Chủ đề 2. HÀM SỐ LŨY THỪA. HÀM SỐ MŨ. HÀM SỐ LOGARIT

Tài liệu hệ thông kiến thức cơ bản, phân dạng bài tập về Chủ đề Hàm số lũy thừa; Hàm số mũ; Hàm số logarít; Phương trình Mũ; phương trình logarits; Bất phương trình mũ; Bất phương trình logarits. Chia dạng bài tập cụ thể

CHỦ ĐỀ 2:

HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ LOGARIT

Email: tieutue@gmail.com SĐT: 0815699451

Website: lehai88.blogspot.com

Facebook: https://www.facebook.com/thaylequanghai/

CHỦ ĐỀ 2: HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ LOGARIT

§1 LŨY THỪA

A LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa luỹ thừa

a

*

a a a a a (n thừa số a)

0

1

  

*

n

a

*

*

2 Tính chất của luỹ thừa

 Với mọi a > 0, b > 0 ta có:

.



 

 a > 1 : a a   ; 0 < a < 1 : a a   

 Với 0 < a < b ta có:

0

Chú ý:

+ Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0 + Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương

3 Định nghĩa và tính chất của căn thức

 Căn bậc n của a là số b sao cho n 

b a

 Với a, b  0, m, n  N*, p, q  Z ta có:

.



n

b

b b ; n a p  n a p(a0); m n mn

Nếu p  q n p m q ( 0)

 Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì n n

Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì n n

Chú ý:

+ Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n Kí hiệu n

a + Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau

B BÀI TẬP

Bài 1.Thực hiện các phép tính sau::

a)  3 7 3 2 2   7

        

   

2

3 15 8

9 5 6



B

c)

2

3

3

2

4 8

 

18 2 50

25 4 27



 

6

4 2 3

125 16 2

25 5



  

F

Bài 2 Đơn giản các biểu thức sau:

a)

1,5 1,5

0,5 0,5

0,5 0,5 0,5

0,5 0,5

2

a b

b



1

2 1

2











        

a b c bc

1

2 1

a

e)  1 2  2 1 2 4

3  3 3  3 3  3

4  4 4  4 2  2

Bài 3 So sánh các cặp số sau:

a)   2   2

0, 01  va 10  b)

va

5 va 5

d) 300 200

0, 001  va 100 f) 2   2

4 va 0,125 

g)   3   5

2  va 2  h)



 

0, 02 va 50

Bài 4 So sánh hai số m, n nếu:

a) 3, 2m 3, 2n

   

   

   



e)  5 1  m 5 1 n f)  2 1   m  2 1  n

Bài 5 Giải các phương trình sau:

a) 5

4x  1024

b)

1



  

 

 

x

c) 1 3 1

8

32

 x 

3 3

9



 

   

x x



    

   

   

f)

2 5 6

3

1 2

 

 

 

x x

g) 1 2 8 0, 25

.32



  

x x

h) 0, 2x  0, 008 i)

   

k) 5 2x x  0, 001

l)     1

12 3

6



7 4

28

x x 

Bài 6 Giải các bất phương trình sau:

a) 0,1x 100

0, 04 5

  

 

 

x

c) 0,3 100

9



x

d) 7x2 49  343

e)

2

9



 

 

x

f) 3 1

9 3



x

g)   1

3 3

27



x

27 3

3

 

2 1 64

 

 

x

Bài 7 Giải các phương trình sau:

2x 2x  20

3x 3x  12

5x 5x  30

d) 1 1

4x  4x 4x  84

e) 2

4 x 24.4x 128  0

f) 1 2 1

4x  2 x  48

g) 3.9x 2.9x  5 0

3x x  1

4x 2x  24  0

-=oOo= -

§2 LOGARIT

A LỲ THUYẾT

1 Định nghĩa

 Với a > 0, a  1, b > 0 ta có: loga b  a b

Chú ý:loga b có nghĩa khi 0, 1

0



 



b

 Logarit thập phân: lgb logb log10b

 Logarit tự nhiên (logarit Nepe): lnb loge b (với lim 1  1 2, 718281

n

e

2 Tính chất

log 1a  0; loga a 1; log b 

a a b; loga b  (  0)

