Thường thì mômen m được bỏ qua trong các ứng dụng của FEM.. e Tính độ võng, góc xoay, và các phản lực... BÀI TẬP VỀ NHÀ Viết tay trên giấy A4, tuân sau nộp.
Trang 1Vẫn Trường Đai hoc Công nghiệp TP.HCM
PHƯƠNG PHÁP PHÂN TỬ
HỮU HẠN - FEM
Đường Công Truyền
Chương 6:
PHAN TU’ THANH DAM
El
~
L: Chiều dài thanh dầm V= V(Y) _ Chuyển vị (độ võng) của
d truc trung tam [ : Mômen quán tính của A av ,
tiết diện dx Góc xoay quanh truc z
d°y
2
7 = M(x) Phuong trinh vi phan dan hoi
X
M
ơ=—
I
O
& — — Định luật Hooke
Trang 2
Ma trận độ cứng phần tử
k= | Br EBay
F
M,
Pƒ12D -6L 12 -6L|y,L |,
M
Hàm dạng của thanh dầm chịu uốn
y
ate 1 ees 3
é 0=4,
2t bá CÔ
e Mỗi nút có 2 bậc tự do: chuyển vị v(x) và góc
xoay dx/dv =
e Vecto bac tu’ do cua phan tu
{a} = q¡-q:.:.q,Ƒ — {v,.9,,v;,Ð,Ƒ
e Bốn bậc tự do => hàm xấp xỉ chuyển vi v(x)
đến bậc 3
a
v(x) =a, ta,x+a,x?t¢a,x2=|l x x? x3] = |[P(x)|{a}
3
ay
se Hàm xấp xỉ góc xoay
(x)= =a, + 2a,x +3a,x" =|0 1 2x 3x? | :
e Thay tọa độ các điểm nút vào v(x) và 8(x) va
thực hiện đồng nhất với {q},
v,(x =0) a, 1 0 O 0 lịa;
9,(x=0) 8; 0 1 0 0 lịa;
= 2 3 = 2 3 = [A]{a}= {a}
v,(x =L) a,+a,L+a;Lˆ +a,L 1 LU CL lịa:
Nhu vay [A]= 5 5 —=[Al'= 5 5
IL L -3/17 -2/L 3/17 -1/L
0 1 2L 3L 21 Wl -2/}Ẻ W/L
Trang 3
Hàm dạng của thanh dầm chịu uốn
e Ma tran cac ham dang
1 0 0 0
4 „na 0 | 0 0 _ - 2 =|N, N,N,N
[N]=[P@]JA]' =Íl x x? xỈỈ 2n: ge yyy [RINNE NS NG
2 1/1 -2/ 1/L
N(x)=I1-3xˆ/Ú+2x'/E
N.,(x)=x-2x'/L+x`!E
N,(x) =3x° / DL -2x°/ LD N,(x)=-x°/L4+x°/ 07
® Trong đó
Kiểm tra 2 tính chất của hàm dạng
e Tính chất 1
" ởnúti; | M,(x)=1I-3x2/Ú+2x'/Ƒ
0, ở nút khác | ),(x)=x—2x°/L+x`/EƑ
N,(x) = 3x°/ LP -2x°/ LD
N,(x)=-x°/L4+x°/ 02
¬
i=l
e Tính chất 2
y
vụ Fi vp Fj
e Dinh nghia 4 ham dang:
N(x)=1-3xˆ/ÚỨ+2x`/
N.()=x-2x/L+x`!E N(x)=3xˆ/Ú_-2x`/E
N.(x)=-x/L+x`!E
e Độ võng (chuyển vị) của thanh dầm :
rc
~
v(x) =Nu
=[M@) M@) Mứ) N,Q) ~
v,
8
j
0
~ 2
N, (x) =1-3x*/ LD +2x°/ LD
N | +N 2 = | N,(x)=x-2x°/L4+x°/L | 2 3) 72 N,+N,L+N, — xX N.(x)=3x)!Ú-2x`/Ù
N,(x)=-xˆ/L+x`!E
Trang 4Ma trận độ cứng phần tử
e Độ cong của thanh dầm:
N(x) =1-3x7/ 2) +2x°/ 2 N,(x)=x-2x°/L4+x°/ 0
N,(x) = 3x? / DL -2x°/ 2
2 2
vd Nyepy
e Trong đó, ma trận biến dạng-chuyển vị B là:
B=“N=[Nj@) N@) MŒ) N,Q]
dx
6 12x 4 6x 6 12x 2 |
=|-— 4 -—4— ~=4—=
Ma tran độ cứng phần tử
se Năng lượng biến dạng:
0=1[z"zw=1[[(-2%) 1(-*%)z„4 2J 2QJÁ T/ EXT
*
y
L
== | (Bu)” E/(Buỳw
