TÀI LIỆU GIẢNG DẠY ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC 2022 ĐH QUỐC GIA HÀ NỘI THẦY VĂN HOA CHUYÊN ĐỀ XÁC XUẤT Học như thế nào ? Đối với các bài toán liên quan tổ hợp xác xuất điều căn bản để ứng dụng khi làm bài tập c.
Trang 1TÀI LIỆU GIẢNG DẠY ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC 2022 ĐH QUỐC GIA HÀ NỘI
THẦY VĂN HOA
CHUYÊN ĐỀ: XÁC XUẤT
Học như thế nào ?
Đối với các bài toán liên quan tổ hợp xác xuất điều căn bản để ứng dụng khi làm bài tập các em phải
phân biệt được giữa khi nào chọn tổ hợp, chỉnh hợp hay hoán vị Các bài toán cần chú ý việc chia
trường hợp nhỏ để giải quyết bài toán Chúng ta cũng có thể sử dụng biến cố nghịch đảo trong các
bài toán tìm xác suất nếu theo chiều thuận gây khó khăn
Không có 1 phương pháp nào cho các bài toán dạng này để chung ta nhớ vf làm theo các bước có
sẵn , quan trọng để thành thạo các em cần làm nhiều bài tập với nhiều hình thức câu hỏi khác nhau
để rèn luyện tư duy và lối suy nghĩ để xử lý bài toán
Một số định nghĩa công thức vận dụng cần nhớ khi làm bài tập
Hoán vị: Cho một tập hợp A gồm n phần tử (n 1) Mỗi kết quả của sự sắp xếp theo thứ tự n phần
tử của tập hợp A gọi là một hoán vị của n phần tử đó Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử
Chỉnh hợp: Cho tập A gồm n phần tử (n 1) và một số nguyên k với 1 k Khi lấy ra k phần n
tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A
Số các chỉnh hợp chập k của n được kí hiệu là A n k
( ! )!
k n
n A
n k
=
−
Tổ hợp: Cho tập A gồm n phần tử và số nguyên k với 0 k Mỗi tập con của A có k phần tử n
được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A Số tổ hợp chập k của n phần tử được kí hiệu là
n C
n k k
=
−
Trang 2Hoán vị vòng tròn: Cho tập A gồm n phần tử Một cách sắp xếp n phần tử của tập A thành một dãy
kín được gọi là một hoán vị vòng tròn của n phần tử Số các hoán vị vòng tròn của n phần tử là
* Nếu hai biến cố A B xung khắc nhau thì , P A( B)=P A( )+P B( )
+ Công thức tính xác suất biến cố đối:
Xác suất của biến cố A của biến cố A là: P A( )= −1 P A( )
+ Quy tắc nhân xác suất:
* Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì
( ) ( ) ( )
P AB =P A P B
LƯU Ý KHI LÀM ĐỐI VỚI CÁC BÀI TOÁN XÁC XUẤT.
Tránh nhầm lẫn khi nào dùng quy tắc cộng khi nào dùng quy tắc nhân
Xem qua ví dụ sau để hiểu rõ hơn
Ví dụ 1:
Một lớp học có 25 học sinh nam và 20 học sinh nữ Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn ra một học sinh
đi dự trại hè của trường Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Lời giải
Phương án 1: chọn 1 học sinh đi dự trại hè của trường thì có 25 cách chọn
Phương án 2: chọn học sinh nữ đi dự trại hè của trường thì có 20 cách chọn
Vậy có 20 25 45+ = cách chọn
Ví dụ 2:
Bạn Công muốn mua một chiếc áo mới và một chiếc quần mới để đi dự sinh nhật bạn mình Ở cửa hàng
có 12 chiếc áo khác nhau, quần có 15 chiếc khác nhau Hỏi có bao nhiêu cách chọn một bộ quần và
áo?
Trang 3Lời giải
Số cách bạn Công chọn một chiếc áo mới là: 12 cách
Số cách bạn Công chọn một chiếc quần mới là: 15 cách
Theo quy tắc nhân, bạn Công có 12.15 180= cách để chọn một bộ quần và áo => B
Ví dụ 3:
Một người có 7 cái áo trong đó có 3 cái áo trắng và 5 cái cà vạt trong đó có 2 cà vạt vàng Tìm số cách
chọn một áo và một cà vạt sao cho đã chọn áo trắng thì không chọn cà vạt vàng
Chọn 1 cà vạt không phải màu vàng có 3 cách
Do đó có 3.3 9 cách chọn 1 áo trắng và 1 cà vạt không phải màu vàng
Trường hợp 2:
Chọn 1 áo không phải màu trắng có 4cách
Chọn 1 cà vạt bất kỳ có 5 cách
Do đó có 4.5 20 cách chọn 1 áo không phải màu trắng và 1 cà vạt bất kỳ
Theo quy tắc cộng, ta có 9 20 29 cách chọn 1 áo và 1 cà vạt thỏa yêu cầu đề
Cách 2:
Số cách chọn ra 1 áo và 1 cà vạt bất kỳ là: 7.5 35 cách
Số cách chọn ra 1 áo trắng và 1 cà vạt vàng là: 3.2 6 cách
Vậy ta có 35 6 29 cách chọn 1 áo và 1 cà vạt thỏa yêu cầu đề
Xem qua 3 ví dụ ta nhận thấy quy tắc nhân sẽ áp dụng khi các trường hợp khác nhau liên
quan đến biến cố đang cần tính xác xuất , sự thay đổi trường hợp này sẽ cho thêm 1 kết quả
khác khi kết hợp với trường hợp còn lại thì ta dùng quy tắc nhân
Đối các trường hợp độc lập, mà sự thay đổi trường hợp này không tạo ra kết quả mới cho
trường hợp còn lại ta dùng quy tắc cộng
Trang 4Phân biệt khi nào dùng P,A,C để tính các trường hợp
Đối với các bài toán sử dụng P : Thường chúng ta sẽ gặp đối với các bài toán liên quan chữ số or
Ví dụ 2: Sắp xếp năm bạn học sinh An, Bình, Chi, Dũng, Lệ vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ ngồi Hỏi
có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho bạn An và bạn Dũng không ngồi cạnh nhau?
