Giáo trình Toán cao cấp C1 - Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM

Nội dung giáo trình này gồm có 6 chương, cung cấp cho người học những kiến thức như: Ma trận-định thức; Hệ phương trình tuyến tính; Không gian vecto-Không gian Euclide và hình học giải tích; Trị riêng, vecto riêng, chéo hóa ma trận, dạng toàn phương; Phép tính vi phân hàm một biến và ứng dụng;...

Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP.Hồ Chí Minh

Khoa Khoa Học Cơ Bản

Bộ Môn Toán

GIÁO TRÌNH

Biên soạn: Ngô Hữu Tâm Trương Vĩnh An

(Lưu hành nội bộ - Tháng 9/ 2016)

Lời mở đầuGiáo trình “Toán Cao cấp C 1 ” này được biên soạn nhằm phục vụ cho nhucầu về tài liệu học tập của sinh viên Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật thành phố

Hồ Chí Minh Nội dung giáo trình này gồm 6 chương:

Chương 1 : Ma trận – Định thức.

Chương 2 : Hệ phương trình tuyến tính.

Chương 3: Không gian vec tơ-Không gian Euclide và hình học giải tích.

Chương 4: Trị riêng, vec tơ riêng, chéo hóa ma trận, dạng toàn phương.

Chương 5: Phép tính vi phân hàm một biến và ứng dụng.

Chương 6: Cấp số, dịng tiền và ứng dụng.

Nội dung môn học như trên là khá phong phú Tuy nhiên, thời lượng dànhcho môn học này chỉ có 3 tín chỉ (45 tiết lên lớp) là hơi ít Do đó, để tiếp thu tốtmôn học, các bạn sinh viên cần đọc kỹ bài học trong giáo trình trước khi đến lớp.Các bạn cần làm bài tập đầy đủ để hiểu rõ nắm vững các khái niệm, nội dung, ýnghĩa các bài toán và suy nghĩ về việc ứng dụng vào đời sống

Trước mỗi chương hay mỗi bài tác giả nêu ra những nội dung, những kiếnthức cơ bản mà sinh viên cần phải đạt được Dựa vào đó mà các bạn sinh viên biếtđược mình sẽ phải học những gì, cần phải hiểu rõ những khái niệm nào, những nộidung nào cần phải nắm vững và những bài toán dạng nào phải làm được Trong mỗichương, tác giả đưa vào khá nhiều ví dụ phù hợp để minh họa làm sáng tỏ các kháiniệm vừa được trình bày đồng thời chỉ ra được rất nhiều ứng dụng vào thực tế Saumỗi chương hay bài học có phần bài tập được chọn lọc phù hợp để sinh viên tựluyện tập nhằm đạt được sự hiểu biết sâu rộng hơn các khái niệm đã đọc qua vàthấy được các ứng dụng rộng rãi của các kiến thức này vào thực tế

Mục tiêu chúng của tôi khi viết giáo trình này:

 Dễ đọc, dễ hiểu, có thể tự học với sự hỗ trợ chút ít của giáo viên;

 Người đọc có thể nắm vững tất cả kiến thức môn học mà tốn ít thời giannhất Do đó, chúng tôi chọn cách trình bày hình thức đối với các khái niệmkhông phức tạp cho ngắn gọn đỡ mất thời gian; còn đối với các khái niệmphức tạp (chẳng hạn như không gian vectơ) chúng tôi chọn cách trình bàytừ cụ thể, trực quan, trừu tượng dần để bảo đảm bạn đọc hiểu được.

 Đọc giáo trình như một hành trình khám phá tri thức và khả năng ứngdụng vào cuộc sống Người đọc cảm thấy thích thú, hạnh phúc, tư duylogic cùng trí tưởng tượng và khả năng sáng tạo tăng lê rõ rệt

 Người đọc biết ứng dụng những gì đã học làm công cụ để học tiếp cácmôn khác và biết ứng dụng vào thực tế

Tuy có rất nhiều cố gắng trong công tác biên soạn , nhưng chắc chắn giáotrình này vẫn còn thiếu sót Chúng tôi xin trân trọng tiếp thu ý kiến đóng góp củacác bạn sinh viên và các đồng nghiệp để giáo trình này ngày càng hoàn chỉnh hơn

Thư góp ý xin gửi về : Ngô Hữu Tâm

Trường Đại học Sư Phạm Kỹ thuật TP Hồ Chí Minh

Khoa Khoa học Cơ bản Bộ môn Toán

Email:tamnh@hcmute.edu.vn

huutamngo@yahoo.com.vn

Chương 1

MA TRẬN - ĐỊNH THỨC

Chương này gồm các nội dung sau:

 Khái niệm ma trận, một số ma trận đặc biệt;

 Các phép toán ma trận, tính chất;

 Phép biến đổi sơ cấp hàng, ma trận tương đương hàng;

 Ma trận rút gọn bậc thang, hạng ma trận

 Khái niệm và cách tính định thức;

 Các tính chất định thức;

 Hai cách thường sử dụng để tính định thức;

 Aùp dụng định thức tìm hạng ma trận

 Khái niệm ma trận khả nghịch và ma trận đảo của một ma trậnvuông;

