Góp phần bồi dưỡng một số yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo cho học sinh khá và giỏi thông qua dạy học chuyên đề lý thuyết đồ thị

Việc mô hình hoá các bài toán thực tiễn và giải toán thông qua đồ thị ĐT cũng đã được một số tác giả trong và ngoài nước quan tâm, tiêu biểu như các tác giả Vũ Đình Hoà, Hoàng Chúng, L.I

MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

1.1 Sự phát triển của đất nước trong thời kỳ công nghiệp hoá, hiện đại hoá đang đòi hỏi phải nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo Nghị quyết hội nghị lần thứ 4 Ban chấp hành TW Đảng Cộng sản Việt Nam khoá VII đã nêu rõ một trong những quan điểm chỉ đạo để đổi mới sự nghiệp giáo dục và đào tạo là “ Phát triển giáo dục nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực bồi dưỡng nhân tài, đào tạo những con người có kiến thức văn hoá, khoa học, có kỹ năng nghề nghiệp, lao động tự chủ, sáng tạo và có kỷ luật, giàu lòng nhân ái, yêu nước, yêu chủ nghĩa xã hội, sống lành mạnh, đáp ứng nhu cầu phát triển đất nước ”

Đào tạo được những con người mới năng động sáng tạo, có năng lực giải quyết vấn đề là một trong những nhiệm vụ trọng tâm của ngành Điều này

đã được cụ thể hoá trong Luật giáo dục nước CHXHCN Việt Nam “ Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học ; bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên ” (Luật giáo dục 1998, chương I, điều 4)

1.2 Năm 2001, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã có quy định 11 chuyên đề bồi dưỡng học sinh (HS) giỏi toán thống nhất trong toàn quốc trong đó có chuyên đề Lý thuyết đồ thị (LTĐT) Như vậy việc dạy học chuyên đề LTĐT cho HS khá và giỏi đang là nhu cầu thực tế trong dạy học toán ở trường phổ thông Tuy nhiên việc dạy học chuyên đề này đang còn tồn tại một số khó khăn vì một số lý do khác nhau Một trong những lý do đó chính là sự mới mẽ

và, độc đáo và khó của chủ đề kiến thức này Chuyên đề LTĐT có một đặc điểm nổi bật là việc giải các dạng toán trong “lòng đồ thị” không cần nhiều đến các kiến thức mà HS không hiểu được mà cần đến sự sáng tạo trong cách

nhìn nhận bài toán và lập luận cách giải dưới “con mắt” của LTĐT Vì vậy chuyên đề này chứa đựng tiềm năng lớn có thể khai thác để bồi dưỡng một số yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo (TDST) cho HS khá và giỏi

1.3 Vấn đề bồi dưỡng TDST cho HS đã được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Ở nước ta các tác giả Hoàng Chúng, Nguyễn Cảnh Toàn, Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thuỵ, Tôn Thân, Phạm Gia Đức, Trần Luận đã có nhiều công trình giải quyết nhiều vấn đề về lý luận và thực tiễn của việc phát triển TDST cho HS Vấn đề này cũng có nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm nghiên cứu, tiêu biểu là Krutecxki trong tác phẩm

“Tâm lý năng lực toán học của HS ” đã nghiên cứu cấu trúc năng lực toán học của HS Với tác phẩm “ Sáng tạo toán học” nổi tiếng, nhà toán học kiêm tâm

lý học G.Polya đã nghiên cứu bản chất của quá trình giải toán, quá trình sáng tạo toán học

Việc mô hình hoá các bài toán thực tiễn và giải toán thông qua đồ thị (ĐT) cũng đã được một số tác giả trong và ngoài nước quan tâm, tiêu biểu như các tác giả Vũ Đình Hoà, Hoàng Chúng, L.Iu.Berezina tuy nhiên các tác giả đó chưa tìm hiểu về trò của LTĐT đối với việc phát triển TDST cho

HS

Chính vì những lý do trên chúng tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu: “Góp phần bồi dưỡng một số yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo cho học sinh khá và giỏi thông dạy học chuyên đề Lý thuyết đồ thị ”

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Trên cơ sở phân tích mối quan hệ giữa mô hình ĐT với các bài toán thực tiễn nhằm xây dựng các BP dạy học chuyên đề LTĐT theo định hướng bồi dưỡng một số yếu tố đặc trưng của TDST cho HS

3 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu tiềm năng sư phạm của chuyên đề LTĐT đối với việc phát triển TDST cho HS

Xây dựng các BP sư phạm và hình thức tổ chức dạy học theo định hướng bồi dưỡng một số yếu tố của TDST cho HS thông qua dạy học chuyên

đề LTĐT

4 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Có thể bồi dưỡng TDST cho HS thông qua dạy học chuyên đề LTĐT nếu thường xuyên quan tâm đến việc xây dựng hệ các bài tập thực tiễn, các bài toán phổ thông có đặc điểm ĐT và có BP dạy học phù hợp

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến LTĐT, các tài liệu về tâm lý học, giáo dục học, nhằm làm sáng tỏ vai trò của LTĐT đối với việc phát triển TDST cho HS

- Tìm hiểu thực tiễn dạy học chuyên đề LTĐT

- Thực nghiệm sư phạm

6 CẤU TRÚC LUẬN VĂN

A Phần mở đầu

B Phần nội dung

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

1.1 Tư duy sáng tạo

1.2 Các yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo

1.3 Phương hướng chủ yếu bồi dưỡng một số yếu tố của tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua môn toán ở trường trung học phổ thông

1.4 Tiềm năng phát triển tư duy sáng tạo của chuyên đề Lý thuyết đồ thị

1.5 Kết luận

Chương 2: Các biện pháp bồi dưỡng một số yếu tố đặc trưng của tư

duy sáng tạo cho học sinh khá và giỏi thông qua dạy học chuyên đề Lý thuyết đồ thị

2.1 Các kiến thức cơ bản của chuyên đề Lý thuyết đồ thị

2.2 Các yêu cầu của việc đề ra các biện pháp nhằm bồi dưỡng một số yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo cho học sinh khá và giỏi thông qua dạy học chuyên đề Lý thuyết đồ thị

2.3 Các biện pháp xây dựng được

2.4.Vai trò của các biện pháp và các định hướng thực hiện các biện pháp nhằm bồi dưỡng một số yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo cho học

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 TƯ DUY SÁNG TẠO

Theo định nghĩa trong từ điển thì sáng tạo (ST) là tìm ra cái mới, cách giải quyết vấn đề mới không bị gò bó và phụ thuộc vào cái đã có Nội dung của sáng tạo gồm hai ý chính: có tính mới (khác với cái cũ, cái đã biết) và có lợi ích (có giá trị hơn cái cũ) Như vậy sự ST cần thiết cho bất kỳ hoạt động nào của xã hội loài người ST thường được nghiên cứu trên nhiều phương diện như là một quá trình phát sinh cái mới trên nền tảng cái cũ, như một kiểu

tư duy(TD), như là một năng lực của con người

Trong cuốn Phương pháp luận duy vật biện chứng với việc học, dạy,

nghiên cứu toán học, tác giả Nguyễn Cảnh Toàn cho rằng “Sáng tạo là sự vận động của TD từ những hiểu biết đã có đến những hiểu biết mới” Cũng theo

tác giả thì “Người có óc sáng tạo là người có kinh nghiệm về phát hiện và giải

quyết vấn đề ”[26]

Theo HenryGleitman “Sáng tạo, đó là năng lực tạo ra những giải pháp

mới hoặc duy nhất cho một vấn đề thực tiễn và hữu ích ” (Trích theo [24])

Theo Lecne [17] có hai kiểu TD cá nhân: một kiểu gọi là TD tái hiện, một kiểu gọi là TDST Theo định nghĩa thông thường và phổ biến nhất của TDST thì đó là TD tạo ra cái mới TDST dẫn đến những tri thức mới về thế giới và về các phương thức hoạt động Lecne đã chỉ ra các thuộc tính sau đây của quá trình TDST:

-Có năng lực chuyển các tri thức và kỹ năng sang một tình huống mới - tình huống sáng tạo

-Nhìn thấy vấn đề mới trong các điều kiện, đối tượng quen biết “đúng quy cách”

-Nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết

-Nhìn thấy cấu trúc của đối tượng đang nghiên cứu

-Kỹ năng nhìn thấy nhiều lời giải, nhiều cách nhìn đối với việc tìm kiếm lời giải (khả năng xem xét đối tượng ở những khía cạnh khác nhau, đôi khi mâu thuẫn nhau)

-Kỹ năng kết hợp những kiến thức giải đã biết thành một phương thức mới

-Kỹ năng sáng tạo một phương thức giải độc đáo tuy đã biết phương thức khác

Nhà tâm lý học Đức Mehlonr cho rằng: “TDST là hạt nhân của sự sáng

tạo cá nhân, đồng thời là mục tiêu cơ bản của giáo dục” (trích theo [24])

Theo ông TDST đặc trưng bởi chất lượng hoạt động trí tuệ như tính mềm dẻo, tính nhạy cảm, tính kế hoạch, tính chính xác

Khi bàn về quan hệ giữa các khái niệm TD tích cực, TD độc lập và TDST V.A.Krutexki cho rằng có thể biểu diễn quan hệ đó dưới dạng những vòng tròn đồng tâm Đó là những mức độ TD khác nhau mà mỗi mức độ TD

đi trước là tiền đề cho mức độ TD đi sau Trong TDST có TD tích cực và TD độc lập, nhưng không phải mọi TD tích cực đều là TD độc lập, và không phải mọi TD độc lập là TDST (Trích theo [24])

