Phương pháp giải toán trắc nghiệm hình học giải tích trần bá hà

Lời nói đầu Nhằm ,giúp học sinh trang bị một số phương pháp giải các bài tập trắc nghiệm về các vấn đề cơ bản của môn hình học giải tích, chúng tôi biên soạn tập sách: "Phương pháp giải

NHÀ XUẤT BẤN oA! Học QUỐC GI/

PHUONG PHAP GIAI

TON TALC NOHIER

Lời nói đầu

Nhằm ,giúp học sinh trang bị một số phương pháp giải các bài tập trắc

nghiệm về các vấn đề cơ bản của môn hình học giải tích, chúng tôi biên

soạn tập sách: "Phương pháp giải toán” trắc nghiệm Hi inh học giải Tích" Sách được trình bày theo từng vẫn đẻ mỗi van dé bao gồm:

Nội dung cuồn sách gồm:

Chương I Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Van dé 1: Tọa độ điểm - Phep tinh vecto Van dé 2: Đường thăng

Van dé 3: Đường tròn Vắn-đề 4: Elip - Hyperbol

Van dé 5: Parabol - Các đường Conic Chuong II Phuong pháp tọa độ trong không gian

Van dé 1: Vecto - Phép tính vectơ trong không gian

Vấn dé 2: Phép tính vectơ theo tọa độ Van dé 3: Phương trình mặt phẳng

Vấn đề 4: Phương trình đường thăng

Vấn đề 5: Các vần đè về đường thằng và mặt phẳng

Van dé 6: Mặt cầu

-_ Các bài tập tự luận được chọn gồm phần kiểm tra kiến thức cơ bản và

bài tập nâng cao Phần trắc nghiệm bao gom các loại trắc nghiệm nhận biết,

thông hiểu, vận dụng, Phần trắc nghiệm cuối chương (không sắp xếp theo thứ tự từng vẫn đề) đề học sinh kiểm tra cách lựa chọn chính xác của mình

Hy vọng rang tập sách nảy giúp ích cho học sinh ôn thi tốt nghiệp THPT và tuyên sinh Đại học - Cao đăng

Rất mong sự góp ý của độc giá và đồng nghiệp để lần xuất bản sau được

tốt hơn Chân thành cám ơn

Mọi góp ý xin gởi về:

- Trung tâm sách giáo đục Alpha - 225C Nguyễn Tri Phương, P.9 Q.5, TP

HCM ĐT: (08) 8107718 8547464

- Email: alphabookcenter@yahoo.com

Chương I:

PHUONG PHAP TOA DO TRONG MAT PHANG

Vấn đề 1: TỌA ĐỘ ĐIỂM - PHÉP TÍNH VECTƠ

A Tom tắt lí thuyết

1 Hệ trục tọa đô: Hệ trục tọa độ (O.ï j) bao gồm:

© Hai dudng thẳng Ox và Oy vuông góc nhau ˆ

e© ¡ làvectơđơn vị trên trục Ơx, j là vectơ đơn yj trén truc Oy

¢ Ola géc toa độ Ox là trục hoảnh Oy là trục tung

2 Toa dé vecto ~ Toa do dié:

¢ Dinh nghial: Déi vai hé truc toa d6 (O.Ï, j) nếu vectơ ä được viết dang: đ=xi+ yj thì cặp số (x,y) được gọi là toạ độ của vectơ ã kí hiệu ä = (xay) Số thứ nhật x gọi là hoành độ, sô thứ hai y gọi là tung

độ

e_ Định nghĩa 2: Trong mặt phăng Oxy, toạ độ của vectơ OM được gọi là toạ độ điểm M

Kíhiểu: M@.y) e OM=xÏ +yj

3 Phép tính vectơ: Trong mặt phăng Oxy cho các vectơ

a,b, +.a,b, (a, +a," )(b; +5,")

- ~eˆ M chia đoạn AB theo tỉ sé k#-le> MA=kMB

Dang ]: Xác định tọa độ một điểm thoả tính chất cho trước:

© Goi M(x,y) la diém can tim, dựa vào tính chất đã cho đề thiết lật

các phương trình, giải hệ đê xác đỉnh x, y

Dạng 2: Chứng mình các tính chất bằng phép tính vectơ:

° Ap dụng các tính chất liên quan khoảng cach, tinh song song, tint

vuông góc dé xác định tính chất của các hình cần chứng minh

Dang 3: Tinh chất bất đẳng thức - Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất bằng

C Bai tap tự luận

Bai 1: Cho AABC với A(4,2); B(-3,2), C(2,-3)

a) Tim toa độ trực tâm H, trong tâm G va I 1a tam đường tròn ngoại tiết

AABC

b) Chimg minh: H, G, I thing hang

Hướng dân giải:

xA4A+xB+xC x=———=Ì

a

lá IB Gọi I(x.y) là tâm đường tròn ngoại tiếp taco: lá Ic

1

*H i= SiG

b) Tacó HN 3) or ro} 615

Hi cing phương với HG <> H,G,1 thang hàng

Bai 2: Cho AABC voi A(0,4), B(-3,0), C(10,4) Goi M,N 1a chân các

phân giác trong, phân giác ngoài góc A Xác định M.N

Hướng dân giải:

Theo tính chất đường phân giác ta có:

Bai 3: Cho AABC voi A(5.6).B(-3.2) ,C(2,~3) Tìm điểm M thoả mãn:

12.BC.MA + V10.CA.MB + V5.AB.MC =Õ (*)

Hướng dẫn giải:

Ta có: 4#=(-8-4) = 4B=4V5

Goi I(x,y), I la giao diém cua AN va CM nén:

A, I, N thang hing <> Al=k.AN

C, 1, M thang hàng = Ci =k'.CM

Bài 5: Cho tứ giác ABCD có: A(0.1), B(-2.-1) C(-1.~4), D(1.0)

a) Chứng minh các A ABD và A BCD là những tam giác vuông

b) Tính diện tích ABCD

c) TimM trên Oy dé dién tich AMBD va dién tich ACDB bang nhau

-TNHHGT-Nướng dân giai

a) Tả có: 4 =(-2,~2); 4/)=(1.—1)—> 48.12=0© AB.L 4Ð

BD=(,1); BC =(I.-3) = BÖ.BẺ=0© BD L 4D

Vậy AABD vuông tại A và AIBCL) v uông tại B

b)di(ABCD) =dt(AABD) + dự ABDC)= S(ALAD + BD.BC)

lài 6: Cho A(sina,cosa); B(] + sina + cosa.sina + cosa): C(2sina.1)

Chứng minh: Va eR A B, C thăng hàng,

tướng dân giải:

Tacó: AB=(I+cosa,sina): 24C = (sina.l— cosa)

a,b, ~a,b, = (1+cosa)(1—cosa) —sin?a =1—cos*a-sin’'a=0 VaeR

do đó AB cùng phương với AC © A,B.C thẳng hàng Va eR

tai 7: Chimg minh :¥m? + n° + Jp’ +q? > yim+py' +(n Fay"

=> dpem

lài 8: Cho x, y, z >0 thoả: x + y + z < 1, chimg minh:

TNHHGT-

Hướng dẫn giải:

xé a=(x,2); b=G,4); c=.) x y z

Ap dung: fal + [6] +[e|> [a +b+¢, ta có

Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của:

i y= yx? —2px + 2p? + ax? —2qx +2q? voi p.qeR, va p<0, q>0

y 2 MP 4MQ’> PQ =Ÿ20-q) =⁄/2(q~p)

Đăng thức xảy ra khi M trùng gốc O 88 đó miny = ⁄2(- Pp)

D Bai tap tw Kuyện

Bài II: Chớ A(+4.1): B(1.4)7 Tìm € để OACB là hình vuông nhận AB làm một đường chéo

Bài 12: Cho A(-1,3); B(0,5): C(4.2); D(-2.1) Chimg minh ABCD là tứ giác

trực tâm (tứ giác có một đinh là trực tâm của tam giác nôi 3 đỉnh còn lại)

Bài 13: Cho M= vuông can tai A Tim toạ độ ba đỉnh của tam giác biết

trọng tâm G2 3 0) va trung diém M của BC là M(1,-1)

Bài 14: Cho AABC có A(-4.-5): B(1,-5): C(4.-1) Tìm toạ độ tâm đường tròn nội tiếp [ của A ABC

Bai 15: Cho A(1.0): B(0.2): C(1.2) Xét điệm D(m,2-2m)

a) Chimg minh: A.B.D thang hang Vm Ñ

\4c0s? xcos? y+sin’(x- y) + /4sin® xsin? y-+sin*(x- y) > 2

Bai 18: Chimg minh: va? +a+l+vla'~-a+l>2 VaeR

Bài 19: Chứng minh:

yx? +4xy? +6x +94, fe +4y'+1-2x-12y4+1025 Vx,yeR

Bài 20: Tìm giá trị nhỏ nhất của:

b) Dé ýD là trung điểm chứng minh = M(2m-I.2-4m)

Bài 19: Xét a=(x+3,2y) b=(I~x,3=2y)

Bai 20; Chon M(x.0) A(p.|p|) B(q.~lq|)

MA + MB >AB = Jjx”~2px+2p” +4jx?~2qx+2q” > y2(p +q”) Đăng thức xây ra khi: M= ABf1OX

E Câu hỏi trắc nghiệm

Câu 1:,Cho A(-4.1), B(1.4), O là gốc tọa độ Để tứ giác OAMB là hình vuông thì đình M là:

Câu 2: Cho tam giác ABC có A(0,4), B(-3.0), C(10.4) Gọi M là chân đường

phân giác trong của góc A Tọa độ của M là:

A Chi cau (ID) đúng B Chi cau (IID ding

C Cau (II) va (I) ding D Câu (1) va (ID đúng ˆ

Câu 4: Cho tam giác ABC có B(-3.1), C(1,5) và trọng tâm G di động trên

trục Ox Tập hợp các định A là:

A Đường thing có phương trinh y = ~ 6

B Đường thăng có phương trình x = - 6

C Đường thăng có phương trình y = ~6 loại trừ điểm (~10,~6)

D Đường thẳng có phương trình x = =6 loại trừ điểm (6,3)

Câu 5: Trong mặt phẳng cho A(5.4) B(3.~2) M là điểm di động trên Ox Giá

trị nhỏ nhất của [MA + MB là:

Câu 6: Cho tam gide ABC c6 A(-1.1), B(3,3), C(1-1); tọa độ chân đường

cao H vẽ từ A của tam giác ABC là:

A H]| =.= B HS =2] ` HỆ, B D.H== }

Câu 7: Trong mặt phẳng cho tam giác ABC có A(-l =D, B(3,1), C(6,0) So

đo của góc B của tam giác ABC là:

Câu 8: Trong mặt phẳng cho A(-1.1) B3.3), C(.-1) D(-3,-3) Tu gide

ABCD là hình gì?

A Hình vuông B Hình chữ nhật

€ Hình thoi ‘ D Hinh thang

Cau 9: Trong mat phing cho A(1,2), B(3,1), C(2,-1) Dé |AB+mAd| đạt

giá trị nhỏ nhất thì giá trị của m là:

`:

Câu 10: Cho tam gidc ABC c6 A(4,3), B(-5,6), C(-4,~1) Toa độ trực tâm E

A H(3,-2) B H(2,3) C.H-32) D.H(-23)

Câu 11; Cho M(I.2), N(3.1) Hình vuông MNPQ (theo thứ tự) có tọa độ

A P(5,1) B P(2,3) C P(8,0) D P(6, 1)

Câu 12: Cho tam giae ABC c6 A(4,3), B(0.-5) C(-6.-2) Tâm I của đường

tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tọa độ là:

Câu 15: Trong mặt phẳng (Oxy) cho hai vectơ: Us ; Te Sĩ và

V =kĩ =4] (ï, j là các vectơ đơn vị trên trục) Để |u| = |¥| thì giá trị

Câu 18: Cho M và N chia đoạn thẳng AB thành 3 phần bằng nhau với

A(1, -3), B(4,3) thi toa độ của M,N là:

A M(2, -1) va N(3,1) B M3, -1) và N(-2,1)

C-M(, ~1) và N(-1.2) D M(1.3) và N(1,2)

Câu 19: Cho a= (5.3) b = (4,2) ¿ = (2.0) Hãy chọn đăng thức đúng sau:

Câu 20: Cho A(-2, -1), B(3.4), Goi F(m,0) Dé FA? +FB? dat gia tri nho

nhat thi gia trị của m là

XS loi hái điển a eee

Câu 3: Tacé AB =(0,-2), DC =(0,-2) > ABCD 1a hinh binh hanh

AC c&t BD tai trung điểm AC = (0, ~1) Chọn câu C

Câu 4: Gọi (m.0) e Ox dùng công thức trọng tâm suy ra:

x, =3m+2, y, =-6

Giao diém cla duéng y = - 6 voi BC la (-10, -6) Vậy tập hợp các diém

A là đường thăng y = - 6 loại trừ điêm (—10, =6) Chon edu C

Câu 5: Gọi †là trung điểm AB thì L (4.1)

|MA+MB| =|bMÏ| =2MI

M(m.0) e Ox, MI = V(m-4)° +1

MI nhỏ nhất <> MIL Ox 3 M(4,0) Chon câu A

Câu 6: Gọi H(x,y) H là chân đường cao xuất phát từ A

Giải hệ ta được H( =3) „ Chọn cấu B

Cau 7: cosB = Lên => B=135° Chon cau 8

AD = BC =(-2.-4) © ABCD là hình thoi Chọn cau C

Câu 8: Đề ý: |

Câu 9: AB+ mAC =(m+2,-3m~1) = |AB= mAC| = 10m? 4+10m+5

Giá trị nhỏ nhất của |AB+ mac| là khi m= 5 „ Chọn câu B

Câu 10: Gọi H(x.y), ta có:

Câu 14: AB=(22), AC =(1.—1) = AB.AC=0 © AB.L AC

dt AABC = 5 AB.AC = s82 = 2 (avdt) Chon cau B

ˆ Câu 18: Đề ý: ù “[š¬) và ¥=(k,-4)

bl=l|= 1+25<k +l6œk at, Chọn câu C

Câu 16: Gọi G là trọng tâm AMNP thì d(z-3)