 Các tính chất ma trận khả nghịch;

 Điều kiện cần và đủ để một ma trận vuông khả nghịch;

 Hai cách cơ bản tìm ma trận đảo của một ma trận khả nghịch;

 Ứng dụng ma trận đảo để giải phương trình ma trận và hệ phươngtrình tuyến tính

§1 MA TRẬN

Trong bài này, bạn sẽ học

- Khái niệm ma trận, một số ma trận đặc biệt;

 Các phép toán ma trận, tính chất;

 Phép biến đổi sơ cấp hàng, ma trận tương đương hàng;

 Ma trận rút gọn bậc thang, hạng ma trận

-1- Ma trận (matrices)

1.1 -Định nghĩa và ký hiệu ( K =  là tập số thực hoặc K =  là tập số phức)

Một ma trận A cấp mn (cỡ mn, kích thước mn) trênK là một bảng chữ nhật gồm mnphần tử trongK được viết thành m hàng và n cột như sau:

m

n n

a a

a

a a

a

a a

2 22

21

1 12

m

n n

a a

a

a a

a

a a

2 22

21

1 12

11

Trong đó aij Klà phần tử (số hạng) ở vị trí hàng thứ i và cột thứ j của ma trận A Đôikhi ma trận A được ký hiệu vắn tắt là: A = [aij]mxn = ( aij)mxn= A mxn.

Ký hiệuM mxn( K ) là tập hợp tất cả các ma trận cấp mn trên K

 Ma trận không (zero matrix ) là ma trận mà tất cả các phần tử đều bằng 0, ký hiệu là 0

mxn(hay 0 nếu không có sự nhầm lẫn): 0 mxn =

0

0 0

0

0 0

n

a

a a



 Ma trận hàng (row matrix) là ma trận chỉ có một hàng: A = a11 a12 a1n

 Ma trận có số hàng bằng số cột gọi là ma trận vuông (square matrix) Ma trận vuông

có n hàng gọi là ma trận vuông cấp n: A =

n

n n

a a

a

a a

a

a a

2 22

21

1 12

11

= [aij]nxn

Các phần tử a11, a22, …, ann gọi là các phần tử chéo của ma trận vuông A Vết ma trậnvuông A, ký hiệu Tr(A), được định nghĩa như sau: Tr(A) ĐNa11 +a22 +….+ann

Ký hiệuM n( K )là tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n trên K

 Ma trận vuông A =[aij]nxngọi là ma trận tam giác trên nếuaij = 0 khi i > j, tức là nó

a

a a

a a

011 1222 21

 Ma trận vuông A = [aij]nxn gọi là ma trận tam giác dưới nếu aij = 0 khi j > i, tức là

nó có dạng: A =

a

a a a

22 21

11

0

00

 Ma trận vuông D gọi là ma trận chéo nếu D vừa là ma trận tam giác trên vừa là ma

trận tam giác dưới, tức là nó có dạng :

00

00

 Ma trận chéo mà tất cả các phần tử chéo đều bằng 1 gọi là ma trận đơn vị, ma trận đơn

vị cấp n ký hiệu là In hay I khi không có sự nhầm lẫn: In =

0

0 1

0

0 0

6

5 4 3

A là ma trận cấp 2  3; a11  3 ,a12   4 ,  ,a23   9

612

37

0

61

0

37

012

00

5'

C là ma trận tam giácdưới

0

0 1 0

0

0 0 3

0

0 0 0

00

0 0 0

010

001

3

I

1.2 - Các phép toán ma trận

1.2.1- Định nghĩa -Ví dụ minh họa

a) Ma trận bằng nhau: Ma trận A = [aij]mxn gọi là bằng ma trận B = [bij]mxn, ký hiệu A = B, nếu a ij b ij i 1 ,m và j 1 ,n.

1

1

t z

y x

3 7

6 2

3 1

7 1

t

z y

t z y x

b)Phép cộng, trừ các ma trận cùng cấp: Cho A = [aij]mxn, , B = [bij]mxn

Tức là khi cộng, trừ hai ma trận cùng cấp chúng ta cộng, trừ các số hạng cùng vị trívới nhau

A = B N aij = bij ,  i = , m và j = 1 ,n

A + B ĐN [aij + bij]mxn ; A - B ĐN [aij- bij]mxn

c)Phép nhân một số với một ma trận: Cho A = [aij]mxn,   K

Tức là khi nhân một số với một ma trận chúng ta nhân số đó với tất cả các số của

1 4 2

1 3 6

1 4

1 3

0 7 8

1 4 2

1 3 6

1 17 22

1 4 2

1 3 6

5 1 14

d)Phép nhân hai ma trận có cấp thích hợp:(số cột ma trận trước phải bằng số hàng ma trận sau)

Cho các ma trận A a ik mn, B b kj np

Sơ đồ của phép nhân ma trận như sau:

b b

b

b b

b

b b

b

A

a a

a

a a

a

a a

a

np nj

n

p j

p j

mn m

m

in i

21

1 1

11

2 1

2 1

1 12

A A.A

2 1

1 0 2

B Tính AB, A2,A3; giải thích vì saokhông tồn tại ma trận BA

1 0

8 1 2 0 6

9 2 8

6 2 2

8 1

8 1

22 9

Vì B có 3 cột và A có 2 hàng nên không tồn tại BA

f)Phép chuyển vị: Ma trận chuyển vị của A = [aij]mxn, ký hiệu A T, là ma trận xácđịnh bởi A T ĐN [ T

1 6 2

86

3

2

9 5

7 3

6 2

0 5 3 2

T

1.2.2- Tính chất của các phép toán về ma trận

Với mọi ma trận A, B, C có cấp thích hợp để thực hiện được các phép toán và vớimọi số , K.

