Schur đã chứng minh được rằng: Nếu nhóm thương G/ZG hữu hạn, thì nhóm [ G, G ] hữu hạn.. Phần đảo của định lý Schur nói chung là không đúng, chẳng hạn các p – nhóm quá đặc biệt vô hạn,
Trang 1ĐỊNH LÝ SCHUR VÀ CÁC PHẦN ĐẢO
SCHUR’S THEOREM AND CONVERSES
SVTH: Lương Thị Hường
Lớp 09ST, Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng
GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu
Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng
TÓM TẮT
Cho G là một nhóm, Z(G) và [ G, G ] lần lượt là nhóm con tâm và nhóm con giao hoán tử của G Năm 1904, I Schur đã chứng minh được rằng: Nếu nhóm thương G/Z(G) hữu hạn, thì nhóm [ G, G ] hữu hạn Kết quả này có nhiều ứng dụng trong lý thuyết nhóm và được gọi là Định lý Schur Phần đảo của định lý Schur nói chung là không đúng, chẳng hạn các p – nhóm quá đặc biệt
vô hạn, với p là một số nguyên tố lẻ Mục đích chính của bài báo này là tìm hiểu định lý Schur và các phần đảo của nó, được phát biểu và chứng minh bởi 4 tác giả khác nhau Đây là một mảng kiến thức về lý thuyết nhóm, rất bổ ích cho sinh viên ngành Toán, mà vốn chưa được học trong chương trình đào tạo
Từ khóa: nhóm, nhóm con tâm, nhóm con giao hoán tử, định lý Schur, các p-nhóm quá
đặc biệt vô hạn
ABSTRACT
Let G be a group, Z(G) and [ G, G ] denote the center and the commutator subgroup of G
In 1904, I Schur proved that if G/Z(G) is finite, then [ G, G ] is finite This result has many applications in group theory and is called Schur’s theorem The conver of Schur’s theorem is generally not true, such the p-group too special the infinite, with p is a prime retail The main purpose of this paper is to explore the Schur’s theorem and converses of it; be stated and proven
by four different authors This is an array of knowledge about group theory, very usefull for the students mathematics, that which has not been studied in the training program
Key words : group, the center subgroup, the commutator subgroup, Schur’s theorem, the p-group too special the infinite
1 Mở đầu
Cho G là một nhóm, Z(G) và [ G, G ] lần lượt là nhóm con tâm và nhóm con giao hoán tử của G Năm 1904, I Schur đã chứng minh được rằng: Nếu nhóm thương G/Z(G) hữu hạn, thì nhóm [ G, G ] hữu hạn Kết quả này có nhiều ứng dụng trong lý thuyết nhóm
và được gọi là Định lý Schur Phần đảo của định lý Schur nói chung là không đúng, chẳng hạn các p – nhóm quá đặc biệt vô hạn, với p là một số nguyên tố lẻ Năm 1951, B H Neumann [3] đã chứng minh được: Nếu nhóm G hữu hạn sinh và Z2(G) hữu hạn thì nhóm G/Z(G) hữu hạn Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu phần đảo của Định lý Schur
đã được sự quan tâm của nhiều nhà toán học, chẳng hạn năm 2010, P Niroomand [4] đã có chứng minh: Nếu [ G, G ] hữu hạn và G/Z(G) hữu hạn sinh thì nhóm G/Z(G) hữu hạn Kết quả này của P Niroomand đã được tổng quát hơn nữa bởi B Sury [6] ( năm 2010 ) và bởi
M K Yadav [9] ( năm 2011 )
Trang 22 Định lý Schur và các phần đảo
2.1 Định lý Schur Đối với một nhóm G thì tính hữu hạn của G/Z(G) kéo theo tính hữu hạn của [ G, G ]
2.2 Các phần đảo của định lý Schur
2.2.1 Định lý [3] Nếu G là một nhóm hữu hạn sinh sao cho [ G, G ] là hữu hạn thì
G/Z(G) là hữu hạn
2.2.2 Định lý [4] Cho G là một nhóm tùy ý sao cho d(G/Z(G)) và [ G, G ] là hữu hạn, khi
Chứng minh
Cho G/Z(G) = , trong đó Z(G),
Ta định nghĩa f: G/Z(G) (t lần)
↦ ( [ y, x1],…, [ y, xt ] )
Vì vậy f được xác định đúng đắn
Ta chứng minh f là 1 đơn ánh
Cho f( ) = f( )
Do G sinh bởi xi (1 ) mod Z(G) và nằm trong tâm của yx-1, ta có
yx-1 Vậy , do đó f là một đơn ánh
Áp dụng định lý 2.2 ta sẽ chứng minh được định lý 2.1
2.2.3 Hệ quả Cho G là một nhóm lũy linh sao cho d(G/Z(G)) và [G, G] là hữu hạn, khi đó
Chứng minh
Do là hữu hạn theo định lý 2.2 nên ta có
con Sylow của
Định lý 2.2 áp dụng với pi cho ta , điều này nghĩa là
chia hết
Trang 3Do Z(Pi) = Z(G) Pi , do đó ta có d(Pi/Z(Pi)) d(G/Z(G))
Mặt khác [G, G] = … kéo theo: chia hết
2.2.4 Các ví dụ
