Bài giảng xác suất thống kê

Định nghĩa xác suất: Xác suất của một biến cốlà một con sốđặctrưng cho khả năng xảy ra khách quan củabiến cố đó.. b Tính xácsuất người đó mở được khóa ở lần thứ 2 biết lần thứ nhất khôn

(Dành cho sinh viên)

LOG O

XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Giảng viên: Phan Trung Hiếu

-Bài kiểm tra giữa kì (hệ số 0.3):

Tự luận, không được sử dụng tài liệu.

-Bài kiểm tra cuối kì (hệ số 0.6):

Tự luận, không được sử dụng tài liệu.

2

Điểm cộng, trừ giờ bài tập:

3

-Điểm cộng vào bài kiểm giữa kỳ:

1lần xung phong lên bảng làm đúng 1

câu:+0,5điểm (nếu làm sai thì không

trừ điểm)

Chỉ được cộng tối đa 2 điểm

Điểm cộng, trừ giờ bài tập:

4

-Điểm trừ vào bài kiểm giữa kỳ:

Khi SVđã được +2 điểm mà vẫn tự ý lên làm

bài: -0,5 điểm/lần.

Khi không có SV xung phong lên làm thì GV

sẽ gọi 1 SV lên làm theo danh sách thứ tự từ trên xuống:

-Nếu SV làm đúng thì +0,5 điểm/lần, -Nếu làm sai hoặc không biết làm thì -0,5 điểm/lần.

Trang web môn h ọc:

5

https://sites.google.com/site/sgupth

SV download tàiliệu, xem điểm cộng, trừ hàng

tuần, điểm quá trình trên trang web sau:

6

Nội dung:

Chương 1: Đại cương về Xác suất.

Chương 2: Biến ngẫu nhiên.

Chương 3: Một số phân phối xác suất quan

Tài liệu học tập:

[1] Bài giảng trên lớp.

[2] LêSĩ Đồng, Xác suất thống kê và ứng

dụng, NXB GD Việt Nam, 2011.

[3] LêSĩ Đồng, Bài tập Xác suất-thống kê

ứng dụng, NXB GD Việt Nam, 2011.

[4] Phạm Hoàng Quân-Đinh Ngọc Thanh,

Xác suất thống kê, NXB GD Việt Nam,2011.

Các tài liệu tham khảo khác.

Ví dụ 1: Tập hợp các sinh viên đang học trong

giờ môn XSTK tại phòng A…

 Liệt kê: dùng khi số phần tử là hữu hạn

(đếm được, thấy được cụ thể)

Chú ý:Phương pháp liệt kê

- Không quan tâmthứ tự liệt kê

- Mỗi phần tử chỉ được liệt kê 1 lần, không

Ví dụ 7: Một tổ 10 người sẽ được chơi hai

mônthể thao là cầu lông và bóng bàn Có 5bạn đăng ký chơi cầu lông, 4 bạn đăng kýchơi bóng bàn, 2 bạn đăng ký chơi cả haimôn Hỏi có bao nhiêu bạn đăng ký chơi thểthao? Bao nhiêubạn không đăng ký chơi thểthao

A là tập con của B, ký hiệu:

A chứa trong B B chứa A

1.5 Tập hợp rỗng: 

-Là tập hợp không chứa một phần tử nào

Ví dụ 9:

A = { x | x là sinh viênđang học trong phòng

A… mà cósố tuổi lớn hơn 80}  A

Ví dụ 1: Có 4 quần Jean và 3 quần tây.

Hỏi có mấy cách chọn 1 quần để mặc?

Ví dụ 2: Có 4 quần Jean khác nhau và 3

áo sơ mi khác nhau Hỏi có mấy cách chọn 1 bộ đồ để mặc?

Giải

chọn 1 bộ đồ

Bước 1: Chọn 1 quần Jean từ 4 quần Jean:

Bước 2: Chọn 1 áo sơ mi từ 3 áo sơ mi:

-Khithực hiện một công việc có nhiềuphương

án,mỗi phương án ta đều thực hiện được xong

côngviệc Khi đó, ta dùngquy tắc cộng

-Khithực hiện một công việc mà phải trải qua

nhiều bước mới xong công việc, thì ta dùng

Ví dụ 3: Có bao nhiêu cách xếp 3 người

vào một bàn dài có 3 chỗ ngồi?

