Chuyên đề trắc nghiệm phương pháp vi phân tìm nguyên hàm

CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN TÌM NGUYÊN HÀM I.. Vi phân của hàm số.[r]

CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN TÌM NGUYÊN HÀM

I Vi phân của hàm số

Vi phân của hàm số y f x= ( )được ký hiệu là dyvà cho bởi dy df x= ( )=y dx f x dx′ = ′( )

Ví dụ: d(sinx+cosx) (= sinx+cosx dx)′ =(cosx−sinx dx)

II Một số công thức vi phân quan trọng

(1) dx 1d ax b( ) 1d b ax( )

−

(3) 2 1 ( )3 1 ( 3 ) 1 ( 3)

−

(4) sinx d cosx( ) 1d a( cosx b)

a

−

(5) cosxdx d(sinx) 1d a( sinx b)

a

(6) 2 (tan ) 1 ( tan )

cos

(7) 2 (cot ) 1 ( cot )

sin

−

2

x

−

(9) e dx d e x ( )x 1d ae b( x ) 1d b ae( x)

−

(10) dx d x( )ln 1d a x b( ln ) 1d b a x( ln )

−

Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm sin cos

sin cos

− +

∫

sinx cosx C

+

C ln sinx+cosx C+ D ln sin− x+cosx C+

Lời giải:

′

d sin cos

ln sin cos sin cos

+

+

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm

2

x

+

=

+

∫

A 1 ln 2 2

2x 4x C

− +

− + +

Lời giải:

Ta có:

2

2

d x x

+

2( 2 )

+

Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm

3

1

xdx I

x

=

+

∫

A.3 2 1

2 x + +C B 33 2 1 .

3 x + +C D ( 2 )2

3

2 x + +C

Lời giải:

Ta có:

1

d x xdx

−

+

Ví dụ 4: Hàm số nào sau đây không phải nguyên hàm của hàm số ( ) 1 sin

cos

x

f x

+

=

−

A ln 2x−2cos x B ln x−cosx +1 C.1 ln cos ( )2

ln 2x −2cosx

Lời giải:

x

′

+

Với C =ln 2ta được F x( )=ln 2x−2cos x

Với C =1 ta được F x( )=ln x−cosx +1

Với C =0 ta được ( ) 1 ln cos( )2 ln cos

2

F x = x− x = x− x

Đáp án sai là D Chọn D

Ví dụ 5: Giả sử F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) ( ) cos

4sin 3

x

f x

x

=

− Biết rằng 1

2

F  = π

 

Tìm F x ( )

A. ( ) 1 4sin 3 1

F x = x− + B.F x( )= 4sinx−3

C. ( ) 1 4sin 3 3

F x = − x− + D F x( )= − 4sinx− +3 2

Lời giải:

Ta có: ( ) cos (sin ) 1 (4sin 3)

4

xdx

F x

−

2 2

∫

F  = + = ⇒ π C F x = x− +

Ví dụ 6: Giả sử F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) ( )

1

2 3ln

f x

= + Biết rằng F 1 1

e

  =

 

 

Tìm F x ( )

F x

x

F x

x

−

3ln 2

F x

x

3ln 2

F x

x

−

=

+

Lời giải:

Ta có: ( )

( )

dx

x

+

Ví dụ 7: Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) sin ( 1 cos)

sin cos

f x

+ +

=

+

A.x2+ln sinx x+cosx +C B.x+ln sinx x+cosx C+

2

Lời giải:

Nhận xét (xsinx+cosx)′ =sinx x+ cosx−sinx=xcosx

( sin cos ) ln sin cos .

sin cos

+

+

Ví dụ 8: Cho hàm số f x luôn dương và thỏa mãn ( ) f x′( ) (= 2 1 x+ ) f x( )với mọi x ∈ Biết rằng ( )2 16

f = Gía trị của f ( )1 bằng:

Lời giải:

Ta có: ( ) ( ) ( ) ( )

( )

f x

′

Lấy nguyên hàm 2 vế ta có: ( )

( ) ( ) 2

2 1

( ) 2

Thay x =2ta có: 2 6 2 2= 2+ + ⇒ =C C 2

Thay x =1ta có: 2 f ( )1 1 1 2= + + ⇒2 f ( )1 4.= Chọn C

Ví dụ 9: [Đề thi THPT Quốc gia năm 2008] Cho hàm số f x( ) thỏa mãn ( )2 2

9

f = − và ( ) ( ) 2

2

f x′ = x f x  với mọi x ∈ Giá trị của f ( )1 bằng:

A. 35

36

3

36

15

−

Lời giải:

( )

2

2

f x

′

Lấy nguyên hàm 2 vế ta có: ( )

( )

( )

1

f x

f x

Mặt khác ( )2 2 9 22 1 ( )1 2 1

f x

−

Thay x =1ta được − f1( )1 = + = ⇒1 1 32 2 f ( )1 = −23.Chọn B

Ví dụ 10: Cho hàm số f x( )luôn dương và thỏa mãn f x′( )=3 x f x2 ( )với mọi x ∈ Biết rằng f ( )0 1= Giá trị của f ( )1 bằng:

Lời giải:

Ta có: f x( ) 3 x f x2 ( ) f x( ) ( ) 3x2

f x

′

Lấy nguyên hàm 2 vế ta có: ( )

( ) 3 2 ( ) ( ) 3

( ) 3

⇔  = + (Do f x( )> ∀ ∈  0 x )

Suy ra f x( )=e x C3 + Do f ( )0 =e C = ⇔ = ⇒1 C 0 f ( )1 =e Chọn B

Ví dụ 11: Cho hàm số y f x= ( )thỏa mãn f x f x( ) ( ) ′ =3x5+6x2 Biết f ( )0 =2

Tính giá trị f2( )2

A. f2( )2 144.= B. f2( )2 100.= C. f2( )2 =64 D f2( )2 81.=

Lời giải:

Ta có f x f x( ) ( ) ′ =3x5+6x2 ⇔∫ f x f x dx( ) ( ) ′ =∫ (3x5+6x dx2)

( ) ( ( ) ) 6 2 3 2( ) 6 2 3 2( ) 6 4 3 2

f x

Mà f( )0 = ⇒2 f2( )0 = ⇒4 2C= ⇒4 f x2( )=x6+4x3+4

2

x

f = x + x + = = + + = Chọn B

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Biết F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) ( ) 2

1

x

f x

x

= + và F( )0 1= Tính F( )1

A ln 2 1.+ B 1 ln2 1

Câu 2: Tìm nguyên hàm của hàm số f x( )=x 1+x2

A 1 2 1 2 .

3 x +x +C C ( )3

2

3x +x +C

Câu 3: Tìm nguyên hàm của hàm số f x( )=cos sin 5x x

A 1 cos6

Câu 4: Tìm một nguyên hàm F x của hàm số ( ) ( ) ( 2 )4

f x = x x + thỏa mãn F( )1 6.=

A ( ) 2( 2 )5

1 2

x x

1 2

x

F x = + −

C ( ) 2( 2 )5

1 2

x x

1 2

x

Câu 5: Tìm một nguyên hàm F x của hàm số ( ) ( ) ( 2 )9

1

f x =x x + thỏa mãn ( )0 21

20

A ( ) 1 ( 2 1)10 1.

20

20

F x = x + +

C ( ) ( 2 )10

1 2

F x = x + +

Câu 6: Tìm nguyên hàm của hàm số f x( )=e3cosx.sin x

A 1 3cos cos .

3e x x C+ B 1 3cos .

3e x C

− + C 3e3cosx+C D 3e3cosxcosx C+

Câu 7: Tìm nguyên hàm của hàm số f x( )=cos sinx x+1

A 2 sin 1( )3

C 2 sin 1

Câu 8: Tìm nguyên hàm F x của hàm số ( ) f x( )=(x2−1 )e x3 − 3x, biết rằng đồ thị của hàm số F x có điểm ( ) cực tiểu nằm trên trục hoành

A F x( )=e x3 − 3x−e2 B ( ) 3 3 22 1

3

e

F x

e

− + −

3

F x = − − D ( ) 3 3 1

3

e

F x = − −

Câu 9: Tìm nguyên hàm của hàm số f x( )=xe x2 + 1.

A 1 2 .

2e x C

2e x+ +C D 1 2 1 .

2e x− +C

Câu 10: Hàm số f x( )=xe x2có một nguyên hàm là F x thỏa ( ) ( )0 1

2

F = Tìm nghiệm của phương trình ( ) 2

2F x =e x+

A x = −1hoặc x =2 B x =0 hoặc x = −2

C x = −1hoặc x =0 D x =0hoặc x =2

Câu 11: Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) ln

2

x

f x

x

=

A ln2

4 x C

2x +C

Câu 12: Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 1 ln

ln

x

A ln2 x x C+ 2+ B ln2 2

2

x x+ +C

C ln2 2 .

