tiêu chuẩn mới cho hệ đan rối ba mode

Sau đó năm 1997, PawelHorodecki đưa ra tiêu chuẩn chia tách được và các trạng thái không chia táchđược với chuyển vị từng phần dương [11], nhưng tiêu chuẩn này cũng đúng cho trường hợp h

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC HUẾTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

-LÊ THANH TUẤN

TIÊU CHUẨN MỚI VỀ ĐAN RỐI

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu vàkết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được công

bố trong bất kỳ một công trình nghiên cứu nào khác

Huế, tháng 10 năm 2010

Tác giả luận văn

Lê Thanh Tuấn

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành ngoài sự nổ lực của bản thân, tôi còn nhận được nhiều sự giúp đỡ, động viên của thầy cô, gia đình và bè bạn Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo - TS Trương Minh Đức đã giúp

đỡ tôi rất nhiều về mặt tài liệu và dành cho tôi sự hướng dẫn tận tình trong suốt thời gian tôi tìm hiểu, nghiên cứu và thực hiện đề tài.

Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy giáo, cô giáo ở Khoa Vật lý Trường ĐHSP Huế - những người đã trực tiếp giảng dạy; xin cảm ơn các thầy cô ở Phòng Đào tạo Sau Đại học đã giúp đỡ tôi về nhiều mặt trong những năm tháng học tập vừa qua tại trường.

Xin gửi lời cảm ơn đến Lãnh đạo Sở Nội vụ, Sở GD-ĐT, Ban giám hiệu, các thầy cô trong Tổ Vật lý và các đồng nghiệp Trường THPT Bến Quan - Tỉnh Quảng Trị đã cho tôi có cơ hội được học tập và tạo điều kiện thuận lợi về thời gian để tôi hoàn thành khóa học.

Trong quá trình học tập, tôi luôn nhận được sự động viên, khích lệ và sự giúp đỡ nhiệt tình của các anh chị, các bạn học viên Cao học K16 - K17 của Trường ĐHSP Huế Tôi xin chân thành cảm ơn.

Cuối cùng, xin gửi lời tri ân thành kính nhất đến gia đình, bố mẹ, các anh chị và những người bạn thân nhất của tôi; xin gửi tặng thành quả hôm nay cho tất cả những người mà tôi yêu quý nhất.

Huế, tháng 10 năm 2010

Tác giả luận văn

Lê Thanh Tuấn

MỤC LỤC

Trang phụ bìa i

Lời cam đoan ii

Lời cảm ơn iii

Mục lục 1

MỞ ĐẦU 3 Chương 1- MỘT SỐ VẤN ĐỀ TỔNG QUAN 8 1.1 Ma trận mật độ 8

1.2 Trạng thái thuần và trạng thái hỗn hợp 9

1.2.1 Trạng thái thuần (pure state) 9

1.2.2 Trạng thái hỗn hợp (mixed state) 10

1.3 Tiêu chuẩn chia tách được của các trạng thái hỗn hợp 13

1.3.1 Nguyên lý về tính không thể chia tách của trạng thái hỗn hợp 13

1.3.2 Tiêu chuẩn chia tách được của ma trận mật độ [18] 14

1.4 Phương sai của phép đo đại lượng vật lý 16

1.5 Chuyển vị từng phần 17

1.6 Một số trạng thái phi cổ điển ba mode 18

1.6.1 Trạng thái |GHZi 18

1.6.2 Trạng thái chân không bị nén ba mode trong không gian

Fock 181.6.3 Trạng thái kết hợp bộ ba 19

Chương 2- TIÊU CHUẨN MỚI VỀ ĐAN RỐI CHO HỆ BA

2.1 Tiêu chuẩn đan rối cho hệ hai mode của

Agarwal G S và Asoka Biswas 212.2 Tiêu chuẩn đan rối mới cho hệ ba mode 25

Chương 3- NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT RỐI CỦA MỘT SỐ

3.1 Trạng thái |GHZi 30

3.2 Trạng thái chân không bị nén ba mode trong không gian Fock 353.3 Trạng thái kết hợp bộ ba 40KẾT LUẬN 44TÀI LIỆU THAM KHẢO 46PHỤ LỤC P.1