L
= 1v fren
0
L
® SU ra: k = | B'EDBdy
0
e Thay B=;N=[N/G) N(x) N3(X) M@)|
X
-(-$+% _4 6x 6 12x -t
® Ta được: , 8 Vv 0
l Ll J J
12 6L -12 6L EI|l6L 41 -6L 2L
— Ƒ|-l2 -6L 12 -6L
e Kết hợp với chuyển vị dọc trục của thanh dầm >
biểu thức tổng quát cho ma trận độ cứng phần tử
g «CEL 4EL _6E1- 2EI
FA 4 9 Fg 9
Trang 5
Ứng suất trong thanh dầm
e Ứng suất trong thanh dầm
eLuuy: O= 0, =— 7
dỶy EI—~=M pe HH VU
TT (V - lực cắt )
dx
dV
e :
2
e® Tính độ võng và góc xoay tại nút 2
e Tính các phản lực tại nút 1 và 3
se Ma trận độ cứng phan tu: El | 1n E
vì 9, V5 6,
12 6L -12 6L EI| 6L 4Ú -6L 2L
'" Bl-12 -6L 12 -6L
6L 21 -6L 4L
12 6L -12 6L _EI| 6L 4l -6L 2E
~ Bl-12 -6L 12 -61
6L 21 -6L 4L
se Ma trận độ cứng tổng thể:
] 8 W› 6, Và 0,
0 0 6L 27 -6L 4Ú
V
Trang 6
F12 6L -12 6L 0 0 ]wì [F, vị =v; = 0| = Ø; = 0
6L 4E -6L 2L 0 0 14 M, se Hệ phương trình PTHH được rút gọn:
P|6L 2Ú 0 $%Ứ -6L 22 \laf \M, Plo sella! “1w
0 0 -12 -6L 12 -6L|v | |F, 2
0,{ 24EI\ 3M
e Tính phản lực và mômen:
Vị 9, V; 0, V3 9 qd
E\6L 22 0 §%E -6L 2P |Ì0[ ÌM,
0 0 -12 -6L 12 -6L|y| |F,
Trang 7
Vidu 2
Vidu 2
y
e Trong đó:
fy" e Hệ PT PTHH được rút gọn:
EI
e Hệ PT PTHH:
|-12 -6L 12 -6Ll|lw,| |,
e Điêu kiện biên:
e Giải hệ PT:
Trang 8
Vidu 2
e Néu bo qua mOmen tương đương mì thì:
vy} L [=2Ẻ/\ [-pHI6EI 0| 6EI|-31ƒ | |-pl!4EI
se Sai số của nghiệm của PT trên sẽ giảm nếu
chia thanh dâm thành nhiều phần tử hơn
Thường thì mômen m được bỏ qua trong các
ứng dụng của FEM
Ví dụ 2
e Tính các phản lực:
M,| EIl-6L 2IÚ]\0j |5p12/12
e Giá trị đúng của các phản lực sẽ được công
thêm với giá trị của lực phân bố được quy đổi
về nút, nên:
sCho: P=50kN, k=200kN/m, L=3m,
E=210 GPa, [=2x107 m’
e Tính độ võng, góc xoay, và các phản lực Ví dụ 3
se Ma trận độ cứng phần tử:
vì 8, V, 0,
12 6L -12 6L EI|6L 41 -6L 2L
' Bl-12 -6L 12 -6L
6L 2Ú -6L 4L
» & cờ @
>" 2/-12 -6L 12 -6L ST} op gE
óL 2Ú -6L 4L
Trang 9Vidu 3
se Ma trận độ cứng tổng thể:
e Hệ PT PTHH:
2
K' WWJ (ay)
e Trong do, kak
rw
e Giải hệ PT:
PL
M, = M, =0, Fyy =—P
P=50kN, k=200kN/m, L=3m,
e Hệ PT PTHH được rút gọn: e Thay giá trị vàO: z~2Io Gpạ 7=2x10° mê, &= “-k
Trang 10
Vidu 3
e Tính các phản lực: {F, — 69.78 kN
F,{ | 1162 kN
F 4Y 3.488 kN
e Sơ đồ cân bằng lực (Free-body diagram)
v
69.78 kN-m
116.2 kN 3.488 kN
Vi du 4: Bai toan khung
y + 500 Ib/ft
Ƒ Ỷ
3000 Ib
E, IA
12 ft
e Cho: £=30x10° psi, J/=65in., A=68 in?