Ví dụ 1: Cho G là một nhóm với các phần tử sinh xi, yi, i > 0 và z, thỏa mãn các quan hệ
và Khi đó Z(G) = [G, G] = < z > là hữu hạn nhưng G/Z(G) không hữu hạn
Ví dụ 2: Cho G là một nhóm quaternion hoặc nhóm dihedral cấp 8, khi đó
d(G/Z(G)) = 2
Ví dụ 3: Cho G là một nhóm dihedral cấp 10, khi đó , 5 và d(G/Z(G)) = 2
2.2.5 Định lý [6] Cho G là một nhóm mà trong đó tập S các giao hoán tử của nó là hữu
hạn Khi đó [G, G] là hữu hạn Hơn nữa, nếu G/Z(G) được sinh bởi r phần tử thì
r
Chứng minh
Cho S = { [ xi, yi ] }
Xét nhóm con hữu hạn sinh H = { x1, y1,…, xd, yd } của G
Ta có S = { [ xi, yi ] } và xi, yi đều thuộc vào H
Do đó S còn là tập các hoán tử của H
Cho H/Z(H) được sinh bởi ảnh của g1, g2,…, gr
Ta có thể giả sử r nhưng ở đây nó không cần thiết
Chú ý rằng g Z(H) nếu và chỉ nếu g giao hoán với g1, g2,…, gr
Thật vậy:
+ g Z(H) thì ta có ngay được g giao hoán với g1, g2,…, gr
+ g giao hoán với g1, g2,…, gr ta phải chứng minh g Z(H), tức là phải chứng minh gg’ = g’g với mọi g’ Z(H)
Xét ánh xạ:
Trang 4g ↦
Ta đã có H/Z(H) được sinh bởi ảnh của g1, g2,…, gr
Nên với mọi g’ H, igiZ(H)
Ta có: (gg’) = (g’) = i i) = i (gi)
= i (gig) = i (gi) (g) =( i (gi) ) (g) = (g’) (g)
= (g’g)
Suy ra gg’=g’g với mọi g’ H Do đó g Z(H)
Tóm lại g Z (H) nếu và chỉ nếu g giao hoán với g1, g2,…, gr Nghĩa là Z(H)
= H(gi)
Xét lớp liên hợp cl(gi) trong H với mỗi gi ( i r )
Với mỗi g H ,tồn tại s S sao cho ggig-1 = sgi
Xét tương ứng : cl(gi) Sgi
ggig-1 ↦ sgi
Rõ ràng, do mỗi ggig-1 cl(gi) tồn tại s S sao cho (ggig-1) = sgi nên là một ánh xạ
Vì thế Do đó [ H: CH (gi) ]
Từ đó, ta có : = [ H: H(gi) ] H: CH(gi)] r
Ta có H là một nhóm mà H/Z(H) là hữu hạn Do đó theo như Định lý Schur thì [ H, H ] là hữu hạn Mặt khác [ G, G ] = < S > [ H, H ] điều này chỉ ra rằng [ G, G ] là hữu hạn.Lập luận trên chỉ ra rằng r
,sử dụng điều S là tập các hoán tử của H
là hữu hạn , và H/Z(H) được sinh ra bởi r phần tử Do đó, áp dụng điều này cho G, ta đạt được r trong đó G/Z(G) được sinh ra bởi r phần tử
[ G, G ] hữu hạn Khi đó G/Z(G) là hữu hạn
Chứng minh Vì [ G, G ] hữu hạn, nên theo ( Chương I, Định lý 3.3.5 ), G/Z2(G) hữu hạn
Do Z2(G)/Z(G) hữu hạn sinh, nên G/Z(G) hữu hạn sinh, và Định lý được chứng minh bởi Định lý 2.5
3 Kết luận
Đề tài: “ Định lý Schur và các phần đảo ” đã tìm hiểu tường tận Định lý Schur và 4 phần đảo của nó, được phát biểu và chứng minh bởi 4 tác giả khác nhau Đây là một mảng kiến thức về lý thuyết nhóm, rất bổ ích cho sinh viên ngành Toán, mà vốn chưa được học trong chương trình đào tạo Tuy nhiên do trình độ còn hạn chế của người thực hiện, cũng như sự hạn hẹp về thời gian, nên đề tài không tránh khỏi những thiếu sót Hy vọng rằng
trong thời gian tới, đề tài sẽ tiếp tục được bổ sung và hoàn thiện hơn nữa
Trang 5TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] P Hall (1956), “Finite – by – nilpotent groups”, Proc Cambridge Phil Soc 52,
[2] 611 – 616
[3] Nguyễn Văn Mến (2011), Định lý đảo của định lý Schur, Khóa luận tốt
[4] nghiệp đại học, trường Đại học sư phạm - Đại học Đà Nẵng
[5] B H Neumann (1951), “Groups with finite classes of conjugate”, Proc
[6] London Math Soc (3) 1, 178 – 187
[7] Peyman Niroomand (2010), “The converse of Schur’s theorem”, Arch Math
[8] 94, 401- 404
[9] Hoàng Xuân Sính (1998), Đại số đại cương, Nhà xuất bản giáo dục, Hà Nội
[10] B.Sury (2010), “A generalization of a converse to Schur’s theorem”, Arch
[11] Math 95, 317 - 318
[12] Nguyễn Thị Kim Thứ (2009), Quan hệ đồng chất và lớp liên hợp của các
[13] nhóm bậc thấp, Luận văn tốt nghiệp đại học, trường Đại học sư phạm - Đại
[14] học Đà Nẵng
[15] Nguyễn Ngọc Tiến (2011), Tổng quát hóa định lý Schur đảo, Khóa luận tốt
[16] nghiệp đại học, trường Đại học sư phạm - Đại học Đà Nẵng
[17] Manoj K Yadav (2011), “A note of the converse of Schur’s theorem”, arXiv:
[18] 1011 2083v2 [ math.GR ]
SV Lương Thị Hường, Lớp 09ST, Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng
ĐT: 01674 675 887, Email: luongthihuong44@yahoo.com.vn