm số chẵn nên nhận trục tung Oy làm trục đối xứng

– Hàm số nghịch biến trên khoảng 0,

2



và nghịch biến trên khoảng , 3 .

2





1

y = sinx

–1

y

x

1

y = cosx

–1

y

x

y

1

0

–1

–1

0

§2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

A LÝ THUYẾT

1 Phương trình sinx = sina

2

           

b/

arcsin 2

x a Ñieàu kieän a

      

c/ sinu   sinv  sinu  sin( ) v

d/ sin cos sin sin

2

u  v  u   v



e/ sin cos sin sin

2

u  v  u  v 



Các trường hợp đặc biệt:

sinx  0  x k  (k Z )

2

x   x   k  k Z

2

x    x    k  k Z

2

x    x  x   x   x  k k Z

2 Phương trình cosx = cosa

a/ cosx  cos    x  k2 ( k Z )

cosx x a a Ñieàu kieän x  arccos  a ka 2 ( k Z )

c/ cosu   cosv  cosu  cos(v)

d/ cos sin cos cos

2

u  v  u   v



2

u  v  u   v



Các trường hợp đặc biệt:

2

x   x   k k Z

cosx  1  x k 2 ( k Z ) cosx    1 x   k2 ( k Z )

cosx   1 cos x 1 sin x  0 sinx  0  x k  (k Z )

3 Phương trình tanx = tana

a/ tanx  tan   x  k (k Z )

b/ tanx  a  x  arctana k k Z (  )

c/ tanu   tanv  tanu  tan( ) v

d/ tan cot tan tan

2

u  v  u   v



e/ tan cot tan tan

2

u  v  u   v



Các trường hợp đặc biệt:

4

x    x    k k Z

4 Phương trình cotx = cota

cotx  cot   x  k (k Z )

cotx  a  x  arccota k  (k Z )

Các trường hợp đặc biệt:

2

x   x  k k Z

4

x    x   k k Z

5 Một số điều cần chú ý:

a/ Khi giải phương trình có chứa các hàm số tang, cotang, có mẫu số hoặc chứa căn bậc chẵn, thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định

* Phương trình chứa tanx thì điều kiện: ( )

2

x  k k Z

* Phương trình chứa cotx thì điều kiện: x k  (k Z )

* Phương trình chứa cả tanx và cotx thì điều kiện ( )

2

x k  k Z

* Phương trình có mẫu số:

 sinx  0  x k  (k Z )

2

x   x  k k Z

2

x   x k  k Z

2

x   x k k Z b/ Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra điều kiện Ta thường dùng một trong các cách sau để kiểm tra điều kiện:

1 Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện

2 Dùng đường tròn lượng giác

3 Giải các phương trình vô định

B BÀI TẬP

1 Giải các phương trình:

6

x



3

x





3

x



2 4

x





7) sin 3 1 1

2

x  8) cos 150 2

2

x

  





11) tan 2 x 1 3 12) cot 3 100 3

3

x 

6

x

   



14) cot 2 1

3

x

 15) cos(2x + 250) = 2

2



§3 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

A LÝ THUYẾT

3.1 Phương trình đưa về phương trình bậc hai

Nếu đặt: tsin2x hoặc t sinx thì điều kiện: 0  t 1

B BÀI TẬP

1 Giải các phương trình sau:

1) 2sin2x + 5cosx + 1 = 0 2) 4sin2x – 4cosx – 1 = 0

3) 4cos5x.sinx – 4sin5x.cosx = sin24x 4) tan2x 1 3 tan x 3 0 5) 4sin2x2 3 1 sin   x 3 0 6) 4cos3x 3 2 sin2x 8cosx

7) tan2x + cot2x = 2 8) cot22x – 4cot2x + 3 = 0

2 Giải các phương trình sau:

1) 4sin23x + 2 3 1 cos3   x 3 = 4 2) cos2x + 9cosx + 5 = 0

3) 4cos2(2 – 6x) + 16cos2(1 – 3x) = 13 4) 12 3 3 tan 3 3 0

5) 3

cos x + tan

2

1 tan x = 0 7) 12

1

cos x + 3cot

2x = 5

9) cos2x – 3cosx = 4cos2

2

x

10) 2cos2x + tanx = 4

5

§3 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP(Tiếp)

t = sinx

t = cosx

t = tanx

t = cotx

A LÝ THUYẾT

3.2 Phương trình asinxbcosxc

Cách 1:

 Chia hai vế phương trình cho a2b2 ta được:

(1) 

2a 2 sinx 2b 2 cosx 2c 2

a b  a b  a b

 Đặt: sin 2a 2 , cos 2b 2  0, 2 

phương trình trở thành:

2 2

sin sinx cos cosx c

a b



2 2

a b



 Điều kiện để phương trình có nghiệm là:

2c 2 1 a b c

a b    

 (2)    x   k2 (k Z )

Cách 2:

2 2

x

x   k     k

có là nghiệm hay không?