MỞ ĐẦU

1 Lịch sử vấn đề

Khoa học thông tin lượng tử là một ngành phát triển rất nhanh chóngtrong nhiều ngành của cơ học lượng tử và lý thuyết thông tin với những ứngdụng nổi bật như phân bố lượng tử và khóa lượng tử Hiện nay, nó đóng vai tròquan trọng trong số các ngành học của vật lý và công nghệ thông tin Trongsuốt hai thập niên cuối của thế kỷ XX, việc nghiên cứu các vấn đề cơ bản của

cơ lượng tử và vật lý tính toán là nồng cốt trong việc tìm kiếm các giải phápcho các vấn đề trọng tâm trong khoa học thông tin lượng tử, cung cấp các cơ

sở nhận thức cho sự phát triển của các tiêu chuẩn lượng tử và các thuật tínhtoán Rối hay tính không chia tách được lượng tử là một phần quan trọng trong

lý thuyết thông tin lượng tử, đó là nguồn có giá trị, là chìa khóa cho sự pháttriển nhanh chóng của tiến trình xử lý thông tin lượng tử [14] Ý niệm về rốixuất hiện đầu tiên vào năm 1935 trong tài liệu của Einstein, Podolsky, Rosen(EPR), trong đó các trạng thái bị rối là các trạng thái hai hạt lượng tử có liênquan đặc biệt với tọa độ và xung lượng Sau đó, cũng trong năm 1935, ErwinSchrodinger đã đưa ra khái niệm rối và ông gọi rối là điểm nổi bật đặc trưngcủa cơ học lượng tử [13] Vào lúc đó, rối là điều ngạc nhiên nhất của hình thứcluận lượng tử Đến nay, rối đang là một đề tài thu hút được các nhà khoa họctập trung nghiên cứu cả lý thuyết cũng như thực nghiệm

Các trạng thái bị rối có một đặc điểm rất kỳ lạ, một khi hai đối tượng nào

đó đã ở trong trạng thái này thì chúng mãi mãi vương vấn nhau, ảnh hưởngqua lại nhau, cho dù sau đó chúng tách ra xa bao nhiêu và nếu một đối tượngchịu một tác động nào đó thì ngay lập tức đối tượng kia sẽ bị ảnh hưởng theo

Điều này dẫn đến một nghịch lý kì bí và rối rắm về logic Thậm chí ngay cảEinstein cũng không thể nào hình dung nổi và ông gọi đó là "tác động maquái phi không gian" Sự tồn tại của các trạng thái rối ngày nay đã được thựcnghiệm khẳng định.

Việc tìm ra các trạng thái rối là vấn đề cần quan tâm, vì các trạng tháinày là nguồn có giá trị đối với tính toán lượng tử và thông tin lượng tử Muốnphát hiện một trạng thái có bị rối hay không phải dựa vào những tiêu chuẩn

cụ thể Hiện nay người ta xác minh rối chỉ dựa vào một số tính chất thống

kê đặc trưng Một tính chất thống kê đã biết của rối là sự vi phạm bất đẳngthức Bell Tuy nhiên, những yêu cầu đối với sự vi phạm bất đẳng thức nàycòn là một điều kiện yếu đối với việc kiểm tra một trạng thái có bị rối haykhông Năm 1996, Peres đưa ra tiêu chuẩn chia tách được đối với ma trận mật

độ [18] Tiêu chuẩn này mạnh hơn so với việc sử dụng bất đẳng thức Bell choviệc phát hiện tính không chia tách được lượng tử Sau đó năm 1997, PawelHorodecki đưa ra tiêu chuẩn chia tách được và các trạng thái không chia táchđược với chuyển vị từng phần dương [11], nhưng tiêu chuẩn này cũng đúng cho

trường hợp hệ 3 × 3, 2 × 4 Năm 2001, Kraus, Lewenstein, Cirac nghiên cứu các

tính chất chia tách được của các trạng thái Gaussian 3 mode [8] Năm 2002,HongyiFan, Guichuan Yu đã chứng minh được trạng thái chân không bị nén

ba mode trong không gian Fock cũng là một trạng thái bị rối [7] Năm 2006,Mark Hillery và Suhail Zubairy đã đưa ra một lớp các bất đẳng thức cho việcphát hiện rối trong các hệ hai mode [9], [10] Cũng trong năm 2006, Nha vàKim đã đưa ra tiêu chuẩn về rối thông qua các hệ thức bất định trong đại số