Lời giải
+) Xếp 5 bạn vào 5 chỗ ngồi có 5! cách
+) Xếp An và Dũng ngồi cạnh nhau có 2 cách Xem An và Dũng là 1 phần tử cùng với 3
bạn còn lại là 4 phần tử xếp vào 4 chỗ Suy ra số cách xếp 5 bạn sao cho An và Dũng luôn
ngồi cạnh nhau là: 2.4! cách
Vậy số cách xếp 5 bạn vào 5 ghế sao cho An và Dũng không ngồi cạnh nhau là:
5!– 2.4! 72=
Ví dụ 3: Có bao nhiêu cách xếp 5 sách Văn khác nhau và 7 sách Toán khác nhau trên một kệ sách dài
nếu các sách Văn phải xếp kề nhau?
Lời giải
Vì các sách Văn phải xếp kề nhau nên ta xem 5 cuốn sách Văn là một phần tử
Xếp 7 cuốn sách toán lên kệ có 7! cách
Giữa 7 cuốn sách Toán có 8 khoảng trống, ta xếp phần tử chứa 5 cuốn sách Văn vào 8 vị
trí đó có 8 cách
5 cuốn sách Văn có thể hoán đổi vị trí cho nhau ta được 5! cách
Vậy số cách sắp xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 8.7!.5! 8!.5!=
Trang 5Đối với các bài toán sử dụng C, đấu hiệu khi vai trò các phần tử trong không gian mẫu là như
nhau, việc thay đổi thứ tự các phần tử trong biến cố không ảnh hưởng kết quả bài toán
2 học sinh từ 7 học sinh là: C 72
Ta nhận thấy vai trò giữa các học sinh là như nhau việc 2 học sinh được chọn cho dù thay đổi vị trí
hs 1 với hs 2 vẫn cho ra 1 cách chọn 2 học sinh Việc thứ tự chọn hs không ảnh hưởng đến giá trị của
biến cố
Ví dụ 2: Từ một nhóm có 10 học sinh nam và 8 học sinh nữ, có bao nhiêu cách chọn ra 5 học sinh trong
đó có 3 học sinh nam và 2 học sinh nữ?
A C C103 82 B A A103 82 C A103 +A82 D C103 +C82
Lời giải
Số cách chọn ra 3 học sinh nam từ 10 học sinh nam là: C103
Số cách chọn ra 2 học sinh nữ từ 8 học sinh nữ là: C82
Vậy số cách chọn thỏa yêu cầu là: C C103 82
Ví dụ 3: Cô giáo chia 4 quả táo,3 quả cam và 2 quả chuối cho 9 cháu (mỗi cháu 1 quả) Hỏi có bao
nhiêu cách chia khác nhau?
A 120 B 1260 C 9 D 24
Lời giải
Chọn nhóm 4 cháu để được chia táo thì có C94 (cách) Khi đó có một cách chia táo để mỗi
cháu trong nhóm này được một quả táo
Chọn nhóm 3 cháu để được chia cam trong các cháu còn lại thì có C53 (cách) Khi đó có một
cách chia cam để mỗi cháu trong nhóm này được một quả cam
Còn lại hai cháu và tương ứng có một cách chia cho mỗi cháu một quả chuối
Số cách chia thỏa mãn bài toán là : C C94 53.1 1260= (cách)
Ví dụ 4: Tại một buổi lễ có 13 cặp vợ chồng tham dự, mỗi ông bắt tay với một người trừ vợ mình, các
bà không ai bắt tay nhau Hỏi có bao nhiêu cái bắt tay
Trang 6Số cái bắt tay của 13 bà vợ với nhau là C =132 78
Số cái bắt tay của 13 cặp vợ chồng với nhau (chồng bắt tay với vợ) là 13
Số cái bắt tay thỏa mãn yêu cầu bài toán là 325 78 13− − =234
Ví dụ 5: Từ 20 câu trắc nghiệm gồm 9 câu dễ, 7 câu trung bình và 4 câu khó.người ta chọn ra 10 câu
để làm đề kiểm tra sao cho phải có đủ 3 loại dễ, trung bình và khó Hỏi có thể lập được bao nhiêu đề
kiểm tra?
Lời giải
Số cách chọn ra 10 câu bất kỳ trong số 20 câu C2010
Số cách chọn ra 10 câu mà không có câu dễ: C1110
Số cách chọn ra 10 câu mà không có câu khó: C1610
Số cách chọn ra 10 câu mà không có câu trung bình: C1310
Như vậy: Số cách chọn ra 10 câu để làm đề kiểm tra sao cho phải có đủ 3 loại dễ, trung bình
và khó là:
10 10 10 10
C −C −C −C =
Ví dụ 6: Có 15 học sinh giỏi gồm 6 học sinh khối 12, 4 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối
10 Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 6 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh?
Trang 7Gọi số có ba chữ số khác nhau thỏa mãn yêu cầu bài toán là abc
Vì abc 350 nên ta xét 2 trường hợp sau:
TH 1: Chọn a 4;5 có 2 cách chọn a
Chọn bvà c trong số 5 chữ số còn lại có A52 cách
Suy ra TH 1 có 2.A =52 40 số được lập
TH 2: Chọn a=3,b= 5 c 1; 2; 4 nên có 3 số được lập
Vậy số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là 40 3+ =43 số
Ví dụ 2: Từ các chữ số của tập hợp 0; 1; 2; 3; 4; 5 , có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ
số đôi một khác nhau mà trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 0?