3! 6  cách

Ví dụ 4: Xếp ngẫu nhiên 5 sinh viên A, B,

C, D, E vào 1 chiếc ghế dài có 5 chỗ Có

bao nhiêu cách xếp sao cho A, B ngồi hai

đầu ghế?

2.4 Tổ hợp ( ):k

nC

n C

Ví dụ 6: Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ

một công ty sữa, người ta đã gửi đến bộ phận

kiểm nghiệm 5 hộp sữa cam, 4 hộp sữa dâu và 3

hộp sữa nho Bộ phận kiểm nghiệm chọn ngẫu

nhiên 3hộp sữa để phân tích mẫu Hỏi:

a) Có bao nhiêu cáchchọn được 3 hộp sữa cùng

ngang có thứ tự 5 vị trí Có bao nhiêu cách xếp

sao cho 5bạn được chọn có 2 nữ và 3 nam

n A

n k (0cách. k n k n; , )

Nhận xét: A n k C k n k !

k nA

Hiện tượng tất định:IV Hiện tượng ngẫu nhiên:

Hiện tượng ngẫu nhiên:

lànhững hiện tượng

mà khi thực hiện

trong cùng mộtđiều

kiện như nhau sẽ

cho kết quả như

nhau

lànhững hiện tượng mà

dù được thực hiện trongcùng một điều kiện như nhau vẫn có thể chonhiều kết quả khác nhau

biết trước kết quả

sẽ xảy ra khôngkết quả sẽ xảy rabiết trước được

Lấy ngẫu nhiên ra 2 bi

T: Lấy ngẫu nhiên ra 2 bi từ 10 bi

T: tung 1 đồng xu đến khi xuất hiện mặt sấp thì dừng

 

4.3 Biến cố: là tập con của không gian mẫu

Thường được ký hiệu là A, B, C,…

biến cố A thì ta nói biến cố A xảy ra.

 :biến cố chắc chắn (luôn luôn xảy ra).

 :biến cố không thể (không bao giờ xảy

ra).

 

A

 A xảy ra thì suy ra B xảy ra

: biến cố A kéo theo biến cố B

Trong các biến cố trên, biến cố

nào kéo theo biến cố B? D i i( 0, 3)

A: “3 bi lấy ra có màu giống nhau”   A T Đ.

Ví dụ 2: Sinh viên A, B cùng dự thi môn XSTK.

A: “Sinh viên A đậu”

B: “Sinh viên B đậu”

C: “Có ít nhất một sinh viên đậu”  C A B

Ví dụ 5: Một người dự thi lấy bằng lái xe máy.

A: “Người đó thi đậu vòng thi lý thuyết”

 C A B

Ví dụ 4: Sinh viên A, B cùng dự thi môn XSTK.

A: “Sinh viên A đậu”

B: “Sinh viên B đậu”

C: “SV A và SV B đều đậu” C AB

B: “Người đó thi đậu vòng thi thực hành”

C: “Người đó lấy được bằng lái xe máy”

A và Bđược gọi là đối lậpnhau

 luôn luôn có đúng 1biến cố xảy ra

Nhận xét:

 A và B đều không xảy ra

đều xảy ra  A và B

không đối nhau

đối nhau xung khắc

S “Sinh viên i thi đậu” (i=1,2)

Hãy biểu diễn các biến cố sau theo

a)A: “Cả 2 sinh viên đều thi đậu” S i:

b)B: “Không có ai thi đậu”

e)E: “Chỉ có sinh viên 1 thi đậu”

f)F: “Chỉ có 1 sinh viên thi đậu”

d)D: “Có sinh viên 1 thi đậu”

g) G: “Có sinh viên thi đậu”

h) H: “Có nhiều nhất 1 sinh viên thi đậu”

c)C: “Có ít nhất 1 sinh viên thi đậu”

VII Các tính chất của biến cố:

xanh Lấy ngẫu nhiên ra 1 bi

T: “Lấy được viên trắng”

Đ: “Lấy được viên đỏ”

X: “Lấy được viên xanh”

{T, Đ, X} là một nhóm đầy đủ

IX Định nghĩa xác suất:

