Phuong phap ham so giai phuong trinh vo ti

Trong một số trường hợp, ta cần phải biến đổi phương trình về dạng đơn giản hơn nếu có thể bằng một số phép biến đổi thường gặp như: quy đồng, nhân hoặc chia hai vế của phương trình cho [r]

PHƯƠNG PHÁP HÀM

SỐ GIẢI PHƯƠNG

TRÌNHPhùng Văn Hùng – THPT Liễn Sơn, Vĩnh Phúc

Tài liệu chỉ bán chứkhông tặng!

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Tính chất 1: Nếu hàm số f x  liên tục trên khoảng  a b; , đoạn a b;  hoặc các nửađoạn a b; , a b;  có đạo hàm f x'  bằng không hoặc không xác định tại hữu hạnđiểm trên khoảng a b; , đoạn a b;  hoặc các nửa khoảng a b; , a b; khi đó nếu

 

f x  (hoặc f x '  0) trên  a b; thì f x  đồng biến (hoặc nghịch biến) trên  a b;

hoặc đoạn a b; , hoặc các nửa đoạn a b;  hay a b;

Tính chất 2: Nếu y f x   đồng biến hoặc nghịch biến trên  a b; thì phương trình

 

f x c, trong đó c là một hằng số có nhiều nhất một nghiệm x a b;

Tính chất 3: Nếu y f x   đồng biến hoặc nghịch biến trên  a b; và u v,  a b; thì khi

- Biến đổi phương trình về dạng f x c (hoặc f x   0)

- Chứng minh f x '  0 hoặc f x '  0, x thỏa mãn điều kiện tìm được ở trên

- Nhẩm một nghiệm x x 0 của phương trình (có thể dùng CASIO)

- Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x x 0.

Chú ý: Có thể dùng chức năng TABLE (MODE 7) của máy tính bỏ túi CASIO để

kiểm tra xem f x  đồng biến hay nghịch biến trên  a b; Nếu thấy f x  đồng biến(nghịch biến) thì ta có thể sử dụng phương pháp này

Ví dụ 1: Giải phương trình: x2   x 4 2x 1 3

Phân tích: Kiểm tra bằng máy tính bỏ túi ta thấy phương trình có một nghiệm duy

nhất x 1 Khảo sát trước f x  x2   x 4 2x 1 bằng TABLE với START 0,5;

PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH GV: Phùng Văn Hùng – THPT Liễn Sơn, Vĩnh Phúc

x    là một nghiệm của phương trình, nên đây chính

là nghiệm duy nhất của phương trình

Kết luận: Phương trình có nghiệm 3

2

x 

có thể sử dụng được phương pháp dùng đạo hàm.

x    là một nghiệm của (1), nên nó là nghiệm duy nhất của (1).

Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm 2

3

x 

Bài học rút ra: Một dấu hiệu cho việc sử dụng đạo hàm, đó là phương trình phải có

nghiệm duy nhất và nghiệm này là nghiệm đẹp Tiếp theo đó đưa phương trình vềdạng f x c, rồi sử dụng TABLE để khảo sát trước sự biến thiên của f x , nếu thấy

Giải

Từ phương trình rút ra: 3 2 2 15 2 8 0 2.

3

x  x   x    x

Phương trình đã cho tương đương với: x2   8 x2  15 3  x 2 1 

Dễ thấy x 1 là 1 nghiệm của phương trình (1)

Kết luận: Phương trình có nghiệm x 1

Bài học rút ra: Việc tìm điều kiện cho x là vô cùng quan trọng, và hãy nhớ tới điều

kiện có nghiệm (điều kiện kéo theo) khi cần!

CÁC BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI

Bài 1: Giải phương trình: x5x3 1 3 x 4 0

Dễ thấy x  1 là nghiệm duy nhất của phương trình

Kết luân: Phương trình có nghiệm x  1

Bài 2: Giải phương trình x 1 3 3x 1 4 5x 1 6

Phân tích: Phương trình có 3 loại căn khác bậc nên, việc sử dụng các phương pháp đã

học đều không hiệu quả Trong những bài toán như thế này, ta có thể nghĩ đến việcđánh giá tính đơn điệu của vế trái bằng đạo hàm

  Do đó phương trình đã cho nhiều nhất một nghiệm.

Do x 3 là nghiệm của phương trình, nên đây cũng là nghi ệm duy nhất

Chú ý: Ở đây f x'  không xác định tại giá trị 13 Tuy nhiên vì số lượng giá trị làm cho

 

'

f x không xác định vẫn là hữu hạn nên kết luận của ta vẫn đúng theo Tính chất 1.

Kết luận: Phương trình có nghiệm x 3

Bài 3: Giải phương trình: x x x 12 12 5    x 4 x

Kết luân: Phương trình có nghiệm x 1

Bài 4: Giải phương trình: 12x 15 x 20x 12 x 15x 20 x x

Suy ra, f a  đồng biến trên  0; 

Suy ra, phương trình (*) có tối đa 1 nghiệm trên  0; .Dễ thấy a 1 0; lànghiệm của (*)

Vậy  *   a 1 12   x 1 x 11

Kết luận: Phương trình có nghiệm x 11.

Ta có x 2 là nghiệm của (*) nên x 2 là nghiệm của phương trình

x  x   x x

Phân tích: Sử dụng SOLVE ta thấy phương trình có hai nghiệm x = 0 và x = -1 như

vậy việc sử dụng trực tiếp đạo hàm là không khả thi Tuy nhiên, có một hướng tiếpcận khác là kết hợp phương pháp đạo hàm và liên hợp

Kết luận: Phương trình có nghiệm: x  1 và x 0

Bài 7: Giải phương trình: x2 2 x 1 3 x  6 4 x6 2 x 1 3 x2

  nên phương trình (*) nếu có nghiệm thì nghiệm

đó là duy nhất Mặt khác x 7 là nghiệm của (*) nên đây là nghiệm duy nhất

Kết luận: Phương trình có nghiệm x = 7.

x a b , suy ra điều kiện đối với u,v là ua b1 ; 1; va b2 ; 2

Nếu ta có thể chứng minh được hàm số f t  đồng biến hoặc nghịch biến trên

- Tìm điều kiện (có nghĩa và có nghiệm)

- Biến đổi phương trình về dạng f u    f v  hàm đặc trưng f t .

- Từ điều kiện đối với x  điều kiện đối với u v, Giả sử u D 1; v D 2

- Chứng minh f t '  0 hoặc f t '  0,  t D1D2  f t  đồng biến hoặc nghịchbiến trên D1 D2

- Giải phương trình f u    f v  u v.

- Kết luận

Trong một số trường hợp, ta cần phải biến đổi phương trình về dạng đơn giản hơn nếu

có thể bằng một số phép biến đổi thường gặp như: quy đồng, nhân hoặc chia hai vếcủa phương trình cho x x x, , 2 , liên hợp…

Dấu hiệu: Trong tất cả bước ở trên thì bước biến đổi phương trình về dạng f u    f v

để suy ra hàm đặc trưng là khó nhất Một số dấu hiệu giúp ta biết có thể biến phươngtrình đã cho đổi về dạng chứa hàm đặc trưng hay không, cũng như giúp ta phán đoánđược lượng u và v sau khi biến đổi là:

- Có một số lượng trong phương trình, xuất hiện ở nhiều nơi khác (thường khôngthấy ngay mà phải qua một số phép biến đổi đại số thông thường) Khi đó córất nhiều khả năng chúng chính là các biểu thức u và v

- Sau khi đã “lờ mờ” nhận ra được u và v, thì bậc của u và v bằng nhau

Sự trợ giúp của CASIO: Trong phương pháp dùng hàm đặc trưng, việc tìm ra hoặc

phán đoán được u và v là rất quan trọng Ngoài việc phán đoán bằng tư duy thôngthường Ta cũng có thể sử dụng máy tính bỏ túi CASIO để giúp ta tìm được u và v Ýtưởng chính của phương pháp này như sau:

- Dùng SOLVE tìm tất cả các nghiệm của phương trình

- Biến đổi để đơn giản hóa phương trình (quy đồng, chia hai vế, liên hợp…)

- Thay thế lần lượt các nghiệm này vào các cụm biểu thức đặc biệt trong phươngtrình (căn thức, biểu thức bậc nhất, bậc hai….)

- Từ các kết quả thu được, tìm ra mỗi liên hệ giữa các cụm biểu thức này  phánđoán u và v

- Đặt 2 ẩn phụ u và v để đưa phương trình đã cho về dạng chứa hàm đặc trưng

Suy ra f t  đồng biến trên , và  2 3 2 1 1.

Lời giải 2: Dùng CASIO

SOLVE cho ta nghiệm duy nhất 0,2 1

Bài học rút ra: Phương trình trên có thể giải được bằng phương pháp liên hợp Tuy

nhiên sẽ rất khó khăn và tính toán cồng kềnh Trong những trường hợp như vậy,phương pháp sử dụng hàm đặc trưng tỏ ra có ưu thế và cho lời giải đẹp

Kết luận: Phương trình có nghiệm x  2 2.

Cách 2: Dùng CASIO ta thấy phương trình có nghiệm duy nhất X 3,414213562, thaygiá trị này vào các căn thức:

4 4

u    u v v   f u  f v lúc này ta thu được kết quả giống Cách 1

Bài học rút ra: Trong ví dụ này, phương pháp sử dụng Casio tỏ ra mạnh mẽ bởi nhờ nó

ta tìm được 2 trường hợp với hai hàm đặc trưng khác nhau mà cách tư duy thôngthường khó nhìn ra Cuối cùng, ta nên chọn trường hợp có hàm đặc trưng dễ tính đạohàm và dễ chứng minh đơn điệu hơn!