SU(2) và SU(1, 1), qua đó phát hiện các trạng thái rối phi Gaussian [17] Năm

2005, Agarwal G.S và Asoka Biswas dựa vào phép chuyển vị từng phần đã đưa

ra các tiêu chuẩn dò tìm đan rối trong các hệ hai mode [3]

Ở Việt Nam, vấn đề về rối cũng được các nhà khoa học đặc biệt quan tâm,hiện nay có một nhóm của GS Nguyễn Bá Ân và các cộng sự đang nghiên cứu

về vấn đề này Các nghiên cứu về trạng thái bị rối và các tiêu chuẩn để pháthiện rối vẫn đang được tiếp tục tiến hành và thu hút sự chú ý của các nhà vật

lý vì những ứng dụng của nó trong khoa học thông tin lượng tử hiện nay

2 Lý do chọn đề tài

Như đã trình bày, các trạng thái bị rối là nguồn có giá trị đối với tínhtoán lượng tử và thông tin lượng tử Tuy nhiên, giới hạn giữa các trạng thái bịrối và các trạng thái chia tách được vẫn chưa thực sự rõ ràng, các đặc trưngcủa trạng thái bị rối vẫn chưa được tìm ra một cách đầy đủ và chính xác Cóthể nói những tiêu chuẩn của Horodecki và Peres đã làm tiền đề cho việc tìmkiếm các tiêu chuẩn phát hiện rối trong các hệ sau này, trong đó có tiêu chuẩnđan rối cho hệ hai mode của Agarwal G S và Asoka Biswas Hai ông xây dựng

hệ thức bất định từ việc định nghĩa các toán tử, sau đó sử dụng phép chuyển

vị từng phần để đưa về các bất đẳng thức mới làm tiêu chuẩn để dò tìm đanrối trong các hệ hai mode Về nguyên tắc, các đại lượng có mặt trong bất đẳngthức và độ bất định của chúng là có thể đo lường được, do đó các điều kiện màhai ông đưa ra có thể được sử dụng để phát hiện rối trong phòng thí nghiệm

Ở đây các điều kiện được biểu diễn trong các số hạng của biến liên tục dẫnđến một họ các điều kiện khác cho việc phát hiện rối

Vấn đề về rối lượng tử đang là một vấn đề thú vị và thu hút được sự chú

ý hiện nay bởi còn nhiều điều chưa được khám phá và những ứng dụng cực

kỳ to lớn của nó Được sự hướng dẫn của TS Trương Minh Đức, tôi đã tìmhiểu những vấn đề liên quan về rối và thấy đây là một đề tài thực sự hấp dẫn

Trên cơ sở những tài liệu đã tìm hiểu, tôi chọn đề tài "TIÊU CHUẨN MỚI

VỀ ĐAN RỐI CHO HỆ BA MODE", với mong muốn tìm ra những tiêu chuẩnmới để phát hiện rối trong các hệ ba mode và áp dụng những tiêu chuẩn đónghiên cứu tính chất rối của một số trạng thái phi cổ điển

3 Mục tiêu nghiên cứu

Trong luận văn này, chúng tôi sẽ tập trung nghiên cứu tiêu chuẩn mới vềđan rối cho hệ ba mode, sau đó áp dụng tiêu chuẩn mới tìm được để nghiêncứu tính chất rối của một số trạng thái ba mode phi cổ điển như trạng thái

|GHZi, trạng thái chân không bị nén ba mode, trạng thái kết hợp bộ ba.

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Từ nhũng mục tiêu cần đạt được của luận văn thì nhiệm vụ nghiên cứu

cụ thể như sau:

Trình bày những vấn đề chung liên quan đến rối lượng tử.

Giới thiệu về tiêu chuẩn đan rối cho hệ hai mode của Agarwal G S và

Asoka Biswas

Đưa ra được tiêu chuẩn đan rối mới cho hệ ba mode.