Xác suất của một biến cốlà một con sốđặctrưng cho khả năng xảy ra khách quan củabiến cố đó

Ký hiệu:

P(A): xác suất của biến cố A

9.1 Định nghĩa cổ điển:

| | ( )

|A|:số các kết quả thuận lợi cho A xảy ra

| số các kết quả có thể xảy ra của phép thử.|:

quả cầuđen, 2 quả cầuxanh Lấy ngẫu nhiên

đồng thời 4 quả Tính xác suất để:

a) 4quả cầu lấy ra cùng màuđen.

b) 4quả cầu lấy ra có 3 quả màuđỏ

c) 4quả cầu lấy ra có ít nhất một quả màuđỏ

d) 4quả cầu lấy ra đều cùng màu

e) 4quả cầu lấy ra đều không cùng màu

76

V Định nghĩa xác suất:

77

Chú ý (Điều kiện của định nghĩa cổ điển):

Các kết quả trong không gian mẫu phải

đồng khả năng xảy ra

Không gian mẫu phải hữu hạn





78

9.2 Định nghĩa theo thống kê:

-Thực hiện phép thử n lần, thấy biến cố A xuất hiện k lần thì tỷ số

Ví dụ 3: Khảo sát ngẫu nhiên 100 người hút

thuốc lá, thấy có 91 người bị viêm phổi

Khiđó, có thể nói rằng nếu bạn hút thuốc lá thì

xácsuất bạn bị viêm phổi sẽ khoảng:

910,91

100

80

Ví dụ 4: Có 3 khách hàng (không quen biết

nhau) cùng đi vào một cửa hàng có 6 quầyphục vụ Tính xác suất để:

a)Cả 3 khách cùng đến 1 quầy

b)Mỗi người đến 1 quầy khác nhau

c) Hai trong 3người cùng đến 1 quầy

Xét một phép thử đồng khả năng, không gian

mẫu có vô hạn phần tử và được biểu diễn thành

một miền hình học  cóđộ đoxácđịnh (độ dài,

diện tích, thể tích)

Xétđiểm M rơi ngẫu nhiên vào miền 

A:điểm M thuộc miền S 

( )

độ đo của 

Ví dụ 6: Tìm xác suất của điểm M rơi vào hình

trònnội tiếp tam giác đều có cạnh 2cm

??? ???

21

3

r cmS  cm

/ 3( ) 0,6046

3 3 3

9.4 Nguyên lý xác suất nhỏ, xác suất lớn:

-Nguyên lý xác suất nhỏ: Một biến cố có xác

suất rất nhỏ (gần 0) thì có thể cho rằng trong

thực tế nó không xảy ra trong một phép thử

-Nguyên lý xác suất lớn: Một biến cố có xác

suất rất lớn (gần 1) thì có thể cho rằng trong

thực tế nó nhất định xảy ra trong một phép thử

86

9.5 Xác suất có điều kiện:

( )( | )

a)chọn được bạn giỏi Toán

b)chọn được bạn chỉ giỏi Toán

c) chọn được bạn giỏi ít nhất một môn

d)chọn được bạn không giỏi môn nào

e)chọn được bạn giỏi Văn, biết rằng đã chọnđược bạn giỏi Toán?

Ví dụ 8: Một ông vua được sinh ra từ

một gia đình có 2 đứa bé Tính xác suất

để đứa bé còn lại là gái.

94

Ví dụ 9: Điều tra 500 cặp vợ chồng về mức lương

hàngnăm (triệu đồng) kết quả cho trong bảng

Chọn ngẫu nhiên 1 cặp vợ chồng Tính xác suất chọn được:

a)Cặp có chồng thu nhập ít hơn 30 triệu.

b)Cặp có vợ có thu nhập triệu, biết chồng cũng



30

 30



Ví dụ 10: Xác suất để một bình acquy đảm

bảo cho một ôtô mới hoạt động trên 10000km

là 0,8; trên 20000km là 0,4. Nếu một bìnhacquyđã đảm bảo cho một ôtô mới hoạt động

trên 10000km thì xácsuất để nó đảm bảo choôtô hoạt động tất cả trên 20000km là bao

nhiêu?

