Phần tử hai chiều pot

PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN - FEM Trường Đại học Công nghiệp TP.HCM Đường Công Truyền Chương 7: PHẦN TỬ HAI CHIỀU Ôn lại lý thuyết cơ bản Thành phần ứng suất và biến dạng • Dạng tổng quá

Trang 1

PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ

HỮU HẠN - FEM

Trường Đại học Công nghiệp TP.HCM

Đường Công Truyền

Chương 7:

PHẦN TỬ HAI CHIỀU

Ôn lại lý thuyết cơ bản

Thành phần ứng suất và biến dạng

• Dạng tổng quát của thành phần ứng suất và biến dạng

Trang 2

Liên hệ ứng suất - biến dạng

• Định luật Hooke cho vật liệu đàn hồi tuyến

tính và đẳng hướng

1

E







E G

ν

=

+

E: môđun đàn hồi, ν : hệ số Poisson của vật liệu, G: môđun đàn hồi trượt

Liên hệ ứng suất - biến dạng

• Suy ra

• Hay













−

− +

=

ν ν

ν

ν ν

ν

ν ν ν

ν ν

ν

ν ν

5 0 0 0

0 0

0

0 5

0 0 0

0 0

5 0 0 0

0

0 0

0 1

0 0

0 1

0 0

0 1

2 1 1

, ,

,

E D

1 2

E

ν

ε + ε + ε = − σ + σ + σ

D

Các trường hợp đặc biệt

• Bài toán 1 chiều

σ = E ε

• Bài toán 2 chiều

– Ứng suất phẳng (plane stress)

– Biến dạng phẳng (plane strain)

Bài toán ứng suất phẳng (plane stress)

• Kết cấu có chiều dày (z=constant) rất nhỏ so với tiết diện

•

( )

1

2 1

x y

E E E

ν

=  − 



 =  − 





 = −  + 



 = =



Trang 3

Bài toán ứng suất phẳng (plane stress)

• Hay:

• Suy ra:

• Hay

D

2

1

2

E

ν

=

−

Bài toán biến dạng phẳng (plane strain)

• Kết cấu có tiết diện (= constant) rất nhỏ so với chiều dài (phương z)

• Tải trọng phân bố dọc theo chiều dài

Bài toán biến dạng phẳng (plane strain)

• Suy ra:

• Hay:

1 2

2

E

ν

D

Phương trình cân bằng

• Trong lý thuyết đàn hồi, ứng suất thỏa mãn phương trình

• Trong đó fx và fylà các lực khối (như trọng lực) trên đơn vị thể tích

Trang 4

Điều kiện biên

• Biên S của vật thể có thể chia ra làm 2 phần St

và Su

• Điều kiện biên

• txvà ty: lực mặt (ứng suất trên biên)

Ví dụ 1

• Một tấm chịu lực phân bố p như hình vẽ, cho

E và νlà hằng số

• Tìm chuyển vị, biến dạng và ứng suất (nghiệm chính xác)

Ví dụ 1

• Ứng suất

• Biến dạng

• Chuyển vị

• Khi nghiệm chính xác được số hóa (ví dụ tấm

có lỗ) ⇒ cần FEM

Phần tử hữu hạn cho bài toán

hai chiều

Trang 5

Dạng tổng quát ma trận độ cứng phần tử

• Chuyển vị (u,v) trong mặt phẳng được nội suy

từ chuyển vị nút (ui,vi) thông qua hàm dạng Ni

• N là ma trận hàm dạng, u là véc tơ chuyển vị,

d là véc tơ chuyển vị nút

• Từ liên hệ biến dạng – chuyển vị

• B = DN là ma trận chuyển vị - biến dạng

• Năng lượng biến dạng trong mỗi phần tử

Phần tử tam giác có biến dạng hằng (Constant strain triangle - CST)

• Là phần tử 2D đơn giản nhất, còn được gọi là linear triangular element (phần tử tam giác bậc 1)