Áp dụng các tiêu chuẩn tìm được để dò tìm đan rối đối với một số trạng

thái phi cổ điển

5 Phạm vi nghiên cứu

Trong luận văn này, chúng tôi tập trung nghiên cứu và đưa ra tiêu chuẩnmới về đan rối cho hệ ba mode, trên cơ sở đó áp dụng để nghiên cứu tính chấtđan rối của một số trạng thái phi cổ điển

6 Phương pháp nghiên cứu

Để nghiên cứu đề tài này, chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu

lý thuyết, cụ thể sử dụng kiến thức các môn học như cơ lượng tử, lý thuyếttrường lượng tử, vật lý thống kê để xây dựng các bất đẳng thức và tính cáctrị trung bình

Để thực hiện tính toán, đề tài sử dụng phần mềm tính toán và vẽ đồ thịMathematica

7 Bố cục luận văn

Sau phần mở đầu, luận văn được tiếp tục bằng Chương 1 Chương nàytrình bày một số vấn đề tổng quan như ma trận mật độ, trạng thái thuần vàtrạng thái hỗn hợp, tiêu chuẩn chia tách được của trạng thái hỗn hợp, chuyển

vị từng phần, một số trạng thái phi cổ điển Trong Chương 2 trình bày về tiêuchuẩn đan rối trong các hệ hai mode của Agarwal G S và Asoka Biswas, quátrình xây dựng và đưa ra tiêu chuẩn đan rối mới trong các hệ ba mode TrongChương 3 chúng tôi sẽ sử dụng tiêu chuẩn tìm được để nghiên cứu tính chấtrối trong một số trạng thái phi cổ điển Phần Kết luận tóm tắt các kết quảchính của luận văn, đề xuất hướng nghiên cứu tiếp theo Cuối cùng là phầnTài liệu tham khảo và Phụ lục

Các kết quả chính của Luận văn được thể hiện trong bài báo đã đượcnhận đăng trong tạp chí Khoa học và Giáo dục của trường Đại học Sư phạm

- Đại học Huế

Tuy nhiên trong nhiều trường hợp ta không thể biết được trạng thái Ψ

mà chỉ biết được xác suất PΨ để hệ ở trạng thái Ψ Trong trường hợp đó, takhông chỉ cần tính trung bình lượng tử mà còn tính trung bình theo tập hợpthống kê Thay vì phương trình (1.1), bây giờ ta có

1.2 Trạng thái thuần và trạng thái hỗn hợp

1.2.1 Trạng thái thuần (pure state)

Nếu một hệ lượng tử là cô lập hay hệ ở trong trường ngoài mà tương tácgiữa hệ với trường ngoài đã biết chính xác thì trạng thái của hệ lượng tử đượcgọi là trạng thái pure, còn gọi là trạng thái thuần, trạng thái sạch hoặc trạngthái tinh khiết Trong luận văn này, chúng tôi sử dụng cụm từ "trạng tháithuần" để đặc trưng cho trạng thái của hệ lượng tử này Lúc đó giá trị trungbình của một đại lượng được tính theo công thức (1.1)

Trong trường hợp này, tất cả PΨ = 0 ngoại trừ trạng thái Ψ0, do đó matrận mật độ có dạng

1.2.2 Trạng thái hỗn hợp (mixed state)

Nếu hệ lượng tử không cô lập và tương tác với các hệ xung quanh khôngxác định được một cách chính xác, khi đó chúng ta không thể giải phương trình

Schrodinger để xác định hàm sóng của hệ, do đó trạng thái của hệ được gọi làtrạng thái mixed Trong luận văn này, chúng tôi sử dụng cụm từ "trạng tháihỗn hợp" để đặc trưng cho trạng thái của hệ lượng tử này Để mô tả hệ lượng

tử trong khuôn khổ cơ học lượng tử, ta xét cả hệ đang xét (gọi là hệ con) vàcác hệ xung quanh tương tác với nó (gọi là hệ lớn) Khi đó ta có thể dùng kháiniệm hàm sóng để mô tả trạng thái của hệ kín Giá trị trung bình của một đạilượng của hệ con được tính theo công thức (1.2)