Trang 8✓ Có 5 vị trí xếp số 0 (kể cả vị trí đầu tiên), 4 vị trí còn lại chọn 4 trong 5 số và sắp, nên có
4 5
Tổng kết từ các bài toán xác định được các biến cố chúng ta có thể tính được xác suất của từng bài
toán cụ thể Xác suất = biến cố / không gian mẫu
Các bài tập xác xuất hay gặp trong đề thi
Câu 1:
Một hộp chứa 11 quả cầu gồm 5 quả màu xanh và 6quả cầu màu đỏ Chọn ngẫu nhiên đồng thời 2quả
cầu từ hộp đó Xác suất để 2 quả cầu chọn ra cùng màu bằng
Câu 2:
Một hộp có 4 quả cầu xanh, 3 quả cầu đỏ và 2 quả cầu vàng Chọn ngẫu nhiên 2 quả cầu Tính xác suất
để chọn được 2 quả cầu khác màu
Đội thanh niên xung kích của trường THPT Chuyên Biên Hòa có 12 học sinh gồm 5 học sinh khối 12
, 4 học sinh khối 11 và 3 học sinh khối 10 Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh để làm nhiệm vụ mỗi buổi
sáng Tính xác suất sao cho 4 học sinh được chọn thuộc không quá hai khối
Trang 9
Thầy Bình đặt lên bàn 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30 Bạn An chọn ngẫu nhiên 10 tấm thẻ Tính xác
suất để trong 10 tấm thẻ lấy ra có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm mang số chẵn trong đó chỉ có một tấm
thẻ mang số chia hết cho 10
Có hai dãy ghế đối diện nhau,mỗi dãy có ba ghế Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh,gồm 3 nam và 3 nữ,ngồi
vào hai dãy ghế đó sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh ngồi Xác suất để mỗi học sinh nam đều ngồi
đối diện với một học sinh nữ bằng
Cho đa giác đều 20 đỉnh nội tiếp trong đường tròn tâm O Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của đa giác Xác
suất để 4 đỉnh được chọn là 4 đỉnh của một hình chữ nhật bằng
Trang 10Câu 8:
Cho đa giác đều có 14 đỉnh Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh trong số 14 đỉnh của đa giác Tìm xác suất để 3
đỉnh được chọn là 3 đỉnh của một tam giác vuông
Cho đa giác đều 12 đỉnh nội tiếp đường tròn tâm A Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác đó Tính xác
suất để 3 đỉnh được chọn tạo thành một tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác đã cho
Ban chỉ đạo phòng chống dịch Covid-19 của sở Y tế Nghệ An có 9 người, trong đó có đúng 4 bác sĩ
Chia ngẫu nhiên Ban đó thành ba tổ, mỗi tổ 3 người để đi kiểm tra công tác phòng dịch ở địa phương
Trong mỗi tổ, chọn ngẫu nhiên một người làm tổ trưởng Xác suất để ba tổ trưởng đều là bác sĩ là
Trang 11Câu 11:
Có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có năm ghế Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh, gồm 5 nam và 5 nữ
ngồi vào hai dãy ghế sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh ngồi Xác suất để mỗi học sinh nam đều
ngồi đối diện với một học sinh nữ bằng
Một đề trắc nghiệm gồm 20 câu, mỗi câu có 4 đáp án và chỉ có một đáp án đúng Bạn Anh làm đúng
12 câu, còn 8 câu bạn Anh đánh hú họa vào đáp án mà Anh cho là đúng Mỗi câu đúng được 0, 5 điểm
Tính xác suất để Anh được 9 điểm
Một bộ đề thi Toán lớp đánh giá năng lực mà mỗi đề gồm 5 câu được chọn từ 15 câu mức dễ, 10 câu
mức trung bình và 5 câu mức khó Một đề thi được gọi là “Tốt” nếu trong đề thi phải có cả mức dễ,
mức trung bình và khó, đồng thời số câu mức khó không ít hơn 2 Lấy ngẫu nhiên một đề thi trong bộ
đề trên Tìm xác suất để đề thi lấy ra là một đề thi “Tốt”
Cho đa giác đều ( )H có 18 đỉnh nội tiếp trong một đường tròn tâm O Gọi X là tập hợp các
tam giác có các đỉnh là đỉnh của ( )H Tính xác suất để chọn được một tam giác từ tập X là tam
giác cân nhưng không phải là tam giác đều
Trang 12Câu 17:
Một ngân hàng đề thi có 20 hạng mục, mỗi hạng mục có 10 câu hỏi đề thi có 20 câu hỏi tương ứng
20 hạng mục sao cho mỗi hạng mục có đúng 1 câu hỏi Máy tính chọn từ ngân hàng ngẫu nhiêun 2 đề
thi thỏa mãn tiêu chí trên Tìm xác xuất để 2 đề thi có ít nhất 3 câu hỏi trùng nhau ( kết quả làm tròn
đến hàng phần nghìn)
Trang 13Câu 18:
Cho đa giác đều 12 cạnh Có bao nhiêu hình chữ nhật có 4 đỉnh của hình đa giác trên?
Đáp án: ………
Câu 19:
Có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có ba ghế Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh gồm 3 nam 3 nữ
ngồi vào hai dãy ghế đó sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh ngồi Xác suất để mỗi học
sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ bằng
Một hộp có 4 quả cầu xanh, 3 quả cầu đỏ và 2 quả cầu vàng Chọn ngẫu nhiên 2 quả cầu Tính xác suất
để chọn được 2 quả cầu khác màu
Trang 14Câu 22:
Một nhóm 6 bạn học sinh mua vé vào rạp chiếu phim Các bạn mua 6 vé gồm 3 vé mang số ghế chẵn,
3 vé mang số ghế lẻ và không có hai vé nào cùng số Trong sáu bạn thì hai bạn muốn ngồi bên ghế
chẵn, hai bạn muốn ngồi bên ghế lẻ, hai bạn còn lại không có yêu cầu gì Hỏi có bao nhiêu cách xếp
chỗ để thỏa mãn các yêu cầu của tất cả các bạn đó?
