Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 3: Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng (Trường ĐH Thương mại)

Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 3: Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng. Chương này cung cấp cho học viên những kiến thức về: quy luật phân phối nhị thức B(n,p); quy luật phân phối Poisson P(λ); quy luật phân phối Chuẩn N(μ,σ2); quy luật phân phối Khi Bình Phương; quy luật phân phối Student T(n); quy luật phân phối Fisher - Snedecor F(n1,n2); luật số lớn;... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài giảng!

CHƯƠNG 3

MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

THÔNG DỤNG

Chương 3

MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG

1 Quy luật phân phối nhị thức B(n,p).

2 Quy luật phân phối Poisson P(λ).

3 Quy luật phân phối Chuẩn N(,2).

4 Quy luật phân phối Khi Bình Phương.

5 Quy luật phân phối Student T(n).

6 Quy luật phân phối Fisher - Snedecor F(n1,n2).

7 Luật số lớn.

• Một dãy các phép thử độc lập, trong mỗi phép thử chỉ

có có thể xảy ra hai khả năng hoặc A xảy ra hoặc A khôngxảy ra Xác suất để xảy ra biến cố A là không đổi và bằngp

• Dãy thỏa mãn các điều kiện trên gọi là dãy phép thửBernoulli

Chương 3

§1 QUY LUẬT PHÂN PHỐI NHỊ THỨC

1.1 Dãy phép thử Bernoulli

1.1.1 Định nghĩa

Chương 3

§1 QUY LUẬT PHÂN PHỐI NHỊ THỨC B(n,p)

Cho dãy n phép thử Bernoulli về cùng biến cố A vớip(A) = p luôn không đổi Khi đó xác suất để có đúng k lầnbiến cố A xảy ra trong n phép thử được tính:

1.1.2 Công thức Bernoulli

k n k

k n

n k

p

q  1  ;  0 , 1 , 2 , ,

Trong đó:

Chương 3

1.2 Quy luật phân phối Nhị thức B(n,p)

• ĐLNN rời rạc X được gọi là phân phối theo quy luật nhịthức với các tham số n và p, ký hiệu X~B(n,p) nếu nó nhậnmột trong các giá trị có thể có 0,1,2 n với các xác suất tươngứng được tính theo công thức:

1.2.1 Định nghĩa

k n k

k n

n k

p

q  1  ;  0 , 1 , 2 , ,

§1 QUY LUẬT PHÂN PHỐI NHỊ THỨC B(n,p)

Chương 3

Cho X là ĐLNN phân phối theo quy luật nhị thứcB(n,p) Khi đó:

§1 QUY LUẬT PHÂN PHỐI NHỊ THỨC B(n,p)

1.2.2 Các số đặc trưng của ĐLNN phân phối Nhị thức

2 Var(X) = npq

3 Mod(X) = k0 sao cho:

(n+1).p – 1 ≤ k0 ≤ (n+1).p với k0  N

Chương 3

2.1 Định nghĩa

ĐLNN rời rạc X được gọi là phân phối theo quy luậtpoisson với tham số λ>0, ký hiệu X~P(λ), nếu nó nhận các giátrị có thể có 0,1,2… với các xác suất tương ứng được tínhtheo công thức:

2 , 1 ,

X P

Chương 3

Cho X là ĐLNN phân phối theo quy luật Poisson Khi đó:

§2 QUY LUẬT PHÂN PHỐI POISSON P(λ)

2.2 Các số đặc trưng của ĐLNN phân phối Poisson

2 Var(X) = λ

3 Mod(X) = k0 sao cho:

λ– 1 ≤ k0 ≤ λ với k0  N

Chương 3

§2 QUY LUẬT PHÂN PHỐI POISSON P(λ)

2.3 Mối quan hệ giữa quy luật Nhị thức và quy luậtPoisson

Nếu n khá lớn, p khá bé (<0,1) thì phân phối Nhị thứcB(n,p) sẽ xấp xỉ phân phối Poisson P(λ) với λ=n.p

!

),

(

k

eq

pCp

np

k p

n k

k n k

Chương 3

3.1 Định nghĩa

ĐLNN liên tục X nhận các giá trị trên R được gọi là phânphối chuẩn với tham số μ và σ > 0, ký hiệu X~ N(μ,σ 2), nếuhàm mật độ xác suất của nó có dạng:

2

2

2

) (

2

1 )

f

§3 QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN N( μ,σ 2 )

làm trục đối xứng và đạt cực đại tại x=μ

Nhận xét:

3.2 Các số đặc trưng của ĐLNN phân phối chuẩn N(μ,σ 2)

§3 QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN N( μ,σ 2 )

Chương 3

• Khi μ=0 và σ=1 ta nói X có quy luật phân phối chuẩn hóaN(0,1) và hàm mật độ xác suất có dạng (hàm Gauss):

Nhận xét:

• Hàm phân phối xác suất của ĐLNN X có phân phối chuẩn:

§3 QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN N( μ,σ 2 )

dt e

x F

2

1 )

Chương 3

Nhận xét:

§3 QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN N( μ,σ 2 )

X a

Tính chất:  (  x )    ( x )