 Chú ý Phép nhân ma trận không có tính chất giao hoán.

11

0

2,

223

012,

416

212

C B

102

12

11

02416

21

11

02223

01

1 3

13 39

25 11

102

121211

102

12

453

536

453

53

010

00

14211

102

12

141113

1713

16

1.3 - Phép biến đổi sơ cấp hàng – Hạng của ma trận

1.3.1 - Định nghĩa

Có 3 loại phép biến đổi sơ cấp hàng (elementary rows operations)

Loại 1 Hoán vị hai hàng : hi hj

Loại 2 Nhân một số khác 0 vào một hàng :hi hi,  0

Loại 3 Thay một hàng bởi hàng đó cộng với lần hàng khác

hi +hj hi , ij

Kết hợp loại 2 và loại 3 ta được :hi +hj hi ,  0, ij

1.3.2 -Ma trận tương đương hàng

Nếu từ ma trận A biến đổisơ

311

21

2 1 0

3 1

2 1 0

3 1 1

0

210

31

1

= D

Khi đó, A B, A  C, A D, B C,…

1.3.3- Ma trận rút gọn bậc thang

Ma trận Ar = [aij]mxn gọi là ma trận rút gọn bậc thang nếu nó thỏa đồng thời 3 tính

chất sau:

- Các số phía dưới số khác 0 đầu tiên trên mỗi hàng đều bằng 0

- Các số khác 0 đầu tiên trên mỗi hàng xếp theo thứ tự bậc thang từ trên xuốngdưới và từ trái sang phải

- Các hàng zêro nằm phía dưới các hàng khác zêro(hàng zêro là hàng mà tất cả các số hạng đều bằng 0).

0

970

0

1713

0

3 0 0

0

3 4 6

0

7 9 0

5

B là ma trận rút gọn bậc thang

970

0

813

9100

813

0

2030

813

10031

213

1

B

1 2 3

1 2

h h

h h

8100

2131

8100

2131

4

5 4

3

4 3

2

3 2

1 1

1

m

m m

m

m A

4

5 4

3

4 3

2

3 2

1

1 4 4

1 3 3 1 2 2 h h

h h

; h h

0

4 2

0

2 1

0

3 2

1

3 4

2 2 3 h h

h h

0

0 0 0

2 1 0

3 2 1

m

r r

sơ đổi Biến hàng cấp thì số hàng khác zêro của A

thang bậc gọn rút trận ma là A

với

A trận ma

6 0

0

2 1 0

3 2 1

6 m khi 3

2 2

1 1

1 0

1 1 0

1 1

m m

m

m m m m

2 2

1 2

0 0

1 1 0

1 1

m m m m

m

m m m

m

m m

0000

111

1

nên r(A)  1

Khi m 1 thì A r có 3 hàng khác zêro nên r(A)  3

 Tính chất

i) r(A) r(A T)  Suy ra khi tìm hạng ma trận có thể biến đổi sơ cấp cột

ii) Nếu A B thì r(A) = r(B)

iii)Nếu A = [aij]mxn thì r(A) minm,n

Ví dụ 1.12 Tìm hạng ma trận

9 7

5 2

2 1

2

6 7 2

6 7 2 1

 Hai cách thường sử dụng để tính định thức;

 Aùp dụng định thức tìm hạng ma trận

-2.1-Định nghĩa - Cách tính

Ký hiệu định thức của ma trận vuông A = [aij]nxn là detA hayA

* Định thức cấp 1: Với A = (a11) thì detA = a11

a a a

a a

ij

j i n

ij

j i n

231

10

2

 b)

4 0 3 2

1 1 1 0

2 3 1 0

1 0 2

3



Giải

11

1

23

1

10

2

 = ( 6  0  1 )  ( 3  4  0 )   2

b) Khai triển định thức theo cột 1

4 0

3

2

1 1

1

0

2 3

1

0

1 0

111

23

13



+ 0 + 0 + 2

111

231

10

h

-B)Vậy nếu định thức có hai hàng (cột) giống nhau thì định thức bằng 0

 Nếu nhân một hàng (cột) của định thức với một số   0 thì định thức tăng lên 

 Khi thực hiện phép biến đổi sơ cấp loại 3 trên hàng hay cột thì định thức khôngđổi Tức là,

nếu A h ihjh i B thì A =B

(hoặc viết gọn A 



j h i

h 

B, i j)

 Nếu định thức có hai hàng (cột) tỷ lệ thì định thức bằng 0.