Kỳ thi có 10 học sinh, xếp ngồi hai dãy ghế trên và dưới, mỗi dãy có 5 ghế Thầy giáo có 2 loại đề,
gồm 5 đề chẵn và 5 đề lẻ Tính xác suất để mỗi học sinh đều nhận 1 đề và 2 bạn ngồi kề trên, dưới là
Trang 15Câu 26:
Cho đa giác đều 20 đỉnh nội tiếp trong đường tròn tâm O Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của đa giác Xác
suất để 4 đỉnh được chọn là 4 đỉnh của một hình chữ nhật bằng
Một quân vua được đặt trên một ô giữa bàn cờ vua Mỗi bước di chuyển, quân vua được chuyển sang
một ô khác chung cạnh hoặc chung đỉnh với ô đang đứng (xem hình minh họa) Bạn An di chuyển quân
vua ngẫu nhiên 3 bước Tính xác suất sau 3 bước quân vua trở về ô xuất phát
Trang 16Một đề trắc nghiệm gồm 20 câu, mỗi câu có 4 đáp án và chỉ có một đáp án đúng Bạn Anh làm đúng
12 câu, còn 8 câu bạn Anh đánh hú họa vào đáp án mà Anh cho là đúng Mỗi câu đúng được 0, 5 điểm
Tính xác suất để Anh được 9 điểm
Một bộ đề thi Toán của Trường QGHN mà mỗi đề gồm 5 câu được chọn từ 15 câu mức dễ, 10 câu
mức trung bình và 5 câu mức khó Một đề thi được gọi là “Tốt” nếu trong đề thi phải có cả mức dễ,
mức trung bình và khó, đồng thời số câu mức khó không ít hơn 2 Lấy ngẫu nhiên một đề thi trong bộ
đề trên Tìm xác suất để đề thi lấy ra là một đề thi “Tốt”
Một hộp chứa 35 quả cầu gồm 20 quả màu đỏ được đánh số từ 1 đến 20 và 15 quả màu xanh được
đánh số từ 1 đến 15 Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó một quả cầu Tính xác suất để lấy được quả màu đỏ
Trang 17TÀI LIỆU GIẢNG DẠY ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC 2022 ĐH QUỐC GIA HÀ NỘI
THẦY VĂN HOA
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
CHUYÊN ĐỀ : XÁC XUẤT
Câu 1: Một hộp chứa 11 quả cầu gồm 5 quả màu xanh và 6quả cầu màu đỏ Chọn ngẫu nhiên đồng
thời 2quả cầu từ hộp đó Xác suất để 2 quả cầu chọn ra cùng màu bằng
Câu 2: Một hộp có 4 quả cầu xanh, 3 quả cầu đỏ và 2 quả cầu vàng Chọn ngẫu nhiên 2 quả cầu
Tính xác suất để chọn được 2 quả cầu khác màu
Câu 3: Đội thanh niên xung kích của trường THPT Chuyên Biên Hòa có 12 học sinh gồm 5 học
sinh khối 12, 4 học sinh khối 11 và 3 học sinh khối 10 Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh để
làm nhiệm vụ mỗi buổi sáng Tính xác suất sao cho 4 học sinh được chọn thuộc không quá
Câu 5: Thầy Bình đặt lên bàn 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30 Bạn An chọn ngẫu nhiên 10 tấm thẻ
Tính xác suất để trong 10 tấm thẻ lấy ra có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm mang số chẵn trong
đó chỉ có một tấm thẻ mang số chia hết cho 10
Trang 18Câu 6: Có hai dãy ghế đối diện nhau,mỗi dãy có ba ghế Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh,gồm 3 nam và
3 nữ,ngồi vào hai dãy ghế đó sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh ngồi Xác suất để mỗi
học sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ bằng
Câu 7: Cho đa giác đều 20 đỉnh nội tiếp trong đường tròn tâm O Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của đa
giác Xác suất để 4 đỉnh được chọn là 4 đỉnh của một hình chữ nhật bằng
Câu 8: Cho đa giác đều có 14 đỉnh Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh trong số 14 đỉnh của đa giác Tìm xác
suất để 3 đỉnh được chọn là 3 đỉnh của một tam giác vuông
Câu 9: Cho đa giác đều 12 đỉnh nội tiếp đường tròn tâm A Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác đó
Tính xác suất để 3 đỉnh được chọn tạo thành một tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa
Câu 10: Ban chỉ đạo phòng chống dịch Covid-19 của sở Y tế Nghệ An có 9 người, trong đó có đúng
4 bác sĩ Chia ngẫu nhiên Ban đó thành ba tổ, mỗi tổ 3 người để đi kiểm tra công tác phòng
dịch ở địa phương Trong mỗi tổ, chọn ngẫu nhiên một người làm tổ trưởng Xác suất để ba
Câu 11: Một đề trắc nghiệm gồm 20 câu, mỗi câu có 4 đáp án và chỉ có một đáp án đúng Bạn Anh
làm đúng 12 câu, còn 8 câu bạn Anh đánh hú họa vào đáp án mà Anh cho là đúng Mỗi câu
đúng được 0,5 điểm Tính xác suất để Anh được 9 điểm
Trang 19Câu 12: Một bộ đề thi Toán lớp đánh giá năng lực mà mỗi đề gồm 5 câu được chọn từ 15 câu mức
dễ, 10 câu mức trung bình và 5 câu mức khó Một đề thi được gọi là “Tốt” nếu trong đề thi
phải có cả mức dễ, mức trung bình và khó, đồng thời số câu mức khó không ít hơn 2 Lấy
ngẫu nhiên một đề thi trong bộ đề trên Tìm xác suất để đề thi lấy ra là một đề thi “Tốt”
Câu 13: Cho đa giác đều ( )H có 18 đỉnh nội tiếp trong một đường tròn tâm O Gọi X là tập hợp
các tam giác có các đỉnh là đỉnh của ( )H Tính xác suất để chọn được một tam giác từ tập
X là tam giác cân nhưng không phải là tam giác đều
Câu 14: Cho tập S=1;2; ;19;20gồm 20 số tự nhiên từ 1 đến 20 Lấy ngẫu nhiên ba số thuộc S
Xác suất để ba số lấy được lập thành cấp số cộng là
Câu 16: Một ngân hàng đề thi có 20 hạng mục, mỗi hạng mục có 10 câu hỏi đề thi có 20 câu hỏi
tương ứng 20 hạng mục sao cho mỗi hạng mục có đúng 1 câu hỏi Máy tính chọn từ ngân
hàng ngẫu nhiêun 2 đề thi thỏa mãn tiêu chí trên Tìm xác xuất để 2 đề thi có ít nhất 3 câu
hỏi trùng nhau ( kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn)
Trang 20Câu 19: Một nhóm 6 bạn học sinh mua vé vào rạp chiếu phim Các bạn mua 6 vé gồm 3 vé mang
số ghế chẵn, 3 vé mang số ghế lẻ và không có hai vé nào cùng số Trong sáu bạn thì hai bạn
muốn ngồi bên ghế chẵn, hai bạn muốn ngồi bên ghế lẻ, hai bạn còn lại không có yêu cầu gì
Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ để thỏa mãn các yêu cầu của tất cả các bạn đó?
Câu 22: Kỳ thi có 10 học sinh, xếp ngồi hai dãy ghế trên và dưới, mỗi dãy có 5 ghế Thầy giáo có 2
loại đề, gồm 5 đề chẵn và 5 đề lẻ Tính xác suất để mỗi học sinh đều nhận 1 đề và 2bạn
ngồi kề trên, dưới là khác loại đề
Câu 23: Một quân vua được đặt trên một ô giữa bàn cờ vua Mỗi bước di chuyển, quân vua được
chuyển sang một ô khác chung cạnh hoặc chung đỉnh với ô đang đứng (xem hình minh họa)
Bạn An di chuyển quân vua ngẫu nhiên 3 bước Tính xác suất sau 3 bước quân vua trở về ô
Câu 24: Một hộp chứa 35 quả cầu gồm 20 quả màu đỏ được đánh số từ 1 đến 20 và 15 quả màu
xanh được đánh số từ 1 đến 15 Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó một quả cầu Tính xác suất để lấy
được quả màu đỏ hoặc ghi số lẻ
Trang 21Câu 25: Ba xạ thủ A B C, , độc lập với nhau cùng nổ súng vào một mục tiêu Xác suất bắn trúng mục
tiêu của A B C, , tương ứng là 0, 4; 0, 5 và 0, 7 Tính xác suất để có ít nhất một người bắn
trúng mục tiêu
Câu 26: Một công ty may mặc có hai hệ thống máy chạy song song Xác suất để hệ thống máy thứ
nhất hoạt động tốt là 90%, xác suất để hệ thống máy thứ hai hoạt động tốt là 80% Công ty
chỉ có thể hoàn thành đơn hàng đúng hạn nếu ít nhất một trong hai hệ thống máy hoạt động
tốt Xác suất để công ty hoàn thành đúng hạn là
Câu 27: Một nhóm học sinh có 12 học sinh gồm 7 nam và 5 nữ tập trung ngẫu nhiên thành một hang
dọc Tính xác suất để người đứng đầu hàng và cuối hàng đều là học sinh nam:
Câu 28: Một quán cafe nhạc cần trang trí một bức tường vuông được chia thành 4 ô như hình vẽ Có
bao nhiêu cách để người thợ sơn có thể dùng 4 màu khác nhau để sơn tấm tường này sao
cho những ô vuông cạnh nhau không có màu trùng nhau?