Đối với trạng thái này, ma trận mật độ có những tính chất sau:

Vì ρ là toán tử Hermite nên các trị riêng p i của ρ là thực và dương p i chính là

xác suất tìm thấy trạng thái thuần của hệ con được mô tả bởi hàm sóng |ii,

1.3 Tiêu chuẩn chia tách được của các trạng thái

tính chất của ma trận mật độ ρ Sau đó, R Horodecki và M Horodecki đã đưa

ra nguyên lý về tính không thể chia tách được của các trạng thái hỗn hợp [12].Nội dung của nguyên lý đó như sau "Nếu hai hệ đã tương tác trong quá khứthì có thể tìm thấy toàn bộ hệ trong một trạng thái mà không thể viết dướidạng một hỗn hợp của các trạng thái tích" Nguyên lý này chứa đựng sự tồntại của các trạng thái hỗn hợp không chia tách được mà có thể được xem nhưbản sao của các trạng thái bị rối thuần khiết, chúng tương ứng với các trạngthái tương quan EPR, là những trạng thái không thể được viết dưới dạng hỗnhợp của các tích trực tiếp, trong khi đó các trạng thái chia tách được (hỗn hợpcủa các trạng thái tích) lại tương ứng với các trạng thái tương quan cổ điển.Như đã biết, một trạng thái hỗn hợp có thể xuất phát từ sự quy về một vàitrạng thái thuần hoặc từ nguồn tạo ra các trạng thái thuần một cách ngẫu

nhiên Nếu một trạng thái hỗn hợp là chia tách được thì nó tạo ra tính thống

kê tương đương với một trạng thái được tạo ra từ một tập hợp các trạng tháitích Tuy vậy, nếu một trạng thái hỗn hợp không thể chia tách được thì táchnhiên không có cách nào để gán cho các hệ thành phần các vectơ trạng tháicủa nó dù chỉ là về mặt nguyên tắc Nói chung rất khó để kiểm tra xem mộttrạng thái đã cho có thể viết dưới dạng hỗn hợp của các trạng thái tích haykhông Do đó, đặc trưng toán tử của các trạng thái chia tách được hay khôngchia tách được là vấn đề rất được quan tâm

1.3.2 Tiêu chuẩn chia tách được của ma trận mật độ [18]

Trong phần này, chúng tôi giới thiệu một điều kiện cần cho sự chia táchđược đó là ma trận mật độ thu được từ phép chuyển vị từng phần với các giátrị riêng không âm Điều kiện này thu được từ phép kiểm tra đại số đơn giảnnhư sau:

Một hệ lượng tử bao gồm hai hệ con trong không gian Hilbert H = H1⊗H2

là chia tách được nếu ma trận mật độ ρ của nó được viết dưới dạng

với ρ 0 A và ρ 00 A lần lượt là ma trận mật độ của hai hệ con trong không gian H1,

H2 và p A thỏa mãn điều kiện P∞ A=1 p A = 1 Như vậy, một hệ lượng tử được cho

là bị rối nếu toán tử ma trận mật độ của chúng không chia tách được, tức là

không thể biểu diễn dưới dạng tổng lồi của các toán tử ma trận mật độ ρ 0 A và

ρ 00 A của hai hệ lượng tử như trên (1.13)

Một hệ chia tách được thì luôn luôn thỏa mãn bất đẳng thức Bell, nhưngđiều ngược lại thì không nhất thiết lúc nào cũng đúng Thật vậy, để tồn tạicho sự phân tích (1.13), chúng tôi sẽ sử dụng cách kiểm tra đại số như sau

Viết lại điều kiện chia tách (1.13) dưới dạng các yếu tố của ma trận một cáchtường minh với tất cả các chỉ số của chúng Phương trình (1.13) trở thành

với các chỉ số m, n quy ước gán cho hệ con thứ nhất, các chỉ số µ, ν quy ước

gán cho hệ con thứ hai, hai hệ này có thể khác nhau về số chiều Chú ý rằngphương trình này có thể thỏa mãn nếu ta thay các ma trận mật độ lượng tửbằng các hàm Lioville cổ điển (còn các chỉ số gián đoạn được thay bằng các

