Sơ lược về số phức pot

Sơ lược về số phức Xuất phát từ nhu cầu giải quyết các vấn đề thực tiễn đời sống chúng ta đã đưa ra khái niệm phương trình từ rất sớm, với các phương trình dạng sơ khai  x xx0  0 g

Sơ lược về số phức

Xuất phát từ nhu cầu giải quyết các vấn đề thực tiễn đời sống chúng ta đã đưa ra khái niệm phương trình từ rất sớm, với các phương trình dạng sơ khai

 x xx0  0

g với x0là một số nào đó tùy ý thuộc tập hợp số tự nhiên thì phương trình luôn có nghiệm trên trường số tự nhiên  Cũng hoàn toàn tương tự như thế phương trình   0

9

4

2  

 x x

h luôn có nghiệm hữu tỉ, bây giờ đi xét tiếp phương trình dạng bậc 2 thì không phải lúc nào cũng có nghiệm chẳng hạn như phương trình m x x2  1  0sở dỉ chọn số “1 “là vì mọi phương trình dạng

 x x2 a2  0

n thì đều đưa về dạng tối giản là Quay trở lại phương

trình thì rõ ràng phương trình này không có nghiệm thực R, từ phương trình g(x)=0 đến h(x)=0 chúng ta thấy được có sự mở rộng tập hợp nghiệm trên các trường số khác nhau, như vậy liệu có phát sinh thêm “các số mới” trên “một trường số mới” đề phương trình trở nên có nghiệm, thì vào thế kỉ XVI người ta đưa ra khái niệm “các số mới” này với một cái tên là “số phức” kí hiệu là C Người ta mới chỉ ra rằng số có dạng z x yi trong đó x,yR và i2  1  0i gọi là đơn vị ảo , lúc đó gọi x là phần thực (Re z), y là phần ảo (Im z), như vậy thì khi y= 0 z gọi là số thực và khi x= 0 z gọi là số thuần ảo Rõ ràng khi viết dạng tập hợp C  a,b a,bRngười ta lại định nghĩa 2 phép toán cơ bản như sau:

    a,b  c,d  ac,bd và    a,b.c,d  acbd,adbc

Giống như số thực R có đặc số là 0 thì tương tự ở số phức người ta nói “Tập hợp các số phức C và 2 phép cộng và nhân lập nên một trường có đặc số bằng không” Phần tử trung lập của phép cộng là 0  0 , 0 và đơn vị của phép cộng là

 1 , 0

1  tạo nên nghịch đảo số phức khi    a,b  0 , 0 là:





















2 2 2 2 1

, ,

b a

b b

a

a b

Nhận xét rằng nếu như mà tồn tại một ánh xạ  :RC tương ứng với x  x, 0

là một vành đơn cấu, và cũng đồng nhất số xR với số phức dạng    x, 0 xR

đồng nhất với nhau hay nói khác đi tập hợp các số thực R được đồng nhất với mỗi    x, 0 xR Vậy nên trường các số thực là trường con của trường số phức C

Bây giờ chúng ta sẽ xét biểu diễn hình học của số phức: Trên mặt phẳng tọa độ Descates Oxy số phức z xyi với x,yR thì số phức này được biểu diễn bởi diểm M x,y hay là OM tính từ O đến điểm M, cộng số phức thực chất là cộng véctơ Chính vì điểm này mà “2 số phức” được gọi là bằng nhau nếu và chỉ nếu phần thực và phần ảo tương ứng bằng nhau.Góc giữa OM và trục Ox gọi là arggument của số phức, hay viết dưới dạng kí hiệu: OM,Ox arg(z)









 

Lúc đó người ta gọi mặt phẳng Oxy là mặt phẳng phức, Ox là trục thực còn Oy là trục

ảo Phép đối xứng qua trục thực tạo ra điểm M'tạo nên một số phức liên hợp như vậy dễ dàng thấy được: z x yi với x,yR .Dễ dàng kiểm tra 2 tính chất:

n

m

n

m   và mnm n với m, n là 2 số phức

Bây giờ khảo sát số phức dưới dạng lượng giác: gọi zrcos  isin  là dạng lượng giác số phức với r 0, OM, Ox và z 0, điều kiện này đúng theo cả

“hai chiều” Cách viết dưới dạng số phức giúp hạn chế “tối đa” sự “cồng kềnh” trong tính toán lũy thừa và khai căn Ta sẽ chứng minh điều mới nói trên, đầu tiên xét đồng nhất thức :  2  2 2 22

1 1

2x  x  x Xét số phức: z  2x1 x2i x

là con số chạy mãi miết trên trục thực trừ 2 điểm 0 và 1 ra Ta sẽ chỉ ra rằng tồn tại một số phức dưới dạng lượng giác biểu diễn z Thật vậy:













































x

x x

x x

2 2

2

1

1 1

2

1 x

r   thì lúc ấy   sai khác nhau m2  với

Z

m sao cho: 2

1

2 cos

x

x





1

1 sin

x

x







 điều này có thể hiểu qua đồng nhất

thức ở trên khi thay 











 2 tan 

x ứng với sin2  cos2  1

Cuối cùng là công thức Moivre: Xét một số phức bất kì zrcos  isin thì lúc

ấy ứng mới một số n nguyên dương ta có: z n r ncosn isinn (*)

Ta sẽ giải quyết bằng phương pháp quy nạp toán học:

Dễ thấy với n=1 thì (*) luôn đúng

Bây giờ giả sử với n=k đúng, tức là: z k r kcosk isinkta sẽ chứng minh (*) đúng với n=k+1 Dễ thấy: z k1 r kcosk isink r cosk isink

   

 

k i k

r k như vậy việc chứng minh đưa về biến đổi lượng giác

Phép chứng minh hoàn tất

Chú ý ta cũng có được: Với số phức z rcos  isin và n nguyên dương:























 













 



n

m n

i n

m n r

z n

sin

2

to be continued