Để làm rõ mối quan hệ

này Krutexki đã giải thích bằng

một ví dụ Một HS chăm chú

nghe thầy giảng các chứng minh

định lý, cố gắng để hiểu được tài

TD tích cực

TD độc lập TDST

Hình1

liệu, ở đây có thể nói đến TD

tích cực

Nếu GV yêu cầu HS tự phân tích định lý dựa theo bài đọc trong sách giáo khoa, tự tìm hiểu cách chứng minh thì trong trường hợp này có thể nói đến TD độc lập

Có thể nói đến TDST khi HS tự khám phá, tự tìm cách chứng minh mà

HS đó chưa biết

Tác giả Tôn Thân [24] quan niệm : "TDST là một dạng TD độc lập tạo

ra ý tưởng mới, độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao" Theo tác giả

thì "TDST là TD độc lập vì nó không bị gò bó phụ thuộc vào cái đã có Tính

độc lập của nó bộc lộ vừa trong việc đặt mục đích vừa trong việc tìm giải pháp Mỗi sản phẩm của TDST đều mang rất đậm dấu ấn của mỗi cá nhân đã tạo ra nó"

Tác giả nhấn mạnh rằng:‘‘Ý tưởng mới ở đây thể hiện ở chỗ phát hiện

vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới’’,‘‘tính độc đáo của ý tưởng mới thể hiện ở giải pháp lạ,hiếm, không quen thuộc hoặc duy nhất’’[24]

1.2 MỘT SỐ YẾU TỐ ĐẶC TRƯNG CỦA TƯ DUY SÁNG TẠO

Như đã trình bày ở trên, nhiều tác giả đã đưa ra các thành phần, các yếu

tố, các biểu hiện khác nhau của TDST Tổng hợp các kết quả nghiên cứu về cấu trúc của TDST có thể thấy nổi lên năm thành phần cơ bản sau:

-Tính mềm dẻo, đó là khả năng dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác

-Tính nhuần nhuyễn, đó là khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau

-Tính độc đáo, đó là khả năng tìm kiếm và quyết định phương thức giải quyết lạ hoặc duy nhất

-Tính hoàn thiện, đó là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩ và hành động, phát triển ý tưởng, kiểm tra và chứng minh ý tưởng

-Tính nhạy cảm vấn đề, đó là năng lực nhanh chóng phát hiện ra vấn

đề, mâu thuẫn, sai lầm, thiếu logic, chưa tối ưu do đó nảy sinh ý muốn cấu trúc lại hợp lý hài hoà, tại ra cái mới

Ngoài năm thành phần cơ bản trên đây còn có những yếu tố quan trọng khác như tính chính xác, năng lực định giá trị, năng lực định nghĩa lại

Trong các yếu tố trên thì ba yếu tố đầu tiên (tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo) là ba yếu tố cơ bản đạt dược sự nhất trí cao trong hầu

hết các công trình nghiên cứu về cấu trúc của TDST (Trích theo [24])

Trong luận văn này chúng tôi cũng chỉ đề cập đến ba trong nhiều yếu tố của TDST đó là tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo

Tính mềm dẻo của TD có các đặc trưng nổi bật sau :

-Dễ dàng chuyển các hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, vận dụng linh hoạt các thao tác phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá, khái quát hoá, đặc biệt hoá và các phương pháp suy luận như quy nạp, diễn dịch, tương tự

-Suy nghĩ không rập khuôn, không áp dụng một cách máy móc những kinh nghiệm, những kiến thức, kỹ năng đã có vào hoàn cảnh mới trong đó có

nhiều yếu tố đã thay đổi, có khả năng thoát khỏi ảnh hưởng kìm hãm của những kinh nghiệm, những cách nghĩ, những phương pháp đã có từ trước

-Nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết

Tính nhuần nhuyễn của TD thể hiện rõ ở hai đặc trưng sau đây:

-Tính đa dạng của cách xử lý khi giải toán, khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau Đứng trước một vấn đề cần giải quyết, người có TD nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm ra và đề xuất được nhiều phương án khác nhau và từ đó tìm ra được phương án tối ưu

-Khả năng xem xét đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau, có cái nhìn sinh động từ nhiều phía đối với các sự vật và hiện tượng chứ không phải cái nhìn bất biến, phiến diện, cứng nhắc

1.2.3 Tính độc đáo

Tính độc đáo được đặc trưng bởi các khả năng:

-Khả năng tìm ra những liên tưởng và những kết hợp mới

-Khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong những sự kiện mà bên ngoài tưởng như không có liên hệ với nhau

-Khả năng tìm ra những giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác Các yếu tố cơ bản nói trên không tách rời nhau mà trái lại chúng có quan hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau Khả năng dễ dàng

chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo) tạo điều kiện cho việc tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau (tính nhuần nhuyễn) và nhờ đó đề xuất được nhiều phương án khác nhau mà có thể tìm được giải pháp lạ, đặc sắc (tính độc đáo)

Các yếu tố cơ bản của TDST nêu trên biểu hiện khá rõ ở HS, đặc biệt

là HS khá, giỏi Trong học tập toán mà cụ thể là trong hoạt động giải toán, các em biết di chuyển các hoạt động trí tuệ, biết sử dụng xen kẻ phân tích

và tổng hợp, biết khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự hoá Ở HS khá và giỏi cũng có sự biểu hiện các yếu đặc trưng của tư duy sáng tạo Điều quan trọng là người GV phải có phương pháp dạy học thích hợp để có thể bồi dưỡng và phát triển tốt hơn năng lực ST ở các em

1.3 PHƯƠNG HƯỚNG CHỦ YẾU BỒI DƯỠNG MỘT SỐ YẾU

TỐ CỦA TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HS THÔNG QUA MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Ngày nay, các nhà khoa học đều cho rằng mọi người đều có khả năng sáng tạo, nhưng mức độ sáng tạo rất khác nhau và có thể có những biện pháp (BP) để bồi dưỡng trí sáng tạo

Tác giả Tôn Thân [24] nêu ra các phương hướng chủ yếu bồi dưỡng các yếu tố của TDST như sau:

-Bồi dưỡng TDST cho HS cần được tiến hành trong mối quan hệ hữu

cơ với các hoạt động trí tuệ như : phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, trừu tượng hoá, đặc biệt hoá, khái quát hoá, hệ thống hoá trong đó phân tích và tổng hợp đóng vai trò nền tảng

Theo tác giả thì để bồi dưỡng tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn của

TD, HS cần được luyện tập thường xuyên năng lực tiến hành phân tích đồng thời với tổng hợp để nhìn thấy đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau, trong những mối liên hệ khác nhau Trên cơ sở so sánh các trường hợp riêng

lẻ, dùng phép tương tự để chuyển từ trường hợp riêng này sang trường hợp riêng khác, khai thác mối liên hệ mật thiết với trừu tượng hoá, làm rõ mối quan hệ chung riêng giữa mệnh đề xuất phát và mệnh đề tìm được bằng đặc biệt hoá và hệ thống hoá

-Bồi dưỡng TDST cần đặt trọng tâm vào việc rèn luyện khả năng phát hiện vấn đề mới, khơi dậy ý tưởng mới

Tác giả cho rằng, về giảng dạy lý thuyết cần tận dụng phương pháp tập duyệt nghiên cứu, trong đó giáo viên (GV) tạo ra các tình huống có vấn đề để dẫn dắt HS tìm tòi, khám phá kiến thức mới Chú ý thường xuyên tập duyệt cho HS suy luận có lý (thông qua quan sát, so sánh, đặc biệt hoá, khái quát hoá, quy nạp, tương tự ) để có thể tìm tòi dự đoán những quy luật của thế giới khách quan, tự mình phát hiện và phát biểu vấn đề, dự đoán được các kết quả, tìm được hướng giải quyết một bài toán, một định lý Nói cách khác là tăng cường hai bước suy đoán và suy diễn trong quá trình dạy học toán

Về thực hành giải toán cần coi trọng các bài toán trong đó chưa rõ điều phải chứng minh HS phải tự xác lập, tự tìm tòi để phát hiện và giải quyết vấn

-Bồi dường TDST là một quá trình lâu dài cần tiến hành trong tất cả các khâu của quá trình dạy học

Tác giả Trần Thúc Trình, trong cuốn ‘‘TD và hoạt động học toán’’, đã

nêu ra các BP sau để phát triển năng lực sáng tạo cho HS:

-Bồi dưỡng TDST cho HS cần kết hợp hữu cơ với các hoạt động trí tuệ khác

-Bồi dưỡng TDST cho HS cần đặt trọng tâm vào việc bồi dưỡng năng lực phát hiện vấn đề mới, khơi dậy những ý tưởng mới

-Chú trọng bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của TDST và trang bị cho HS phương tiện, thủ pháp của hoạt động nhận thức

-Quá trình bồi dưỡng TDST là quá trình lâu dài, cần tiến hành qua các lớp trong tất cả các khâu của quá trình dạy học

-Vận dụng tối đa phương pháp dạy học giải quyết vấn đề qua các giờ lên lớp

Tác giả Trần Luận [16] lại cho rằng có thể sử dụng các BP sau đây để bồi dưỡng, phát triển năng lực sáng tạo cho HS :

-Rèn luyện và bồi dưỡng HS theo những biểu hiện đặc trưng của hoạt động sáng tạo

-Bồi dưỡng một số yếu tố của TDST

-Bồi dưỡng các tham số có ý nghĩa lớn đối với sáng tạo theo mô hình của J.Guilford

-Dựa vào phân loại TD tích cực, TD độc lập, TDST của Krutecxki -Dạy học giải quyết vấn đề