biến p và q) Nguyên nhân chỉ là do sự ràng buộc rằng một hàm Lioville phải

thỏa mãn điều kiện không âm Điều chúng ta muốn là ma trận mật độ lượng

tử có giá trị riêng không âm, và điều kiện này sẽ khó thỏa mãn hơn

Bây giờ ta định nghĩa một ma trận mới

Vì ma trận chuyển vị (ρ 0 A)T ≡ (ρ 0 A)∗ là các ma trận không âm với vết bằng đơn

vị nên chúng cũng có thể là ma trận mật độ hợp quy luật, tức là không có trị

riêng nào của σ là âm Đây là điều kiện cần để phương trình (1.13) đúng Chú ý rằng, các trị riêng của σ là bất biến dưới phép biến đổi Unita với

U 0 và U 00 là các cơ sở Ta có

ρ −→ (U 0 T ⊗ U 00 )ρ(U 0 T ⊗ U 00)+, (1.17)

thế thì

σ −→ (U 0 T ⊗ U 00 )σ(U 0 T ⊗ U 00)+, (1.18)

cũng là phép biến đổi Unita, chuyển dời các trị riêng bất biến của σ.

Tiêu chuẩn này mạnh hơn bất đẳng thức Bell hay mạnh hơn bất đẳng

thức entropy − α, nó được chứng minh qua hai ví dụ trong [15].

1.4 Phương sai của phép đo đại lượng vật lý

Cho hai toán tử A và B theo thứ tự được biểu diễn bởi hai toán tử Hermite

A và B Trong cơ học lượng tử nếu hai đại lượng vật lý này không đo đồng

thời thì về mặt toán học A và B không giao hoán được với nhau, khi đó ta có

Toán tử toạ độ ˆx và toán tử mômen xung lượng được định nghĩa qua hệ

thức a = x+iˆˆ√ p

2 và a+ = x−iˆˆ√ p

2

Hàm C ρ T (λ) ≡ T r{ρ T D(λ)} là hàm đặc trưng cho toán tử mật độ ρ Còn

hàm đặc trưng cho toán tử mật độ chuyển vị ρ T =R dxdx 0 ρ xx 0 |x 0 ihx| được đưa

ở đây C ρ T (λ) là hàm đặc trưng của trạng thái ban đầu và D(λ) = e λa+−λ ∗ a là

toán tử dịch chuyển Vì vậy, hàm phân bố xác suất của ρ T có mối quan hệ với

trong trường hợp chuyển vị từng phần cho mode b, ta có

ha +m a n b +p b q i ρ P T = ha +m a n b +q b p i ρ (1.27)

1.6.1 Trạng thái |GHZi

Trạng thái |GHZi [6] được nghiên cứu lần đầu tiên bởi D Greenberger,

MA Horne và Anton Zeilinger năm 1989 Đây là một trạng thái phi cổ điển, bịrối và gồm tám trạng thái sau:

Trạng thái chân không bị nén ba mode trong không gian Fock [7] đượcđịnh nghĩa như sau:

|ψi = (1 − x2)1/2

∞

X

n=0

x n |ni a |ni b |ni c , (1.36)

trong đó 0 ≤ x ≤ 1, |ni a , |ni b và |ni c là các trạng thái Fock

1.6.3 Trạng thái kết hợp bộ ba

Trạng thái kết hợp bộ ba [1] được xây dựng từ trạng thái kết hợp cặp

|ξ, qi, với hai toán tử hủy boson a và b tương ứng với hai mode độc lập nhau,

ta có

ab|ξ, qi = ξ|ξ, qi, (a+a − b+b)|ξ, qi = q|ξ, qi, (1.37)

trong đó ξ = r.e iφ với r và φ là thực, q là một số nguyên không âm.