 Cho a > 0, a  1, b, c > 0 Khi đó:

+ Nếu a > 1 thì loga b loga c b c

+ Nếu 0 < a < 1 thì loga b loga c b c

3 Các qui tắc tính logarit

Với a > 0, a  1, b, c > 0, ta có:

log (a bc)  loga b loga c log     log log

 

b

4 Đổi cơ số

Với a, b, c > 0 và a, b  1, ta có:

log

b

a

c c

b hay loga b.logb c loga c

log



a

b

b



B BÀI TẬP

Bài 1 Thực hiện các phép tính sau:

4

log 4.log 2 b) log5 1 log 927

25 c) loga 3 a

d) log 32 log 3 2

27  4

1/3

7 1

log log

log

a

a h) log 6.log 9.log 23 8 6 i) 2log 2 4log 5 3 81

k) log 5 3 log 36 9 4log 7 9

5

log 3 log 2

9 4 o) 1 log 4 9 2 log 3 2 log 125 27

3  4   5 p) log 63.log 363

lg(tan1 ) lg(tan 2 ) lg(tan 89 )   

r) log log (log 16) log log (log 64)8 4 2  2 3 4 

Cho a > 0, a  1 Chứng minh: log (a a  1) loga1(a 2)

log log ( 2)



a

=

2

log ( 2) log ( 1)

1

Bài 2 So sánh các cặp số sau:

a) log 4 va log3 41

3 b) 3

log 2 va log 0,34 c) 3 5

log va log

80 và 15  2 e) log 150 13 và log 290 17 f) 6 6

1 log

2 và 3

g) log 107 và log 1311 h) log 32 và log 43 i) log 109 vàlog 1110

HD: d) Chứng minh: 1 1



e) Chứng minh: log 150 2 log 29013   17

7

log 10.log 11 log 13 log 10 log 13

log 11



7

log log log log 11 7.7.13 7 7

h, i) Sử dụng bài 2

Bài 3 Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho:

a) Cho log 142 a Tính log 3249 theo a

b) Cho log 315 a Tính log 1525 theo a

c) Cho lg 3  0, 477 Tính lg 9000; lg 0, 000027;

81

1 log 100 d) Cho log 27 a Tính 1

2

log 28 theo a

Bài 4 Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho:

a) Cho log 725 a;log 52 b Tính 3 5

49 log

8 theo a, b

b) Cho log 330 a;log 530 b Tính log 135030 theo a, b

c) Cho log 714 a; log 514 b Tính log 2835 theo a, b

d) Cho log 32 a; log 53 b; log 27 c Tính log 140 63 theo a, b, c

-=oOo= -

§3 HÀM SỐ LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LOGARIT

A LÝ THUYẾT

1 Khái niệm

a) Hàm số luỹ thừa yx ( là hằng số)

 = n (n nguyên dương)  n

 = n (n nguyên âm hoặc n = 0)  n

 là số thực không nguyên yx D = (0; +)

Chú ý: Hàm số yx1n không đồng nhất với hàm số  n (  *)

b) Hàm số mũ  x

y a (a > 0, a  1)

 Tập xác định: D = R

 Tập giá trị: T = (0; +)

 Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến

 Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang

 Đồ thị:

c) Hàm số logarity loga x (a > 0, a  1)

 Tập xác định: D = (0; +)

 Tập giá trị: T = R

 Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến

 Nhận trục tung làm tiệm cận đứng

 Đồ thị:

0<a<1

y=logax

y

O

a>1

y=logax

1

y

x O

0<a<1

y=ax y

x

1

a>1

y=ax

y

x

1

2 Giới hạn đặc biệt

0

1 lim(1 ) lim 1

x x

0

ln(1 )



