Phần tử hai chiều chịu kéo và nén trong mặt phẳng phần tử

Phần tử dạng tam giác t.theo trong đó: với [Px,y] là ma trận các đơn thức: vị tại các nút... đồ thị các hàm dạng có dạng mặt phẳng và được biểu diễnNkx,y... Phần tử dạng tam giác t.theo

• Véc tơ chuyển vị của một điểm bất kỳ có tọa độ (x,y) thuộc phần tử sẽ

gồm 2 thành phần u và v được viết như sau:

1 2 3

4

5 6

0 0 0 1 ,

e

e

a a

Phần tử dạng tam giác (t.theo)

Phần tử dạng tam giác (t.theo)

trong đó:

với [P(x,y)] là ma trận các đơn thức:

vị tại các nút. Ví dụ thực hiện đồng nhất tại nút i như sau:

trong đó: (xi,yi) ; (xj,yj) và (xk,yk) lần lượt là các tọa độ các nút i, 

F x y u

v

F x y u

Hoặc viết gọn lại như sau:

=> Có thể tìm được véc tơ tham số {a} như sau:

 q e H  a

e

j y

i k

j x

đồ thị các hàm dạng có dạng mặt phẳng và được biểu diễn

Nk(x,y)

bằng 0 tại các nút j, k như sau:

  1

, 2

Phần tử dạng tam giác (t.theo)

phương x, y của các điểm thuộc phần tử được biểu diễn

q

q q

Biến dạng = ma trận biến dạng * véc tơ chuyển vị nút phần tử

Ma trận biến dạng [B] được xác định bằng cách lấy đạo hàm

của ma trận hàm dạng [N] như sau:

Ma trận lấy đạo hàm [∂] có dạng:

Thực hiện đạo hàm để lấy được ma trận biến dạng [B]

Chú ý: các thành phần của ma trận [B] là hằng số => biến dạng

cũng như ứng suất trong phạm vi phần tử cũng là hằng số.

 

0 0

i k j x

Phần tử dạng tam giác (t.theo)

• Xác định ma trận độ cứng phần tử

Vì độ dày của phần tử là t không đổi, các thành phần của ma trận

[B] và [D] cũng là các hằng số do đó:

Vậy:

e V

Phần tử dạng tam giác (t.theo)

Các giá trị C1 và C2 là các tham số phụ thuộc vào tấm phần tử

của bài toán ứng suất phẳng (1) hay bài toán biến dạng phẳng (2)

của phần tử tam giác như sau:

 

11 12 13 14 15 16

22 23 24 25 26

33 34 35 36 1

44 45 46

55 56 66

k k k A

k k k

được tính như sau: 

1

E C





21

Xét bài toán ứng suất phẳng gồm 2 phần tử tấm có kích thước

như hình vẽ. Biết vật liệu của các phần tử là đẳng hướng và có

tử là to

tấm chịu tải trọng phân bố đều w

2 1

3 4

b y

x w

227

229

231

233

235

237

239

Phần tử dạng tứ giác (t.theo)

xấp xỉ cũng bao gồm 8 thành phần

phần tử sẽ gồm 2 thành phần u và v được viết như sau:

 

1 2 3 4

5

6 7 8

0 0 0 0 1 ,

e

e

a a a

u x y a a x a y a xy x y xy a d

a

a a x a y a xy x y xy

v x y

a a a

Phần tử dạng tứ giác (t.theo)

trong đó:

với [P(x,y)] là ma trận các đơn thức:

và {a} là véc tơ tham số:

vị tại các nút. Ví dụ thực hiện đồng nhất tại nút i như sau:

trong đó: (xi,yi) ; (xj,yj) ; (xk,yk) và (xl,yl) lần lượt là các tọa độ

các nút i, j, k và l của phần tử đang xét

nút i

i i

j j nút j

e

k k nút k

l l

nút l

u v

F x y u

Hoặc viết gọn lại như sau:

 

1 2 3 4 5 6 7 8

nút k

nút l

u q

v q

a a a a a a a a

=> Có thể tìm được véc tơ tham số {a} như sau:

Nj1

phương x, y của các điểm thuộc phần tử được biểu diễn

 d e N x y   ,  q e

 

1 2 3 4 5 6 7

Biến dạng = ma trận biến dạng * véc tơ chuyển vị nút phần tử

Ma trận biến dạng [B] được xác định bằng cách lấy đạo hàm

của ma trận hàm dạng [N] như sau:

Ma trận lấy đạo hàm [∂] có dạng:

Thực hiện đạo hàm để lấy được ma trận biến dạng [B]

 

0 0

Phần tử dạng tứ giác (t.theo)

Thực hiện đạo hàm để lấy được ma trận [B’] như sau:

do các ma trận này không chứa biến x và y. Do đó:

e V

• Các giá trị C1 và C2 là các tham số phụ thuộc vào tấm phần tử của bài

toán ứng suất phẳng (1) hay bài toán biến dạng phẳng (2)

C

2 2

2 2

2 2

C a b

của phần tử tứ giác như sau:

55 56 57 58

66 67 68

77 78 88

được tính như sau: 

1

E C





21

• Ví dụ 4.2. 

Xét bài toán ứng suất phẳng gồm 2 phần tử tấm có kích thước

như hình vẽ. Biết vật liệu của các phần tử là đẳng hướng và có

4 6

b y

Phần tử dạng tứ giác (t.theo)

265

267

269

Phần tử dạng tứ giác (t.theo)

273