Bây giờ đối với ba toán tử hủy boson a, b, c tương ứng với ba mode độc lập với nhau, một trạng thái mới gọi là trạng thái kết hợp bộ ba |ξ, p, qi được

định nghĩa như sau:

abc|ξ, p, qi = ξ|ξ, p, qi,

(N a − N b )|ξ, p, qi = p|ξ, p, qi, (N b − N c )|ξ, p, qi = q|ξ, p, qi, trong đó ξ = r.e iφ với r, φ là thực và q, p là một số nguyên không âm và toán

tử số hạt N x = x+x Khi khai triển thông qua trạng thái Fock |ni thì trạng

thái kết hợp bộ ba được biểu diễn dưới dạng

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu về điều kiện đan rối cho hệ haimode của Agarwal G S và Asoka Biswas Bằng cách xây dựng hệ thức bấtđịnh của các toán tử và sử dụng phép chuyển vị từng phần, hai ông đã đưa vềđược các bất đẳng thức mới Vì mọi trạng thái lượng tử đều thỏa mãn hệ thứcbất định nên nếu một trạng thái nào đó vi phạm một trong các bất đẳng thứctrên thì trạng thái đó bị rối Dựa trên ý tưởng đó, chúng tôi xây dựng các bấtđẳng thức mới làm tiêu chuẩn để phát hiện đan rối trong các hệ ba mode Đóchính là nội dung chính của chương này

2.1 Tiêu chuẩn đan rối cho hệ hai mode của

Agarwal G S và Asoka Biswas

Xuất phát từ các toán tử được định nghĩa như sau:

Áp dụng phép chuyển vị từng phần đối với hệ con thứ hai (b ↔ b+), ta đượcbất đẳng thức mới

h

ha+abb+i + haa+b+bi + ha+2b+2i + ha2b2i − ha+b++ abi2i

×hha+abb+i + haa+b+bi − ha+2b+2i − ha2b2i + ha+b+− abi2i (2.6)

≥ |ha+a − b+bi|2.

Tương tự như trên, hai ông đưa ra bất đẳng thức thứ hai làm tiêu chuẩn

để phát hiện rối trong các trạng thái hai mode bằng cách xét các toán tử sauthỏa mãn đại số SU(1,1)

Thay (2.9), (2.10) vào (2.8), ta được

Bất đẳng thức (2.6) và (2.12) được gọi là tiêu chuẩn đan rối của Agarwal G

S và Asoka Biswas Nếu một trạng thái hai mode bị rối khi nó vi phạm mộttrong hai bất đẳng thức trên

Trong nội dung này, chúng ta sẽ sử dụng các tiêu chuẩn trên để nghiêncứu một ví dụ của trạng thái hai mode phi Gaussian, đó là trạng thái chia đôi

Trạng thái trên được viết lại như sau:

Tính các trung bình ở các bất đẳng thức (2.6) và (2.12) đối với trạng thái

Với |α|2 + |β|2 = 1 nên (2.25) không bị vi phạm, điều đó chứng tỏ trạng thái

ở công thức (2.15) luôn thỏa mãn bất đẳng thức (2.6), do đó không đưa đếnthông tin nào về sự đan rối của trạng thái ở công thức (2.15)

Tương tự như trên, ta thay các trung bình trên vào bất đẳng thức (2.12),cho kết quả

|α ∗ β|2− 2[Re(α ∗ β]2[Im(α ∗ β)] ≤ 0. (2.26)

Kết quả trên cho thấy bất đẳng thức (2.12) bị vi phạm với mọi giá trị α và β.

Vì vậy, trạng thái ở công thức (2.15) là bị đan rối

Các bất đẳng thức (2.6) và (2.12) dựa theo tương quan bậc cao, vì vậy

nó thành công để kiểm tra sự không thể chia tách trong các trạng thái phiGaussian như trạng thái ở công thức (2.15), trong khi các bất đẳng thức đã códựa trên tương quan bậc hai đã bị thất bại khi làm như vậy Kết quả này mở

ra một con đường mới để nghiên cứu các bất đẳng thức không thể chia táchtổng quát cho trạng thái phi Gaussian

Xuất phát từ tiêu chuẩn đan rối cho hệ hai mode của Agarwal G S vàAsoka Biswas, ở phần này chúng tôi đưa ra các bất đẳng thức mới làm tiêuchuẩn để phát hiện rối trong các hệ ba mode Xét ba mode của trường điện từ,

với (a, a+), (b, b+), (c, c+) lần lượt là các toán tử hủy và toán tử sinh của modethứ nhất, mode thứ hai và mode thứ ba Ta định nghĩa các toán tử sau: