ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH 1 BÁCH KHOA

Đại Học Bách Khoa TP Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Ứng Dụng ĐỀ THI GIẢI TÍCH 1 HK171 Ngày thi 09 01 2018 Thời gian 90 phút Giờ thi CA 1 Hình thức thi tự luận Đề gồm 6 câu Sinh viên không được sử dụng tài.

Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh

Khoa Khoa Học Ứng Dụng.

ĐỀ THI GIẢI TÍCH 1 HK171Ngày thi: 09-01-2018Thời gian: 90 phútGiờ thi : CA 1

Hình thức thi tự luận: Đề gồm 6 câu

Sinh viên không được sử dụng tài liệu

ln(1 − x)

√

1 − x dxCâu 5 : Tìm nghiệm phương trình vi phân y00− 6y0− 16y = (12 − 20x)e−2x, thỏa điều kiện

y(0) = −3, y0(0) = −5

Câu 6 : Trong mạch điện có điện trở R, tụ điện với điện dung C và điện áp E(t), điện lượng

Q đi qua trong thời gian t thỏa mãn phương trình vi phân RdQ

dt +

1

CQ = E Tìmđiện lượng Q, đơn vị C, theo thời gian t, đơn vị s (giây), nếu biết R = 2Ω, C =0.01F, E = 10 sin 60t(V ) và Q(0) = 0 Tìm giá trị của Q sau 0.1s

Phó chủ nhiệm bộ môn duyệt

TS Nguyễn Bá Thi

1

ĐÁP ÁN CA 1Câu 1: 1.5đ

y =

q

x 3 −2 x

1+√3R1(−x2 + 2x + 2)dx = 2√

3 + 4

3 Mỗi tp, cận + giá trị :0.5đ+0.5đ

Nếu viết tp không đúng, nhưng xác định đúng miền bằng hình vẽ, cả bài 0.5đ.Câu 3: 1đ

1

2 < m <

5

2 Mỗi tp đúng : 0.5đCâu 4: 1.5đ

2

Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh

Khoa Khoa Học Ứng Dụng.

ĐỀ THI GIẢI TÍCH 1 HK171Ngày thi: 09-01-2018Thời gian: 90 phútGiờ thi : CA 2

Hình thức thi tự luận: Đề gồm 6 câu

Sinh viên không được sử dụng tài liệu

Câu 1 : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y =

(√3

x3+ 3x2, x ≤ 0arctan x

x + 1 > 0

Câu 2 : Cho đường cong (C) : x = y2− 4 Viết phương trình tiếp tuyến (d) của đường cong

này tại (0, 2) Gọi D là miền phẳng giới hạn bởi đường cong (C), tiếp tuyến (d) vàtrục Ox Tính thể tích vật thể tạo ra khi (D) quay xung quanh Ox

Câu 3 : Tìm tất cả các số thực α để tích phân sau hội tụ : I =

Câu 5 : Tìm nghiệm x(t), y(t) của hệ phương trình vi phân

(

x0(t) = 2x + y − 5t2+ 1

y0(t) = 4y − 2x + t − 1Câu 6 : Theo định luật của Newton, vận tốc nguội lạnh của một vật tỷ lệ thuận với hiệu

của nhiệt độ vật và nhiệt độ môi trường xung quanh Hãy tìm nhiệt độ T của vậttheo thời gian t, nếu biết nhiệt độ ban đầu của vật là 100oC, đặt vào phòng cónhiệt độ 25oC và sau 10 phút nhiệt độ của vật là 50OC Đến khi nào nhiệt độ củavật còn 40oC? (Lấy đơn vị thời gian là phút.)

Phó chủ nhiệm bộ môn duyệt

TS Nguyễn Bá Thi

3

ĐÁP ÁN CA 2Câu 1: 1.5đ

y =

 √3

x3+ 3x2, x ≤ 0arctanx+1x , x > 0

y0 =

( x2+2x 3

√(x 3 +3x 2 )2, x < 0, x 6= −31

4), cưc tiểu (0, 0), 0.5đ (không trình bày cực đại cưc tiểu nhưngbảng biến thiên đúng vẫn cho điểm),

−8

(x + 8)2

0R

−4

(x + 8

2

− √x + 4
2

dxhay Vx= 2π

2R0

y [(y2 − 4) − (4y − 8)] dy, 1đ

Vx = 8π

3 0.5đ (Nếu tính theo x và chỉ đúng 1 tp 1đ)Câu 3: 1đ

Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh

Câu 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x

2− 2x + 1

x2 − 4 .Câu 2: Tìm tất cả các giá trị m > 0 để tích phân I =

1R0

√x

x3+ 1dx.