2

x

x  k   

Đặt: tan , sin 2 2, cos 1 22,



  ta được phương trình bậc hai theo t:

2 (b c t ) 2at c b   0 (3)

Vì x  k2   b c 0, nên (3) có nghiệm khi:

' a (c b ) 0  a b  c

 Giải (3), với mỗi nghiệm t0, ta có phương trình: tan 0

2

x t

Ghi chú:

1/ Cách 2 thường dùng để giải và biện luận

2/ Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình có nghiệm:

2 2 2

a b  c

3/ Bất đẳng thức B.C.S:

y  a x b x  a b x x  a b

B BÀI TẬP

1 Giải các phương trình sau:

1) cosx 3sinx 2 2) sin cos 6

2

4) sinx cosx 2 sin5x 5)  3 1 sin  x 3 1 cos  x 3 1 0 

2

x   x



2 Giải các phương trình sau:

1) 2sin2x 3sin2x 3 2) sin8xcos6x 3 sin6 xcos8x

sin cos

x

3

x  x



5) sin5x + cos5x = 2cos13x 6) (3cosx – 4sinx – 6)2 + 2 = – 3(3cosx – 4sinx – 6)

3 Giải các phương trình sau:

1) 3sinx – 2cosx = 2 2) 3cosx + 4sinx – 3 = 0

3) cosx + 4sinx = –1 4) 2sinx – 5cosx = 5

§3 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP (tiếp)

A LÝ THUYẾT

3.2 Phương trình asin2xbsin cosx xccos2xd

Cách 1:

 Kiểm tra cosx = 0 có thoả mãn hay không?

Lưu y: cosx = 0 sin2 1 sin 1

2

       

 Khi cosx  0, chia hai vế phương trình (1) cho cos2x 0 ta được:

a x b x c d   x

 Đặt: t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t:

2 (a d t ) b t c d    0

Cách 2: Dùng công thức hạ bậc

      (đây là phương trình bậc nhất đối với sin2x

B BÀI TẬP

1 Giải các phương trình sau:

1) 2sin2x 1 3 sin cos x x 1 3 cos 2x1

2) 3sin2x8sin cosx x8 3 9 cos  2x0

3) 4sin2x 3 3sin cosx x 2cos2x 4

4) sin2 sin2 2cos2 1

2

x x x

5) 2sin2x3 3 sin cos x x 3 1 cos  2x 1

6) 5sin2x 2 3sin cosx x 3cos2x 2

7) 3sin2x 8sin cosx x 4cos2x 0

8)  2 1 sin  2xsin2x 2 1 cos  2x 2

9)  3 1 sin  2x2 3 sin cosx x 3 1 cos  2x0

10) 3cos4x 4sin2xcos2x sin4x 0

11) cos2x + 3sin2x + 2 3sinx.cosx – 1 = 0

12) 2cos2x – 3sinx.cosx + sin2x = 0

2 Giải các phương trình sau:

1) sin3x + 2sin2x.cos2x – 3cos3x = 0 2) 3 sin cos sin2 2 1

2

3 Tìm m để phương trình : (m + 1)sin2x – sin2x + 2cos2x = 1 có nghiệm

§3 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP (tiếp)

A LÝ THUYẾT

3.3 Phương trình khác

Dạng 1: a.(sinx  cosx) + b.sinx.cosx + c = 0

4

t  x  x  x  t 



2 1 2sin cos sin cos 1( 2 1).

2

 Thay vào phương trình đã cho, ta được phương trình bậc hai theo t Giải phương trình này tìm t thỏa t  2 Suy ra x

Lưu ý dấu:

x x  x   x 

x x  x    x 

Dạng 2: a.|sinx  cosx| + b.sinx.cosx + c = 0

4

t  x  x  x  Ñk  t

 2

1

2

 Tương tự dạng trên Khi tìm x cần lưu ý phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

B BÀI TẬP

1 Giải các phương trình:

1) 2sin2x3 3 sin xcosx 8 0 2) 2 sin xcosx3sin2x2

3) 3 sin xcosx2sin2x 3 4) 1 2 1 sin  xcosxsin2x

5) sinx + cosx – 4sinx.cosx – 1 = 0 6) 1 2 sin xcosxsin2x 1 2

2 Giải các phương trình:

1) sin2x4 cos xsinx4 2) 5sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = 0

3) 1 2 1 sin  xcosxsin2x 4) cosx – sinx + 3sin2x – 1 = 0

3 Giải các phương trình sau:

1) sin2x = sin23x 2) sin2x + sin22x + sin23x = 3

2 3) cos2x + cos22x + cos23x = 1 4) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 3

2

4 Giải các phương trình sau:

1) sinx + sin3x + sin5x = 0 2) cos7x + sin8x = cos3x – sin2x

3) cos2x – cos8x + cos6x = 1 4) sin7x + cos22x = sin22x + sinx