[EM +EN + EP| =3EG| = 366

E ở trên Ox, EG nhỏ nhất khi x, = x, =m=2 Chọn câu C`

Câu 17: ĐiểmM(x,.y,)có điêm, đối xứng qua đường y = x là điểm

N(y,.x„) do đó N ‹Ä) là điểm đôi xứng của M(3,5) qua đường y = x

Chọn câu D

Câu l8: Đề ý giả thiết tương đương với M là trung điểm 'của AN và N là trung điểm của BM Kiênrtra bảng công thức trung điệm chọn

M(2 =1), N(3,1) Chon cau A

Câu 19: Kiểm tra phép tỉnh vectơ: 2a = (10.6), 3b =(12,6)

3b~2a = (2.0) =¢ Vậy ¿ = ~2a + 3b Chọn câu C

Câu 20: F(m.0) = FA” + FB) =(m+ l)? +1+(m~3)? +16

Van dé 2: DUONG THANG TRONG MAT PHANG

A Tom tat li thuyét

I._ Các dạng phương trình đường thăng:

a) Phương trình tham số: Đường thắng A qua M(x,.y„ ) có a=(ai,a,) lal

gọi là phương trình chính tắc của A

€) Phương trình tông quát; Mọi đường thăng đều có phương trình dạng:

Ax + By + C = 0, trong do n = (A,B) là 1 veetơ pháp tuyến và

a=(-B.A)là 1 veetơ chỉ phương

d) Phương trình đường thăng qua 2 điểm A(xu.y2).B(Xa.yp):

Tee oe Ya

Xe—XA Yn—YA

e) Phương trình đường thẳng theo hệ số góc:

Đường A qua M(x,.y„) có hệ số góc k có phương trình:

(đường AB không song song với các trục Ox.Oy),

Y¥-Yo=K(x—x,)

véi k="2 (a= (a,.a,) la vectơ chỉ phương)

a,

(A không song song với Oy)

IL Các vấn đề liên quan tiến đường thăng:

a) Khoảng cách từ I điểm đến đường thang:

Cho M(xạ.y,) và A Ax + By + €=0,ta tó dM.A)= ÊŠ

-TNHHGT-Phương trình phân giác của gĩc tạo bởi 2 đường thẳng:

Á,:Ájx+B,y+C, và A,:A;x+B;y+C;

là Aix+ By +€, TU bài B,y +C;

yA; +B, VAS +B,’

b) Vị trí tương đối của hai đường thang:

Cho A,:A¡x+B,y+€, =0 và A;:/

A, =A, eo ee 7A, BC we Sel

c) Géc cua 2 duéng thang: *

Ai: Ax+B,y+C, =0 va A,: A,x+B,y+C, =0

gĩc nhọn tạo bởi A,.A; xác định bởi:

I Bài tập về phượng trình đường thăng

Bài 21: Viết phương trình các cạnh của- A ABC biết B(-4,-5) và 2 đường cà cĩ phương trình: 5x + 3y -4 = 0 và 3x + 8y + 13 =0

Tọa độ B khơng thoả các phương trình đường cao nên các đường cao đĩ

là: AA’: 5x + 3y -4 =0 và CC”: 3x + 8y +13 =0

+) Phương trình đường thăng qua AB vuơng gĩc với CC) cĩ đạng:

8x-3y+C=0

Vị đường AB qua B nên: -32 + ]5 + C=0 2 C=17

Vậy phương trình đường thăng qua AB là: 8x -3y + 17 =0

+) Phương trình đường thẳng qua BC vuông góc với AA' có dạng :

3x -5y + =0, qua B nên : C = -13

Do đó phương trình cạnh AC là: Rt LYS 5x +2y-1=0

Bài 22: Viết trình các cạnh cúa tam giác ABC khi biết A(1.5) và hai

trung có phương trình: 9x -4y -l 1 = 0 và 3x -5y = 0

‘ Toa độ A không nghiệm đúng các phương trình trung tuyến nên các trung tuyên đó phải là BM: 9x —4y -11 = 0 và CN; 3x -5y = 0

+) Các điểm B và M ở trên : 9x -4y ~l 1 = 0 nên

Hướng dân giải:

Tọa độ điểm A không thoả phương trình các cạnh trên nên phương trình của BC là: 2x + 3y -2 = 0 và phương trình của DC là: x - 4y -7 =0

+) Đường AD qua A và song song với BC nên phương trình có dạng: 2x + 3y +C =0, qua A nên : -4 + y+C=0>C€=-5 Ề

Vậy phương trình cạnh AD là: 2x + 3y -5 =0

+) Đường AB qua A và song song với DC nên phương trình có dạng:

x~4y+C=(0, qua A nên: -2 -12+ C=0 C=14

Vậy phương trình cạnh AB là: x - 4y + 14=0

y-11=0

2x+3y-2=0

+) Tọa 0a độ độ € là nghiệm cua 4 ~ ghiệ TS

= CC =ịa)đo đó tọa độ trung điểm I của AC là Lễ =

Bài 24: Trong mat phing, cho AABC có trong tâm G(- oe -1) va eae canh

AB, AC lân lượt có phương trình:

AB: 4x+y + 15 =0, AC: 2x + 5y +3 =0

a) Tìm tọa độ đỉnh A và trung điểm M của BC

b) Tìm tọa độ đỉnh B và viết phương trình đường BC."