e Tính chuyển vị và góc xoay tại các nút 1 và 2
Ví dụ 4: Bài toán khung
e Quy đổi lực phân bố về nút
3000 Ib 3000 Ib
72000 lb-nn
2 1772000 lb-in Vi du 4: Bai toan khung
® Trong hệ tọa độ địa phương, ma trận độ cứng
phần tử của thanh dầm là
Ea co FA 9 9
12EI 6£I l2EI 6Ei
> SEL 4EL 9 _6EI 2EI
fA 9 9 FA 4 0
12kI 6£I I2EI 6£I
6EI 2EI 6£I 4EI
0 ef “CS 0 eS
Trang 11
Vi du 4: Bai toan khung
Y 500 Ib/ft
3000 Ib
E, LA
12 ft
Vi du 4: Bai toan khung
se Ma trận độ cứng phân tử 1
e Bảng ghép nối các phần tử
Phan tir Nút i (1) Nút j (2)
u, Vì 9 H, V5 0,
| 141.7 0 0 -14L7 0 0 ~
0 0.784 564 0 —0.784 564 , 0 564 5417 0 —564 2708
k, =k,'=10° x
—141.7 0 0 141.7 0 0
0 —0.784 -564 0 0.784 -56.4
| 0 564 2708 0 -—564 5417 |
Vi du 4: Bai toan khung
se Ma trận độ cứng phân tử 2 và 3 trong hệ tọa
độ địa phương
H, y,' 6 ¬ Vi 6,
| 2125 0 0 —212.5 0 0 |
0 2.65 127 0 —2.65 127
4 0 127 8125 0 —127 4063
k,'=k,'=10° x
“ —212.5 0 0 212.5 0 0
0 —2.65 —127 0 2.65 —127
| 0 127 4063 0 —127 8125)
e Trong do, i=3, j=1 đối với phần tử 2 va i=4, j=2
e Dạng tổng quát của ma trận chuyển đổi T
T=
0 00 0 01
Trang 12Vi du 4: Bai toan khung
e Với l=0 và m=1 cho cả hai phân tử 2 và 3, nên
F0 10 0 0 0) -!| 0 0 0 00
0 0 1l 0 00
T=
0 0 0 0 I0
0 0 0 -Il 00 _'0 00 0 01
Ví dụ 4: Bài toán khung
se Ma trận độ cứng phân tử 2 và 3 trong hệ tọa
độ tổng thể k= TTK'TT
0 2125 0 0 —212.5 0
k, =10° x
—2.65 0 127 265 0 127
0 —2125 0 0 212.5 0
ee 2 0 4063 127 0 8125 |
Vi du 4: Bai toan khung
® và
| 2.65 0 -l27 -2.65 0 -127
„_ | lag 0 8125 127 0 4063
k, =10° x
| Lee 0 4063 127 0 8125 | Vi du 4: Bai toan khung
UU
3000 Ib 1 a) 2
e Điều kiện biên:
F,, =30001b, #,„ =0, Ƒ„ = Z„„ =—30001b,
M, =-720001b-in., M, = 72000l1b-in
Trang 13
Vi du 4: Bai toan khung
0 2133 564 0 -0.784 564 ||y,
TT 127 564 13542 0 -—564 2708 J9|
0 -0784 -564 0 2133 —564 ||v,
| 0 564 2708 127 -564 13542 ||, |
/ 3000 |
_ }~72000|
0
— 3000
| 72000 j
Ví dụ 4: Bài toán khung
e Chuyển vị và góc xoay:
„) ( 0.092in, `
ụ, — 0.00104 in
2| | —0.00139rad
< = 5 >
u, 0.0901 in
v, — 0,001 8in
Øđ] |-388x10”rad:
Ví dụ 4: Bài toán khung
e Phản lực nút:
3000 Ib ,kmm Ib-in
3000 Ib
3000 Ib
e Sơ đồ cân bằng lực
(Free-body diagram) 60364 Ib-in
672.7 Ib
2210 |b 3825 |b
172000 Ib-in
2338 |b
112641 Ib-in BÀI TẬP VỀ NHÀ
(Viết tay trên giấy A4, tuân sau nộp)