Ví dụ 12: Một chùm chìa khóa gồm 10 chìa,

trong đó chỉ có 1 chìa mở được khóa Một

người mở khóa bằng cách thử lần lượt các chìa

khóa chođến khi nào mở được mới dừng

a) Tính xácsuất người đó mở được khóa ở lần

đầu tiên

b) Tính xácsuất người đó mở được khóa ở lần

thứ 2 biết lần thứ nhất không mở được khóa

c) Tính xácsuất người đó mở được khóa ở lần

thứ 3 biết lần thứ nhất và lần thứ hai đều

khôngmở được khóa

Haibiến cố được gọi là độc lậpnếu sự xảy

ra hay khôngxảy ra của biến cố này không

làm thayđổi xác suất xảy ra của biến cố kia

Ví dụ 15: Cho một hộp đựng 10 bi, trong đó có 2

bi đỏvà 8 bi xanh Lấy lần lượt 2 bi

a) Tính xácsuất để lần thứ 1 lấy được bi đỏ?

b) Tính xácsuất để lần thứ 2 lấy được bi đỏbiết

lần thứ nhất lấy được bi đỏ?

c) Tính xácsuất để lần thứ 2 lấy được bi đỏbiết

lần thứ nhất không lấy được bi đỏ?

104

Giải Lấy mẫu

có hoàn lại không hoàn lại Lấy mẫu

Lần 1 lấy ra quan sátrồibỏ trở lạivàohộp,sauđó lấy tiếp lần 2

Lần 1 lấy ra quansát rồi để ra ngoài luôn, sauđó lấy tiếplần 2

có hoàn lại không hoàn lại Lấy mẫu

Kết quả độc lập nhau không độc lập nhau Kết quả

Đặc biệt: Nếu A, B xung khắc thì

Tổng quát: Nếu A1,A2,…,Anđôi một xung

khắc thì

Hệ quả:

AB (  ) ( ) ( )

Ví dụ 1: Một chiếc máy có 2 động cơ I và II

hoạt động độc lập với nhau Xác suất để động

cơ I và động cơ II chạy tốt lần lượt là 0,8 và 0,7

Tính xácsuất để:

a)Cả 2 động cơ đều chạy tốt

b)Cả 2 động cơ đều không chạy tốt

C: “Có động cơ chạy tốt”

I là 0,2;từ hộp II là 0,3 Lấy ngẫu nhiên từ mỗihộp ra 1 sản phẩm Tính xác suất để:

a)Lấy được 2chính phẩm

b)Lấy được 1 bichính phẩmvà 1phế phẩm

115 116

Ví dụ 3: Một ngân hàng sử dụng 2 loại thẻ

thanh toán M và N.Tỉ lệ khách hàng của ngânhàngsử dụng thẻ loại M, N tương ứng là 60%,55% vàcả hai loại là 30% Chọn ngẫu nhiên 1khách hàngcủa ngân hàng Tính xác suất ngườiđó:

a) Cósử dụng thẻ thanh toán của ngân hàng

b)Chỉ sử dụng loại thẻ M

c)Chỉ sử dụng 1 loại thẻ của ngân hàng

d) Khôngsử dụng thẻ của ngân hàng

Ví dụ 5: Từ lô sản phẩm có 20 sản phẩm trong

đó có 5 sản phẩm xấu Lấy ngẫu nhiên (liên tiếptừng sản phẩm một và không hoàn lại) 2 sảnphẩm Tính xác suất để cả 2 sản phẩm đều là sảnphẩm xấu

Giải

A1: “Lần thứ 1 lấy được sản phẩm xấu”

A2: “Lần thứ 2 lấy được sản phẩm xấu”

A: “Cả 2 sản phẩm đều là sản phẩm xấu”

1. 2

C C

Chú ý:

Lấy liên tiếp lần lượt k vật, mỗi lần 1 vật

và không hoàn lại Lấy cùng lúc k vật.