2ln

x

x

Câu 13: Tìm nguyên hàm của hàm số f x( ) ln x

x

=

A ln2 x C+ B 1 ln

2 x C+ D 12 C

x +

Câu 14: Một nguyên hàm F x của hàm số ( ) ( ) 2

1

x

f x

x

= + thỏa F( )0 1= Tính log2F −( )1 

A log2 ( )1 2.

2

F − =

2

F − =

  C log2F −( )1 = 2 D log2F −( )1 =2

Câu 15: Tìm hàm số f x Biết rằng ( ) f x′( )=x 1+x2 và 2f − = ( )1 3

A ( ) ( )3

2

1

1

3

x

3

x

f x = + +

1

2

2

1

1

2

x

Câu 16: Tìm một nguyên hàm F x của hàm số ( ) ( ) 2 1

x

f x

−

=

− + thỏa mãn F( )1 2017.=

A F x( )= x2−2x+ +5 2015 B F x( )=2 x2−2x+ +5 2017

C ( ) 2 2 5 2016.

2

x

F x

−

Câu 17: Hàm số f x( ) 2x 2

x

= + có một nguyên hàm là F x thỏa ( ) ( )1 3ln 3

2

F = Tính ( )e F 7

A ( )e F 7 =3 B ( )e F 7 =9 C ( )e F 7 =27 D ( )e F 7 =81

Câu 18: Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 1

ln

f x

x x x

=

+

A ln lnx+ +1 C B ln lnx− +1 C C ln ln− x+ +1 C D ln ln− x− +1 C

Câu 19: Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 2

x

f x

x

=

+

A 1 3 2 2

3

3

x + C +

LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN

2

1

d x x

+

Do đó ( ) 1ln( 2 1 1) ( )1 1ln 2 1.

2

x +x dx= +x d +x = x + + =C x + +C

Câu 3: cos sin5 cos5 (cos ) 1cos6 .

6

x xdx= − xd x = − x C+

Câu 4: ( ) 2 ( 2 1)4 ( 2 1) (4 2 1) (1 2 1)5

5

F x =∫ x x + dx=∫ x + d x + = x + +C

1

x

F = ⇒ = − ⇒C F x = + − Chọn B

Câu 5: ( ) ( 2 1)9 1 ( 2 1) (9 2 1) 1 1. ( 2 1)10 1 ( 2 1)10

F x =∫x x + dx= ∫ x + d x + = x + + =C x + +C

Mà ( )0 21 1 ( ) 1 ( 2 1)10 1.

Câu 6: 3cos sin 1 3cos (3cos ) 1 3cos .

e xdx= − e d x = − e +C

Câu 7: cos sin 1 sin 1 sin( 1) 2 (sin 1)3 .

3

x x dx+ = x d+ x+ = x+ +C

Câu 8: ( ) ( 2 1) 3 3 1 3 3 ( 3 3 ) 1 3 3 .

F x =∫ x − e − dx= ∫e − d x − x = e − +C Ta có ( ) 0 1

1

x

f x

x

= −



= ⇔  =



Do hàm số có cực tiểu nằm trên trục hoành nên ( )1 0 12 ( ) 3 3 22 1

e

− + −

Chọn B

Câu 9: 2 1 1 2 1 ( 2 1) 1 2 1 .

xe dx+ = e d x+ + = e + +C

Câu 10: ( ) 2 1 2 ( )2 1 2 .

F x =∫xe dx= ∫e d x = e +C Mà ( )0 1 0 ( ) 1 2

x

F = ⇒ = ⇒C F x = e

2

x

Câu 11: ln 1 ln ( )ln 1ln2 .

Câu 13: ln ln ( )ln 1ln2 .

2

2

1

2

d x x

+

( )0 1 0 ( ) 2 1

F = ⇒ = ⇒C F x = x +

Ta có ( )1 2 log2 ( )1 log 22 1.

2

F − = ⇒ F − = = Chọn B

Câu 15: ( ) 1 2 1 1 2 (1 2) 1 (1 2)3

f x =∫x +x dx= ∫ +x d +x = +x +C

1 3

x

f − = ⇔ f − = ⇒ = ⇒C f x = + + Chọn A

2

d x x x

−

Mà F( )1 2017= ⇒ =C 2015⇒F x( )= x2−2x+ +5 2015 Chọn A

2

2

d x x

+

2

Do đó ( ) 1 ln( 2 2 ln 3) ( )7 2ln 3 ( )7 2ln3 9

2

F

ln ln 1

d x dx

x x x+ = x+ x = x+ = + +

2

d x

+