-Thông qua hệ thống bài tập

1.4 TIỀM NĂNG PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA CHUYÊN ĐỀ LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ

LTĐT là một chuyên đề bồi dưỡng HS giỏi Tuy chuyên đề LTĐT chưa được đưa vào học ở các trường phổ thông trung học, nhưng giải toán LTĐT không cần sử dụng đến những kiến thức quá phức tạp HS không thể hiểu

được mà đòi hỏi một sự tập trung chú ý nhất định và khả năng suy luận tốt Chuyên đề này có tiềm năng quan trọng đối với việc phát triển TDST cho HS

Trước hết chúng ta nhận thấy rằng do đặc điểm của ĐT là chỉ xét những tương quan đi lại của các đối tượng toán học theo nghĩa tổng thể mà không xét đến tính chất của các đối tượng tham gia Do đó với một ĐT cho trước thì có thể có nhiều bài toán thực tiễn tương ứng với ĐT đó Vì vậy hoàn toàn có thể hướng dẫn cho HS xây dựng các bài toán thực tiễn có mô hình là

ĐT cho trước bằng sự chuyển đổi ngôn ngữ của LTĐT sang ngôn ngữ phổ thông Việc xây dựng các bài toán như trên sẽ giúp cho HS có cách nhìn bài toán theo nhiều khía cạnh khác nhau Nhìn thấy được mối liên hệ mật thiết giữa mô hình ĐT với các bài toán thực tiễn đồng thời giúp HS hiểu nguồn gốc của các bài toán Trên cơ sở đó định hướng để HS có thể sáng tạo các bài toán mới - một đặc điểm quan trọng thể hiện sự sáng tạo của các em Việc xây dựng các bài toán thực tiễn theo các mô hình của ĐT cũng sẽ góp phần rèn luyện TD logic cho HS, đây cũng là một trong các điều kiện cần để có thể phát triển TDST cho các em

Bên cạnh đó chuyên đề LTĐT ẩn chứa nhiều vấn đề có thể khai thác để rèn luyện tính độc đáo, tính mềm dẻo cho HS chẳng hạn như vấn đề về chu trình Eurle, chu trình Haminton, số Ramsey Những bài toán về các vấn đề trên được phát biểu khá đơn giản nhưng để giải chúng đòi hỏi HS phải có cách nhìn sáng tạo để có thể thấy được các yếu tố ĐT ẩn chứa trong bài toán

Được tiếp cận với chuyên đề LTĐT, HS sẽ được làm quen với nhiều kiến thức và phương pháp mới của toán học - đây sẽ là môi trường thuận lợi

để các em thể hiện trí thông minh, tính nhạy bén của bản thân trong việc tiếp thu các kiến thức và thể hiện phương pháp giải các bài toán kiểu ĐT

Cũng như các bộ phận khác của môn toán, chuyên đề LTĐT có một khối lượng bài tập khá phong phú, đa dạng tạo điều rèn luyện và phát triển

TDST cho HS Bài tập LTĐT góp phần quan trọng phát triển năng lực

TD cho HS đặc biệt là rèn luyện thao tác trí tuệ, hình thành và phát triển những phẩm chất của hoạt động TD Việc giải bài tập LTĐT cũng góp phần bồi dưỡng cho HS phương pháp nghiên cứu khoa học, bởi vì

để có thể giải quyết được các bài tập của chuyên đề LTĐT, HS cần

phải phát huy tính tự giác, tính kiên trì, nhẫn nại của bản thân

Về phần giải bài tập thuộc chuyên đề LTĐT, trong luận văn này chúng tôi sẽ đề cập một số khía cạnh sau nhằm góp phần rèn luyện một số yếu tố đặc trưng của TDST cho HS

-Giải toán LTĐT giúp HS rèn luyện năng lực thực hiện các thao tác TD như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hoá, tương tự hoá, trừu tượng hoá

-Giải toán LTĐT giúp HS sáng tạo bài toán mới, phương pháp giải toán mới

-Giải toán LTĐT giúp HS rèn luyện tính mềm dẻo, tính độc đáo, tính nhuần nhuyễn của TDST

-Giải toán LTĐT góp phần quan trọng bồi dưỡng TD lôgic cho HS Với các tiềm năng kể trên, nếu GV có hướng khai thác hợp lý thì sẽ tạo được hứng thú học tập cho HS đồng thời có thể rèn luyện và phát triển cho các em một số yếu tố đặc trưng của TDST thông qua dạy học giải toán về chuyên đề LTĐT

Ví dụ : Chia tập hợp gồm sáu số tự nhiên X={0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} thành

hai tập hợp không giao nhau A và B Chứng minh rằng tồn tại một trong hai tập hợp đó chứa hai số a, b mà a b cũng thuộc tập này

Bài toán này nếu giải bằng phương pháp thông thường thì phải chia nhiều trường hợp và biện luận tương đối phức tạp Nếu nhìn bài toán trên qua con mắt của ĐT thì lời giải sẽ đơn giản và ngắn gọn hơn, ngoài ra còn có thể

mở rộng được bài toán

Tuy nhiên để giải được bài toán đã cho bằng ngôn ngữ ĐT thì HS cần phải có cách nghĩ, cách nhìn bài toán theo một hướng hoàn toàn khác so với cách giải thông thường Nếu xem bài toán trên như là một trường hợp đặc biệt của mô hình ĐT nào đó thì GV phải hướng dẫn để HS tìm được yếu tố nào là đỉnh, yếu tố nào là cạnh của ĐT Ở bài toán này, việc xác định các đỉnh của

ĐT là đơn giản, có thể cho tương ứng mỗi số tự nhiên của tập X với một đỉnh của ĐT Còn yếu tố nào là cạnh của ĐT thì chưa bộc lộ rõ trong bài toán Do

đó GV cần phải có những gợi cho HS có cách nhìn bài toán thật linh hoạt để tìm được các cạnh của ĐT Ở đây nếu dựa vào kết luận của bài toán thì chúng

ta có thể chọn các cạnh như sau: hai đỉnh được nối với nhau bằng cạnh tương ứng với hai số a, b thoả mãn ab thuộc một trong hai tập hợp A và B Vì bài toán đã cho có hai tập hợp nên sẽ có hai loại cạnh trong ĐT Quy ước cạnh được tô bằng màu đỏ nếu hai số tương ứng a, b thoả mãn a b thuộc tập

A, cạnh được tô bằng màu xanh nếu như hai số tương ứng a, b thoã mãn b

a thuộc tập B Phân tích bài toán chúng ta nhận thấy hai đỉnh bất kỳ của

ĐT đều được nối với nhau một bằng cạnh vì với hai số a, b bất kỳ trong tập X thì ab luôn thuộc tập A hoặc tập B Do đó ĐT thu được là ĐT đủ có sáu đỉnh, các cạnh được tô bởi hai màu xanh, đỏ, gọi ĐT đó là G

Theo tính chất của ĐT màu thì trong ĐT này luôn tồn tại tam giác có các cạnh đồng màu, tức là tồn tại ba số khác nhau x, y, z trong tập X thoả mãn các số x-y , y-z , z-x cùng nằm trong một tập hợp A hoặc B Không mất tính tổng quát giả sử x > y > z, lúc đó đặt a = x - y, b = x - z thì a, b đều khác không, cùng thuộc một tập hợp và a-b cũng thuộc tập hợp chứa a và b (đpcm)

Nhận xét : Từ cách chứng minh trên ta thấy có thể thay tập X đã cho bằng tập

Y = {1; 2; 3; 4; 5; 6}

Sự khó khăn của bài trên là ở chỗ phát hiện được các cạnh của đồ thị, một khi xác định được các cạnh thì bài toán sẽ được giải rất đơn giản Cách xác định yếu tố nào của bài toán tương ứng với các cạnh của ĐT được trình bày đầy đủ trong chương 2 Kết quả thu được qua bài toán này là HS sẽ thấy được rằng : với một tính chất đơn giản của ĐT có thể giúp cho việc giải các bài toán phức tạp trở nên dẽ dàng hơn Trên cơ sở đó, GV định hướng để HS xây dựng các bài toán tương tự, tức là phát hiện các tình huống mà có thể mô hình hoá bằng ĐT trong cách chứng của bài toán trên Bên cạnh đó cần gợi ý

để HS phát biểu bài toán tổng quát bằng cách áp dụng các tính chất khác của

ĐT đủ với cạnh màu

Các bài toán sau đây là các bài toán tương tự của bài toán trên tuy nhiên nhìn bề ngoài thì sự tương tự ấy rất khó phát hiện được

Bài toán 1: Cho sáu điểm trong mặt phẳng sao cho bất kỳ ba điểm nào

cũng là đỉnh của một tam giác có độ dài các cạnh khác nhau Chứng minh rằng cạnh nhỏ nhất của một tam giác trong các tam giác đó đồng thời là cạnh lớn nhất của một tam giác khác

Bài toán 2: Cho sáu đường thẳng trong không gian, trong đó không có

ba đường thẳng nào song song, không có ba đường nào đồng quy và không có

ba đường nào nằm trong cùng một mặt phẳng Chứng minh rằng từ sáu đường thẳng đó bao giờ cũng lấy ra được ba đường từng đôi một chéo nhau

Những bài toán trên được chứng minh dễ dàng bằng cách áp dụng tính chất của ĐT đủ, sáu đỉnh với cạnh được tô bởi hai màu nhưng quan trọng hơn

là GV cần hướng dẫn để HS tự xây dựng các bài toán đó hoặc các bài toán tương tự , tức là giúp cho HS cách để phát hiện các vấn đề tương tự, các vấn mới trong dạy học chuyên đề LTĐT