Hướng dân giải:

a) Tọa độ A là nghiệm của hệ 36% 5y xÃs0

Giải hệ ta được: A(-4 1)

G là trọng tâm AABC = CỔ ~-2

Do đó phương trình BC là: 1+3 So va -l+3

© x†+2y+3=0

Bài 25: Trong mặt phẳng viết phương trình đường thing A qua M(1,2) và

chắn trên nửa trục đương Ox, Öy tai A và B sao cho: OA + OB nhỏ nhất

Me A & b+2a= ab cb= Ễ >0 a3] a-

Dat y=OA+OB=at+b=a+ 26 1E iat) a=1' a-l

-TNHHGT-Hướng dân giải:

Bai 27: Cho hai đường thang:

A: 2x-y+5=0va A’: 3x+6y-1=0 Hãy viết phương trình đường thẳng (d) qua P(2,-1) va cat A.A’ tao thành tam giác cân có định là giao điêm của A va A’

Để thoả mãn điều kiện của bài toán thì (đ) phải là đường thẳng qua P và (đ) vuông góc với các phân giác của góc tạo bởi A và A’

Ta có phương trình các phân giác của góc tạo bởi A va A’ la:

Bài 28: Hãy viết phương trình của đường thing 4 di qua giao điểm của

đường thẳng: x - y + 4 = 0 (D`) và 2x - y + 6 = 0(D)), biết rằng cắt Ox,

Oy tai A và B mà diện tích tam giác OAB = I

Vậy có 2 đường thang 4 lac) , 4,9

Bai 29: Cho hinh vuông ABCD có đỉnh A(Š -4) và phương trình của một

đường chéo là: x - 7y - 7 = 0 Viết phương trình các cạnh và đường chéo

còn lại

Vi tọa độ A không thoả phương trình: x - 7y - 8 = 0 nén phuong trinh nay

là phương trình đường chéo BD các cạnh AB và AD hợp với đường

shee BD một góc 45°, goi m là hệ số góc của đường thẳng AB, AD ta

Do đó phương trình các cạnh AB, AD là:

7xey-31=b =5-3) đo đó tọa độ của C là : C(4,3)

Hai cạnh còn lại qua C lần lượt song song với AB và AD nên phương

x a XatXptXe _X +5, s -YatYat yew Ciera

vì Ge(A)=> 3⁄26+X/)= 35+ y,)~8=0

©3x,-y,=4

X,-Y, =2 tùy [Xo -y

3x,-y, =4 |3x,-Yo = Giải hệ ta duge: C,(1,-1) va C,(-2,-10)

Dudng AB c6 hé so goe k = 1

+) Néu C,(1,-1) thì đường cao CH có phương trình là: x + y = 0 va trur

tuyên CD có phương trình là: x + y =0

+) Nếu C;(-2,—10) thì đường cao CH có phương trình là: x + y + 12)=

và trung tuyến CD có phương trình là: 5x - 3y - 20 =0

Vậy tọa độ C là nghiệm của: |

2 Bài tập về các vấn đề liên quan với đường thắng

_ Bai 31: Trong mat phẳng tọa độ xOy cho hai diem A(m,0), B(1,1)

a) Viết phương trình đường thăng vuông góc với AB tại A khi m th: đổi, các đường thăng tạo thành họ đường thẳng( d,„) Chứng minh khô:

có 3 đường nao ctia (d,,) đồng qui

b) Tìm những điểm trên mặt phẳng tọa độ sao chó có đúng 1 đường cr (d,,) di qua

a) Ta có phương trình đường thang AB 1a:

Số nghiệm của phương trình (*) là số đường thắng của (d,„) đi qua M

(*) là phương trình bậc 2 nên không thể có 3 nghiệm đo đó không có

đường nảo của (d„) đông qui

b) Để chỉ có I đường của (d,„) đi qua thì phương trình (*) chỉ có 1 nghiệ

© A=0

> (a+1) —4B=0

©B=-(ơ+l) B=;

Viy cic diém!M ở trên parabol y.= ;0x+) là điểm chỉ có 1 đường

thắng của họ (d,„) đi qua

€) Thay đổi tọa độ của C vào phương trình AB ta có:

(2 +1)m , (m-1).—" —~-m=0

(V2 +1)m+m? —m-—m —V/2m=0

= 0.m=0 ding YVmeR

Vay C 6 trên đường thăng qua AB

Phương trình của đường OB là x -y = 0

Vậy C cach déu Ox va OB

d) (ABCD) = =1 € 2(x,%4 #XeXp) =(X, + XgM(Xe + Xp)

