Phương pháp hàm số giải pt mũ logarit

Microsoft Word Document5 Câu 1 Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình 115 5 5 27 23x xx x   bằng A 1 B 2 C 1 D 0 Lời giải Chọn D Ta có    115 5 5 27 23 5 15 5 27 23 1x x xx x x x       Thấy 1 3 x  không là nghiệm  1 của nên    27 231 5 2 15 5 x x x     Hàm số   5xf x  đồng biến trên các khoảng 1 ; 3       và 1 ; 3       ; Hàm số   27 23 15 5 x g x x    nghịch biến trên các khoảng 1 ; 3       và 1 ; 3       Do đó trên mỗi k.

Câu 1 Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình 15 5 x x  5x1 27 x  23 bằng

Lời giải Chọn D

Ta có 15 5 x x  5x1 27 x  23  5 15x x   5  27 x  23 1  

Thấy 1

3

x không là nghiệm  1 của nên  1 5 27 23  2

15 5

x



Hàm số f x 5x đồng biến trên các khoảng ;1

3

 

  và

1

; 3

 

 ; Hàm số   27 23

15 5

x

g x

x





 nghịch biến trên các khoảng ;1

3

 

  và

1

; 3

 

 

Do đó trên mỗi khoảng ;1

3

 

  và

1

; 3

 

  phương trình  2 có tối đa 1 nghiệm

Mặt khác, ta thấy f   1 g 1 và f  1 g 1 nên tập nghiệm của phương trình đã cho là S   1;1

Câu 2 Biết phương trình log5 2 1 2 log3 1

2 2

  có một nghiệm dạng x a b  2, trong đó a b, là các số nguyên Tính 2a b

Lời giải Chọn B

Ta có log5 2 1 2log3 1 log5 2 1 2log3 1

Điều kiện của phương trình là x 1

(1) log 2 1 log 2 log 1 2log 2

log 2 1 2log 2 log 2 log 1 (2)

Xét hàm f t log5t2log3t với 1 t , ta có 1

.ln 5 1 ln 3

suy ra hàm số f t  luôn đồng biến trên 1; 

Do đó  2 2 x   1 x x 2 x    1 0 x 3 2 2

Từ đó a3,b 2 2a b 8

Câu 3 Tìm số nghiệm của phương trình 3

2 3

log logx 2018x 1

Lời giải Chọn C

3

2 3

log logx 2018x 1 Đặt

1

2

log 2018 2018 2t 3t

Số nghiệm PT ban đầu chính là số nghiệm t R

Khi đó phương trình đã cho trở thành

2 3

3t 2 t2018 0 Xét f t 32t 23 t2018 trên0; 

2

2

9 ln 9 2.9 ln 9

8 ln 8 0 0;

t

        nên PT có tối đa 2 nghiệm

 

 

 

 

0

1 0

lim

PT t

t

f

f t













 

có đúng 2 nghiệm

Câu 4 Phương trình x2x  142x  1x2 có tổng các nghiệm bằng

Lời giải Chọn D

2x 1 4 2x 1 2

1

4

x

x

x

x











Xét hàm số f x 2x1  x x, 

1

2 ln 2 1, 0 1 log 1 log ln 2

ln 2

x

f x    f x    x  

Ta thấy f x 0 có duy nhất 1 nghiệm nên phương trình f x 0 có tối đa 2 nghiệm

Mà f  1 0; f  2 0 , suy ra phương trình  * có 2 nghiệm x1; x2

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm x1; x2; x4 Tổng các nghiệm bằng 7 Câu 5 Gọi S là tổng các nghiệm của phương trình 3.4x3x10 2 x  3 x 0 Tính S

A log2 3

2

S B S log 32 C S 2log 32 D log2 2

3

S 

Lời giải Chọn D

Đặt t2x t0 Phương trình trở thành 2  

1

3

t

t x

 





  



 

2

1 log 3

2x 3 1

x

x

 



 

  



Giải  1 : 2x    x 3 2x  x 3 0

Xét hàm số f x 2x   x 3, x 

  2 ln 2 1 0,x

f x     x  nên hàm số f x  đồng biến trên 

Mà f  1  nên 0 x là nghiệm duy nhất của 1  1

Vậy tổng các nghiệm là 1 log21 log2 2

Câu 6 Tìm số nghiệm của phương trình biểu thức x  2.3log 2 x  3

Lời giải Chọn A

Điều kiện: x0

Xét hàm số f x 2.3log 2 x,  x 0;

2

2 3 x.log 3 0, 0;

x

       Hàm số f x  đồng biến trên khoảng 0;   1

Xét hàm số g x  3 x,  x 0;

g x     x   Hàm số g x  nghịch biến trên khoảng 0;   2

Từ  1 và  2  phương trình f x  g x  có nhiều nhất một nghiệm

Mà f  1 g 1 nên x1 là nghiệm duy nhất

Câu 7 Tìm số nghiệm của phương trình 5

2 log  xcosx

Lời giải Chọn D

Điều kiện x Ta có 0

1 cos 1



log  xcosxlog  xcosx 0

2

1

5 ln 2

x

+) Hàm số liên tục trên D =[1 2 ; ]

5 2





1 '( ) 0, x D ( )

f x     f x đồng biến trên D =[1 2 ; ]

5 2





5 2

        Phương trình có đúng một nghiệm trên 1

2

D ( ; )

5 2







+) Hàm số liên tục trên D =( ;2 3 )

2 2

  và

2 ( ) 0, x D

f x     phương trình vô nghiệm trênD =( ;2 3 )

2 2

 

+) Hàm số liên tục trên D =[3 3 ; 2 ]

2 

3 '( ) 0, x D ( )

f x     f x nghịch biến trên D 3

( ) log 0, (2 ) log 2 1 0 ( ) 0

f      f        f x 

Có đúng một nghiệm trên D 3

+) Hàm số liên tục trên D =[2 ;4 5 ]

2





4 '( ) 0, x D ( )

f x     f x đồng biến trên D 4

log 0, (2 ) log 2 1 0 ( ) 0

f       f       f x 

Câu 8 Phương trình 2 log cot3 xlog cos2 x có bao nhiêu nghiệm trong khoảng 0; 2018?

A 2018 nghiệm B 1008 nghiệm C 2017 nghiệm D 1009 nghiệm

Lời giải Chọn A

Đk: sin 0

cos x>0

x





2log cotx log cosx log cotx log cosx

log cos x log sin x log cosx

log cos x log 1 cos x log cosx

Đặt tlog cosx2 cosx=2t

Phương trình trở thành

2

3 2

2

1 2

t

t t t

t t

4

4 1 3

t t

   

 

  Hàm số   4 4

3

t t

f t   

 

  đồng biến trên 

Mặt khác f   nên 1 1 x  là nghiệm của phương trình 1

Do đó phương trình có nghiệm duy nhất t  1

2

1

0; 2018

1 6055

k x

k

   

  



Vậy trong khoảng 0; 2018 có 1009.2 2018 nghiệm

Câu 9 Số nghiệm của phương trình 2 ln 2 2 2018

2

x

Lời giải Chọn C

Xét hàm số   2 ln 2 2

2

x

f x   x x  với x   ; 2  2; 

Ta có   2

2 1

2

x

f x x

x

   

 ;  

2 2

2

x

x





  1 22

2

x

f x x

x



 đồng biến trên mỗi khoảng  ; 2 và  2; 

Mặt khác f 2 f  3 1 1 3 và 0    3 2 8.1 0

7

f  f     nên f x  có đúng một nghiệm

a   và đúng một nghiệm b 2; 

Ta có bảng biến thiên

Ta có     3

2

f a  f     và     3

2

f b  f    Nên từ bảng biến thiên suy ra phương trình có 4 nghiệm

Câu 10 Phương trình 2sin2x3cos2x 4.3sin2x có bao nhiêu nghiệm thuộc

Lời giải Chọn C

Ta có 2sin2x3cos2x 4.3sin2x 2sin 2 x31 sin  2 x 4.3sin 2 x

Đặt 2

sin x t với t 0;1 , ta có phương trình : 2 3 4.3

3

t

   

     

     1 Xét hàm số

Hàm số nghịch biến trên đoạn Phương trình có nhiều nhất một nghiệm

Mà nên là nghiệm duy nhất Do đó

của thỏa mãn

Vậy có nghiệm

Phần tự luận:

Bài 1 Giải phương trình: 3x 4x 5x2  1

Bài 2 Giải các phương trình sau:

  2017; 2017 

  2 3 1 ,  0;1

f t       t

   

   

  2 ln2 3 1 ln1 0,  0;1

f t        t 

  0 4



k

1285

a) log(x2    x 6) x log(x  , b) 2) 4  log 6 

log x3 x log x, c) log 12  xlog3x , d) xlog 9 2 x2.3log 2 xxlog 3 2

Bài 3 Giải phương trình :   2     

2 log 1 4 1 log 1 16 0

Bài 4 Giải phương trình: 6 4 2  x  17 12 2  x  34 24 2 x  1  1

Bài 5 Giải các phương trình sau:

a)

2

2 7

2

x

  

1

2 x  x x   x x