Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 chuyên đề bất đảng thức

GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 CHUYÊN ĐỀ: BẤT ĐẲNG THỨC Cauchy AM – GM A: LÝ THUYẾT 1.. Tên gọi: Bất đẳng thức Cauchy AM- GM hay còn gọi là BĐT Trung bình cộng và Trung bình Nhân

GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 CHUYÊN ĐỀ:

BẤT ĐẲNG THỨC Cauchy (AM – GM)

A: LÝ THUYẾT

1 Tên gọi:

Bất đẳng thức Cauchy (AM- GM) hay còn gọi là BĐT Trung bình cộng

và Trung bình Nhân Ngoài ra còn 1 số sách và 1 số giáo viên thường gọi

 + ≥



 + ≥

Bài 3: Cho a b, không âm CMR: (a b ab+ ) ( + ≥ 1) 4ab

a b

a b ab

Bài 4: Cho 3 số x,y,z >0, CMR:

Dấu “ = “ khi và chỉ khi a b c d= = =

Bài 6: Cho a b c d, , , >0;abcd=1 CMR :



Dấu “ = “ khi và chỉ khi

Bài 8: Cho a,b,c > 0, CMR:

 

,

 + ≥



Bài 14: Với a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác CMR:

Dạng 2: TÌM ĐIỂM RƠI CỦA BĐT AM - GM

a

Bài 2: Cho a≥3, Tìm GTNN của:

S a

 

= + ÷+ ≥ + = + =

 

Vậy Min

10 3

S=

Bài 3: Cho x≥1, Tìm GTNN của:

1 3 2

A x

x

= +

HD :

Dự đoán dấu bằng khi

Bài 9: Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn:

3 2

a b c+ + ≤

, Tìm GTNN của:

Dự đoán dấu bằng khi :

4 16 2

Bài 14: Cho a b, >0 Tìm GTNN của:

P

a b ab

Biến đổi

4

a b> a b+ =

, Tìm GTNN của

4 1 4

4

a= b=

Khi đó :

Bài 19: Cho x y, >0 và x+2y≥2 , Tìm GTNN của

Bài 23: Cho a b, >0 thỏa mãn: a≥2b Tìm GTNN của

2 2

2a b 2ab P

Bài 28: Cho a b c, , >0 , Chứng minh rằng:

x= = =y z

, Khi đó :

2 1

4 3

HD :

Dự đoán điểm rơi tại y=3,x=2 , Khi đó y x= +1 ,

Cô si cho hai số x+1;y>0 , ta được :

( 1) 2018 2 ( 1) 2018 2 2018 2 6 3 2018 2024

P= x+ + +y ≥ y x+ + = xy y+ + ≥ + + =

Bài 34: Cho x y, ≥0,x y+ =1 , Tìm GTLN và GTNN của

1 2

x y= =

,

Dạng 2.2 : Điểm rơi cho Cô- si 3 số

Bài 1: Cho a≥2, Tìm Min của:

1 0

Dấu bằng khi

1 2

= + + ÷ + + ÷+ ≥ + + = + + =

Bài 8: Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn: a b c+ + =1,

Dấu bằng khi

1 3

− −

−( )

− − + + ≥

−

Bài 9: Cho a b c, , >0 , thỏa mãn : ab bc ca+ + =3 ,

, Làm tương tự và cộng theo vế ta được :

Thay vào P ta được :

Bài 11: Cho x y z, , >0 thỏa mãn: x y z+ + =11 , Tìm GTNN của

2 4 2 9 2 2 3

a = b = c => =a b= c

, mà a b c+ + =11=> = =a 6 x b, = =3 y c, = =2 z Giờ ta quay lại làm hoàn thiện bài toán như sau :

396

P≥

Dạng 3: CÔ SI NGƯỢC DẤU

Bài 1: Cho a b, >0;a b+ =4ab Tìm GTNN của

a b= =

Nếu co si mẫu thì ta được:

Dự đoán dấu bằng khi x y z= = =1

Nếu Cô si dưới mẫu thì ta được :

x x

+ ≥ => ≤

+

thì ta đều không tìm ra được GTNN

P

≥ + + +

2 3 3

Dự đoán dấu = khi x y z= = =1

Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức phụ về mối quan hệ của biến trong bài:

Dạng 5: BIẾN ĐỔI ĐỂ ĐƯA VỀ CÔ SI ĐÚNG

Bài 1: Tìm min của biểu thức:

x B

x B

x x

= +

−HD:

x B x

+

= +

1 1

Bài 8: Tìm min của:

x y

+ +

=

+HD:

+ + +

Dấu “ = “ khi và chỉ khi:

1 2

1 2

n n

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ ỨNG DỤNG

Dạng 1 : ÁP DỤNG CÔNG THỨC THÔNG THƯỜNG

Bài 1: Cho x, y > 0 Chứng minh BĐT :

Dấu ‘ = ‘ khi x=y

Bài 2: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR:

Dạng 2 : ĐIỂM RƠI CỦA SCHAWRZ

Bài 1: Cho a b+ ≤1 và a b, >0 , Tìm min của:

Bài 5: Cho x y, >0,x y+ ≤4 , Tìm GTNN của