 Nếu định thức có một hàng(cột) zero thì định thức bằng 0(hàng zêro là hàng mà các số hạng đều bằng 0)

 Nếu mỗi số hạng ở một hàng của detA là tổng của hai số thì detA bằng tổng haiđịnh thức: Định thức thứ nhất suy từ A bằng cách thay mỗi số hạng ở hàng nói trênnói trên bởi một trong hai số hạng của nó Định thức thứ hai có đươc bằng cách thaysố hạng còn lại:

Thông thường, khi tính định thức chúng ta làm như sau:

Cách 1 Aùp dụng các tính chất định thức để biến đổi định thức có một hàng hoặc một

cột thật nhiều số 0 rồi khai triển định thức theo hàng hoặc cột đó

Cách 2 Aùp dụng các tính chất định thức để biến đổi định thức về dạng định thức ma

trận tam giác Khi đó, định thức bằng tích các số trên đường chéo

Ví dụ 1.13 Tính các định thức sau

a)

62

2

32

1

31

1



522

221

31

1

c)

3 4 2 1

9 8 5 1

1 4 3 0

4 3 2 1

d)

' ' ' ' 1

' ' 1

' '

1 1

b a b a

ab b a

b a b a

ab b a

Giải

a)

62

2

32

1

31

2 h;h 2h

h  



100

110

311



 = -1

c)

3 4

2

1

9 8

5

1

1 4

3

0

4 3

2

1

1 3 1

4 h;h h

h  



1 1 0 0

5 5 3 0

1 4 3 0

4 3 2 1

4 1 0 0

1 4 3 0

4 3 2 1

4 1 0 0

1 4 3 0

4 3 2 1



= -15.

' ' '

'

1

' '

1

' '

1

1

b a b

a

ab b

a

b a b

a

ab b

a

1 3 2 4 1 2

,h h h h h h

0 0

) ' ( '

0 0

) ' ( 0 '

0 1

b b a b b

b b a b b

a a b a

a

ab b

' ( 0 0 0

) ' ( '

0 0

) ' ( 0

' 0 1

a a b b

b b a b b

a a b a

a

ab b

2.3-Aùp dụng định thức để tìm hạng ma trận Cho A = [aij]mxn

i) Từ ma trận A ta chọn ra k hàng và k cột tùy ý, với k hàng và k cột vừa

chọn ra ta lập được một định thức cấp k, định thức này gọi là định thức con cấp k của A.

ii) r (A) = cấp cao nhất của các định thức con khác 0 của A.

Ví dụ 1.14 Aùp dụng định thức tìm hạng ma trận

1241

301

241

01

2



763

141

31

2



723

121

30

2



726

124

30

1241

301

241

01

1

=  6  0

Suy ra, r(A)3.

 Các tính chất ma trận khả nghịch;

 Điều kiện cần và đủ để một ma trận vuông khả nghịch;

 Hai cách cơ bản tìm ma trận đảo của một ma trận khả nghịch;

 Ứng dụng ma trận đảo để giải phương trình ma trận và hệ phươngtrình tuyến tính

Khi đó B gọi là ma trận nghịch đảo hay ma trận đảo của A, ký hiệu là A-1

Vậy A khả nghịch khi và chỉ khi tồn tại A-1 và AA-1 = In = A-1A

2 1

2 3

2 3

2

Lưu ý Với A = [aij]nxn, B = [bij]nxn: ABI n khi và chỉ khi BAI n

3.2 Tính chất

 Ma trận đảo của ma trận A (nếu có) thì duy nhất và (A-1)-1= A

 Nếu A khả nghịch thì AT cũng khả nghịch và

 Nếu A = [aij]nxn, B = [bij]nxn, C =[cij]nxn khả nghịch thì tích AB, ABC cũng khảnghịch và

(AB)-1 = B-1A-1 ; (ABC)-1 =C-1 B-1A-1

(AT)-1 = (A-1)T

3.3 Định lý (điều kiện để một ma trận vuông khả nghịch) Cho A = [aij]nxn Ta có :

 A khả nghịch  A  In

 A khả nghịch  r(A) = n

 A khả nghịch  detA  0

bis A không khả nghịch  detA = 0

Ví dụ 1.17 Biện luận theo tham số m tính khả nghịch ma trận

1

411

321

1

41

1

32

1

Khi m 7 thì detA 0 nên Akhông khả nghịch

Khi m 7 thì detA 0 nên A khả nghịch

3.4 Cách tìm ma trận đảo và ứng dụng giải phương trình ma trận

 Cách 1-Phương pháp Gauss- Jordan

Nếu A khả nghịch thì dãy các phép biến đổi sơ cấp hàng biến A thành In cũng đồng thời biến In thành A-1 Tức là,

 Cách 2-Phương pháp định thức

 (In A-1)

Ví dụ 1.18 Tìm ma trận X thỏa: 

