CHUYÊN ĐỀ LÝ THUYẾT ĐỒNG DƯ1.. Hai số nguyên a và b được gọi là đồng dư với nhau theo môđun m nếu chúng có cùng số dư trong phép chia cho m, và ký hiệu bởi: a ≡ b mod m.. • Ngoài ra địn
Trang 1CHUYÊN ĐỀ LÝ THUYẾT ĐỒNG DƯ
1 ĐỒNG DƯ THỨC:
a) Định nghĩa:
• Cho số nguyên dương m Hai số nguyên a và b được gọi là đồng dư với nhau theo môđun m nếu chúng có cùng số dư trong phép chia cho m, và
ký hiệu bởi: a ≡ b (mod m).
Đọc là a đồng dư b môđun m.
• Ngoài ra định nghĩa trên còn có cách hiểu sau:
Cho m là số nguyên dương Hai số nguyên a và b được gọi là đồng dư với nhau theo môđun m nếu hiệu a-b chia hết cho m.
Kí hiệu: a ≡ b (mod m).
• Nếu a-b không chia hết được cho m ta viết a b (mod m)
• Ví dụ:
3 ≡ -1 (mod 4) Vì 3-(-1)= 4 4 ⋮
5 ≡ 17 (mod 6).
18 ≡ 0 (mod 6).
•
Trang 2• a ≡ a (mod m) với mọi a
• Nếu a ≡ b (mod m) thì b ≡ a (mod m)
• a ≡ b (mod m) và b ≡ c (mod m) thì a ≡ c (mod m)
• Nếu a1 ≡ b1 (mod m) và a2 ≡ b2 (mod m) thì a1 ± a2 ≡ b1 ± b2 (mod m)
hay nếu a ≡ b (mod m) thì a ± x ≡ b ± x (mod m) với x là số nguyên tùy ý.
• Nếu a1 ≡ b1 (mod m) và a2 ≡ b2 (mod m) thì a1.a2 ≡ b1.b2
(mod m) hay:
• Nếu a ≡ b (mod m) thì a.x ≡ b.x (mod m) với x là số nguyên tùy ý.
• Nếu a ≡ b (mod m) thì ≡ (mod m) với n là số nguyên
dương bất kì.
•
Trang 32 Bài tập ví dụ:
Bài tập 1:
a) Chứng minh rằng các số : A= – 1 và B = + 1 đều là bội số của 7 b) Tìm số dư phép chia: cho 3.
Giải
c) Ta có 6 ≡ -1 (mod 7) => ≡ (mod 7)
-1 ≡ - 1 (mod 7)
-1 ≡ 0 (mod 7) => ( -1 ) 7 ⋮
=> A= – 1 là bội số của 7
• Từ ≡ 1 (mod 7) => ≡ 6 (mod 7) mà 6 ≡ -1 (mod 7)
≡ -1 (mod 7) => +1 ≡ -1 + 1 (mod 7)
+1 ≡ 0 (mod 7) => ( +1) 7 ⋮
B = + 1 là bội số của 7
b) Ta có : ≡ 1 (mod 3) => ≡ 1 (mod 3) Hay số dư cần tìm là 1.
•
Trang 4Bài tập 2: Tìm số dư trong các phép chia sau:
a) – 1 chia cho 9
b) chia cho 41
c) chia cho 17
•
Trang 5Bài tập 2: Tìm số dư trong các phép chia sau:
a) – 1 chia cho 9
Ta có ≡ (mod 9)
-1 ≡ 31(mod 9)
≡ 4 (mod 9)
=> Số dư là 4
•
Trang 6b) chia cho 41.
Ta có : 51200 ≡ 32(mod 41)
=> 51200 ≡ -9(mod 41)
≡ 81 ≡ 40 ≡ -1 (mod 41)
≡ 1 (mod 41)
Do = =
=> = ≡ 1 (mod 41)
=> Số dư là 1
•
Trang 7c) chia cho 17
Ta có : 1035125 ≡ 12 ≡ -5 (mod 17)
) ≡ (mod 17)
Ta có:1035125 ≡ 12 ≡ -5 (mod 17)
≡ 25 ≡ 8 (mod 17) => ≡ 64 ≡ -4 (mod 17)
=> ≡ 16 ≡ -1 (mod 17)
≡ ≡ 1(mod 17)
Vì 5642 = 16.352+10 = 16.352+8+2
Ta có: ≡ 1(mod 17)
=>≡ (mod 17)
≡ (mod 17).
≡ -8 ≡ 9(mod 17) => Số dư là 9.
•
Trang 8Bài tập 4: Tìm số dư trong phép chia: cho
13.
Bài tập 5: Tìm số dư trong phép chia: + cho 12
Bài tập 6: Tìm số dư : + + khi chia cho 3 và khi chia cho 5
Trang 113 Phương trình đồng dư 1 ẩn
PT đồng dư bậc nhất 1 ẩn:ax ≡ b (mod m) (1)
Có nghiệm khi và chỉ khi d = (a,m) là ước của b Khi ấy phương trình có d nghiệm
Trường hợp : d=1 ta có hai cách giải (1)
- Cách 1: Nếu a b thì x ≡ b/a ( mod m) ⋮
Nếu a không chia hết cho b thì do (a,m) =1 nên tồn tại
u, v Z để : au+mv =1 ∈
a(ub) +m(vb) = b
a(ub) ≡ b (mod m)
• Từ đó nghiệm của (1) là x ≡ ub (mod m)
Trang 12Bài tập 3: Giải các phương trình đồng dư sau:
a) 3x ≡ 7 (mod 8)
(3,8) = 1 => 3u + 8v =1,
Chọn u=3, v=-1 ta có: 3.3 - 8=1
=> 3.(3.7) -8.7 = 7 => x ≡ 21 ≡ 5(mod 8)
b) 7x ≡ 6 (mod 13)
Tương tự 7.2-13 = 1
=> 7( 2.6) – 13 6 = 6
=> x ≡ 12 ≡ -1 (mod 13)