Spee) m(1- V2) m %

“m-V2 =2

Bài 32: Trong mặt phẳng, cho tập hợp X xác định bởi:

Kes |M@&.y)|mx' ~2y” +(2m~l)xy= mÊx + my =0 } a) Chứng minh rằng X gồm 2 đường thăng

b) Tìm quỹ tích giao điểm của 2 đường thẳng trên khi m thay đôi

b) Tọa độ giao điểm I của 2 đường thẳng trên là nghiệm của:

-y= 2

mx-y=0 + j mm

x+2y=m , 2m+l 2m+l

khử m giữa x và ÿ ta có: y=

„ Vậy quỹ tích của I là đường cong: y= ae

Bai 33: Cho dutmg thing: -5x + 2y - 1 =0(A)

a) Tinh khoảng cách từ A(-3, 1) dén (A) Viet phuong trinh đường

thẳng( A ') song song với (A) va cach ( A) mét khoang bang 5

b) Tính khoảng cách giữa (A ) và đường thẳng (đ) có phương trình:

10x-4y+1=0

Hướng dẫn giải:

8) Tá có đ(4,A)<= CôC?)+2~]| _ 1629 29 29

A1⁄A nên phương trình có dạng: -5x + 2y + k = 0 Khoảng cách giữa A

va A là khoảng cách giữa điểm tuỳ ý trên A đến A' Chọn B(13)eA

e) Chứng minh mọi đường thẳng của họ:

đo đó có 2 đường vai

nên đ(đ,A)= đ(B.d)=

-TNHHGT-(m—3)x+(m+5)y =y4m°+8m+68 luôn luôn tiếp xúc một đường

trỏn cô định

Hưởng dân giải

a) Ta co: d(0,d,,)=

2m + 4m + 34

diy €e (2m) +4m +34), c» m=—I

b) Goi M(x,,y„) là điểm trong mặt phăng mà mọi đồ thị (d„) đều không

Do đó các diém cần tìm ở trên đường y = -x loại trừ các điểm (-š3)

c) Xét họ đường thăng: (A,,)

3

(m ~3)x +(m +Š5)y - V4‡mˆ +8m +68 =0 VmeR

Do đó: A„ luôn luôn tiếp xúc đường tròn tâm O ban kinh R= a

3ai 35: Cho hai duong thang (D,): kx -y +k =0 va

(D,):(1-k?)x + 2ky -(1+k*) =0

a) Chimg minh khi k thay doi (D,) luén lu6n qua một điểm cố định

b) Tìm giao điểm của (D,) và (D,) suy ra quỹ tích giao điểm này khi k thay đổi

b) Tọa độ giao điểm của (D,) và (D,) là nghiệm của hệ phương trình

Do đó quỹ tích của M là đường tròn tâm O bán kính R = 1

Bài 36: Cho họ đường thăng có phương trình:

(x~])cosơ +(y —])sin œ - 4 = 0

a) Tìm các điểm trong mặt phảng mà mọi đường thing của họ đều khôn

đi qua

b) Chứng minh mọi đường thăng của họ luôn tiếp xúc 1 đường tròn c

định

Hướng dẫn giải:

a) Gọi M(x,.y„) là điểm mã mọi đồ thị của họ đường thẳng trên đều khôn

đi qua, ta phải có:

Các đường thăng của họ trên đi động luôn luôn cách I một đoạn bằng

nên chúng luôn luôn tiếp xúc với đường tròn tâm I bán kính R = 4

Bài 37: Trong mặt phẳng cho A(a.0) B(0,b) (a.b>0) Đường trung trực củ đoạn AB cắt các đường phân giác y = #x tại H và K

a) Chứng minh AHBK là hinh vuông

b) Cho biết a + b = c không đôi Chứng mirth H cô định và tìm quỹ tíc

các điểm K

d=

-TNHHGT-Hướng din giải

Vậy tập hợp các điểm K là dường phân giác y=-x :

Bài 38: Trong mặt Oxy cho S0: 1) và B(-1,3) vả đường thắng: x + y + 4= 0

(L)

a) Tìm trên (L) điểm C cách đều A và B

b) Với điểm C tìm được hãy tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình

hành Tỉnh điện tích hình bình hành ây

Huong dan giai:

a) Goi C(Xo,yo) la điểm cach déu A va B tacé Ce (L) > xo + yy +4 =0

và CA =CB @ (x, =1)' +() -1) = (4 +1? +0 =3)

= Xo -yo + 2=0

Giai hé | ‘ 6 ta duge C(-1, -3)

b) ABCD 1a hinh binh hanh <> AB =CD

Ya —Ya =Yc ~Yp

Gọi I là trung điểm của AB = 1(0, 2)

ACAB cân tại C Cl là đường cao ACAB

CI=x3?+3” =3 2

AB = (-2)? +2? =2V2

Siep = ABC] = 12 dvdt :