Câu 29: Một nhóm học sinh gồm 2 học sinh lớp 10, 2 học sinh lớp 11 và 2 học sinh lớp 12 xếp thành
hai hàng ngang để chụp ảnh, mỗi hàng 3 người Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho 2 học
sinh lớp 10 đứng ở hàng phía trước và 2 học sinh lớp 12 đứng ở hàng phía sau?
Đáp án: ……
Trang 22Câu 30: Một hộp đựng 40 tấm thẻ được đánh số thứ tự từ 1 đến 40 Rút ngẫu nhiên 10 tấmthẻ Tính
xác suất để lấy được 5 tấm thẻ mang số lẻ và 5 tấm thẻ mang số chẵn, trong đó có đúng một
thẻ mang số chia hết cho 6
Câu 31: Trong ngày hội giao lưu văn hóa – văn nghệ, giải cầu lông đơn nữ có 12 vận động viêntham
gia, trong đó có hai vận động viên Kim và Liên Các vận động viên được chia làm hai bảng
A và B, mỗi bảng gồm 6 người Việc chia bảng được thực hiện bằng cách bốc thăm ngẫu
nhiên Tính xác suất để hai vận động viên Kim và Liên thi đấu chung một bảng
Đáp án: ………
Câu 32: Một tổ gồm 6 học sinh trong đó có An và Hà được xếp ngẫu nhiên ngồi vào một dãy 6 cái
ghế, mỗi người ngồi một ghế Tính xác suất để An và Hà không ngồi cạnh nhau
Đáp án: ………
Câu 33: Một hộp chứa 12 chiếc thẻ có kích thước như nhau, trong đó có 5 chiếc thẻ màu xanh được
đánh số từ 1 đến 5; có 4 chiếc thẻ màu đỏ được đánh số từ 1 đến 4 và 3 chiếc thẻ màu vàng
được đánh số từ 1 đến 3 Lấy ngẫu nhiên 2 chiếc thẻ từ hộp, tính xác suất để 2 chiếc thẻ được
lấy vừa khác màu vừa khác số
Đáp án: ………
Câu 34: Cho các chữ số 1, 2 , 3 , 4 , 5 Hỏi có bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các
chữ số trên sao cho hai chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau?
Trang 23TÀI LIỆU GIẢNG DẠY ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC 2022 ĐH QUỐC GIA HÀ NỘI
THẦY VĂN HOA
CHUYÊN ĐỀ : CẤP SỐ NHÂN CẤP SỐ CỘNG, LÃI SUẤT
1.Phương pháp , công thức áp dụng
Học như thế nào ?
Các dạng bài tập hay gặp sẽ là các bài toán thực tế và liên quan tiền gửi , lãi suất Mức độ
bài toàn dạng này không khó nên chỉ cần các em luyện tập 1 số bài tập và nắm vững ứng
dụng cấp số nhân hay cấp số công là có thể hoàn thành được Lưu ý 1 số công thức quan
trọng như tính tổng hay tính số thứ hạng của bài toán
u =u q − Công bội, Công sai :
⬧Cho ( )u n là CSC có công sai là d =u n+1− u n
⬧Cho ( )u n là CSN có công bội là n 1
n
u q u
Trang 24⬧CSN - Tổng n số hạng đầu tiên Sn được xác định bởi công thức
1 1
i i
S = + + + 1 3 5 (2n 1) + − = n
2 n
Trang 25Các công thức áp dụng liên quan đến lãi suất
Lãi kép gửi 1 lần:
Công thức: T n =A(1+r)n
Trong đó: T n : Tổng số tiền có được sau n kỳ hạn
A : Số tiền ban đầu
r : Lãi suất theo kỳ hạn
n : Số kỳ hạn (Cùng đơn vị với r )
Từ công thức này ta có các công thức sau:
+) Số tiền gửi ban đầu:
(1 )
n n
T A
r
=+
r
T n
2.Dạng toán hay gặp trong đề thi
Dạng 1: Các bài toán liên quan đến xác định tổng N số hạng
Ví dụ 1: Cho cấp số nhân ( )u n có u =3 12, u =5 48, có công bội âm Tổng 7số hạng đầu của
Trang 26Ví dụ 1: Một loại vi khuẩn sau mỗi phút số lượng tăng gấp đôi biết rằng sau 5 phút người ta
đếm được có 64000 con hỏi sau bao nhiêu phút thì có được 2048000 con
Dạng 3: Các bài toán liên quan đến lãi suất
Ví dụ 1: Một người gửi tiết kiệm với số tiền gửi là A đồng với lãi suất 6% một năm, biết rằng
nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để
tính gốc cho năm tiếp theo Sau 10 năm người đó rút ra được số tiền gốc lẫn lãi nhiều hơn số
tiền ban đầu là 100 triệu đồng? Hỏi người đó phải gửi số tiền A bằng bao nhiêu ?
Trang 28A x− 2y = 10 B x− 2y = 9 C x− 2y = 6 D x− 2y = 8
Câu 5:
Một loại vi khuẩn sau mỗi phút số lượng tăng gấp đôi biết rằng sau 5 phút người ta đếm được
có 64000 con hỏi sau bao nhiêu phút thì có được 2048000 con
A 10 B 11 C 26 D 50
Câu 6:
Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để phương trình x 1 x 3 x m 0 có 3 nghiệm
phân biệt lập thành cấp số nhân tăng?