12

12

21

2 1 0

0 1 1

1 0

12

12

21

2 1 0

0 1 1

1 0

1432

211

2 2 1 0

0 1 1

1 0

210

011

101

010

001210

011

10

011

001210

110

101

011

001100

110

10

) 1 ( h h

h h h

122

112100

010

001

Suy ra Akhả nghịch và A 1

1 2 2

1 1

231

1 2 2

1 1 2

4 7 6

4 7

2 1

1 0 1 2

2 1

1

37

12

X

2 1

1 0 1 2

2 1

2 1

1 4 2 2

2 1

1

37

12

0 2

7 3

020

020

13

02

450

45

3.5 Ứng dụng ma trận đảo giải hệ phương trình tuyến tính

Ví dụ 1.20 Cho ma trận

121

21

1

A

a) Chứng minh A khả nghịch và tìm ma tận đảo A 1.

b) Aùp dụng kết quả câu (a) giải các hệ phương trình sau (m là tham số):

32

2

12

3 2

1

3 2

1

3 2

1

x x

x

m x

x x

x x

2

32

12

3 2

1

3 2

1

3 2

1

x x

x

m x

x x

x x

13

4

3 2

1

3 2

3 2

1

x x

x

m x

x

x x

x

(3)

Giải

a) detA 1 0

232

121

21

010

00123

2

12

1

21

011

001210

110

21

011

01210

0

11

0

30

1

3 1 3 3 2

3 ) 1 (

h h h h

1

12

0

341100

010

001

1

1 2

0

3 4

x x

32

2

12

3 2

1

3 2

1

3 2

1

x x

x

m x

x x

x x

121

211

x x

x x

1

1 2

0

3 4 1

m

12

42

m x

m x

3 2

1

12

2

32

12

3 2

1

3 2

1

3 2

1

x x

x

m x

x x

x x

321

211

x x

1 2 4

1 0 1

m x

x

2

320

3 2

13

4

3 2

1

3 2

3 2

1

x x

x

m x

x

x x

1

1 2

0

3 4 1

x x

x x

121

211

m

34

223

m x

m x

34

223

3 2

1

BÀI TẬP Bài 1.1 Thực hiện các phép toán ma trận.

3

;223

012

;41

0

11

2

C B

4

w z

y x

1 2

Bài 1.3 Cho các ma trận A =

221

31

 Tìm ma trận nghịch đảo A-1 bằng

cách sử dụng định thức và áp dụng kết quả đó giải các hệ phương trình sau:

55

34

43

23

z y x

z y x

z y

3

23

2

543

z y x

z y x

m z

y x

Bài 1.6 Tìm ma trận X trong các trường hợp sau:

x

x x b

x

x x

Bài 1.9 Chứng minh rằng:

a) Nếu A, B là các ma trận vuông khả nghịch cấp n và AB = BA thì

1 1

Tìm các giá trị m để r(A) = 3.

Bài 1.11 Tìm hạng các ma trậnsau:

7

7 1 1

5

4 3 1

2

1 5 3

71524

4231

10 5

0

7 1 3

5 4 1

4 2

21

132

543

a) Tìm A-1

b) Tìm các ma trận X, Y sau cho: AX =

Làm tương tự đối với các ma trận B, C

Bài 1.13 Giải các phương trình sau (  là ẩn)

3

23

2

00

44

6

23

11

0

10

2 1

a) Tìm đa thức bậc hai f(x) =

x

x



 2 3

2

1 ( f(x) = det(A-xI)) b) Tính f(A) rồi dựa vào kết quả đó suy ra biểu thức tính A-1theo A.

Bài 1.15 Cho ma trận A =

131

113

a) Tính f(x) = det(A-xI)

b) Tính f(A) rồi dựa vào kết quả đó suy ra biểu thức tính A-1theo A.

Bài 1.16 Cho ma trận A = 

b

a thỏa điều kiện ad-bc  0.

a) Tìm đa thức bậc hai f(x) = det(A-xI)

b) Tính f(A) rồi dựa vào kết quả đó suy ra biểu thức tính A-1theo A.

Bài 1.17 Cho ma trận A = 

b

d bc

b) Ma trận vuông AM n() gọi là trực giao nếu A T AI Chứng minh rằng nếu

AM n() trực giao thì det(A) =  1

Bài 1.20 Cho ma trận AM n(), BM n() và  Chứng minh rằng:

a) det( A) =  ndet(A)

b) Nếu A khả nghịch và  0 thì ma trận  A cũng khả nghịch.

c) Nếu tích AB khả nghịch thì A, B là các ma trận khả nghịch

Bài 1.21 Cho ma trận AM n() Chứng minh rằng có không quá n giá trị  khácnhau trong  sao cho det(A I)  0

Bài 1.22 Ma trận *

r

A =  a ij* mn M n() gọi là ma trậnrút gọn bậc thang tối giản

nếu nó thỏa đồng thời bốn tính chất sau:

(i) Trên các hàng khác zêro (hàng mà có ít nhất một phần tử khác 0), phần tử khác 0 đầu tiên là số 1.

(ii) Trên cột có số 1 nói ở (i), các phần tử còn lại đều bằng 0.