Bài 39: Cho đường thẳng (d) có phương trình: 2x + y —4 = 0 và hai diér

M(3,35 N(-5,19), vé MK 1 (d) Goi D 1a diém déi xtmg cia M qua (d)

a) Tim toa d6 cla K va D :

b) Tìm điểm 4e(đ) sao cho AM # AN đạt giá trị nhỏ nhất và tính gi

trị nhỏ nhất đó

Hướng dân giải:

a) Goi A là đường thăng vuông góc với (d) Phương trình A có dạng:

x-2y+C=0

Me(A)=> C=3

Vậy: (A) có phương trình là x -2y + 3 = 0, K 1a giao điểm của (D) v

=4=

(A]s8ioa.48X là nghiậm của Hệ J7 TỰ x-2y+3=0 TU ®

. Giải hệ ta được K(I.2)

~ Vi D la diém doi xứng của M qua (đ) nên K là trung điểm của MP

©9x+2y+7=0

-TNHHGT-[Ox +2y+7=0

Tọa độ A là nghiệm của hệ

Khi đó (4A + 4A'),„ = v40

Bài 40: Cho (L) có phương trình: 16x` -9y? =24x +l8y =0

a) Ching minh (L) là hop cua 2 đường thăng I, và l; Tìm phương trình

của l,.l, và phương trình các đường phân giác của góc tao boi |, va 1 b) Goi A là giao điểm của I,.l; và đường (đ) có phương trình:

3x + 4y + m= 0; (d) cat 1.1, tai B va C Xác định m dé ban kính đường tròn nội tiếp A ABC băng I

Hướng dân giải:

a) Dé y: (L) > (16x? — 24x + 9)-(9y? -18y +9) =0

œ (4v-3)°~(3y~3)) =0 (4x~3y)(4x+3y—6)=0

4x-3y=0 (l)

bại Pratik (2)

Vậy (L) la hgp cua: |,: 4x —3y = 0 va 1,: 4x + 3y -6=0

Phương trình các đường phân giác của |, ,1, 1a:

dé y: (d) 11, nén x -; là phân giác trong của góc A Toa độ tâm

đường tròn nội tiếp là Ub) để bán kính đường tròn nôi tiếp bằng 1 ta

ie đl5 0 at 650) ol rele, pee 0 teers 4

Vậy khim= hay màn TH bán kính đường tròn nội tiệp A ABC bằng 1

II Bài tập về tổng hợp đường thắn

Bai 41: Cho (D,): 3x + 4y -6=0, (D,): 4x +3y—1=0, (Dị):y =0 Gọi 4=D,fẦD,; B=D,ND,; C=D,ND,

a) Viết phương trình phân giác trong của góc A trong AABC và tính

điện tích A ABC

b) Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp A ABC

Bài 42: Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng:

a:f* xt va aft * PY véi X,.X;„Y,„y; cho trước

Tìm điều kiện cần và đủ (theo m.n,p,q) đẻ hai đường thang ấy:

a) Cắt nhau b) Song song nhau

€) Trùng nhau đ) Vuông góc nhau

y=3t y = 6t'+3

a) Xác định giao điểm của D, và D,

b) Tính cosin của góc tạo bởi D, và D,

Bai 44: Cho đường thẳng (d) có phương trình: x - 2y + 2= 0

a) Viết phương trình đường thẳng (d,)la đối xứng của (d) qua đường

-TNHHGT-Bài 45: Cho đường thăng (d) co phương trình : 2x - y - 1 =0 Tìm điểm M sao cho khoảng cách từ M đến A(1.6) và B(-3, -4) làahỏ nhất

Bài 46: Cho 2 đường thang lần lượt có phương trình:

(Ñ):2mx—(m+1)y+1—3m =0 và (l;):(3m+1)x +(m—1)y—~6m+2 =0

a) Chứng minh (,).(/,) luôn luôn cắt nhau tại 1 điểm M

b) Suy ra quỹ tích của M

Bài 47: Viết phương trình đường thang (1) song song với 2 dudng (/,),(/,)

và cách đều cả 2 đường này Cho biết:

1):3x-2y-1=0; 1, =3x-2y-13=0

Bai 48: Chimg minh họ đường thăng xác định bởi phương trình tham số:

, =2-m+(m-l)t ¬ (teR) luôn qua một điêm x Re ek eed ae cô định

Bài 49: Cho hai đường thăng : d,: 24x + 32y “768 = 0 và

d,: 24x -7y + 168 = 0 cắt nhau tại A va ching cắt Ox lần lượt tại B và

b) Tìm chu vi của tam giác tạo bởi (d) (P) va Oy

e) Viết phương trình các đường trung trực của tam giác đó

Bài 52: Cho hai đường thăng: (D) : 3x + y -12 = 0 va (D’): x - 3y + 6 = 0

Xét điểm A(m.m) đường thằng qua A song ‘song v6i Ox cắt (D) tại N, đường thing qua A va song song với Oy cat (D’) tại M Tìm tập hợp