Ví dụ 6: Hai em sinh viên A và B chơi trò chơi

như sau: Mỗi người lần lượt rút 1 viên bi từ mộthộp đựng 3 bi đỏ và 5 bi vàng Bi được rút rakhôngtrả lại vào hộp Người nào rút được bi đỏtrước thì thắng cuộc Tính xác suất thắng cuộccủa người rút trước

Ví dụ 7: Một sinh viên muốn hoàn thành khóa

học phải qua 3 kì thi với nguyên tắc: đỗ kì thinàymới được thi kì sau Xác suất để sinh viênthiđỗ kì thi thứ nhất là 0,9 Nếu đỗ kì thi đầu thìxácsuất sinh viên đó đỗ được kì thi thứ hai là0,85,tương tự đỗ kì thi thứ hai thì xác suất sinhviênđó đỗ kì thi thứ ba là 0,7

a) Tính xácsuất sinh viên đó đỗ cả 3 kì thi

b) Nếu sinh viên đó không đỗ 3 kì thi thì xácsuất anh ta bị trượt ở kì thi thứ hai là bao nhiêu?

10.3 Công thức xác suất đầy đủ:

VI Các công thức tính xác suất:

Công thức xác suất Bayes cho biết xác suất của

các biến cố trong nhóm đầy đủ thay đổi như thế

nào khi một biến cố đã xảy ra.

128

Ví dụ 8: Một nhà máy có 3 phân xưởng cùng

sản xuất ra một loại sản phẩm Sản phẩm củaphân xưởng I chiếm 40% sản lượng của nhàmáy Sản phẩm của phân xưởng II chiếm 10%

Sản phẩm của phân xưởng III chiếm 50% Tỷ lệphế phẩm của từng phân xưởng tương ứng là5%, 4% và 10%.Lấy 1 sản phẩm của nhà máy

a) Tính xácsuất để nhận được phế phẩm?

b)Giả sử lấy được 1 phế phẩm Tính xác suất để

nó do phânxưởng II sản xuất?

(phế phẩm)

130

A: “Lấy được sản phẩm từ phân xưởng I”

B: “Lấy được sản phẩm từ phân xưởng II”

C: “Lấy được sản phẩm từ phân xưởng III”

H: “Lấy được phế phẩm”

P(A) =0,4 P(B) =0,1 P(C) =0,5

P(H|A) = 0,05 P(H|B) = 0,04 P(H|C) = 0,1

Ví dụ 9: Một trung tâm chuẩn đoán bệnh dùng

một phép kiểm định T Xác suất để một ngườiđến trung tâm mà có bệnh là 0,8 Xác suất đểngười khám có bệnh khi phép kiểm địnhdương tính là 0,9 và xác suất để người khámkhông có bệnh khi phép kiểm định âm tính là0,5 Tính các xácsuất:

a) Phépkiểm định là dương tính

b) Phépkiểm định cho kết quả đúng

133 134

Ví dụ 10: Có 2 hộp bi Hộp 1 có 8 bi đỏ, 3 bi

vàng.Hộp 2 có 10 bi đỏ, 4 bi vàng

a)Lấy ngẫu nhiên 1 hộp, từ đó lấy ngẫu nhiên

ra 1 bi Tính xácsuất lấy được bi đỏ

b) Lấy ngẫu nhiên 1 hộp, từ đó lấy ngẫu nhiên

ra 2 bi Tính xác suất trong 2 bi lấy ra có 1 biđỏ

Ví dụ 11: Hộp 1 có 10 quả cầu đỏ, 5 quả cầu

vàng Hộp 2 có 7 quả cầu đỏ, 3 quả cầu vàng

Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu, sau đólấy ngẫu nhiên 1 quả từ 2 quả cầu này Tính xácsuất quả cầu lấy sau là quả cầu vàng

137

LOG O

Chương 2:

BIẾN NGẪU NHIÊN

Giảng viên: Phan Trung Hiếu

Biến ngẫu nhiên là một đại lượng thay đổi với

xác suất lấy các giá trị thay đổi tùy theo kết

quả của phép thử.