5 , 0 )

 x

Khi x > 5 ta lấy3.3.1 Công thức P(a<X<b)

Chương 3

3.3.2 Hệ quả:

§3 QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN N( μ,σ 2 )

) 1 5 (

2 )

5 , 0 )

( )

X P b

X P

a P X

a

P ( ) ( ) 0 , 5

0 )

2 (

0 )

3 (

2  



Chương 3

• Các quy tắc cho ta thấy 95.44% giá trị của ĐLNN X cóphân phối chuẩn nằm trong khoảng (μ - 2σ; μ + 2σ) và hầu chắc chắn (99,73%) giá trị của X nằm trong khoảng (μ - 3σ; μ + 3σ)

Nhận xét:

§3 QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN N( μ,σ 2 )

• Nếu trong thực tế ĐLNN X thỏa mãn quy tắc 2σ và 3σ thì

ta có thể coi nó có phân phối xấp xỉ chuẩn

Chương 3

Cho U ~ N(0,1) và 0<  <1 cho trước Khi đó, giá trị uthỏa mãn:

P(U> u) = được gọi là phân vị chuẩn mức 

Chương 3

• Định lý 1: Cho các ĐLNN X1,X2,… ,Xn độc lập, Xi ~N( μi,σi2 )

thì ĐLNN X=∑Xi ~N(μ,σ 2 ) với μ= ∑μi; σ 2 = ∑σi2

3.6 Tổng của các ĐLNN độc lập cùng phân phối chuẩn

§3 QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN N( μ,σ 2 )

• Định lý 2: Cho các ĐLNN X1,X2,… ,Xn độc lập, Xi ~N( μi,σi2 )

thì ĐLNN X=(∑aiXi +b)~N(μ,σ2 ) với μ= ∑aiμi+b; σ 2 = ∑ai2 σi2

Chương 3

3.6 Tổng của các ĐLNN độc lập cùng phân phối chuẩn

§3 QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN N( μ,σ 2 )

• Định lý 3: Cho các ĐLNN X1,X2,… ,Xn độc lập cùng phânphối N(μ,σ2 ) ta có:

) ,

~ n

X U









Khi n lớn và p không quá gần 0 và 1 (0,1 < p < 0,9) ta

có X có phân phối xấp xỉ chuẩn N(μ,σ2) với μ = np; σ2 = npq

Chương 3

3.7.2 Định lý giới hạn tích phân

§3 QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN N( μ,σ 2 )

) ( )

( 2

1 )

2 1

2

1

2

x x

dt e

k X

Chương 3

4.1 Định nghĩa

§4 QUY LUẬT PHÂN PHỐI KHI BÌNH PHƯƠNG  2 n( )

Nếu X1, X2,…, Xn là các ĐLNN có phân phối chuẩn

theo quy luật khi bình phương với n bậc tự do

) ( 2 1

2

2 n ~ n i

Chương 3

Nhận xét

§6 QUY LUẬT PHÂN PHỐI KHI BÌNH PHƯƠNG  2 n( )

•Nếu X1, X2,…, Xn là các ĐLNN có phân phối chuẩn N(μ,σ2)

với n1 + n2 bậc tự do

,

2 1

2



2 2

2

1 

Chương 3

4.2 Các số đặc trưng chính của quy luật Khi bình phương

§4 QUY LUẬT PHÂN PHỐI KHI BÌNH PHƯƠNG  2 n( )

2 n





Chương 3

5.1 Định nghĩa

§5 QUY LUẬT PHÂN PHỐI STUDENT T (n)

Cho ĐLNN  2 ~  2(n) và U~N(0,1) thì ĐLNN T với:

n

U T

Var T

E

Chương 3

5.2 Phân vị

§5 QUY LUẬT PHÂN PHỐI STUDENT T (n)

Cho ĐLNN T~T(n) với 0<<1 cho trước, ta tìm được t(n)

sao cho: P(T> t(n)) = 

t(n) là phân vị student n bậc tự do mức 

Tính chất t1(n)   t(n)

Khi n>30 thì ta lấy t(n) ≈ u

Chương 3

6.1 Định nghĩa

§6 QUY LUẬT PHÂN PHỐI FISHER-SNEDECOR F(n1,n2)

Cho hai ĐLNN V1 ~  2(n1); V2 ~  2(n2) thì ĐLNN F với:

2 2 1 1

n V n

V

F 

phân phối theo quy luật Fisher-Snedecor với (n1,n2) bậc tự do

Chương 3

6.2 Phân vị

§6 QUY LUẬT PHÂN PHỐI FISHER-SNEDECOR F(n1,n2)

sao cho:

) , ( 1 2

F

phân vị Fisher-Snedecor (n1,n2) bậc tự do mức 

) ,

) ,

( n1 n2

f

) , (

) ,

(

1 1 2 2 1

1

n n

n n

Chương 3

§7 ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN VÀ LUẬT SỐ LỚN

với mọi ε > 0 bé tùy ý, ta có:

2 2

P( X      ) 1 



7.2 Bất đẳng thức Trê-bư-sép

limP f p 1

    

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN

PHẦN THỐNG KÊ