(iii) Nếu phần tử khác 0 đầu tiên của hàng 1, 2, …, k có chỉ số cột là

Trình bày thuật toán áp dụng các phép biến đổi sơ cấp hàng để đưa ma trận

A = [aij]mxnMn() về ma trận rút gọn bậc thang tối giản *

21

10

12

21

4 2 1

3 1 2

2 1

1

Bài 1.24

a) Nếu A, B, C là ba ma trận thỏa AB AC và detA 0 thì BC

b) Nếu A là ma trận vuông thỏa A2  0 thì (I A)  1 I  A

Bài 1.25 Một công ty có 3 cửa hàng cùng bán bốn loại sản phẩm SP1, SP2,SP3, SP4

với cùng một mức giá lần lượt là 5 , 7 , 9 , 8 (đơn vị tính là triệu đồng)

P là ma trận giá của bốn loại sản phẩm SP1, SP2,SP3, SP4 Giả sử số sản

phẩm mỗi loại bán được trong một ngày tại 3 cửa hàng cho trong bảng sau:

6963

475

2

A Tính và giải thích ý nghĩa ma trận AP

Bài 1.26 Một công ty có m cửa hàng cùng bán n loại sản phẩm SP1, SP2,… , SP n vớicùng một mức giá lần lượt là p , ,1p2 p n (đơn vị tính là triệu đồng)

là ma trận giá của n loại sản phẩm SP1, SP2,… , SP n Giả sử số sản

phẩm mỗi loại bán được trong một ngày tại 3 cửa hàng cho trong bảng sau:

m

n n

a a

a

a a

a

a a

2 22

21

1 12

11

Tính và giải thích ý nghĩa ma trận AP

Chương 2

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

Chương này gồm các nội dung sau:

 Khái niệm hệ phương trình tuyến tính, một số khái niệm liênquan hệ phương trình tuyến tính;

 Định lý cấu trúc nghiệm hệ phương trình tuyến tính;

 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss-Jordan;

 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Cramer;

 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp ma trận đảo;

 Khái niệm hệ phương trình tuyến tính thuần nhất;

 Định lý cấu trúc nghiệm hệ phương trình tuyến tính thuần nhất;

 Cách giải hệ phương trình thuần nhất;

 Mô hình cân bằng thị trường;

 Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô;

 Mô hình IS-LM;

 Mô hình Input-Output Leontief

§1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Trong bài này, bạn sẽ học

- Khái niệm hệ phương trình tuyến tính;

 Định lý cấu trúc nghiệm hệ phương trình tuyến tính;

 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp khử Gauss vàthế lùi, phương pháp Gauss-Jordan;

 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Cramer;

 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp ma trận đảo. -

1.1.Định nghĩa hệ phương trình tuyến tính (trong định nghĩa này có thể thay  bởi )

Một hệ phương trình tuyến tính trên  là hệ thống gồm m phương trình bậc nhất

(n ẩn số) có dạng tổng quát như sau:

1

m1

n 2n 2

22

1

21

n 1n 2

12

1

11

bxa

xa

xa

x

bxa

xa

2 22

21

1 12

m

n n

a a

a

a a

a

a a

a



X x

x x







B b

b b

 A X = BTrong đó aij  ( gọi là các hệ số) và bi ( gọi là các hệ số tự do) là các số chotrước, các xj là các ẩn cần tìm (trong )

m

n n

a a

a

a a

a

a a

2 22

21

1 12

2

1 gọi là ma trận cột các hệ số tự do

2 1 gọi là ma trận cột các ẩn số

2 2n 22

21

1 1n 12

11

b:a

a

a .

b: aa

a

b:a

aa

=  A B gọi là ma trận hệ số bổ sung của

hệ phương trình tuyến tính (1) hoặc gọi tắt là ma trận bổ sung.

- Nghiệm của hệ (1) là bộ số (c1 , c2, … , cn ) sao cho khi thay xi bởi ci thì tất cảcác phương trình của hệ đều thỏa

- Hai hệ phương trình tuyến tính gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập hợpnghiệm

- Một hệ phương trình tuyến tính gọi là tương thích nếu nó có nghiệm.

3

23

15

12

10

5 4

3

5 4

2

5 4

1

x x

x

x x

x

x x

x

là hệ phương trình tuyến tính gồm 3

phương trình 5 ẩn có ma trận hệ số, ma trận bổ sung, ma trận cột ẩn số, ma trậncột hệ số tự do lần lượt là

0

0

3150

1

0

2100

2:315010

1:21000

x x x x

1

B

Cho x4  , x5  và tính x1,x2,x3 theo x4, x5 thì mọi nghiệm của hệ đều có dạng

) ,

,

,

,

(x1 x2 x3 x4 x5 =( 1  10  2, 2  15  3, 3  3  7,,) ,  và nghiệmnày gọi là nghiệm tổng quát của hệ Trong cấu trúc nghiệm tổng quát này có haiẩn tự do là x4  , x5 , , 

Một nghiệm (riêng) của hệ là (x1,x2,x3,x4,x5) = (1,2,3,0,0) có được bằng cách cho

1.2 Định lý 2.1 (Định lý Cronecker – Capelli, n là số ẩn số của hệ phương trình)

i) r(A) = r(A) = n khi và chỉ khi hệ phương trình (1) có nghiệm duy nhất.

ii) r(A) = r(A) < n khi và chỉ khi hệ phương trình (1) có vô số nghiệm khi đó có

n-r(A) ẩn số tự do

iii) r(A) < r(A) khi và chỉ khi hệ phương trình (1) vô nghiệm.