Qua việc phân tích ở trên chúng ta có thể thấy rằng từ một tính chất đơn giản của ĐT cũng có thể góp phần rèn luyện cho HS được nhiều mặt Tiềm năng để bồi dưỡng TDST cho HS của chuyên đề này là rất phong phú Người

GV nếu quan tâm đến việc khai thác tiềm năng đó vào dạy học và bồi dưỡng

HS có năng khiếu thì chắc chắn sẽ góp phần phát triển được trí sáng tạo cho các em

1.5 KẾT LUẬN

Qua việc tổng quan các tài liệu vừa trình bày ở trên chúng tôi nhận thấy: -Vấn đề bồi dưỡng, rèn luyện và phát triển TDST cho HS được nhiều nhà tâm lý học, giáo dục hoc, toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu

-Các công trình trên đã góp phần làm sáng tỏ khái niệm về TDST và các yếu tố đặc trưng của TDST biểu hiện trong học tập toán ở nhà trường phổ thông

-Chuyên đề LTĐT có một tiềm năng phong phú để có thể phát triển TDST cho HS, điều quan trọng là GV phải có các BP dạy học thích hợp để khơi dậy được sự húng thú của HS trong học tập, trên cơ sở đó mới có thể khai thác được tiềm năng của chuyên đề này một cách có hiệu quả

CHƯƠNG 2 CÁC BIỆN PHÁP BỒI DƯỠNG MỘT SỐ YẾU TỐ ĐẶC TRƯNG CỦA TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH KHÁ VÀ GIỎI THÔNG QUA DẠY HỌC CHUYÊN ĐỀ LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ

2.1 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ

2.1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

2.1.1.1 Định nghĩa : ĐT là một tập hợp hữu hạn khác rỗng các điểm

và tập các đoạn mà các đầu mút của chúng thuộc tập các điểm đã cho

Khi biểu thị các ĐT, các đoạn có thể là thẳng hoặc cong, sự phân bố các điểm và độ dài các đoạn là tuỳ ý Ta gọi các điểm một cách khác là các đỉnh, các đoạn là các cạnh của ĐT Đỉnh không thuộc một cạnh nào gọi là

đỉnh cô lập, cạnh mà hai đầu mút trùng nhau gọi là khuyên Chúng ta ký hiệu

các đỉnh bằng các chữ cái in hoa A, B, C X, Y ,và đôi khi bằng các số 1,2,3 , ký hiệu các cạnh bằng các cặp đỉnh (A,B), (1,2)

Các ví dụ về ĐT trong thực tế : Sơ đồ đường sắt, đường bộ, kế hoạch triển lãm hay là các loại bản đồ

Một ĐT được gọi là đơn nếu không có khuyên và hai đỉnh bất kỳ được nối bằng nhiều nhất là một cạnh

Trong luận văn này nếu không chú thích gì thêm thì chúng ta quy ước những ĐT đang xét là ĐT đơn

2.1.1.2 Bậc của đỉnh

Bậc của đỉnh là số các cạnh của ĐT mà đỉnh đó thuộc vào Đỉnh của

ĐT được gọi là đỉnh lẻ nếu bậc nó là lẻ, đỉnh được gọi là đỉnh chẵn nếu bậc

nó là chẵn

2.1.1.3 Đồ thị đủ, đồ thị bù

ĐT được gọi là đủ nếu mỗi cặp hai đỉnh bất kỳ khác nhau được nối với

nhau bằng một và chỉ một cạnh Trong một ĐT đủ mỗi đỉnh của nó thuộc cùng một số cạnh, do đó để cho một ĐT đủ ta chỉ cần biết số đỉnh của nó Có thể bổ sung ĐT chưa đủ thành ĐT đủ với cùng số đỉnh bằng cách thêm vào những cạnh còn thiếu

Bù của ĐT G là ĐT G có cùng số đỉnh với ĐT G và có các cạnh là

những cạnh mà ta thêm vào G để được ĐT đủ

Việc nghiên cứu tính chất của ĐT nhiều lúc phải thông qua bù của ĐT

đó, do vậy bù của ĐT đóng một vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu LTĐT

2.1.1.4 Đường, xích trong đồ thị

Trong một ĐT, một dãy các cạnh nối tiếp (hai cạnh nối tiếp là hai cạnh

có chung một đầu mút ) (A1, A2), (A2, A3), ,(An-1, An)được gọi là một đường

đi từ A1 đến An , ký hiệu là A1A2A3 An Đỉnh A1 gọi là đỉnh đầu, đỉnh Angọi là đỉnh cuối của đường

Một đường đi khép kín gọi là xích hay còn gọi là chu trình

Xích đơn (đường đơn) trong ĐT là xích (đường) không đi qua cạnh nào

quá một lần

Xích sơ cấp (đường sơ cấp) trong ĐT là xích (đường) không đi qua

đỉnh nào quá một lần

Độ dài của một đường (xích) là số cạnh mà đường (xích) đó thuộc vào

2.1.1.5 Sự liên thông, thành phần liên thông, cầu

Hai đỉnh của ĐT được gọi là liên thông nếu trong ĐT tồn tại một đường

nối chúng Hai đỉnh của ĐT được gọi là không liên thông nếu không tồn tại một đường nào nối chúng

ĐT được gọi là liên thông nếu mỗi cặp hai đỉnh bất kỳ đều liên thông Cạnh (A,B) được gọi là cầu của ĐT nếu trong ĐT nhận được sau khi lấy (A,B) ra các đỉnh A,B trở thành không liên thông

Mỗi ĐT G không liên thông đều được chia thành một số ĐT liên thông rời nhau Mỗi ĐT liên thông đó gọi là thành phần liên thông của G

Đường chứa tất cả các đỉnh trong ĐT được gọi là đường Hamilton

ĐT nào có xích Euler được gọi là ĐT Euler

ĐT nào có xích Hamilton được gọi là ĐT Hamilton

2.1.1.8 Sắc số của ĐT

Trong một cách tô màu đỉnh của ĐT G cho trước, một đỉnh A được gọi

là tô màu ổn định nếu như không có láng giềng nào của A được tô màu của A Một cách tô màu các đỉnh của ĐT G được gọi là cách tô màu ổn định nếu như

đỉnh nào của G cũng được tô màu ổn định nghĩa là không có hai đỉnh kề nhau nào của G được tô màu giống nhau

Giả sử G là một ĐT cho trước được tô màu ổn định, số nhỏ nhất các màu có thể tô các đỉnh của G một cách ổn định được gọi là sắc số của G, được

i

AbËc

1

là chẵn và 

ch½n A

j

j

AbËc là chẵn nên

Chứng minh: Giả sử tồn tại ĐT G có n đỉnh mà không có hai đỉnh nào

cùng bậc Ta thấy các đỉnh có bậc thuộc đoạn [0; n-1], do có n đỉnh mà không

có hai đỉnh nào cùng bậc nên tất cả các số tự nhiên thuộc đoạn [0; n-1] đều là bậc của các đỉnh trong ĐT G Giả sử Ai có bậc 0 và Aj có bậc n-1, lúc đó tại đỉnh Aj có n-1 cạnh, tại đỉnh Ai không có cạnh nào (vô lý) (đpcm)

Định lý 4: Trong một ĐT n đỉnh (n > 2) có đúng hai đỉnh cùng bậc luôn

tìm được hoặc đúng một đỉnh bậc 0, hoặc đúng một đỉnh có bậc n-1

Chứng minh: Trước hết ta nhận thấy rằng nếu ĐT G có đúng hai đỉnh

cùng bậc thì bậc đó không thể là 0, hoặc n-1 Thật vậy nếu hai đỉnh có cùng bậc 0 còn các đỉnh khác bậc khác nhau, lúc đó loại hai đỉnh này ra khỏi ĐT ta được một ĐT n-2 đỉnh có bậc khác nhau, điều này mâu thuẫn định lý 3 Còn nếu có hai đỉnh cùng bậc n-1 thì ĐT bù G của G có hai đỉnh cùng bậc 0, các đỉnh khác có bậc khác nhau, điều này không thể xẩy ra như đã xét ở trên

Bây giờ ta chứng minh G có đúng một đỉnh bậc 0, hoặc đúng một đỉnh bậc n-1 Thật vậy nếu không có đỉnh nào bậc 0 và không có đỉnh nào bậc n-1 thì G có n đỉnh mà bậc nhận các giá trị từ 1 đến n-2, điều này không thể xẩy

ra vì trong G chỉ có 2 đỉnh cùng bậc.(đpcm)

Định l ý 5: Nếu trong ĐT mọi xích đơn có độ dài chẵn thì trong ĐT đó

không có xích nào có độ dài lẻ

Chứng minh: Giả sử trong ĐT tồn tại xích có độ dài lẻ tức là xích đó

không phải là xích đơn, do đó có một đỉnh mà xích đó qua nó nhiều hơn một lần, tại đỉnh này chúng ta tách xích làm hai Trong hai xích vừa được tách, một xích có độ dài chẵn, một xích có độ dài lẻ Xích có độ dài lẻ là xích không đơn, ta tiếp tục tách xích này làm hai xích như ở trên Tiếp tục quá trình cho đến khi tới các xích đơn ( điều này luôn thực hiện được vì số đỉnh của ĐT là hữu hạn) Ta thấy trong các xích này tồn tại xích có độ dài lẻ, mâu thuẫn với giả thiết.(đpcm)

Định l ý 6: ĐT liên thông là xích đơn khi và chỉ khi mọi đỉnh của nó

đều có bậc là hai

Chứng minh:

Điều kiện cần: Giả sử G liên thông có n đỉnh và mọi đỉnh đều có bậc

hai, ta chứng minh G là xích đơn Xét đường đi ra từ đỉnh A1, giả sử đến đỉnh

A2, tại A2 tồn tại duy nhất một cạnh đi ra giả sử là A2A3 .đến đỉnh cuối cùng An có một cạnh vào An-1An và một cạnh ra là AnA1 vì tại An không thể

có cạnh ra nào khác( giả sử có cạnh ra AnAi với i1 thì đỉnh Ai có bậc là ba) Vậy G là xích đơn

Chú ý: điều kiện liên thông là quan trọng

Điều kiện đủ: Nếu G là xích đơn, ta chứng minh mọi đỉnh có bậc là hai

Giả sử đỉnh nào đó có bậc nhỏ hơn hai thì nó không thuộc một xích nào Nếu

có đỉnh bậc lớn hơn hai thì tại đỉnh này có ít nhất là ba cạnh nên không có một xích đơn nào chứa tất cả các cạnh của đỉnh này.(đpcm)

Định lý 7: Cho ĐT đỉnh (n 2), nếu tổng bậc của hai đỉnh bất kỳ đều không nhỏ hơn n thì ĐT đã cho là liên thông

Chứng minh: Giả sử ĐT G có n đỉnh (n 2) thoả mãn điều kiện định

lý và A, B là hai đỉnh không liên thông Khi đó trong G tồn tại hai thành phần liên thông: G1 có n1 đỉnh và chứa A, G2 có n2 đỉnh và chứa B Vì G1 và G2 là các thành phần liên thông của G nên n1+ n2  n Khi đó ta có: bậcA + bậcB (n1-1) + (n2-1)  n -2 < n Mâu thuẫn với giả thiết Do đó ta có A, B liên thông (đpcm)

Định lý 8: Nếu ĐT có đúng hai đỉnh bậc lẻ thì hai đỉnh này phải liên

thông

Chứng minh: Giả sử ĐT G có đúng hai đỉnh bậc lẻ A và B mà A, B

không liên thông Khi đó chúng thuộc hai thành phần liên thông, chẳng hạn A thuộc G1 và B thuộc G2 Bậc của A trong G1 cũng chính là bậc của A trong G

nên trong G1 đỉnh A có bậc lẽ Do đó G1 có duy nhất một đỉnh bậc lẻ, từ đó ta

có mâu thuẫn vì số đỉnh bậc lẽ trong một ĐT là số chẵn

Định lý 9: ĐT liên thông khi và chỉ khi nó có một thành phần liên

Có thể xem chứng minh của các định lý 9, 10, 11 trong [17]

Định l ý 12: Mỗi cây d đỉnh đều có d-1 cạnh (d2)

Chứng minh: Dùng phương pháp quy nạp

Định lý 13: Trong ĐT liên thông G có n đỉnh bao giờ cũng có thể bỏ

bớt một số cạnh để được một cây chứa tất cả các đỉnh của G

Chứng minh: Nếu G không có xích thì G là một cây

Nếu G có xích, xét một xích bất kỳ, trong xích này ta bỏ đi một cạnh bất kỳ Trong ĐT mới nếu có xích ta tiếp tục bỏ một cạnh bất kỳ của một xích bất kỳ, tiếp tục quá trình này cho đến khi không còn xích nào ta được một cây(đpcm)

Định lý 14: Cho ĐT G gồm n đỉnh, nếu bậc của mỗi đỉnh của G không

Định lý 15: Cho ĐT G gồm n đỉnh, nếu tổng bậc của hai đỉnh không kề

nhau bất kỳ trong G không nhỏ hơn n thì trong ĐT G có một chu trình Hamilton

Có thể xem chứng minh của định lý này trong [4]

2.1.3 ĐỒ THỊ ĐỊNH HƯỚNG

2.1.3.1.Định nghĩa: ĐT mà mọi cạnh của nó đều được định hướng gọi

là ĐT định hướng

Trên hình vẽ, cạnh của ĐT định hướng được

biểu diễn bằng mũi tên, cạnh định hướng với điểm

đầu là A, điểm cuối là B, được ký hiệu <A; B>

Ta nói cạnh định hướng <A; B> ra từ A và vào B

Ta nói bậc ra của đỉnh A của ĐT định hướng là số cạnh ra từ A, ký hiệu là r(A) Bậc vào của đỉnh A của ĐT định hướng là số cạnh vào A, ký

hiệu là v(A)

Đỉnh cô lập là đỉnh mà bậc ra và bậc vào của nó bằng không

Nguồn là đỉnh mà bậc ra của nó dương, còn bậc vào bằng không

Hút (hay đích) là đỉnh mà bậc vào của nó dương, còn bậc ra bằng

không

ĐT định hướng đủ là ĐT mà mỗi cặp đỉnh của nó được nối bằng đúng

một cạnh định hướng

2.1.3.2 Đường, xích trong đồ thị định hướng

Đường trong ĐT định hướng G từ A1 đến An là dãy các cạnh định hướng <A1; A2 > , <A2; A3 > , <An-1; An > sao cho đỉnh cuối của cạnh trước trùng với đỉnh đầu của cạnh tiếp theo và không có cạnh nào được lặp quá một lần

Đường đơn trong ĐT định hướng là đường mà trong đó không đỉnh nào

được qua quá một lần

A

B

C

D

Xích trong ĐT định hướng là đường mà đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối

Độ dài của đường là số cạnh trong đường đó Khoảng cách từ A đến B trong ĐT định hướng là độ dài ngắn nhất từ A đến B trong các độ dài của

các đường từ A đến B

2.1.3.3 Các tính chất cơ bản của đồ thị định hướng

Định lý 1: Trong ĐT định hướng tổng số bậc ra của tất các đỉnh bằng

tổng số bậc vào của tất cả các đỉnh và bằng số cạnh của ĐT

Định lý 2: Nếu trong ĐT định hướng đủ với n đỉnh có ít nhất hai đỉnh

cùng bậc ra thì trong ĐT này sẽ tìm được ba đỉnh mà các cạnh nối chúng lập thành xích định hướng

Định lý 3: Mọi ĐT định hướng đủ với n đỉnh đều có một đường định

hướng đơn qua mọi đỉnh của ĐT

Các định lý trên có thể xem chứng minh trong [13]

2.1.4 ĐỒ THỊ VỚI CẠNH MÀU

Trong mục này chúng ta xét các ĐT ứng với các tình huống mà ở đó những cặp phần tử này của tập hợp thì nằm trong mối quan hệ này, những cặp phần tử khác thì nằm trong mối quan hệ khác nhưng mỗi cặp chỉ trong một mối quan hệ (chẳng hạn trong tập hợp người thì có thể xét hai mối quan hệ: hai người bất kỳ hoặc là quen nhau, hoặc là không quen nhau Tập hợp các đường thẳng trong không gian có ba quan hệ : song song, cắt nhau, chéo nhau ) Để thuận lợi trên ĐT các cạnh ứng với quan hệ thứ nhất chúng ta tô bằng màu đỏ, các cạnh ứng với các quan hệ thứ hai chúng ta tô bằng màu xanh Những ĐT như vậy gọi là ĐT với cạnh màu (thông thường ta gọi gọn hơn là ĐT màu, lưu ý phân biệt với ĐT đỉnh màu) Những ĐT màu giúp chúng ta giải không ít các bài toán khác nhau mà việc dùng ĐT bình thường

sẽ gặp nhiều khó khăn Trong mục này ta quy ước màu đỏ vẽ bằng đậm, màu xanh vẽ bằng đường chấm chấm

Các tính chất của đồ thị với cạnh màu

Định lý 1: Trong ĐT đủ sáu đỉnh hoặc nhiều hơn và các cạnh được tô

bởi hai màu, luôn tồn tại ba đỉnh lập thành tam giác có cạnh cùng màu

Chứng minh:

Ta thấy mỗi đỉnh của ĐT thuộc vào năm cạnh, mà ĐT được tô bởi hai màu nên mỗi đỉnh thuộc vào ít nhất ba cạnh cùng màu Chẳng hạn đỉnh A thuộc vào ba cạnh màu đỏ đó là các cạnh (A,B), (A,C), (A,D) Xét tam giác BCD, nếutam giác BCD có ít nhất một cạnh đỏ thì cạnh màu đỏ này kết hợp với hai cạnh xuất phát từ A cho ta một tam giác có các cạnh đồng màu đỏ Nếu ngược lại tam giác BCD là tam giác có các cạnh đồng màu xanh Vậy

trong mọi trường hợp luôn tồn tại tam giác có cạnh đồng màu

Định lý 2: Trong một ĐT đủ năm đỉnh, các cạnh được tô bằng hai màu

mà không tìm thấy một tam giác nào với cạnh đồng màu thì có thể biểu diễn

ĐT dưới dạnh hình ngũ giác với cạnh đỏ và đường chéo xanh

và đường chéo xanh

Chọn một đỉnh A bất kỳ Giả sử các

cạnh đỏ là (A,B), (A,C) Cạnh (B,C) không thể

đỏ, vì thế cạnh đỏ là (C, D) hoặc (C,E), giả sử

Nếu nối B và D bằng cạnh đỏ thì do E phải nối với các đỉnh bằng hai cạnh đỏđiều này không thể được vì mỗi đỉnh A và C đã có hai cạnh đỏ

Vậy phải nối đỉnh B với E, D với E bằng cạnh đỏ, các cạnh còn lại phải xanh Do đó ta được hình năm đỉnh với các cạnh có màu đỏ và các đường đường chéo có màu xanh (đpcm)