- Phần tử có 3 nút

- Mỗi nút có 2 bậc tự do

- Thứ tự nút được đánh theo ngược chiều kim đồng hồ

Trang 6

Phần tử tam giác bậc 1

• Chuyển vi:

• Hay

• Chuyển vị u, v được giả định là hàm tuyến tính

• bi(i=1,2…6) = constant

• Suy ra biến dạng:

• Vì biến dạng là hằng số nên nó có tên gọi là phần tử tam giác có biến dạng hằng

Hàm dạng phần tử tam giác bậc 1

• Công thức tổng quát để tính hàm dạng:

• Hàm dạng :

Trang 7

• Với A là diện tích tam giác giới hạn bởi ba nút

1, 2, 3

• Hàm dạng N1

• Hàm dạng N2

• Hàm dạng N3

Trang 8

Liên hệ biến dạng – chuyển vị

• Từ liên hệ biến dạng – chuyển vị, ta được

•

Ma trận độ cứng phần tử

• Ma trận độ cứng phần tử

• Là ma trận 6×6, trong đó t là chiều dày của phần tử

• Kết quả nhân ma trận k được thực hiện bằng máy tính

Tìm hàm dạng theo tọa độ diện tích

• Định nghĩa tọa độ diện tích

• A1= diện tích tam giác 2-3-P

Trang 9

• Ta có:

• Suy ra:

• Khi P → 1:

• Khi P →2:

• Khi P → 3:

1 2 3

1 ; 0 ; 0

1 2 3

DT

− −

2 1 3

1 2 3

1 ; 0 ; 0

1 2 3

DT

− −

3 1 2

1 2 3

1 ; 0 ; 0

1 2 3

DT

− −

• L thỏa mãn 2 tính chất của hàm dạng, nên

1

n

i i

N

=

∑

Hàm dạng trong hệ tọa độ tự nhiên

• Hàm dạng (từ tọa độ diện tích)

Trang 10

Hàm dạng trong hệ tọa độ tự nhiên

• Tính chất hàm dạng

• Hàm dạng N1

• Liên hệ giữa hệ tọa độ tổng thể và hệ tọa độ

tự nhiên

• Trong đó

• Sử dụng đạo hàm của hàm hợp ta được

• Trong đó J là ma trận chuyển đổi Jacobian

• Suy ra

• Tương tự

Trang 11

• Từ liên hệ biến dạng – chuyển vị

• Suy ra

• Dùng cho diện tích có tốc độ biến dạng nhỏ

• Dùng tạo lưới cho các bề măt tiếp giáp (từ lưới tinh sang lưới thô)

• Dùng phân tích sơ bộ bài toán 2D

• Tránh sử dụng tại những nơi tập trung ứng suất (cạnh của góc, của lỗ, …)

Phần tử tam giác có biến dạng hằng KHÔNG thích hợp cho các vật liệu phức

hợp

Phần tử tam giác có biến dạng bậc 1

(Linear strain triangle - LST)

• Còn gọi là phần tử tam giác bậc 2 (quadratic

triangular element)

- Thứ tự nút được đánh theo ngược chiều kim đồng hồ, từ ngoài vào trong

• Chuyển vị u, v được giả định là hàm bậc 2

• bi(i=1,2…12) = constant

• Biến dạng được tính là

• Vì biến dạng là hàm bậc 1 nên nó có tên gọi là phần

tử tam giác có biến dạng bậc 1

Trang 12

• Xét phần tử tam giác tổng quát bậc p theo tọa

độ diện tích

• Số nút phần tử bậc p

• Tại mỗi nút thì

• Hàm dạng được tính theo công thức

• Với

• Trong đó

• Ví dụ khi α=1, β=1

• Hàm dạng theo tọa điện tích

• Tương tự ta được

Trang 13

• Hàm dạng N4

• Tương tự ta được

5 4 2 3

6 4 1 3

• Hàm dạng trong hệ tọa độ tự nhiên

• Thay L1=ξ, L2= η, L3= 1-ξ -η ta được

( )

2 2 2 1 2

N = L − L N3 =(2L3 − 1)L3

( )