I Định nghĩa:

Ký hiệu:

X, Y, Z, : Biến ngẫu nhiên

 x, y, z, : Giá trị của biến ngẫu nhiên

Ví dụ 1: Tung một con xúc xắc Gọi X là số

chấm xuất hiện trên mặt con xúc xắc

X =

 {1, 2, 3, 4, 5, 6}

140

II Biến ngẫu nhiên rời rạc:

Là BNN mà các giá trị có thể nhận được của

nó là hữu hạn hoặc vô hạn đếm được (có thể liệt kê được các giá trị của nó)

 Tung 1đồng xu đến khi xuất hiện mặt sấp thì

ngưng Gọi X làsố lần tungX =

2.1 Bảng phân phối xác suất:

Ví dụ 3: Số lượng ôtô nhãn hiệu A được bán ra

trong một ngày có bảng phân phối xác suất

b) Xebán được không quá 4 chiếc

c) Xebán được nhiều hơn 4 chiếc

2 4

1

2.15

C

C 

2 10

1 6

1

15

C C

C 

2 10

2

6 1 3

C

C 

P(X 1)P(X2)

147

Ví dụ 5: Trong ngày hội thi, mỗi công nhân dự

thi sẽ sản xuất lần lượt 2 sản phẩm Mỗi sản

phẩm loại A sẽ được thưởng 10 ngàn đồng, mỗi

sản phẩm không là loại A sẽ bị phạt 2 ngàn

đồng Giả sử một công nhân tham gia dự thi có

khả năng sản xuất được sản phẩm loại A mỗi

lần là 30% Lập bảng phân phối xác suất số tiền

mà công nhân này thuđược

3

x x x x

15 x8

khi 1

15 x1

III Biến ngẫu nhiên liên tục:

Là BNN mà các giátrị có thể nhận được của nó

có thể lấp kín cả một khoảng trên trục số(khôngthể liệt kê các giá trị của nó).

Ví dụ 7:

Nhiệt độ trong ngày ở TP.HCM

Thời gian chờ xe buýt tại trạm

Lượng mưa trong 1 năm ở TP.HCM

153

Nhận xét:

 Khi X là BNN liêntục thì X có thể lấy vô số

giátrị nên ta không thể lập bảng phân phối xác

suất cho nó

 Thay choviệc liệt kê các giá trị của X, ta chỉ

rađoạn [a;b] mà X nhận giá trị ở đoạn đó.

 Thay cho các xácsuất, ta đưa ra khái niệm

Giải a) Ta có:

f x dx



2 ( )

2

2 2 1

k x x k

k k

 

  

 2.

Hàm phân phối của BNN X, ký hiệu là F(x),

là hàm được xác định như sau

,

x x

b)Thiết bị được gọi là loại A nếu tuổi thọ của

nó kéo dài ítnhất 400 giờ Tính tỉ lệ thiết bịloại A

c) Tínhtỉ lệ thiết bị có tuổi thọ từ 90 giờ đến





100

5.1 Mode (Giá trị tin chắc nhất): Mod(X) là

giá trị của X mà tại đó xác suất lớn nhất

Giải

Mod(X)

Vì max 0,024; 0,188, 0,452, 0,336 tại x2nên

0,4522

f x  x x

3( ) (1 )2

5.2 Median (Trung vị): là điểm chia đôi

phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

Chú ý: Med(X) có thể nhận nhiều giá trị khác

nhau

X rời rạc X liên tục

1

1 Med(X) ( ) ( )

2

khi 0 1 15

x

x x

E(X) n n

n

i i i

E( Xa bY  c) aE(X) bE(Y) c a b c const; , , :

E(XY)  E(X).E(Y)nếu X và Y độc lập

 Nếu thì

1

( ) E(Y)

( ) ( )

n

i i i

- E(X) là giá trị trung bình (theo xác suất) mà

Xnhận được, nó phản ánh giá trị trung tâm củaphânphối xác suất của X

-Trongthực tế sản xuất hay kinh doanh nếu cần

chọn phương án cho năng suất hay lợi nhuận

cao, người ta chọn phương án sao cho năng suất kì vọng hay lợi nhuận kì vọng cao.

177

Ví dụ 14: Một hộp đựng 10 quả cầu giống nhau nhưng

khác nhau về trọng lượng: 5 quả nặng 1kg, 2 quả nặng

2kg, 3 quả nặng 3kg Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 1 quả.

Tìm trọng lượng trung bình của một quả cầu.



178

Ví dụ 15: (Trò chơi đề) Trong 100 số đề sẽ chỉ có 1 số

thắng, 99 số thua Thắng thì được 70 lần tiền đặt cọc.

Thua thì mất tiền đặt cọc Người chơi chọn 1 số đề Có nên chơi trò này nhiều lần không ?