Câu 4: Cho miền phẳng D :

y ≥ 0, y ≤√

3x, x2+ y2 ≤ 4 Tính thể tích vật thể được tạo ra khi D quay quanh trục Ox

Câu 5: Tìm nghiệm phương trình: xy0− y(2y ln x − 1) = 0, thỏa điều kiện y(1) = 1

Câu 6: Tìm nghiệm của phương trình y00+ 2y0+ y = 2 cos x

Câu 7: Giải hệ phương trình :

α = 2 : f ∼ x

2 32x2 Suy ra Tp PK

α < 2 : f ∼ x

2 3

xα− 2 3

Suy ra tp HT khi và chỉ khi α − 2

3 < 1 ↔ α <

53Vậy I hội tụ khi và chỉ khi 0 < α < 5

3

3 ) Tính I =

+∞

R0

√x

Cách 3: Dùng TR - VTR

, D = −2 0

, P−1 = 1

10P2

Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh

Câu 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = 2

x√

4 − x2.Câu 2: Tìm số thực m > 0 để tích phân sau hội tụ I =

+∞

R0

y =√

2 − x, x = y, y = 0quay quanh trục Oy

Câu 5: Tìm nghiệm phương trình vi phân

(xy0 − y) arctany

x = xthỏa điều kiện y(1) = 0

Câu 6: Giải phương trình vi phân y00− 3y0+ 2y = 2xe2x

Câu 7: Giải hệ phương trình vi phân

I =R2+∞

1

15

5 ) Tìm nghiệm phương trình vi phân (xy0 − y) arctany

x = x thỏa điều kiện y(1) = 0.

4.Cách 2: Khử y : x00− 4x0+ 4x = −2et+ 3

2

LÍ THUYẾT Chúc các em đạt kết quả tốt Tri Tri Le

Phân loại biến cố

Hai biến cố xung khắc : Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc với nhau nếu chúng không cùng xảy ra

trong một phép thử Trong trường hợp chúng có thể cùng xảy ra trong một phép thử thì gọi là hai biến

Thí dụ 1 : Bắn một viên đạn vào bia, gọi A= (Viên đạn trúng bia) và A= (Viên đạn không trúng bia) khi

đóA và A là hai biến cố đối lập

Hai biến cố độc lập : Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố A không làm thay đổi xác suất xảy ra của biến cố B và ngược lại

Định lý cộng xác suất, và các hệ quả

+) Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì

P(A + B) = P(A) + P(B)

+) Nếu A và B là hai biến cố không xung khắc thì

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB)

+) Nếu các biến cố A A1, 2, ,A n xung khắc với nhau từng đôi thì

P H





+) Nếu A và A là hai biến cố đối lập thì P(A)P(A) 1

+) Nếu A1, A2, A3 là ba biến cố không xung khắc thì

P(A1+A2+A3) = P(A1) + P(A2) + P(A3) - P(A1A2)-P(A2A3)-P(A3A1) + P(A1A2A3)

+) Nếu A A1, 2, ,A n là các biến cố không xung khắc và độc lập toàn phần với nhau thì

Định lý nhân xác suất, và hệ quả

+) Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì điều kiện cần và đủ là

+) Cho A và B là hai biến cố ta có

P(A.B) = P(B)P(A/B) = P(A)P(B/A)

P(A1.A2 An) = P(A1).P(A2/A1).P(A3/A1A2) P(An/A1A2 An-1)

Hệ biến cố đầy đủ và công thức xác xuất đầy đủ

Công thức xác suất đầy đủ

Giả sử các biến cố H1, H2, ,Hn tạo thành một nhóm đầy đủ các biến cố, nếu biến cố A xảy ra đồng thời với một trong các biến cố H1, H2, ,Hn thì ta có công thức

1

n i i

j

i 1

P H P

Dãy phép thử độc lập và công thức béc nuli

khi ta quan tâm đến 1 biến cô A nào đó trong mỗi lần thử,thì xác xuất biến cố A không đổi trong mỗi lần phép thử xảy ra

Ví dụ tung 1 con xũ xắc 7 lần 1 cách độc lập, khi đó ta có dãy phép thử độc lập và lặp lại 7 lần

ông thức bernoulli

giả sử có 1 dãy gồm n phép thử độc lập Với mỗi lần phép thử xảy ra quan tâm đến biến cố A nào đó, với P(A)=p không đổi

khi đó

a,xác xuất để trong n lần thử biến cố A xuất hiện k lần, P(A)P k n( )C p n k k(1p)n k

b,xác xuất để trong n lần thử biến cố A xuất hiện  k k1, 2 lần

+) Gọi X1 = (Năng suất lúa vụ mùa của một tỉnh) thì X1 là biến ngẫu nhiên liên tục

Phân phối chuẩn

Ước lượng kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên gốc có phân phối chuẩn

Trường hợp 1 : Đã biết tham số σ2, của biến ngẫu nhiên gốc X , Cỡ mẫu n>30

Công thức (1) đúng cho mọi cặp  1, 2 không âm sao cho  1 2 , nhưng thực tế ta thường dùng