 

x

x

0

1



 

x

x

e x

3 Đạo hàm

( 0)

     

    

1

0 1

0







n

n n

với x nếu n chẵn x

với x nếu n lẻ

n x

 

1





 

n

n n

u u

n u

 e x  e x;  e u  e u u 

log

ln

 

a x

ln



 

a

u u

ln x  

x (x > 0); ln  u

u

B BÀI TẬP

Bài 1 Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) 3 2

1

1







x y

2 5 2

2 1

 





y

x

d) y 3sin(2x1) e) 3 2

cot 1

3

3







x y

x

sin 4



9 6

 

2 4 2

1 1

 



 

y

Bài 2 Tính đạo hàm của các hàm số sau:

( 2 ) 

.sin



 x

d)  2x x 2

1 3



 x x

2

2







x x

x x

y

2

 x x

1



 

x

y

cos

Bài 3 Tính đạo hàm của các hàm số sau:

y x x b) y log (cos )2 x c)  x.ln(cos )

(2 1) ln(3 )

1 2

log ( cos )

y x x f) y log (cos )3 x

g) ln(2 1)

2 1







x y

1







x y

-=oOo= -

§3 PHƯƠNG TRÌNH MŨ

A LÝ THUYẾT

1 Phương trình mũ cơ bản: Với a > 0, a  1: 0

log

x

a

b

a    b  x b

2 Một số phương pháp giải phương trình mũ

a) Đưa về cùng cơ số: Với a > 0, a  1:

Chú ý: Trong trường hợp cơ số cĩ chứa ẩn số thì:

( 1)( ) 0

( ) log ( )

f x g x

a

c) Đặt ẩn phụ:

Dạng 1: P a( f x( )) 0  ( ), 0

( ) 0

f x

P t

 , trong đĩ P(t) là đa thức

theo t

Dạng 2: a2 ( )f x ( )ab f x( )b2 ( )f x 0

Chia 2 vế cho 2 ( )f x

b , rồi đặt ẩn phụ

( )

f x

a t b

 

   

Dạng 3: a f x( )b f x( )m, với ab1 Đặt t a f x( ) b f x( ) 1

t

d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)

 Đốn nhận x 0 là một nghiệm của (1)

 Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến của f(x) và g(x) để kết luận x 0 là nghiệm duy nhất:

( ) đồng biến và ( ) nghịch biến (hoặc đồng biến nhưng nghiêm ngặt) ( ) đơn điệu và ( ) hằng số





 Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) thì f u( )  f v( )  u v

e) Đưa về phương trình các phương trình đặc biệt

 Phương trình tích A.B = 0   B A 00

 Phương trình 2 2 0 0

0

A

B

 

    

f) Phương pháp đối lập

Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)

Nếu ta chứng minh được: ( )

( )

( ) ( )



B BÀI TẬP

Bài 1 Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc logarit hoá):

a)93 1x  38 2x b)  2

3 2 2  x   3 2 2

c) 4x2 3 2x  4x2 6 5x  42x2 3 7x  1 d) 52x 7x 5 35 7 35 02x  x 

e)2x21 2x22  3x2  3x21 f) 5x x24 25

g)

2 2

4 3

2

x

x





 



 

   



   

    i) 3 2x x1 72 k) 5x1 6 5 –3 5x x1 52

l)

16 0,125.8

1

x x

x







Bài 2 Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc logarit hoá):

a)

x x

   

2 1 1

5 2 50

x

x x



3 2

3 2 6

x

x x  d) 3 8 2 6

x

4.9x 3 2 x f) 2 2

2x x.3x 1, 5

g) 5 3x x2  1 h) 3 2

2x  3 x i) 3 2x x2 1

Bài 3 Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 1):

a)4x  2x1  8 0 b) 4x1 6.2x1  8 0 c)