Ví dụ 16: Gọi X(năm) là tuổi thọ của một thiết

bị với hàm mật độ

2

2khi [1, 2]

2

2 1 1

2E(X) xf x dx( ) dx 2 ln | |x 2 ln 2

 2 2

  nên phương sai là trung bình của

bình phương độ lệch giữa giá trị X so với E(X)

-Dùng để đo mức độ phân tán quanh kỳ vọng Nghĩa là:

phương sai nhỏ thì độ phân tán nhỏ nên độ tập trung lớn

-Trong trồng trọt, phương sai đặc trưng cho độ ổn định

của năng suất.

Ví dụ 17: Năng suất của 2 máy tương ứng là

các biến ngẫu nhiên X, Y (sản phẩm/phút) có phân phối xác suất

Nếu phải chọn mua một trong hai máy này, tanên chọn mua máy nào?

Var(Y) E(Y ) E(Y) 2,54

Var(Y) Var(X)

  , nghĩa là năng suất của X ổn định

hơn của Y Vậy, chọn máy X.

Ví dụ 18: Trọng lượng X(kg) của một loại sản

phẩm là biến ngẫu nhiên có hàm mật độ:

Tínhtrọng lượng trung bình và độ lệch tiêuchuẩn của X

VI Định nghĩa BNN n chiều:

Biến ngẫu nhiên n chiều là một bộ gồm n biến

ngẫu nhiên

Ký hiệu: V  (X ,X ,X , ,X )1 2 3 n

trong đó là các BNN X ,X ,X , ,X1 2 3 n

Ví dụ 19:

V= (X,Y): biến ngẫu nhiên 2 chiều

V = (X, Y,Z): biến ngẫu nhiên 3 chiều

188

Ví dụ 20: Một máy sản xuất một loại sản

phẩm Nếu kích thước của sản phẩm được đobằng chiều dài X và chiều rộng Y, thì ta cóbiến ngẫu nhiên 2 chiều: V = (X, Y) Nếu tínhthêm cả chiều cao Z nữa thì ta có biến ngẫunhiên 3chiều: W = (X, Y, Z)

Ví dụ 21: Xét một công ty tư nhân với hai chỉ

tiêu làdoanh thu và chi phí quảng cáo Gọi

X làdoanh thuvà Y làchi phí quảng cáothì

V = (X, Y) tạo nên một biến ngẫu nhiên 2chiều

VII BNN 2 chiều rời rạc:

7.1 Bảng phân phối xác suất của V = (X,Y) (Bảng phân phối xác suất đồng thời của X

7.2 Hàm mật độ đồng thời của V=(X,Y):

Chobảng phân phối xác suất đồng thời của

V=(X,Y) Khiđó, hàm mật độ đồng thời là:

khi ( , ) ( , ) ( , )

Ví dụ 22: Cho hai biến ngẫu nhiên độc lập có

bảng phân phối xác suất như sau

4 3 12

     

1 2 1 P(X 1).P(Y 1)

4 3 6

     

1 1 1 P(X 2).P(Y 2)

P(X  3, Y    1)

123

3 3 9

     

5 1 5 P(X 3).P(Y 2)

12 3 36

     

5 2 5 P(X 3).P(Y 1)

Chobảng phân phối xác suất đồng thời của

V=(X,Y) Khi đó, để lâp bảng phân phối của

X,của Y như sau:

Bước 1: Nhìn vào bảng phân phối của V, ta sẽ

biết được các giá trị mà X, Y nhận được

Bước 2: Tính các xác suất tương ứng.

| |

| | | | | | | | +

200

Ví dụ 23: Cho bảng phân phối xác suất đồng

thời của V=(X,Y) như sau

7.4 Phân phối có điều kiện:

P(X| Y):Xác suất để X xảy ra khi biết Y đã xảy ra

P(X |Y=y j ) P(X=x1|Y=y j ) … P(X=x m|Y=y j)

Bảng phân phối có điều kiện của Y khi X=x i:

P(Y | X=x i ) P(Y=y1|X=x i) … P(Y=y n|X=x i)

Ví dụ 24: Một hộp có 3 bi đỏ, 4 bi trắng và 5 bi

vàng Chọn ngẫu nhiên 3 quả từ hộp Gọi X, Y

lần lượt là số bi đỏ, số bi vàng có trong 3 bi được

chọn

a)Lập bảng phân phối đồng thời của X và Y

b) Tìm các phânphối biên của X và của Y

c) Tìm phânphối của số bi đỏ biết số bi vàng đã

chọn được là 1

206

207

VIII BNN 2 chiều liên tục:

Sinh viên tự nghiên cứu

Bảng phân phối xác suất của Y = f(X):

Cho bảng phân phối xác suất của X

X x1 x2 … x n

P p1 p2 … p n Cần tìm bảng phân phối xác suất của Y = f(X)?