Chú ý: Trong chứng minh trên có thể thay cạnh đỏ bằng cạnh xanh và

ngược lại Do đó với ĐT đủ năm đỉnh có cạnh được tô bởi hai màu mà không tồn tại tam giác đồng màu thì ĐT có thể biểu diễn dưới dạng hình có năm đỉnh với năm cạnh đồng màu thứ nhất và năm đường chéo đồng màu thứ hai

2.2 CÁC YÊU CẦU CỦA VIỆC ĐỀ RA CÁC BIỆN PHÁP NHẰM BỒI DƯỠNG MỘT SỐ YẾU TỐ ĐẶC TRƯNG CỦA TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH KHÁ VÀ GIỎI THÔNG QUA DẠY HỌC CHUYÊN ĐỀ LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ

Yêu cầu 1: Các BP xây dựng được phải đảm bảo phù hợp với nội dung

yêu cầu của chuyên đề LTĐT mà Bộ giáo dục và đào tạo đã quy định cho HS

ở các lớp chuyên toán

Yêu cầu 2: Các BP xây dựng nhằm bồi dưỡng một số yếu tố đặc trưng

của TDST phải dựa trên định hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện nay

Yêu cầu 3: Các BP xây dựng được phải đảm bảo cho hoạt động rèn

luyện một số yếu tố đặc trưng của TDST được thực hiện thường xuyên trong quá trình dạy học chuyên đề LTĐT

Yêu cầu 4: Các BP xây dựng được phải đảm bảo được yêu cầu ngày

càng cao của việc bồi dưỡng TDST cho HS các lớp chuyên toán

2.3 CÁC BIỆN PHÁP XÂY DỰNG ĐƯỢC

BP1: Rèn luyện cho HS có thói quen mô hình hoá các bài toán thực

tiễn bằng ĐT và xây dựng các bài toán thực tiễn theo mô hình của ĐT cho trước bằng cách chuyển đổi ngôn ngữ

BP2: Chú trọng bồi dưỡng cho HS phương thức khai thác các bài toán

ĐT dưới nhiều hình thức như: khái quát hoá, tương tự hoá, đặc biệt hoá, lập bài toán đảo

BP3: Tăng cường khai thác nguyên lý cực trị và dạng tương tự của

nguyên lý Dirichlet trong quá trình dạy học chuyên đề LTĐT

BP4: Dạy học chuyên đề LTĐT kết hợp với việc khai thác các bài toán

phổ thông để xây dựng các bài toán mới

2.4 VAI TRÒ CỦA CÁC BIỆN PHÁP VÀ CÁC ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN CÁC BIỆN PHÁP NHẰM BỒI DƯỠNG MỘT SỐ YẾU

TỐ ĐẶC TRƯNG CỦA TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH KHÁ

VÀ GIỎI

2.4.1 BIỆN PHÁP 1

Rèn luyện cho HS có thói quen mô hình hoá các bài toán thực tiễn bằng ĐT và xây dựng các bài toán thực tiễn theo mô hình của ĐT cho trước bằng cách chuyển đổi ngôn ngữ

2.5.1.1 Vai trò của biện pháp

Thực hiện BP1 là góp phần vào việc vận dụng tư tưởng toán học vào giải quyết các bài toán thực tiễn, rèn luyện cho HS năng lực vận dụng toán học để mô hình hoá các bài toán thực tiễn

Thực hiện BP1 sẽ góp phần giúp HS nhìn nhận bài toán ĐT như là mô hình toán học tổng quát của các bài toán thực tiễn có đặc điểm ĐT đồng thời rèn luyện cho HS khả năng suy đoán để ST các tình huống thực tiễn phù hợp với mô hình ĐT đã cho Thực vậy, đứng trước một tính chất của ĐT, một bài toán ĐT cũng có nghĩa là một mô hình ĐT, HS phải biết phát huy cao độ khả năng suy đoán để tạo các tình huống thực tiễn phù hợp với mô hình đã cho Ở đây chúng tôi muốn nhấn mạnh đến khả năng tạo tình huống thực tiễn, bởi lẽ không phải tình huống nào phù hợp với mô hình ĐT cho trước cũng có thể cho kết quả tốt Để có thể tạo được các tình huống thực tiễn có giá trị thì HS phải có khả năng phân tích, so sánh và đánh giá các yếu tố của ĐT và tình

huống thực tiễn để loại ngay những tình huống không phù hợp với mục đích

đề ra

Do đặc điểm của ĐT là chỉ xét những tương quan đi lại của các đối tượng toán học theo nghĩa tổng thể mà không xét đến tính chất của các đối tượng tham gia, do đó với một ĐT cho trước thì có thể có nhiều bài toán thực tiễn tương ứng với ĐT đó Vì vậy hoàn toàn có thể hướng dẫn cho HS xây dựng các bài toán thực tiễn có mô hình là ĐT cho trước bằng sự chuyển đổi ngôn ngữ của LTĐT sang ngôn ngữ phổ thông Việc xây dựng các bài toán như vậy sẽ giúp cho HS nhìn nhận bài toán một cách toàn diện, nhìn thấy được mối liên hệ mật thiết giữa mô hình ĐT với các bài toán thực tiễn Đồng thời giúp các em hiểu nguồn gốc của các bài toán và định hướng để các em có thể ST các bài toán mới, các bài toán tương tự, từ đó các em sẽ hứng thú hơn trong học tập và hiểu sâu hơn về phương pháp ĐT trên cả hai lĩnh vực lý thuyết và áp dụng thực tiễn

Thực hiện BP1 cũng góp phần rèn luyện TD logic cho HS, một trong những điều kiện cần để có thể phát triển được khả năng ST ở các em

2.4.1.2.Các định hướng thực hiện biện pháp 1

Việc xây dựng các BP như trên không có ý định phân biệt ranh giới để thực hiện các BP mà trong quá trình dạy học chuyên đề LTĐT có thể đồng

thời thực hiện các BP song song với nhau Ở đây chúng tôi muốn chú trọng

hơn về việc thực hiện BP1 trong quá trình dạy học chuyên đề này

Để thực hiện tốt BP1 trước hết GV phải làm rõ cho HS hiểu được bản chất của một ĐT, có nhiều cách tiếp cận để hiểu rõ về bản chất của ĐT nhưng theo chúng tôi thì nên hướng dẫn để cho HS tiếp cận theo quan điểm của tập hợp - quan hệ Khi giải các bài toán thực tiễn bằng ngôn ngữ ĐT chúng ta thường phải đứng trước câu hỏi: cái gì là đặc trưng cho tất cả các bài toán mà

ta có thể chuyển sang ngôn ngữ ĐT để giải Phải chăng sự chuyển đổi ngôn

ngữ phổ thông sang ngôn ngữ ĐT là dựa vào kinh nghiệm giải những bài toán thuộc loại này Điều đó có thể đúng phần nào nhưng chỉ dựa vào kinh nghiệm thôi thì có những bài toán sẽ gặp khó khăn khi chuyển sang ngôn ngữ ĐT để giải và do đó cũng sẽ khó có thể xây dựng được các bài toán thực tiễn theo

mô hình ĐT cho trước Vì vậy HS cần phải nắm được bản chất của ĐT, trên

cơ sở đó thiết lập sơ đồ để mô hình hoá các bài toán thực tiễn bằng ĐT và sơ

đồ xây dựng các bài toán thực tiễn theo mô hình ĐT bằng cách chuyển đổi ngôn ngữ

Chúng ta nhận thấy rằng những bài toán thực tiễn được chuyển sang

Nếu chỉ có một quan hệ trên tập X thì các cạnh tương ứng trên ĐT chỉ

có một dạng, nếu trên tập X có hai quan hệ thì các cạnh tương ứng trên ĐT có hai dạng, nếu trên tập X có ba quan hệ thì các cạnh tương ứng trên ĐT có ba dạng

Trong trường hợp các cạnh có hai dạng, ba dạng thì chúng ta có khái niệm ĐT với cạnh màu Để hiểu rõ hơn về bản chất của ĐT chúng ta sẽ tìm hiểu các tính chất của các quan hệ trên tập các phần tử X

Ta nói quan hệ R trên tập X có tính đối xứng nếu với hai phần tử a, b của X mà a quan hệ R với b thì b quan hệ R với a, quan hệ R có tính phản đối xứng nếu với hai phần tử a, b của X, a khác b mà a quan hệ R với b thì b không quan hệ R với a Quan hệ R có tính bắc cầu nếu với ba phần tử a, b, c của X mà a quan hệ với b, b quan hệ với c thì a quan hệ với c Trong trường

hợp các quan hệ trên tập X đều có tính đối xứng (chẳng hạn quan hệ nguyên

tố cùng nhau trên tập hợp các số, quan hệ đồng dạng trên tập các hình, quan

hệ quen nhau trên tập người ) thì ta nối các đỉnh bằng các cạnh mà không có

sự phân biệt điểm đầu và điểm cuối, lúc đó ta có khái niệm ĐT vô hướng

Trong trường hợp các quan hệ trên tập X có tính phản đối xứng (chẳng hạn như quan hệ chia hết trên tập các số tự nhiên, quan hệ nhiều tuổi hơn trên tập hợp người ) thì nối các đỉnh bằng các cung và có sự phân biệt điểm đầu

và điểm cuối lúc đó ta có khái niệm ĐT có hướng

Từ các nhận xét trên chúng ta có một định nghĩa tổng quát về ĐT: ĐT

G là một tập X không rỗng và một tập các quan hệ trên X Nếu ký hiệu Q là tập hợp các quan hệ trên tập X thì ĐT G có thể ký hiệu: G =(X, Q)

Với định nghĩa này chúng ta có thể nhận biết được các dạng toán có thể

mô hình hoá bằng ĐT để giải Ngoài ra định nghĩa này còn giúp định hướng xây dựng các bài toán phổ thông theo một mô hình ĐT cho trước