3 x  4.3 x  27 0 

d) 16x 17.4x  16 0  e) 49x 7x1  8 0 f) 2x x2  22 x x2  3.

g)   x x

7 4 3   2  3  6 h)4cos2x  4cos2x  3 i) 32 5x  36.3x1  9 0

k) 32x2 2 1x 28.3x x2  9 0 l) 4x229.2x22 8 0 m) 3.52 1x 2.5x10,2

Bài 4 Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 1):

a) 25x 2(3x).5x2x 7 0 b) 3.25x2(3x10).5x2  3 x 0

c) 3.4x (3 10).2x 3 0

e) 4x2x.3 x 31 x 2.3 x x22x6 f) 2 2

3.25x  (3x 10).5x    3 x 0

g) 4 +( –8)2 +12 –2x x x x0 h) (x4).9x  (x 5).3x  1 0

Bài 5 Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 2):

a) 64.9x  84.12x 27.16x  0 b) 3.16x 2.81x 5.36x

6.3 x 13.6x 6.2 x 0 d) 25x 10x  22 1x

8 2 12

27   f) 3.16x 2.81x  5.36x

Bài 6 Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 3):

a)   x x

2 3  2 3  4

c) (2 3)x  (7 4 3)(2 3)x 4(2 3) d)  x  x x 3

5  21  7 5  21  2 

e) 5  24 x  5 24x  10 f) 7 3 5 7 7 3 5 8

Bài 7 Giải các phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu):

3 2  3 2  5

c) 3 2 2   x  3 2 2x  6x d) 3  5x 16 3  5x  2x 3

   

 

 

x

x

f)  2 3 x 2 3x 2x

g)2x 3x 5x  10x h) 2x 3x  5x i)2x1 2x x2  (x 1)2

k) 3x   5 2x l) 2x   3 x m) 2x1 4x  x 1

n) 2 32 1

x

x   o) 4x 7x  9x 2 p) 52 1  53   1  0

x

x x

7 4 8

3 5 2

14 10 15

Bài 8 Giải các phương trình sau (đưa về phương trình tích):

a)8.3x 3.2x  24 6  x b)12.3x 3.15x 5x1 20

c) 8 x.2x 23x  x 0  d) x x x

6 1 3

e) 4x23x24x26x5 42.x23x7 1 f) 4x2x 21x2 2 x12 1

Bài 9 Giải các phương trình sau (phương pháp đối lập):

a) 2x cos ,x4 với x  0 b) 3x2 6 10x  x2 6x 6 c)

sin

3 x  cosx d)

3 2

  

x

cos

sin



x

x

x

2

2

2  2  

Bài 10 Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:

a) 9x  3x  m 0 b) 9xm3x   1 0 c) 4x 2x 1m

d) 32x 2.3x(m3).2x 0 e) 2x(m1).2x m 0

f) 25x  2.5x  m 2 0 g) 16x (m1).22x  m 1 0

Bài 11 Tìm m để các phương trình sau có nghiệm duy nhất:

a) m.2x  2x  5 0 b) m.16x 2.81x  5.36x

c) 4x  2x 3  3 m d) 9xm3x  1 0

Bài 12 Tìm m để các phương trình sau có 2 nghiệm trái dấu:

(  1).4x (3  2).2x  3   1 0

49x (  1).7x  2  0

c) 9x 3(  1).3x 5   2 0

m m d) (  3).16x (2  1).4x   1 0

e) 4x 2m1 2 +3 x m 8 0 f) 4x 2x  6 m

Bài 13 Tìm m để các phương trình sau:

a) .16x 2.81x  5.36x

m có 2 nghiệm dương phân biệt

b) 16xm.8x (2m 1).4x m.2x có 3 nghiệm phân biệt

c) 4x2 2x22  6 mcó 3 nghiệm phân biệt

d) 9x2  4.3x2   8 mcó 3 nghiệm phân biệt

-=oOo= -

§4 PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

A LÝ THUYẾT

1 Phương trình logarit cơ bản

Với a > 0, a  1: loga x b  x a b

2 Một số phương pháp giải phương trình logarit

a) Đưa về cùng cơ số

Với a > 0, a  1: log ( ) log ( ) ( ) ( )