Ví dụ 25: Cho biến ngẫu nhiên X có bảng

phânphối xác suất như sau

P 0,1 0,2 0,3 0,4Hãy lập bảng phân phối xác suất của

P(X   1) P(Y   3)

Ví dụ 26: Theo tài liệu thống kê về tai nạn

giao thôngở một thành phố, người ta thấy xác

suất một xe máy bị tai nạn trong 1 năm là

0,0045 Một công ty bảo hiểm đề nghị tất cả

cácchủ xe phải mua bảo hiểm xe máy với số

tiền là 50.000 đồng/xe/năm và số tiền bảo

hiểm trung bình cho 1 vụ tai nạn xe máy là 5

triệu đồng Biết chi phí quản lý bảo hiểm

chiếm 25% số tiền bán bảo hiểm Hãy tính lợi

nhuận mà công ty bảo hiểm kỳ vọng thu được

đối với mỗi hợp đồng bảo hiểm

biến ngẫu nhiên X và Y.

Bảng phân phối xác suất của Z = f(X,Y):

Cho bảng phân phối xác suất đồng thời của X và Y

Cần tìm bảng phân phối xác suất của Z= f(X,Y)?

216

Bước 1: Tìm các giá trị cho Z:

Bước 2: Tính xác suất tương ứng cho Z:

P(Z0)P(Z 1) P(Z2)

0, 2 0,1 0, 3

P(X0, Y  1) P(X1, Y0)0,1 0,1 0, 2

10.1 Kì vọng của biến ngẫu nhiên 2 chiều:

Chobiến ngẫu nhiên 2 chiều V=(X,Y) Kì vọngcủa V là

E(V)  E(X), E(Y)  

10.2 Kì vọng của hàm 1 biến ngẫu nhiên

Y=f(X)với X rời rạc :

10.3 Kì vọng của hàm 2 biến ngẫu nhiên

Z=f(X,Y)với (X,Y) rời rạc:

10.6 Hệ số tương quan:

Chobiến ngẫu nhiên 2 chiều V=(X,Y) Ta gọi

hệ số tương quan của V là

cov(X, Y) (X,Y)

Ví dụ 28: Thống kê dân số của một vùng theo 2 chỉ

tiêu: giới tính (X), học vấn (Y) được kết quả cho trong

X

Thất học 0

Phổ thông 1

Đại học 2 Nam: 0 0,1 0,25 0,16

Nữ: 1 0,15 0,22 0,12

a)Lập bảng phân phối xác suất của học vấn, của giới tính

b)Học vấn có độc lập với giới tính không?

c) Tìm xácsuất để lấy ngẫu nhiên 1 người thì người đó

Chương 3:

MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

Giảng viên: Phan Trung Hiếu

-Thực hiện phép thử n lầnđộc lập nhau.

-Trongmỗi lần thử, ta quan tâm đến 1 biến cố A

nàođó (xảy ra hay không xảy ra)với

luôn là hằng số không đổi, không phụ thuộc

X có phân phối nhị thức, ký hiệu: X ~ B n p ( , )

Gọi X: số lần biến cố A xảy ra Khi đó:

Ví dụ 1: Gieo 10 hạt đậu Xác suất nảy mầm của

mỗi hạt là 0,8 Tính xácsuất để trong 10 hạt:

Phép thử: Gieo 1 hạt đậu.A: “Hạt nảy mầm” P( )A 0,8.

Gieo 10 hạt đậu nghĩa là thực hiện phép thử 10 lần độc lập nhau

e) Xác suất có nhiều nhất 9 hạt nảy mầm:

f) Xác suất có 9 hạt không nảy mầm