Sau khi HS đã nắm được khái niệm của ĐT theo quan điểm tập hợp - quan hệ GV hướng dẫn để HS tìm quy trình chuyển đổi ngôn ngữ để mô hình hóa bài toán thực tiễn bằng ĐT và xây dựng các bài toán thực tiễn theo mô hình của ĐT đó Chúng tôi xin đưa ra một quy trình giúp cho việc xây dựng các bài toán thực tiễn theo mô hình ĐT cho trước có hiệu quả

Bước 1: Tìm các phần tử thuộc tập X và tập Q của ĐT đó

Bước 2: Xét tính chất của các phần tử thuộc tập Q

Bước 3: Chuyển đổi một số thuật ngữ của bài toán ĐT sang ngôn ngữ thực tiễn

Để mô hình hoá bài toán thực tiễn bằng ĐT cũng có thể thực hiện theo quy trình sau:

Bước 1:Tìm các phần tử thuộc tập X và tập Q của bài toán thực tiễn

Bước 2: Xét tính chất của các phần tử thuộc tập Q

Bước 3: Chuyển đổi một số thuật ngữ của bài toán thực tiễn sang ngôn ngữ ĐT Sau đây chúng tôi đưa ra một số thuật ngữ phổ biến của bài toán ĐT và tương ứng là thuật ngữ của bài toán thực tiễn

5 Đồ thị đủ Hai phần tử bất kỳ đều quan hệ với nhau

6 Tồn tại tam giác với

cạnh đồngmàu

Tồn tại ba phần tử mà từng cặp một đều nằm trong cùng một quan hệ

Sơ đồ 1

Chuyển đổi ngôn ngữ

Chuyển đổi ngôn ngữ

Bài toán ĐT (X,Q)

Các bài toán thực tiễn Bài toán thực tiễn

ban đầu

Sau đây chúng ta xét một số ví dụ:

Ví dụ 1.1: Cho một nhóm gồm sáu người bất kỳ, chứng minh rằng luôn

tồn tại ba người đôi một quen nhau hoặc đôi một không quen nhau Đây là một bài toán thực tiễn, để có thể xây dựng được mô hình ĐT của bài toán này trước hết GV hướng dẫn để HS phân tích để tìm ra yếu tố nào là đỉnh (phần tử của tập X), yếu tố nào là cạnh (phần tử của tập Q) Chúng ta thấy rằng bài toán đã cho chứa đựng hai yếu tố là con người và quan hệ quen nhau, không quen nhau do đó ta có thể dễ dàng nhận thấy tập X là tập người

và tập Q gồm hai phần tử là hai quan hệ: quen nhau hoặc không quen nhau

Tiếp theo GV yêu cầu HS xét tính chất của các phần tử của tập Q, các quan hệ

trên có các tính chất: phản xạ, đối xứng, không bắc cầu và bất kỳ hai người nào cũng thuộc một trong hai quan hệ Do đó ĐT thu được là ĐT vô hướng,

đủ, có cạnh tô bởi hai màu xanh đỏ ( cạnh màu xanh nếu hai người tương ứng quen nhau, cạnh màu đỏ nếu hai người tương ứng không quen nhau) Lúc

đó bài toán thực tiễn đã cho được phát biểu dưới dạng một bài toán ĐT như

sau: Chứng minh rằng trong một ĐT đủ, vô hướng có sáu đỉnh, cạnh được tô

bởi hai màu xanh, đỏ luôn tồn tại ba ba đỉnh sao cho ba cạnh nối chúng được

tô cùng một màu

Bài toán này được chứng minh khá đơn giản, chúng ta không trình bày

ở đây Sau khi mô hình hoá được bài toán đã cho bằng ĐT, GV hướng dẫn HS xây dựng các bài toán thực tiễn theo mô hình của ĐT vừa tìm được

Cho tập X là tập người và tập Q gồm hai quan hệ: R1, R2, trong đó hai người quan hệ R1 với nhau nếu tổng số tuổi của hai người (tính theo năm) không nhỏ hơn 50 và hai người quan hệ R2 với nhau nếu tổng số tuổi của hai người (tính theo năm) nhỏ hơn 50 Dễ thấy hai quan hệ này thoả mãn các tính chất của ĐT trên, do đó ta có:

Bài toán 1: Trong sáu người bất kỳ luôn tồn tại ba người đôi một có

tổng số tuổi (tính theo năm) nhỏ hơn 50 hoặc không nhỏ hơn 50

Cũng chọn tập X là tập người nhưng tập Q gồm hai quan hệ R1, R2trong đó hai người quan hệ R1 với nhau nếu số tuổi của hai người (tính theo năm) là hai số nguyên tố cùng nhau và hai người quan hệ R2 với nhau nếu số tuổi của hai người (tính theo năm) là hai số không phải là nguyên tố cùng

nhau Hai quan hệ này cũng thoả mãn tính chất của ĐT trên, do đó ta có

Bài toán 2: Trong sáu người bất kỳ luôn tồn tại ba người đôi một có số

tuổi (tính theo năm) là nguyên tố cùng nhau hoặc không nguyên tố cùng nhau

Chọn tập X là tập các nhà khoa học với hai quan hệ R1,R2, hai nhà khoa học có quan hệ R1 với nhau nếu như họ trao đổi với nhau về đề tài thứ nhất; hai nhà khoa học có quan hệ R2 với nhau nếu như họ trao đổi với nhau về đề tài thứ hai, nếu ta giả thiết là các nhà khoa học chỉ trao đổi về hai đề tài thì ta thấy hai quan hệ trên thoả mãn điều kiện của bài toán ĐT Do đó ta có bài

toán sau:

Bài toán 3: Cho tập hợp sáu nhà khoa học, biết rằng các nhà khoa học

trao đổi với nhau về hai đề tài, trong đó hai nhà khoa học bất kỳ chỉ trao đổi với nhau về một đề tài duy nhất, chứng minh rằng có ba nhà khoa học cùng trao đổi với nhau về một đề tài

Bằng cách tương tự như trên giáo viên có thể hướng dẫn HS xét các tập hợp khác và xây dựng các quan hệ trên tập đó để có các bài toán mới Chẳng hạn xét trên tập các quốc gia với hai quan hệ: đã lập quan hệ ngoại giao và chưa lập quan hệ ngoại giao, xét trên tập các đường thẳng trong không gian với hai quan hệ: đồng phẳng và chéo nhau, xét trên tập hợp các đoàn HS tham

dự kỳ thi toán quốc tế với hai quan hệ: hiểu được tiếng nói của nhau và không hiểu được tiếng nói của nhau, xét trên tập các thành phố với hai quan hệ: được

nối với nhau bằng đường bộ và được nối với nhau bằng đường hàng không

Ví dụ 1.2: Xét định lý sau của LTĐT

Nếu trong một ĐT vô hướng đỉnh ( n > 2) có đúng hai đỉnh cùng bậc thì trong ĐT luôn tìm được hoặc đúng một đỉnh bậc không hoặc đúng một đỉnh bậc n-1

Tương tự như ví dụ 1.1, GV có thể yêu cầu HS xây dựng các bài toán thực tiễn theo mô hình của ĐT trên bằng cách chuyển đổi ngôn ngữ Chúng ta nhận thấy ĐT đã cho gồm tập hợp X có n phần tử tương ứng với n đỉnh và tập

Q có một phần tử tương ứng với một quan hệ có tính chất đối xứng trên tập các phần tử (vì ĐT đã cho là ĐT vô hướng và không phải là ĐT màu) ĐT có hai đỉnh cùng bậc tương ứng trong tập X có hai phần tử A, B mà hai phần tử này có quan hệ với một số bằng nhau các phần tử khác Trong ĐT hoặc đúng một đỉnh bậc không hoặc đúng một đỉnh bậc n-1 tương ứng với trong tập X hoặc có một phần tử không có quan hệ với phần tử nào khác hoặc có một phần tử có quan hệ với tất cả các phần tử khác

Từ sự chuyển đổi đó HS có thể xây dựng được các bài toán thực tiễn theo mô hình của ĐT trên

Cho tập X gồm các đấu thủ thi đấu cờ vua, quan hệ trên tập X là quan

hệ đã thi đấu với nhau, lúc đó ta có:

Bài toán 1: Trong một giải thi đấu cờ vua có 13 đấu thủ tham dự, hai

đấu thủ bất kỳ phải thi đấu với nhau đúng một trận, giả sử tại thời điểm nào

đó có đúng hai đấu thủ đã đấu cùng một số trận Chứng minh rằng tại thời điểm đó hoặc có đúng một đấu thủ chưa đấu trận nào hoặc có đúng một đấu

ĐT, GV có thể hướng dẫn HS dịch chứng minh của định lý sang chứng minh của bài toán trên ( Định lý đã được chứng minh ở mục 2.1.2)

Trước hết ta nhận thấy rằng tại thời điểm đang xét số trận đấu của mỗi đấu thủ là một trong 13 số 0, 1, 2, 3, 12 Vì giả thiết có đúng hai đấu thủ có

số trận đấu như nhau nên số trận đấu của các đấu thủ là 12 giá trị khác nhau trong 13 giá trị trên, do đó nhất thiết phải có đấu thủ có số trận đấu là không hoặc có đấu thủ có số trận đấu là 12

Bây giờ ta chứng minh nếu có đấu thủ có số trận đấu là không thì chỉ

có duy nhất một đấu thủ như thế Thật vậy nếu nếu vẫn tìm được hai đấu thủ

A, B chưa đấu trận nào, lúc đó 11 đấu thủ khác có số trận đấu không quá 10 (vì chưa đấu với hai đấu thủ A, B) Nhưng 11 đấu thủ này phải có số trận khác nhau (vì chỉ có đúng hai đấu thủ A,B có số trận đấu như nhau) Đó là điều không thể xẩy ra