Trang 29Câu 8:
Tính tổng các nghiệm của phương trình 3 3
cos x+sin x=sin 2x+sinx+cosx trong 0; 2018
A 8144648 B 4036 C 814666 D 4037
Câu 9:
Một loại vi khuẩn sau mỗi phút số lượng tăng gấp ba biết rằng sau 4 phút người ta đếm được
có 121500 con Hỏi sau bao nhiêu phút thì có được 3280500 con
Câu 10:
Một gia đình cần khoan một cái giếng để lấy nước Họ thuê một đội khoan giếng nước Biết giá
của mét khoan đầu tiên là 80.000 đồng, kể từ mét khoan thứ hai giá của mỗi mét khoan tăng
thêm 5.000 đồng so với giá của mét khoan trước đó Biết cần phải khoan sâu xuống 50m mới
có nước Hỏi phải trả bao nhiêu tiền để khoan cái giếng đó?
Câu 11:
Một người gửi tiết kiệm với số tiền gửi là A đồng với lãi suất 6% một năm, biết rằng nếu
không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính
gốc cho năm tiếp theo Sau 10 năm người đó rút ra được số tiền gốc lẫn lãi nhiều hơn số tiền
ban đầu là 100 triệu đồng? Hỏi người đó phải gửi số tiền A bằng bao nhiêu ?
A 145037058, 3đồng B 55839477, 69đồng
Câu 12:
Một người gửi M triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 8, 4% /năm Biết rằng nếu không rút
tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn để tính lãi cho
năm tiếp theo Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì người đó có được nhiều hơn gấp đôi số tiền
mang đi gửi?
A 10 năm B 7 năm C 8 năm D 9 năm
Câu 13:
Trang 30Một người gửi vào ngân hàng số tiền tiết kiệm là 73000000 đồng theo hình thức lãi kép, nhằm
mục đích sau 5 năm thu được số tiền là 100000000 đồng Tuy nhiên vì kế hoạch tài chính thay
đổi nên người đó không rút tiền ra mà để sau 10 năm mới rút toàn bộ gốc và lãi Giả sử trong
suốt quá trình gửi 10 năm, lãi suất của ngân hàng không thay đổi, hỏi số tiền mà người đó thu
được (sau 10 năm) gần với số nào nhất trong các số sau đây (đơn vị: triệu đồng):
A 148 B 137, 3 C 137 D 187, 7
Câu 14:
Một người gửi 300 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 7% /năm Biết rằng nếu không rút
tiền khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho năm
tiếp theo Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm, người đó nhận được số tiền nhiều hơn 600 triệu đồng
bao gồm cả gốc và lãi? Giả định trong suốt thời gian gửi, lãi suất không đổi và người đó không
rút tiền ra
Câu 15:
Số lượng cá thể của một mẻ cấy vi khuẩn sau t ngày kể từ lúc ban đầu được ước lượng bởi
công thức N t =( ) 1200.(1,148)t Sau bao lâu thì số lượng vi khuẩn đạt đến 5000 cá thể?
Câu 16:
Trong môi trường nuôi cấy ổn định người ta nhận thấy rằng: cứ sau đúng 5 ngày số lượng loài
của vi khuẩn A tăng lên gấp đôi, còn sau đúng 10 ngày số lượng loài của vi khuẩn B tăng lên
gấp ba Giả sử ban đầu có 50 con vi khuẩn A và 100 con vi khuẩn B, hỏi sau bao nhiêu ngày
nuôi cấy trong môi trường đó thì số lượng vi khuẩn của cả hai loài bằng 20900 con, biết rằng
tốc độ tăng trưởng của mỗi loài ở mọi thời điểm là như nhau?
A 20 (ngày) B 30 (ngày) C 40 (ngày) D 50 (ngày)
Câu 17:
Một người thả một lượng bèo chiếm 2% diện tích mặt hồ Giả sử tỉ lệ tăng trưởng của bèo
hàng ngày là 20% Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày thì bèo phủ kín mặt hồ?
Câu 18:
Trang 31Cho biết chu kì bán rã của chất phóng xạ radi 226Ra là 1602 năm (tức là một lượng 226Ra sau
1602 năm phân hủy thì chỉ còn lại một nửa) Sự phân hủy được tính theo công thức .
r t
S=A e
trong đó A là lượng chất phóng xạ ban đầu, r là tỉ lệ phân hủy hàng năm (r 1), t là thời gian
phân hủy, s là lượng còn lại sau thời gian phân hủy Hỏi 5 gam 226Ra sau 4000 năm phân hủy
sẽ còn lại bao nhiêu gam (làm tròn đến 3 chữ số thập phân)?
A 1,023 gam B 0,795 gam C 0,923 gam D 0,886 gam
Câu 19:
Một người gửi 150 triệu đồng vào ngân hàng với kì hạn 3 tháng (một quý), lãi suất 5% một
quý theo hình thức lãi kép Sau đúng 6 tháng người đó gửi thêm 150 triệu đồng với hình thức
và lãi suất như trên Hỏi sau đúng một năm tính từ lần gửi đầu tiên người đó nhận được số tiền
gần với kết quả nào nhất?
A 240, 6triệu đồng B 247, 7triệu đồng C 340, 6triệu đồng D.347, 7triệu
Một người làm việc vho một cty Theo hợp đồng trong năm đầu tiên, tháng lương thứ nhất là
6 triệu đồng và lương tháng sau cao hơn tháng trước là 200 ngàn đồng hỏi theo hợp đồng
tháng thứ 7 người đó nhận được lương là bao nhiêu?
A.7 triệu đồng B 7,3triệu đồng C 7,2triệu đồng D 7,4 triệu đồng
Câu 22:
Một thiêt bị trong năm 2021 được định giá 100 triệu đồng Trong năm tiếp theo, mỗi năm giá trị
thiết bị giảm 6% so với năm trước vằ từ năm thứ 6 trờ đi, mỗi năm giá trị thiết bị giảm 10% so với
năm trước Hỏi bắt đầu từ năm bao nhiêu thì giá trị thiết bị nhỏ hơn 50 triệu đồng?
A 2032 B 2029 C 2031 D.2030
Trang 33TÀI LIỆU GIẢNG DẠY ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC 2022 ĐH QUỐC GIA HÀ NỘI
THẦY VĂN HOA
CHUYÊN ĐỀ: CSN, CSC, LÃI SUẤT
Câu 1: Cho dãy số ( )u n xác định bởi 1
Câu 5: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để phương trình x 1 x 3 x m 0 có 3
nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân tăng?
Câu 6: Cho dãy số ( )u n là một cấp số cộng có u = và công sai 1 3 d = Biết tổng 4 n số hạng đầu
của dãy số ( )u n là S = n 253 Tìm n:
Trang 34Câu 7: Tính tổng các nghiệm của phương trình 3 3
cos x+sin x=sin 2x+sinx+cosx trong
0; 2018
A 8144648 B 4036 C 8146666 D 4073333
Câu 8: có 121500 con Hỏi sau bao nhiêu phút thì có được 3280500 con
Câu 9: Một gia đình cần khoan một cái giếng để lấy nước Họ thuê một đội khoan giếng nước Biết
giá của mét khoan đầu tiên là 80.000 đồng, kể từ mét khoan thứ hai giá của mỗi mét khoan
tăng thêm 5.000 đồng so với giá của mét khoan trước đó Biết cần phải khoan sâu xuống
50m mới có nước Hỏi phải trả bao nhiêu tiền để khoan cái giếng đó?
A. 4.000.000 đồng B. 10.125.000 đồng C. 52.500.000 đồng D.52.500.000đồng
Câu 10: Một người gửi tiết kiệm với số tiền gửi là A đồng với lãi suất 6% một năm, biết rằng nếu
không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính
gốc cho năm tiếp theo Sau 10 năm người đó rút ra được số tiền gốc lẫn lãi nhiều hơn số tiền
ban đầu là 100 triệu đồng? Hỏi người đó phải gửi số tiền A bằng bao nhiêu ?
Câu 11: Một người gửi M triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 8, 4% /năm Biết rằng nếu không
rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn để tính lãi cho
năm tiếp theo Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì người đó có được nhiều hơn gấp đôi số tiền
mang đi gửi?
A 10 năm B 7 năm C 8 năm D 9 năm
Câu 12: Một người gửi vào ngân hàng số tiền tiết kiệm là 73000000 đồng theo hình thức lãi kép,
nhằm mục đích sau 5 năm thu được số tiền là 100000000 đồng Tuy nhiên vì kế hoạch tài
chính thay đổi nên người đó không rút tiền ra mà để sau 10 năm mới rút toàn bộ gốc và lãi
Giả sử trong suốt quá trình gửi 10 năm, lãi suất của ngân hàng không thay đổi, hỏi số tiền
mà người đó thu được (sau 10 năm) gần với số nào nhất trong các số sau đây (đơn vị: triệu
đồng):
Trang 35Câu 13: Một người gửi 300 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 7% /năm Biết rằng nếu không
rút tiền khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho
năm tiếp theo Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm, người đó nhận được số tiền nhiều hơn 600
triệu đồng bao gồm cả gốc và lãi? Giả định trong suốt thời gian gửi, lãi suất không đổi và
người đó không rút tiền ra
Câu 14: Số lượng cá thể của một mẻ cấy vi khuẩn sau t ngày kể từ lúc ban đầu được ước lượng bởi
công thức N t =( ) 1200.(1,148)t Sau bao lâu thì số lượng vi khuẩn đạt đến 5000 cá thể?
A 11ngày B 10 ngày C 9 ngày D 8 ngày
Câu 15: Trong môi trường nuôi cấy ổn định người ta nhận thấy rằng: cứ sau đúng 5 ngày số lượng
loài của vi khuẩn A tăng lên gấp đôi, còn sau đúng 10 ngày số lượng loài của vi khuẩn B
tăng lên gấp ba Giả sử ban đầu có 50 con vi khuẩn A và 100 con vi khuẩn B, hỏi sau bao
nhiêu ngày nuôi cấy trong môi trường đó thì số lượng vi khuẩn của cả hai loài bằng 20900
con, biết rằng tốc độ tăng trưởng của mỗi loài ở mọi thời điểm là như nhau?
A 20 (ngày) B 30 (ngày) C 40 (ngày) D 50 (ngày)
Câu 16: Một người thả một lượng bèo chiếm 2% diện tích mặt hồ Giả sử tỉ lệ tăng trưởng của bèo
hàng ngày là 20% Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày thì bèo phủ kín mặt hồ?
Câu 17: Cho biết chu kì bán rã của chất phóng xạ radi 226Ra là 1602 năm (tức là một lượng 226Ra
sau 1602 năm phân hủy thì chỉ còn lại một nửa) Sự phân hủy được tính theo công thức
.
r t
S =A e trong đó A là lượng chất phóng xạ ban đầu, r là tỉ lệ phân hủy hàng năm (r 1), t
là thời gian phân hủy, s là lượng còn lại sau thời gian phân hủy Hỏi 5 gam 226Ra sau 4000
năm phân hủy sẽ còn lại bao nhiêu gam (làm tròn đến 3 chữ số thập phân) ?
A 1,023 gam B 0,795 gam C 0,923 gam D 0,886 gam
Trang 36Câu 18: Một người gửi 150 triệu đồng vào ngân hàng với kì hạn 3 tháng (một quý), lãi suất 5% một
quý theo hình thức lãi kép Sau đúng 6 tháng người đó gửi thêm 150 triệu đồng với hình
thức và lãi suất như trên Hỏi sau đúng một năm tính từ lần gửi đầu tiên người đó nhận được
số tiền gần với kết quả nào nhất?
Câu 20: Một người làm việc cho một công ty Theo hợp đồng trong năm đầu tiên, tháng lương thứ
nhất là 6 triệu đồng và lương tháng sau cao hơn tháng trước là 200 ngàn đồng hỏi theo hợp
đồng tháng thứ 7 người đó nhận được lương là bao nhiêu?
A.7 triệu đồng B 7,3triệu đồng C 7,2triệu đồng D 7,4 triệu đồng
Câu 21: Một thiêt bị trong năm 2021 được định giá 100 triệu đồng Trong năm tiếp theo, mỗi năm
giá trị thiết bị giảm 6% so với năm trước vằ từ năm thứ 6 trờ đi, mỗi năm giá trị thiết bị giảm
10% so với năm trước Hỏi bắt đầu từ năm bao nhiêu thì giá trị thiết bị nhỏ hơn 50 triệu
đồng?
Câu 22: Trên một bàn cờ có nhiều ô vuông, người ta đặt7hạt dẻ vào ô đầu tiên, sau đó đặttiếp vào
ô thứ hai số hạt nhiều hơn ô thứ nhất là 5 , tiếp tục đặt vào ô thứ ba số hạt nhiều hơn ô thứ
hai là 5 ,… và cứ thế tiếp tục đến ô thứ n Biết rằng để đặt hết số ô trên bàn cờ người ta phải
sử dụng 25450 hạt Hỏi bàn cờ đó có bao nhiêu ô?