( ) 0 ( ( ) 0)



b) Mũ hoá

Với a > 0, a  1: log ( ) log ( )a f x b

c) Đặt ẩn phụ

d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

e) Đưa về phương trình đặc biệt

f) Phương pháp đối lập

Chú ý:

 Khi giải phương trình logarit cần chú ý điều kiện để biểu thức có nghĩa

 Với a, b, c > 0 và a, b, c  1: alogb c clogb a

B BÀI TẬP

Bài 1 Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá):

a) log2x x(  1)  1 b) log2xlog (2 x 1) 1

8

log (x 2) 6.log 3x 5 2 d) log (2 x 3) log (2 x 1) 3

e) log (4 x 3) log (4 x  1) 2 log 84 f) lg(x  2) lg(x   3) 1 lg5 g) 2log (8 2) log (8 3) 2

3

x  x  h) lg 5x 4 lg x  1 2 lg0,18

i) log (3 x2 6) log (3 x 2) 1 k) log (2 x 3) log (2 x 1) 1/ log 25

l) log4xlog (104 x) 2 m) 5   1  

5

log (x 1) log (x 2) 0

Bài 2 Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá):

a) log (9 2 ) 32  x  x b) log (33 x   8) 2 x c) log (6 7 ) 17  x  x

d) log (4.33 x1 1) 2x1 e) log (3 ) 5

2

log (9 2 ) 5 x  x f) log (3.22 x  1) 2x 1 0

g) log (12 2 ) 52  x  x h) log (26 3 ) 25  x  i) log (52 x 125 ) 2x 

Bài 3 Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ):

log x log x  1 5 0 b) log22 x 3log2x log1/2x 2

c) log 2 log4 7 0

6

2 2

2

log 4 log 8

8

x

e) log22x 3log2x log1/2x 0 f) log 16 log 64 3x2  2x 

g) log5 log 1 2

5

x

7

x

i) 2log5 2 log 1

5

x

x  k) 3 log2xlog 42 x0

l) 3 log3x log 33 x 1 0 m) log23x3log2x 4 / 3

n) log23 x3log2x  2 / 3 o) log22x 2log41 0

x

p) log (222  x) 8log (21/4  x) 5 q) log25x4log 525 x 5 0

Bài 4 Giải các phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu):

a)x x log 3 2 xlog 5 2 (x0) b) x2  3 log 2x  5 log 2x

c) log (5 x  3) 3 x d) log (32 x)x

e)log (2 x2   x 6) x log (2 x 2) 4 f) x 2.3 log 2x  3

Bài 5 Giải các phương trình sau (đưa về phương trình tích):

a)log2x2.log7x 2 log log2x 7x

b) log log2x 3x 3 3.log3xlog2x

c) 2 log 9x2 log log3x 3 2x 1 1  

Bài 6 Giải các phương trình sau (phương pháp đối lập):

a) ln(sin ) 1 sin2x   3x0 b)  2  2

2

log x   x 1 1 x

Bài 7 Tìm m để các phương trình sau có nghiệm duy nhất:

a) log2 3 x22(m1)xlog2 3 (2x m  2) 0

b) log 2x 2 log2 mx

Bài 8 Tìm m để các phương trình sau:

2 log 4x m  x 1 có 2 nghiệm phân biệt

b) log23x (m 2).log3x 3m  1 0 có 2 nghiệm x1, x2 thoả x1.x2 = 27

2log (2x  x 2m 4m )  log (x mx 2m )có 2 nghiệm x1, x2 thoả

x x 