Phân tích: Rõ ràng x 1 biểu diễn được theo x 1, x2 4 x biểu diễn được theo

 x  2 4 x Ta có lời giải như sau:

Ta cần tìm t sao cho: v34v23v t t  3 2 2 ,t do t và v có quan hệ đồng bậc nên

Nhân cả hai vế của (2) với 8 sau đó cộng với (1) được: 8x336x256x30a a3

BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI

Bài 1: Giải phương trình: x33x25x 3 x23 x21

Kết luận: Phương trình có nghiệm x = 0.

Bài 2: Giải phương trình: x22x 3 x26x11 3 x x1

Giải

t t

Kết luận: Phương trình có nghiệm x = 2.

Bài 3: Giải phương trình: x x4 2   1 x 3 5 2  x  0

Kết luận: Phương trình có nghiệm x = 2.

Bài 5: Giải phương trình: 4x318x227x143 4x5

Kết luận: Phương trình có nghiệm x 2

Bài 7: Giải phương trình: x33x23 33 x  5 1 3x

Giải

 

3 2 3

Kết luận: Phương trình có nghiệm x 1 và x  2.

Bài 8: Giải phương trình: 3 1 2 12

x

x x

Ta có x = 0 không phải là nghiệm của phương trình

Xét x 0 :chia cả hai vế cho x3ta được:

Bài 11: Giải phương trình:

Ta có x 0 không phải là nghiệm của phương trình

Với x  0 1 3x 1 0, phương trình đã cho tương đương với:

Kết luận: Phương trình có nghiệm x = 1.

Bài 12: Giải phương trình: 2 3

Bài 13: Giải phương trình: 3 272

Kết luận: Phương trình có nghiệm x = 6.

Phân tích phương trình (*) bằng CASIO:

+) SOLVE được nghiệm lẻ X 6.192582404

+) Gán X A

+ Sử dụng TABLE: F X( ) 3A 1 AX, Start = -7, End = 7, Step = 1 (chú ý, ta đi dò

hệ số nên giá trị Start và End không bị ràng buộc bởi điều kiện của x) Kết quả

 

X  F X   Từ đó 3A    1 A 2 3A  1 A 2, do A đang lưu giá trị củanghiệm x nên: 3x  1 x 2 Điều đó gợi ý cho ta đặt a 3x1 và b x 2, rồi đưaphương trình về dạng hàm đặc trưng

Đặt 3 1 05

23

Kết luận: Phương trình có nghiêm 17

Thử lại ta thấy chỉ nghiệm x  1 thỏa mãn.

Kết luận: Phương trình có nghiệm x  1

Bài 17: Giải phương trình: 4 2 4 4 2 3 2 1 3 2 12 1 42 2 4 3

Bài 3: Giải phương trình: 3x3 4x2 1 3x6 2x3 x2

Bài 4: Giải phương trình: 8x3 6x  1 312x2 2x 1

Bài 5: Giải phương trình: 8x2 x3 3x2 4x 2

Bài 6: Giải phương trình: x 2  x2 4x   7 1 x x2  3 10

Bài 7: Giải phương trình: x 5 x   1 1 33x 4

Bài 8: Giải phương trình: x3  6x2  11x  2 3 3 x   4 8

Bài 9: Giải phương trình: 4x4 3 43 x4 x3 2x2  x x2 5x 4

Bài 10: Giải phương trình: x35x2 6x  2 32x2 2x 4

Bài 11: Giải phương trình: 3 3x  4 x3 3x2 x 2

Bài 12: Giải phương trình: x4  6x3  14x2  15x   5 x3  5x2  8x  6 x  2

Bài 13: Giải phương trình: x3 18x2 29x  4 2 33 x  8 0

Bài 14: Giải phương trình: x32x23x  6 x 6 x  1 0

Bài 15: 12x310x2 5x 1 6x2 38x38x2x

Bài 16: Giải phương trình: x 3 x  1 x 3 1  x 2x 0

Bài 16: Giải phương trình: x 2 2 x  1 3 x   6 4 x 6 2 x  1 3 x 2

Bài 18: Giải phương trình: 2 23  x x 4 x  1 2 2 x 1

Bài 19: Giải phương trình: 8 1x2 x4 4x2  x 2 4 4x 1 3 x 1 3

3

x  x   x  x  x 

Bài 21: Giải phương trình: 2x3x232x33x 1 3x 1 3 x22

Bài 22: x 1 x2  2x  2 2x  1 x x2  1

Bài 23: Giải phương trình: 2 2x 1 1 3 x  3x24 2x1

Bài 24: Giải phương trình: 2x  4x2 5  5x  1 5x 4 5

Bài 25: Giải phương trình: 3 22 2 4 2 2