Giả sử tìm được hai đấu thủ C, D đã đấu xong 12 trận, lúc đó các đấu thủ khác đều đã đấu với C, D Do đó số trận đấu của 11 đấu thủ còn lại là 11 giá trị khác nhau trong tập {2, 3, 4, 11} (vô lý)

Vậy tại thời điểm đang xét hoặc có đúng một đấu thủ chưa đấu trận nào hoặc có đúng một đấu thủ đã đấu xong 12 trận

Việc chuyển dịch cách chứng minh như trên có một ý nghĩa nhất định đối với việc rèn luyện TD logic cho HS đồng thời giúp các em biết thêm được phương pháp lập luận kiểu ĐT để chứng minh các bài toán có đặc điểm ĐT

Cho tập X là tập người, quan hệ trên X là quan hệ quen nhau ta có:

Bài toán 2: Trong một buổi hội nghị có n người tham dự, biết rằng có

đúng hai người có số người quen như nhau Chứng minh rằng hoặc có đúng một người không quen ai, hoặc có đúng một người quen tất cả mọi người

Cho tập X là tập các số nguyên, quan hệ trên X là quan hệ nguyên tố cùng nhau, ta có:

Bài toán 3: Cho n số nguyên, biết rằng trong n số nguyên đó có hai số

a, b mà số các số nguyên tố cùng nhau với a và b là bằng nhau Chứng minh rằng trong n số đó hoặc có một số không tố cùng nhau với tất cả các số còn lại hoặc có một số nguyên tố cùng nhau với tất cả các số còn lại

Ví dụ 1.3: Cho 26 số tự nhiên, biết rằng trong sáu số luôn có hai số sao

cho một trong chúng là ước số của số kia Chứng minh rằng trong 26 số đó luôn tìm được ít nhất sáu số sao cho chúng lập thành một dãy mà số đứng trước là ước số của số đứng sau

Trước hết GV cần hướng dẫn để HS mô hình hoá bài toán này bằng

ĐT Chúng ta thấy rằng tập X có thể chọn là tập gồm 26 số tự nhiên đã cho trong bài toán, tuy nhiên việc xác định tập Q không dễ dàng Đối với bài toán này HS có thể xem quan hệ trên X là quan hệ ước số của nhau Nhưng với quan hệ này thì việc chuyển dịch ngôn ngữ thể hiện điều phải chứng minh sẽ gặp khó khăn Dựa vào kết luận của bài toán GV hướng dẫn HS xây dựng quan hệ như sau: hai số a, b quan hệ với nhau nếu a là ước số lớn nhất của b trong các số đã cho Ta thấy quan hệ này có tính phản đối xứng, do đó ĐT thu được là ĐT có hướng, điều kiện trong sáu đỉnh bất kỳ tồn tại hai đỉnh mà một trong chúng là ước số của số kia có nghĩa là trong sáu đỉnh bất kỳ của ĐT có hai đỉnh cùng thuộc một đường

Lúc đó chúng ta có bài toán: Cho ĐT có hướng gồm 26 đỉnh, biết rằng

trong sáu đỉnh bất kỳ luôn có hai đỉnh cùng thuộc một đường Chứng minh rằng tồn tại một đường chứa ít nhất sáuđỉnh

Do cách thiết lập ĐT nên mỗi đỉnh

chỉ có nhiều nhất một cung đi ra và một

cung vào Vì vậy ĐT gồm những đường có

dạng như hình bên Theo giả thiết chúng ta

thấy số đường nhiều nhất có thể có trong

ĐT là năm (vì nếu có ít nhất là sáu đường

thì tồn tại sáu đỉnh trên sáu đường này

không thoả mãn giả thiết của bài toán) Vì

vậy tồn tại một đường chứa ít nhất là

số của số đứng sau

Ví dụ 1.4: Trường học X có 1001 em HS, biết rằng trong 11 em tuỳ ý

luôn có hai em có họ giống nhau Chứng minh rằng có ít nhất 101 em của trường có họ giống nhau

Tương tự như các ví dụ trên, GV hướng dẫn HS chuyển bài toán đã cho sang ngôn ngữ của LTĐT: Cho tương ứng mỗi em với một đỉnh của ĐT, hai

em có họ giống nhau thì ta nối hai đỉnh tương ứng bởi một cạnh Từ đó có bài

toán “ Cho ĐT có 1001 đỉnh, trong đó bất kỳ 11 đỉnh nào cũng có hai đỉnh

được nối với nhau bằng một cạnh Chứng minh rằng trong ĐT có ít nhất 101 đỉnh mà đôi một được nối với nhau bằng một cạnh ”

Chứng minh: Ta nhận thấy rằng trong 11 đỉnh bất kỳ luôn có hai đỉnh

được nối với nhau bằng một cạnh nên số thành phần liên thông của ĐT là không vượt quá 10 (vì nếu có 11 thành phần liên thông thì từ mỗi thành phần liên thông ta chọn ra một đỉnh, lúc đó sẽ có 11 đỉnh mà bất kỳ hai đỉnh nào cũng không có cạnh nối chúng) Do đó ắt có một thành phần liên thông chứa

ít nhất là [1001:10] + 1=101 đỉnh Trong 101 đỉnh này hai đỉnh bất kỳ đều

liên thông với nhau, do quan hệ có họ giống nhau có tính bắc cầu nên hai đỉnh bất kỳ trong 101 đỉnh trên đều có cạnh nối chúng với nhau (đpcm)

Sau khi chứng minh bài toán trên, GV có thể yêu cầu HS phát biểu bài

toán thực tiễn dạng tổng quát tương ứng: Cho tập X có 1001 phần tử, trên X

xét một quan hệ có tính chất đối xứng, tính chất bắc cầu Biết rằng trong 11 phần tử luôn có hai phần tử có quan hệ với nhau Chứng minh rằng tồn tại

101 phần tử đôi một có quan hệ với nhau

Bài toán trên có thể tổng quát thành: Cho tập X có nk+1 phần tử, trên X

xét một quan hệ có tính chất đối xứng, tính chất bắc cầu Biết rằng trong k+1 phần tử luôn có hai phần tử có quan hệ với nhau Chứng minh rằng tồn tại n+1 phần tử đôi một có quan hệ với nhau

Cho tập X là tập người với quan hệ đồng hương ta có:

Bài toán 1: Cho nhóm gồm kn + 1 người ( k, nN; k,n2) Biết rằng trong k + 1 người luôn có hai người cùng huyện Chứng minh rằng có ít nhất

n + 1 người cùng huyện

Cho tập X là gồm 41 HS của một lớp học, quan hệ trên X là quan hệ cùng tháng sinh ta có:

Bài toán 2: Một lớp học có 41 HS, biết rằng trong sáu em bất kỳ có

hai em sinh trong cùng một tháng Hỏi rằng có tồn tại hay không chín em sinh trong cùng một tháng

Cũng xét trên tập các HS của một lớp học nhưng với quan hệ cùng dùng chung các cây bút của cùng một hãng sản xuất Thay đổi cách thức phát biểu bài toán ta có:

Bài toán 3: Trong một lớp học người ta nhận thấy rằng cứ trong 10 em

thì có hai em viết bằng bút của cùng một hãng sản xuất Biết rằng mỗi em có đúng một cây bút Hỏi rằng có nhiều nhất bao nhiêu hãng đã bán hàng của mình cho các em

Bằng cách tương tự GV có thể hướng dẫn HS xét các tập hợp khác và xây dựng các quan hệ trên đó để có các bài toán thực tiễn khác dựa theo mô hình của ĐT trên

Sau đây chúng tôi đưa ra một số bài tập tương tự mà có thể mô hình hoá bằng ĐT để giải và xây dựng các bài toán mới như sơ đồ đã nêu

1 Cho mk+1 số tự nhiên khác nhau, chứng minh rằng có ít nhất m+1 số

tự nhiên có cùng số dư khi chia cho k

2 Trong mặt phẳng cho 18 điểm, biết rằng có một số điểm được nối với nhau bằng các đoạn thẳng Chứng minh rằng luôn tìm được bốn điểm sao cho đôi một được nối với nhau bằng các đoạn thẳng hoặc không có cặp điểm nào được nối với nhau bằng đoạn thẳng

3.Chứng minh rằng trong một nhóm người bất kỳ nếu có đúng hai người

có cùng số người quen (số người quen có thể là không) thì ắt sẽ có một người không quen ai hoặc có một người quen tất cả mọi người

4 Cho sáu số tự nhiên khác nhau biết rằng trong chúng không có ba số nào đôi một là không nguyên tố cùng nhau Chứng minh rằng có ba số đôi một nguyên tố cùng nhau

5 Trong giải đấu bóng đá diễn ra giữa n đội Chứng minh rằng nếu có hai đội cùng có số trận thắng như nhau trong giải đấu thì sẽ tìm được ba đội

A, B, C sao cho A thắng B, B thắng C, C thắng A

6 Trong mặt phẳng cho 15 đường tròn, biết rằng có một số đường tròn cắt nhau Chứng minh rằng luôn tìm được ba đường tròn đôi một cắt nhau hoặc năm đường tròn đôi một không cắt nhau

7 Cho 37 đường tròn nằm trên cùng một mặt phẳng Biết rằng trong bảy đường tròn bất kỳ luôn tồn tại hai đường tròn sao cho đường tròn này chứa đường tròn kia Chứng minh rằng có thể tìm được bảy đường tròn mà có