Câu 23: Một người vay ngân hàng 200 triệu đồng với lãi suất 0,6%/tháng theo thỏa thuận cứ mỗi
tháng người đó sẽ trả cho ngân hàng 10 triệu đồng và cứ trả hàng tháng như thế cho đến khi
trả hết nợ (tháng cuối cùng có thể trả dưới 10 triệu đồng) Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng thì
người đó trả được hết số nợ ngân hàng
Trang 37Câu 24: Người ta trồng 3003 cây theo dạng một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây,
hàng thứ hai trồng 2 cây, hàng thứ ba trồng 3 cây, …, cứ tiếp tục trồng như thế cho đến khi
hết số cây Số hàng cây được trồng là
Câu 25: Nhà bạn Minh cần khoan một cái giếng nước Biết rằng giá tiền của mét khoan đầu tiên là
200.000đ và kể từ mét khoan thứ hai, giá tiền của mỗi mét sau tăng thêm 7% so với giá tiền
của mét khoan ngay trước nó Hỏi nếu nhà bạn An khoan cái giếng sâu 30m thì hết bao nhiêu
tiền (làm tròn đến hàng nghìn)?
A. 18895000 đồng B. 18892000 đồng C. 18893000 đồng D.18892200 đồng
Câu 26: Nền nhà tầng 1 của một hội trường có độ cao 0,8 mét so với mặt đất Từ nền nhà tầng 1 lên
nền nhà tầng 2 có 1 cầu thang 19 bậc, độ cao của các bậc (so với mặt đất) theo thứ tự lập
thành một cấp số cộng ( ) un có 19 số hạng, u1= 0,95; d = 0,15(đơn vị là m) Độ cao của
bậc thứ 8 so với mặt đất là
Câu 27: Một người gửi 75 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 5,4%/năm Biết rằng nếu không
rút tiền ra khỏi ngân hằng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi được nhập vào gốc để tính lãi cho
năm tiếp theo Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó nhận được số tiền nhiều hơn 100 triệu
đồng bao gồm cả gốc và lãi? Biết rằng suốt trong thời gian gửi tiền, lãi suất không đổi và
người đó không rút tiền ra
Câu 28: Một thiêt bị trong năm 2022 được định giá 100 triệu đồng Trong năm tiếp theo, mỗi năm
giá trị thiết bị giảm 5% so với năm trước vằ từ năm thứ 8 trờ đi, mỗi năm giá trị thiết bị giảm
10% so với năm trước Hỏi bắt đầu từ năm bao nhiêu thì giá trị thiết bị nhỏ hơn 50 triệu
đồng?
Câu 29: Một người gửi 300 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 1 quý và lãi suất 1,
75% một quý Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng người gửi có ít nhất 500 triệu đồng (bao gồm
cả vốn lẫn lãi) từ số vốn ban đầu? (Giả sử lãi suất không thay đổi)
A 81 tháng B 30 tháng C 45 tháng D 90 tháng
Trang 38Câu 30: Cho một cấp số nhân có số hạng thứ 4 gấp 4096 lần số hạng đầu tiên Tổng hai số hạng đầu
tiên là 34 Số hạng thứ 3 của dãy số có giá trị bằng:
Câu 31: Bạn A thả quả bóng cao su từ độ cao 10m theo phương thẳng đứng Mỗi khi chạm đất nó lại
nảy lên theo phương thẳng đứng có độ cao bằng 3
4 độ cao trước đó Tính tổng quãng đường
bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn
Câu 32: Trên một bàn cờ vua kích thước 8x8 người ta đặt số hạt thóc theo cách như sau Ô thứ nhất
đặt một hạt thóc, ô thứ hai đặt hai hạt thóc, các ô tiếp theo đặt số hạt thóc gấp đôi ô đứng liền
kề trước nó Hỏi phải tối thiểu từ ô thứ bao nhiêu để tổng số hạt thóc từ ô đầu tiên đến ô đó
Câu 34: Một nhóm gồm 120 diễn viên quần chúng biểu diễn một tiết mục cần xếp thành hình tam
giác như sau: hàng thứ nhất có 1 người, hàng thứ hai có 2 người, hàng thứ 3 có 3 người,…
Hỏi có tất cả bao nhiêu hàng?
Câu 35: Trên một cái bảng đã ghi sẵn các số tự nhiên từ 1 đến 2020 Ta thực hiện công việc như sau:
xóa hai số bất kì trên bảng rồi ghi lại một số tự nhiên bằng tổng của hai số vừa xóa, cứ thực
hiện công việc như vậy cho đến khi trên bảng chỉ còn một số Số cuối cùng còn lại trên bảng
là:
Trang 39Câu 36: Ông Bá Kiến gửi tiết kiệm 100 triệu đồng ở ngân hàng A với lãi suất 6,7% một năm Anh
giáo Thứ cũng gửi tiết kiệm 20 triệu đồng ở ngân hàng B với lãi suất 7,6% một năm Hai
người cùng gửi với kì hạn 1 năm theo hình thức lãi kép Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì
tổng số tiền cả vốn lẫn lãi của anh giáo Thứ nhiều hơn số tiền của ông Bá Kiến?
A 191 năm B 192 năm C 30 năm D 31 năm
Câu 37: Cho cấp số nhân ( )u n thỏa mãn 2 u( 3+u4+u5)=u6+u7+u8 Tính 8 9 10
Trang 40TÀI LIỆU GIẢNG DẠY ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC 2022 ĐH QUỐC GIA HÀ NỘI
THẦY VĂN HOA
CHUYÊN ĐỀ : GIỚI HẠN
Phương pháp giải quyết bài toán ?
Đối với bài toán này có 2 dạng bài tập hay gặp đó là tính giá trị của Lim trực tiếp) đối với dạng câu
hỏi kiểu này các bạn sử dụng chức năng máy tính để xử lý bài toán Dang toán 2 xác định Lim hoặc
dựa vào 1 biểu thức lim đã biết để tính biểu thức hoặc Lim liên quan, đối bài toán này chúng ta biến
đổi đưa về các biểu thức Lim cơ bản để xử lý bài toán,
1 Các công thức cần nhớ đối với giới hạn dãy số
Một số định lý nên nhớ
Giả sử limu n = Khi đó L
a)limu n = L và lim3u n =3 L
b) Nếu u với mọi n 0 n thì L và lim0 u n = L
Giả sử limu n = , limL v n =M và c là một hằng số Khi đó