iv) r(A) = r(A) khi và chỉ khi hệ phương trình (1) có nghiệm (hệ tương thích)

Ví dụ 2.2 Biện luận theo tham số m số nghiệm hệ phương trình sau

x x

x x

x

x x

x

3 2

1

3 2

1

3 2

1

65

4

54

32

43

4:65

4

43

2

32

2 4

h h h h

3:210

4:321

3:210

4:321

m

-Trường hợp m 7: r(A)  2  3 r(A) nên hệ phương trình vô nghiệm

-Trường hợp m 7: r(A) r(A)  2  3 số ẩn nên hệ phương trình có vô sốnghiệm và có 1 ẩn tự do

1.3- Phương pháp Gauss (Gauss – Jordan, phép thế lùi)

Để giải một hệ phương trình tuyến tính, chúng ta biến đổi tương đương hệ phương

trình về dạng đơn giản (tương tự hệ đã cho trong ví dụ 2.1) Mỗi hệ phương trình

tuyến tính tương ứng với ma trận bổ sung của nó và ngược lại Do đó, phép biến đổi tương đương trên hệ phương trình tương ứng phép biến đổi hàng trên ma trận

bổ sung, cụ thể như sau:

Phép biến đổi tương đương trên hệ

phương trình

Phép biến đổi sơ cấp hàng ma trận

bổ sung

Đổi chỗ hai phương trình thứ i và thứ j Hoán vị hàng i và hàng j: h i h j

Nhân số   0 vào hai vế phương trình

Các bước giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss (Gauss– Jordan):

Bước 1 Lập ma trận bổ sung A

Bước 2 A biến đổisơ

hàng

 A r , với ma trận A r thỏa 2 tính chất sau:

- Các số phía dưới số khác 0 đầu tiên trên mỗi hàng đều bằng 0.

- Các số khác 0 đầu tiên trên mỗi hàng xếp theo thứ tự bậc thang từ trên xuốngdưới và từ trái sang phải

Bước 3 Dựa vào ma trận A r ta suy ra nghiệm của hệ phương trình (phép thế lùi).

Ví dụ 2.3 Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình:

1

z y

mx

z my x

mz y

1:11

1:1

h h mh h

m

m m

m

1:1

10

0:1

10

1:1

m

m m

m

1:)2)(

1(00

0:1

10

1:1

m m

y x

z m y

m x

mz y

x

1)

2)(

1(0

0

0)

1()

1(0

m y

m x

21212

1

00

03

3

12

z y x

z y

z y

00

00

00

1

z y x

z y x

z y x



,  (hệ có vô số nghiệm và có 2 ẩn tự do)

Ví dụ 2.4 Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình:

z y x

t z y x

t z y x

765

4

65

43

2

54

32

Giải

Ma trận bổ sung

6:543

2

5:432

1

1 2 1 3

2 4

h h h h

9630

4:

3210

5:4321

m

2 1 2 2 3

2 ) 1 (;

2

h h h h h

0000

4:3210

3:2101

000

43

2

32

m t

z y x

t z y

t z x

000

43

2

32

m t

z y x

t z y

t z

000

43

2

32

t z y x

t z y

t z x

x

3 2

4

2 3



,  (hệ có vô số nghiệm và có 2 ẩn tự do)

Ví dụ 2.5 Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình:

2

2 2

3

1 2

3

1 2

2

m z

y x

t z y x

t z y x

t z y x

2

1

2 : 1 2

3

1

1 : 2 1

3

1

1 : 1 2

1 : 1 1 0 0

1 : 0 0 1 0

3 : 3 0 0 1

t z y

t x

0 0 0 0

1 1

3 3

- Trường hợp m 0: Hệ phương trình vô nghiệm

1 1

3 3



 (hệ phương trình có vô số nghiệm và có 1 ẩn tự do)

2.4- Phương pháp Cramer (hệ có n phương trình, n ẩn số)

n2

1

n1

n 2n 2

22

1

21

n 1n 2

12

1

11

bxa

2 22

21

1 12

n

n n

a a

a

a a

a

a a

a



X x

x x



 AX = B

Đặt D = detA =A , Di = detAi =Ai ; i = 1, 2, , n, với Ai có từ A bằng thay cột

thứ i của A bởi một cột vếà phải B =

b

b b

Định lý 2.2 (Định lý Cramer)

i) D = detA  0 khi và chỉ khi hệ phương trình (2) có nghiệm duy nhất Khi đó nghiệm của hệ (2) được tính theo công thức Cramer:

* Chú ý Khi D = detA  0 thì HPT (2) còn được gọi là hệ Cramer.