điểm P là đình thứ tư của hình chữ nhật AMPN

Bài 53: Cho A(a,0) B(b,0) với 0<a<b, Gọi M là điểm di động trên Oy có tọa

độ (0.m) m>0

a) Đường vuông góc với MA tại A và vuông góc với MB tại B cắt nhau

tại P Tính tọa độ điêm P và suy ra quỹ tích của P

b) Xét đường thắng (1) có hệ số góc k qua A Tính k theo m sao cho (1) va truc Ox đổi xứng nhau qua MA Viết phương trình của (l) trong trường hợp này

¢) Viết phương trình của (I,) đối xứng của Ox qua MB Gọi Q 1a giao

điểm của (1) và \I,) Tính tọa độ Q

d) Chứng minh M,P,Q thẳng hàng

Bài 54:.cho các đường thẳng (1,): x + 3y - 12 = 0, (1,): x —3y + 6 = 0 Goi

A la diem trén dudng y = x voi x, =m, M là điểm trén (1,) cùng hoành

độ với A,N là điểm trên (1,) cing tung do voi A, P là đình thứ 4 của

hình chữ nhật AMPN

a) Tính tọa độ của P theo m

b) Tìm quỹ tích của P khi m thay đồi

€) Tính diện tích S của hình chữ nhật AMPN

Bài 55: Cho đường tròn tâm O bán kính R = I và đường thăng

(D): xcosz + ysinz—l=0

a) Chứng minh (D) tiếp xúc với (O), Vø

b) Gọi T là tiếp điểm, A là giao điểm của (D) với Ox Đường thắng qua

A và song song với Oy gặp OT tại M Tìm phương trình tham số, phương

trình tông quát của tập hợp các điểm M

Hướng dẫn giải:

Đài 41:

a) Giải hệ ta được 4(-2,3), BC,,0 C(2,0).Gọi M(x.y) là điểm trên

phân giác, ta có |3x + 4y — 6| =|4x + 3y - I| Phương trình phân giác trong

a) Giải hệ |-3t = 61's3 => giao điệm M(-2, -3)

b) D, có vectơ chỉ phương là n, =(-2.-3) D, có vectơ chỉ phương là

n, = (3.6)

Bai 44: a) Chon P(-2.0) © (d) thì Q(-1, -1) là điểm đối xứng của P qua

d, thuộc chùm đường thăng tạo bởi (đ) và (L,) nên phương trình có

dang x—2y+2+A(x—y+l)=0 (1+A)x-(2+A)y+2+A=0

Qed, > A=-3

Vậy phuong trinh d, la: 2x -y + 1 =0

b) Dé y: L,//d nén phuong trinh (d)) c6 dang:

pote

2

Để ý: d cắt Oy tại (0,3) => b= 3 do đó y a5x43 là phương trình của

(d,)

Bai 45: Đề ý A và B cùng phía đối với (d ) Gọi M là đối xứng của B qua

(d) Taco YM e (d) MA +MB = MA +MD > DA, đăng thức xảy ra khi M là giao của DA với (d)

Ta có: D-3.- 2, phương trình của AD: 7x -y -l =0

Toa độ M là nghiệm của hệ | =M(0,-l)

x=x=l

Bai 46:

2m—(m+]

a) Để ý [2x m-] | = 5m” +2m+l#0Vm e R do đó I, luôn luôn cắt l,

b) Đề ý |, và I; lần lượt qua 2 điểm có định A(2.1) và B(1.3) và

cosg= i= 4 (cos là góc của Ì,-và 1, ), ta c6:

việt 5m +2m +Ì a? ges ke

V2(5m? +2m+1) 2 4

Do đó quỹ tích là 2 cung chứa góc ø = ` đặt trên AB

Bài 47: Đề ý I song song với I,,l; nên có hệ số góc k =

Toa d6 dim cé dinh la nghiém cia |"? 2x-y-3=0 = A(l.-1),

Bài 49: Tọa độ A(0,24), B(32,0), C(—7,0)

2

+) Khim =~ thi A= y+3==r aloextliyesl=2

Vay phuong trinh A la: 2x+11y+31=0

y extant a sy axe -le x' ~x? —y) =0,

Céu 1: Diéu kign can va du de diém N(x.y) nam trén dudng thang (A) di qua

M(x,.¥,)/c6 vecto phap tuyén n= (A,B) 1a:

A B(x—x,)+A(y—ya,)=0 B A(x, -x)=B(y-Y¢)

C A(x +x,)+Bly+y,)=0 D A(x-x,)= B(y- yy)

x=-3+3t

Câu 2: Cho đường thăng ( A ) có phương trình tham “| ae y=

Phương trình tông quát của (A) là:

Hay chon cau dung:

A Ca4 diém déu 6 trén (d)

B Có 3 điểm ở trên (d)

C Các điểm B và D ở trên (d) con A va C không ở trên (đ)

D Chỉ có B ở trên d