Ước lượng phương sai của biến ngẫu nhiên gốc có phân phối chuẩn

Trường hợp 1 : Đã biết tham số μ của biến ngẫu nhiên gốc X, Khi đó ta chọn thống kê :

Công thức (3) đúng cho mọi cặp  1, 2 không âm sao cho  1 2 , nhưng thực tế ta thường dùng

0

( )

nS n

( )

nS n





    dùng để ước lượng độ phân tán tối thiểu

b) Trường hợp 2 :Hầu như trường các e chỉ thi trường hợp 2 Chưa biết tham số μ của biến ngẫu nhiên gốc X Khi đó ta chọn thống kê :

2 2

+)   1  ; 2 0 ta có

2 2

2 1

( 1) '0

n S n

( 1) '

n S n

 dùng để ước lượng độ phân tán tối thiểu (hay độ đồng

đều tối đa)

Ước lượng tỉ lệ

Ước lượng tham số p của biến ngẫu nhiên gốc có phân phối không - một

(Ý nghĩa : ước lượng tham số cơ cấu của tổng thể có dấu hiệu định tính)

Giả sử tổng thể với dấu hiệu nghiên cứu định tính được đặc trưng bởi biến ngẫu nhiên X ~ A(p), tham số

p chưa biết, ta cần ước lượng p bằng phương pháp khoảng tin cậy

  dùng để ước lượng giá trị tỷ lệ tối thiểu

Kiểm định giả thuyết thống kê

Kiểm định giả thuyết về tham số μ của biến ngẫu nhiên gốc có phân phối chuẩn , cỡ mẫu n>30 Trường các e ít gặp trường hợp này

1) Trường hợp đã biết σ2 của biến ngẫu nhiên gốc

Ta chọn tiêu chuẩn kiểm định

Nếu giả thuyết H0: μ = μ0 là đúng thì U ~ N(0; 1)

Với mức ý nghĩa α cho trước tùy thuộc vào giả thuyết đối H1 mà ta xây dựng miền bác bỏ W tốt nhất tương ứng với các trường hợp sau :

+) Nếu cặp giả thuyết là H0: μ = μ0; H1: μ ≠ μ0 thì miền bác bỏ hai phía giả thuyết H0 là

2

0X

Nếu u tnthuộc miền bác bỏ nghia xlaf các bất pt trong 3 trường hợp trên đúng thì chấp nhận H1, BỎ Ho,

và ngược lại, nhơ ket luận văn vẻ để đạt điểm tối đa nhé

Kiểm định giả thuyết về tham số μ của biến ngẫu nhiên gốc có phân phối chuẩn , cỡ mẫu n>30

2) Trường hợp chưa biết σ2 của biến ngẫu nhiên gốc

Ta chọn tiêu chuẩn kiểm định

Nếu giả thuyết H0: μ = μ0 là đúng thì U ~ N(0; 1)

Với mức ý nghĩa α cho trước tùy thuộc vào giả thuyết đối H1 mà ta xây dựng miền bác bỏ W tốt nhất tương ứng với các trường hợp sau :

+) Nếu cặp giả thuyết là H0: μ = μ0; H1: μ ≠ μ0 thì miền bác bỏ hai phía giả thuyết H0 là

2

0X

Nếu u tnthuộc miền bác bỏ nghia là các bất pt trong 3 trường hợp trên đúng thì chấp nhận H1, BỎ Ho,

và ngược lại, nhơ ket luận văn vẻ để đạt điểm tối đa nhé

3) Trường hợp chưa biết σ2 của biến ngẫu nhiên gốc, cỡ mẫu n<30, đề bài nói rõ biến ngẫu nhiên đó tuân theo quy luật phân bố chuẩn

Ta chọn tiêu chuẩn kiểm định

Nếu giả thuyết H0: μ = μ0 là đúng thì T ~ T(n - 1)

Với mức ý nghĩa α cho trước tùy thuộc vào giả thuyết đối H1 mà ta xây dựng miền bác bỏ W tốt nhất tương ứng với các trường hợp sau :

+) Nếu cặp giả thuyết là H0: μ = μ0 ; H1: μ ≠ μ0 thì miền bác bỏ hai phía giả thuyết H0 là

2

( 1) 0

Kiểm định giả thuyết về tham số σ 2 (phương sai) của biến ngẫu nhiên gốc có phân phối chuẩn

(ý nghĩa : là kiểm định độ phân tán của tổng thể )

Ta chọn tiêu chuẩn kiểm định

2 2

2 0

Kiểm định giả thuyết về tham số p của biến ngẫu nhiên gốc có phân phối Không - Một

Chọn tiêu chuẩn kiểm định

Với mức ý nghĩa α cho trước, tùy thuộc giả thuyết đối H1 mà ta xây dựng miền bác bỏ W tốt nhất tương ứng với các trường hợp sau :

+) Nếu cặp giả thuyết là H0: p = p0 ; H1: p ≠ p0 thì miền bác bỏ hai phía giả thuyết H0 là