1 2 1 1 1

N = L − L

5 4 2 3

4 4 1 2

• Chuyển vị

• Ma trận độ cứng phần tử

• Chuyển vị là hàm bậc hai đối với x và y

• Kết quả nhân ma trận k được thực hiện bằng máy tính

Trang 14

Phần tử tứ giác bậc 1 (Linear quadrilateral element)

- Thứ tự nút được đánh theo ngược chiều kim đồng hồ

Hàm dạng phần tử tứ giác bậc 1

• Hàm dạng được xây dựng từ định lý Lagrange như sau:

• Áp dụng định lý Lagrange theo 2 phương (x, y) hay (ξ, η)

0

n

m

k m

=

≠

−

∏

N x y = L x × L y

Phần tử tứ giác bậc 1

• Hàm dạng

1 , 1 1

1 1 1 1 4

N ξ η L ξ L η

− − − −

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

ξ η = ξ × η = − − − = + ξ − η

− − − −

( )

3 3 3

ξ η = ξ × η = − − − − = + ξ + η

− − − −

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

1

ξ η = ξ × η = − − − = − ξ + η

− − − −

Phần tử tứ giác bậc 1

• Hàm dạng trong hệ tọa độ tự nhiên

Trang 15

Phần tử tứ giác bậc 2, chín nút

(9-node quadratic quadrilateral element)

Phần tử tứ giác bậc 2, chín nút

• Hàm dạng (từ định lý Lagrange)

1

4

N ξ η L ξ L η

ξ ξ η η

ξ η ξη

=

• Hàm dạng

•

(8-node quadratic quadrilateral element)

• Là phần tử được sử dụng rộng rãi nhất trong các bài toán 2D do độ chính xác trong phân tích và linh hoạt cao trong mô phỏng

Trang 16

Phần tử tứ giác bậc 2, tám nút

• Tính hàm dạng theo công thức sau

• Hàm dạng

• Trường chuyển vị là các hàm bậc hai

• Biến dạng và ứng suất là các hàm bậc nhất sẽ

được biểu diễn tốt hơn

• Lưới các phần tử bậc nhất gồm: phần tử tam giác bậc nhất và phần tử tứ giác bậc nhất

• Lưới các phần tử bậc hai gồm: phần tử tam giác bậc hai và phần tử tứ giác bậc hai

• Các phần tử bậc hai thích hợp cho sự phân tích ứng suất do độ chính xác trong phân tích

và linh hoạt cao trong mô phỏng hình dạng hình học phức tạp (ví dụ các biên cong)

Ghi chú

Trang 17

• Tấm (10 in×10 in×0,1 in) có lỗ ở tâm (φ = 1 in)

chịu lực như hình vẽ Cho E =10×106 psi, ν =

0,3, p = 100 psi Tìm ứng suất lớn nhất trong

tấm?

Ví dụ 2

• Nghiệm giải tích: Ứng suất max sẽ tập trung ở A và

B Nghiệm chính xác cho bài toán tấm có kích thước

vô hạn với lỗ ở tâm là 3p (300 psi).

• Nghiệm FEM: sử dụng ANSYS với các dạng phần tử khác nhau

Ví dụ 2

Lưới tam giác bậc hai Lưới tứ giác bậc nhất Lưới tứ giác bậc hai Lưới tứ giác bậc hai

Ví dụ 2

Lưới tứ giác bậc hai, 493 phần tử

Ví dụ 2

Ứng suất Max, lưới tứ giác bậc hai, 493 phần tử

Trang 18

Bài tập về nhà 1

• Tìm hàm dạng của phần tử tam giác bậc 3,

mười nút

Bài tập về nhà 2

• Tìm hàm dạng của phần tử tứ giác mười nút

Tiêu đề	Phần Tử Hai Chiều
Trường học	Trường Đại Học Công Nghiệp TP.HCM
Thể loại	Bài Giảng
Thành phố	Thành Phố Hồ Chí Minh

Định dạng
Số trang	18
Dung lượng	6,59 MB