Ví dụ 2.6 Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình:

y x

z my x

m z

m

1

11

m

m

1

11

m m

1

1

11

121

m

m D

D z

m D

D y

m

m D

D x

z y x

- Trường hợp m  2: D 0 ,D x   9  0 nên hệ phương trình vô nghiệm

1

z y x

z y x

z y

m

m z m y m

m x

 m  2: Hệ phương trình vô nghiệm

 m  1: Hệ phương trình có vô số nghiệm

n2

1

n1

n 2n 2

22

1

21

n 1n 2

12

1

11

bxa

2 22

21

1 12

n

n n

a a

a

a a

a

a a

a



X x

x x

n

n n

a a

a

a a

a

a a

2 22

21

1 12

11

khả nghịch.Khi đó

A X = B A-1 A X = A-1 B X A 1B

Để giải hệ phương trình (2) (tức là cần tìm ma trận ẩn số X), ta tìm ma trận nghịch

đảo A-1, sau đó lấy A-1 nhân với ma trận B sẽ được kết quả

Minh họa cho phương pháp này, bạn đọc xem lại ví dụ 1.20 trang 18

Ví dụ 2.7 Giải các hệ phương trình sau:

x x

x

x x

x

x

x x

x

x

m x

x x

x

4 3

2

1

4 3

2

1

4 3

2

1

4 3

2

1

33

02

33

12

3

02

33

02

3

02

4 3

2 1

4 3

2 1

4 3

2 1

4 3

2 1

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

Giải

a) Hệ phương trình tương đương với

B X

A

m

m

x x x x

3 3 1

2 3 3 1

1 2 3 1

1 1 2 1

4 3 2 1

0010

0001

133

1

233

1

123

1

112

1010

1221

4533

1000

0100

0010

0001

1 0 1 0

1 2 2 1

4 5 3 3

B A

1 0 1 0

1 2 2 1

4 5 3 3

m

1 2 3

Vậy nghiệm hệ phương trình là (x1,x2,x3,x4)(3m,2,m1,m)

b) Hệ phương trình tương đương với

0 4 3 2 1

0 0 0 0

1 3 3 1

2 3 3 1

1 2 3 1

1 1 2 1

x x x x

§2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

THUẦN NHẤT

2.1 Định nghĩa

Hệ phương trình tuyến tính có ma trận hệ số tự do bằng 0 (vế phải bằng 0) gọi là

hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Tức là nó nó có dạng

0

2 2 1

1

2 2

22

1

21

1 2

12

1

11

n mn m

m

n n

n n

x a x

a

x

a

x a x

a

x

a

x a x

00

2 1

2 22

21

1 22

x x

A

a a

a

a a

a

a a

a

n mn m

m

n

n

 AX = 0

 Rõ ràng (x1,x2, ,x n)  ( 0 , 0 , , 0 )là một nghiệm hệ (3), nghiệm này không cần

giải cũng có được nên gọi là nghiệm tầm thường.

 Nghiệm hệ phương trình (3) mà các ẩn không đồng thời bằng 0 (nếu có) gọi

là nghiệm không tầm thường.

3

02

33

02

3

02

4 3

2 1

4 3

2 1

4 3

2 1

4 3

2 1

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất chỉcó nghiệm tầm thường (x1,x2,x3,x4)  ( 0 , 0 , 0 , 0 ) (xem lại ví dụ 2.7.b)

3

03

15

02

10

5 4

3

5 4

2

5 4

1

x x

x

x x

x

x x

x

là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Cho x4  , x5  ta được nghiệm tổng quát

37

315

102

x x x x

Mọi giá trị , không đồng thời bằng 0 thì nghiệm

 ) , , , , (x1 x2 x3 x4 x5 (  10 , 15 ,  3 1, , 0 ) ( 2 ,  3 , 7 , 0 1, ) ( 0 , 0 , 0 , 0 , 0 )

là tất cả các nghiệm không tầm thường của hệ

Tập(10,15,31,,0),(2,3,7,01,) gọi là hệ nghiệm cơ bản của hệ

Lưu ý Đối với hệ phương trình tuyến tính thuần nhất thì ma trận bổ sung A A0

và vế phải cũng luôn bằng 0 khi biến đổi sơ cấp hàng nên để cho gọn, khi giải hệnày, chúng ta chỉ lập và biến đổi sơ cấp ma trận A

2.2 Định lý 2.3 ù (n là số ẩn số)

i) Hệ phương trình thuần nhất (3) chỉ có nghiệm tầm thường (no duy nhất)

) 0 , , 0 , 0 ( ) , ,

,

(x1 x2 x n  khi và chỉ khi r(A) n

ii) Hệ phương trình thuần nhất (3) có nghiệm không tầm thường (có vô số nghiệm)khi và chỉ khi r(A) n

Khi m = n thì A là ma trận vuông cấp n, ta có:

i') Hệ phương trình thuần nhất (3) chỉ có nghiệm tầm thường (no duy nhất)

) 0 , , 0 , 0 ( ) , ,

,

(x1 x2 x n  khi và chỉ khi detA 0

ii') Hệ phương trình thuần nhất (3) có nghiệm không tầm thường (có vô số nghiệm)khi và chỉ khi detA 0

Ví dụ 2.9 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đề-các vuông góc, cho ba đường thẳng

2 2 2

1 1 1

c b a

c b a

c b

a A

Chứng minh rằng nếu (D1), (D2), (D3) đồng quy thì r(A)  2

3 3

3

2 2

2

1 1

1

c y b x a

c y b x a

c y b x a

o o

o o

o o

Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất