Các dạng toán phương pháp giải Hình học giải tích 12 Trần Đình Thì

Định nghĩa 8: Phép đời hình là một xin] biến hình không làm: đổi khoảng cách gi8a hai điểm bất kì nghĩa là f là phép dời bìi 4 Phép đội hình biến 1 tứ điện ABCD thành tứ diện ABCD: diện

WHA XUAT RAD BAT HOG QUGE GIA BA NOI

- Phân dạng & phương

pháp giải Đại số - giải

WWWDEAQUYNHOXLCOZcoM NGA B00 COAMDAIKIALQOINHOX

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI #

16 Hàng Chuối - Hai Bà Trưng - Hà Nội &

ĐT (04) 9715013; (04) 7685296 Fax: (04) 9714899

Chịu trách nhiệm xuấu bắn:

Tổng biên tập NGUYEN BA THANH

‘MINH HAL Sita bai HOANG NGUYEN

— Chế bản CONG TI ANPHA

> Trinh bay bia

'WWWADRAQUYNHOXCOZcoM NGA B00 COAMDALKIALQOYNHON

LỜI NÓI ĐẦU

Nhằm nâng cao chất lượng dạy và học của bộ môn toán tại các thường

TTHPT Cuốn sácH "Các dạng toáu oà phương pháp giải hình học git tich

12" được biên soạn theö:chương trình phân ban năm 2008 - 2009 (Ban khoa

học tự nhiên và Bạn cơ bản),

Cuốn sách được phân theo các chủ để và các dạng toan trong các chủ

dể Mỗi chủ để tác giả nêu bài lập mẫu được phân theó các dạng và có bài

tập nâng cao giúp học sinh làm quen với phường pháp tự học, tự nghiện

cứu, chiếm lĩnh kiến thức Cuốn sách là tài liệu tham khảo giúp các em rèn

luyện kĩ năng giải toán và đủ điều kiện hoàn thành các bài thi trong cdc Ki

thi Quốc gia (Tốt nghiệp, tuyến sinh vào Đại học) do bộ Giáo dục và Đào

tạo tổ chúc Tác giả cảm ơn sự đồng gớp, nhận xét của các giảng viên, đồng

nghiệp trong quá trình biên soạn để bộ sách hoàn thành

Quá trình biện soạn có thể cỏ những khiếm khuyết mong sự đóng góp

~ Tung tâm sách giáo đục Anpha ;

225C Nguyễn Tñ Phương P.9,Q5, Tp HCM

~ Công tỉ sách ~ thiết bị giáo dục ANPHA

50 Nguyễn Văn Sing, Quan Tan Phi, TP-HCM

CHUGNG 1: PHEP Dé HVA WA PREP

DONG DANG TRONG KHONG GIAN

| PHẨN 1: PHEP DOI HINH TRONG KHONG GiAN

| A Kiến thức cơ bản:

1 Œ) Định nghĩa 1: Phép biến hình trong không gian là qủy tắc ứng với

| một điểm Mĩ xác định được một điểm duy "nhất MỸ Điểm M' gọi là ảnh

của M qua phép biến hình đó „xà _

(@Œ)Kíhi 'phép biến hình đó là ƒ thì:

RP RM

(4) Néu H là hình nào đó thi tab hợp eu cA cái

MK£H tạo thành hình H Thì H gọi là ảnh của hình H quả 4

biến hình f và viết: H' = £H),

| 2 Tính chất của hai phép bien hình: ®

| a) Dinh nghia 2; Cho hai ›hép, biến hinh f và g trong khong gia theo

Phép biến hình ƒ êm #M thănH MỸ và qua phép biến hình # thì

thành MM" gọi là Goh của hai phép ›biến hình.f và g theo

WWWDATREMGLYNHOXLE0ZcoM NGA B00 COAMDAIKIALQOYNHOX

MP =M Š £ÔM) thì điểm M gọi là điểm bất, động (Hay cò ‘con gọi

bất biến), Vậy phép biến bình đồng nhất mọi điểm thuộc bình HL tấu

bất động:

5: "Hình bất động: ễ

Hình đD gội là bất dong qua phép biển

6 Phép biến hình ngược:

Cho f là phếp biến hình song ánh (f gọi là song'ánh: nếu với VMII

thì có duy nhất inh M’ = f(M) € H” và ngược lại 9ói MP € HỆ

ảnh duy nhất Me H) : aS

“Thì tổn tại phép biến hình ngược (Ð'cũng song @abma We fan

= M=f"™) si abe

II Phếp dời hìn!

1 Định nghĩa 8: Phép đời hình là một xin] biến hình không làm:

đổi khoảng cách gi8a hai điểm bất kì nghĩa là f là phép dời bìi

4) Phép đội hình biến 1 tứ điện ABCD thành tứ diện ABCD:

diện A'BCD' = ABCD a

©) Phép đời hình biến một mặt cầu thành mmột mặt cầu có ban kính

‘bing mat edu cho trước

&) Phép đời hình biến hai mặt phẳng song song thành hai mặt ohne

` song song, hai mặt phẳng cắt nhau thành hai mặt phẳng cất nhau: 7`

~~ b) Phép đồi hình biến hai đường thẳng sóng song thành hai đường

thẳng sóng sóng, hai đường thẳng cất nhau thành hai đường

(WWWDEAQUYNHOXCOZcoM NGA B00 COAMDALKIALQOYNHON

ảnh KẾ Và MHOẬNg bánh bia

+ Cho tứ điện ABCD chứng mình rằng f là phép đời hình biến mỗi

| điểm ABCD thành chính nó thì £ là phép đồng nhất &

"Thật vậy giá sử 3 Mạ € R® sao cho f(MỤ) »: M„

| [AM, = AM,"

† Ri) ove = OM, ˆ']BM, =BM,

~~ (CM, = DM,"

ABCD thuge mit phng trang true

tứ điện Vậy không có diém nao ma M,’

'WWWADIREAQUYNHOXCOZcoM NGA B00 COAMDALKIALQOYNHOX

Baj 2: Cho tit dign ABCD vi A'B'C’D’ có ¿ác cạnh tương ứng bằng nhau

AB = A'B) AC = A’C;, AD = A’D’, BC 4B'C’, BD = BIC DE= DC

Chứng minh rằng không vược qua một phép đời hình biến các điểm A,B, C, D lần lượt thành các điểm tương ứng A', B, CD <

Dùng phương pháp phản chứng để chứng minh Giả sử có tổn tại hai

phép đời hình f, và fy vdi fy +f; sao cho:

thanh 4’, B thanh B’ Ching minh rang phép đời hình f biến mọi

diém nim trén AB thanh chính nó

Dang 2: Tim tn hop didm Mi thoa man mat sO điều kiện (Tim quỹ tíeh).- - a

Bài 4: Cho tứ điện ABCD phép đời hình biến ABCĐ thành chính nó

(Tác là mỗi đỉnh của tứ diện thành một đỉnh nào đó của tứ điện) Tìm tập hợp các điểm M trong không gian sao cho [ẬM) = M

“Trong các trường hợp sau:

a) fA) = B; (C) =A; (B) = C ; £D) = D

0) fA) = B; (B) =A; fC) =D ; 4D) =C

Ding gdp PDF boi GV Nguyễn Thanh Ti 'WNAJACEEODILCOAVOIDLONGHOAHOCQUYAHOA,

| Nên M nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ABC đì qua

! tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và đi qua D (Vì ABCP là tứ

Vay tir (1) và @) =M là giao tuyến hai mặt phẳng trung trực AB và

mặt phẳng trung trực CD, (đường đó di qua trung điểm AB và trung

diém DC) as

Bài 5: Cho tam giác ABC một phép dời hình f biến tam giác ABC thành

chính nó: f(A) = A; f(B) = B; f(C) = Ơ: Chứng minh rang phép dời hình

| (Vì ABC không thẳng hàng) (đpem)

| II Bai tap luyện lộp.- on tap:

Bài 6: Trong các mệnh để sau mệnh để nào đứng:

1) Phép chiếu song song lên một mặt phẳng là phép đời hình

2) Phép đồng nhất là phép dồi hình

3) Nếu phép đời hình biến điểm A thành điểm B thì biến điểm B

thành điểm A

4 Phép dời hình biến điểm A thành điểm B va biến điểm B thành

điểm A thì phép đời hình biến trung điểm AB thành trưng điểm AB

BAi 7: Cho phép dời hình f đường thẳng a và mặt phẳng p lẫn lượt có

ảnh qua f là a’ và p' Chứng mình rằng:

Đồng góp PDE bởi GÌ: Nguyễn Thanh Tú 'WNAACEEODILCOAVMOIDUONGHOAHOCQUYNHOA,

wo TTR mm eo EACHROOK-CONEMAYKEALOUYNHON

1) Nếu a vuông góc Với p thi a' vuông góc với p’

3ÿ Nếu a song song với p thì a” song say vi

8) Nếu a cất p thì 2” cất p',

4) Góc (a,p) = @°,Đ):

Bai 8: Tìm mọi phép dời hình biến một tam giác đều thành chính nó

Bai 9: Tum moi phép ddi hinh bién mot hinh chit nhgt dA cho (khéng phải hình vuông) thành chính nó Xét tích các phép dời hình đó

Bài 10: Chứng mình tích hai phép đời hình là phép đồi hình

Bài 11: Cho phớp đồi hình f biến hai mặt phẳng song song P và Q lần

lượt thành hai mặt phẳng P' và Q Chứng minh rằng khoảng cách

giữa P và Q bằng khoảng cách giữa P' và Q}

Ill Hưỡng dễn giỏi bời tập tự luyện phổn 1 &

* Ménh dé (3) sai vi chỉ đúng khi phép đó là phép đổi xứng tâm

* Mệnh để (4) đúng vì phép đó phép đối xứng tâm, trục là trung trực

AB, mặt trung trực AB

'WWWDAAQUYNHOXCOZcoM WH FAERHOOK.COMMAYEESLQUYNHON

3) Giả sử axp

Gọi b là hình chiếu của a lên mặt phẳng p Khi đó (a,p) = (a,b) qua

f:asa’ep' b-biep’

Vido (1)

Nếu b là bình f chiếu của a' lên mặt phang p’

(2b) = (82p) mà (a,b) = (a,b)=> (a,p) = (a`p)

Xét các phép dồi bình biến tam giác đếu ABC thành chính nó trong các trường hợp sau:

1) Trường hợp 1

£ AB

BoC CoA Phép quay quanh trục viông góo mặt

phẳng ÁBC đi qua tâm đường tròn

ngoại tiếp tam giác ABO

QẠ,120° =£

2) Trường hợp

Xét g: Đạu: A > A (Véi (ct) mat phẳng trung trực BC)

Bsc G38 8) Xft A>C

Coe

Bai 9: Cho hình chữ nhật ABCD, xét các phép đời hình biến ABCD

-._ thành:chính nó

ut Ding gdp PDF bai GV Nguyễn Thanh Tú 'WNAJACEEODILCOAVOIDLONGHHOAHOCQUYAHOA,

hi đóf= Đạ, Với a, 18 mat trung trựp AB.và CD |

‘Theo bai toan 1 thi AH’ LP va A’ LQ’

: £14 phép đồi bình = AH =AH" (đpem)

'WWWDEAQUYNHOXCOZcoM WWMGAB00K COADAIKIALQOANHOX

PHAN 2: CAC PHEP ĐỜI HÌNH THƯỜNG GẶP

TRONG KHONG GIAN

BAI I PHEP TINH TIEN

1J` Định nghĩa: & SES 4

| Trong'R® cho vectd ¥ Mật phép,

moi‘ tiểm M thanh ‘M’ sao cho MM’

phép tịnh liến theo veets ¥!,

WWWDEAQUYNHOXLCOZcoM NGA B00 COAEDAVKIALQOYNHOX

Phương pháp chung: 5

Dua uào định nghĩa nà tính chất của phép tịnh tiến

Bài 12: Cho hai đường thẳng a//a' tìm rất cả các phép tịnh tiến biến

đường thẳng a thành a' Gi

“Trên đường thẳng a lấy điểm A

Trên đường thẳng a' lấy điểm A’

Xét phép Ty với v = ”

Khi đó Tý: a —> a’

Vậy với cách làm như trên có vô

sé phép tinh tién nhu trén theo

vects TY wi A € aA’ a’ bign

dung thang a thanh a’

Chú ý: Muốn tìm ảnh của mộ đường thẳng a qua phép biến hình

£ @hép đời hình) ta thường lấy bai điểm A, B e a có ảnh là Á' = f(A)

B'= f(B) đường thẳng ảnh:a"

Bài 18: Cho hai phép tịnh tiến Tụ và Ty Chứng minh rằng tích của hai

phếp tịnh tiến Ty.Ty là phép tịnh tiến theo vectơ u + ÿ Tích đó có

tính chất giao hoán (Pu Tý

Trong không gia lấy A bất kì

TY: A —>- À' khi đó ÀÂ'

Ty: A A” khi dé Aa’

Tady:A > A’ thi KAY

'WWWDEAQUYNHOSCOZcoM NGA B00 COAMDALKIALQOYNHON

Vậy Tu.Ty =Tu.v:A ->A” (đpcm)

Vi do phép cộng hai vectø có tính chất giao hoán nên:

Bài 14: Phép tịnh tiến theo vectơ v # Ũ biến đường thẳng a thành đường

thang a’ trong trường hợp nào thì:

a) a’ tringa khia// v

‘That vậy A e a thì A'= Ty (4)

AA'= V c> AA'/JV => À'€ a => aỶ

‘Phuong phap chung:

Buée 1: Xác định phép tịnl tiến biến H thành H”

Buôn 2: Sử dụng tính chất bất biến của pháp tịnh tiến để xác đình nếu

-H có tính chat A thì HT“ có tính chất Ä uà ngược lại

Bai 15: Cho hinh thang ABCD Cac canh AB song song với BC Điểm M

là giao điểm của phân giác góc A và B N là giao điểm của phân giác

góc C và D Chứng minh 2MN =|AB + CÐ ~ BD~ AD|

7 Giải

"Theo giả thiết m là tâm đường tròn (S) tiếp xúc với AB, AD, BƠ

N 1a tain cha đường tròn (L) tiếp xúc với CD, BC, DA

ng góp PDE bởi GV Nguyén Thanh Tit 'WNAJACEEODILCOAVOIDLONGHOAHOCQUYAHOA,

'VWW GD KEAMQUYNHOXCOCOM NGA B00 COAMDALKIALQOYNHON

Khi đó tứ diện ABCD' ngoại tiếp đường tròn (8) Vậy AB + DƠ = AD' + BC” 4

Bai 16: Cho tit dién ABCD nội tiếp trong mặt céiu (S) có bán kính R = AB

Một điểm M thay đổi trên mặt câu Gợi Ơ, D’, M’1a các điểm sao cho:

'ØỠ' =DD'=MM' - AB ,ˆ

Chứng minh rằng BƠDM là một tứ diện thì Lâm mat

tứ điện đó nằm trên mặt cầu (6)

Gọi tâm mặt cầu $14 (O) thi TAB-O> ƠŒ'

OƠ=AB =R =O'€ () @pem)

| [Datta 3: Dũng nhép shiiến Hệ uial Gao bai ấn

Phương pháp chung: * Bude i: Tim moi lién quan giữa điển di động uà các điển cần tìm

Bail: Cho tam điện vuông Oxyz A 6 Oz cố định ÓA = 1 At là tia sơng

song còng chiều Oy M, N là hai điểm lẫn lượt chuyển động trén Ox va At

1) Tìm quỹ tích trưng điểm I của MN khi: OM + AN = 2

3) Tìm quỹ tích Ï là trung điểm của MN khi: OM.AN

18

Ding gdp PDF bai GV Nguyễn Thanh Tú 'WNAJACEEODILCOAVOIDLONGHOAHOCQUYAHOA,

'WWNDREAQUYNHOXCOZcoM NGA B00 COAMDALKIALQOYNHON

‘Tim quf tich I thi ta tim quỹ tích điểm J ,

'Trong hai trường hợp trên:

(Tìm quỹ tích trung điểm

OW + 0K= 30M +ON)= FOM+ AN)

xty= 2(OM+AN)= 1y x+y =1 <>x+y—1=0 là đường thẳng

trong mặt phẳng J có toạ độ (, y)

'TThoả mãn phương tình x + y — 1 = 0

Với > 0,y > 0iễn 0x <2,0y #2

| (G) Xét trường hợp OM.AN = 4 khi đồ Jộc v)

Wo TRE TON COTO = NGA B00 COAMDAIKIALQOYNHON

Bài 18: Cho một mặt phẳng a, hai duéng thang A và A' chéo nhau cất

(a) tai O va O' Gọi mặt phẳng B chứi CA) và song song với A” Một

đường thẳng đi động song song với mặt phẳng (œ) hoặc chứa trong

(œ) cắt A tại Á cất Á” tại A' và điểm M nằm trên đường thẳng ấy sao

cho ( là số chia trước, k # 1) Đường thẳng song song với O”

vẽ từ M cất mp tại MỸ Tìm trường hợp MỸ khi A di động trên A

Va ta thay (A) va (A J cố định, M'K I (@) véi d= (a) (8) 06 din

=> MK có phương không đổi M' chứa AK theo tỉ số k #1

Vậy M” chạy đường thẳng cố định đi qua O chia AK // đ theo tỉ số

WWWDEAQUYNHOXLCOZcoM NGA B00 COAMDALKIALQOYNHON

BAI fl PHÉP ĐỐI XỨNG MAT

A Kiến thức cơ bản:

1) Định nghĩa: phép đối xứng qua mặt phẳng 3

Cho mặt phẳng P Phép đối xứng quá mặt phẳng P là phép biến hình

biến mỗi điểm M thành M sao cho mặt phẳng (P) là mặt phẳng trung

Vivay: AA’B'B la hinh thang cân ` ¿

Vay: A’ = AB

b) Nhung diém M ¢ P thi: M'

©) Phép đối xứng qua biến đường thẳng a thanh đường thẳng trong các

trường hợp sau: vS

+Nếu a L'P thì đ=a

+ Nếu a không vuông góe với P:

—a cắt P—> a” cắt a tại M e'P :

ˆ- Tìm ảnh ca hÍnh H ta ghi đối xúng miệt phẳng P

Tài 18: Tìm tất cả các mặt phẳng đối xứng của hình hộp lập phương

19 Ding gdp PDF bai GV Nguyễn Thanh Tú 'WNAJACEEODILCOAVOIBLONGHOAHOCQUYAHOA,

Woe Dy hraMgUYNHOSC0ZcoM NGA B00 COAMDALKIALQOYNHOX

|

Ẳ

b) Tương tự ABCD biến thành mặt có chưng AD nghĩa là mặt ADIA?

có mặt đối phẳng xứng (ABC)

©) ABCD có cạnh chung BC là mặt BCBC thì cố mặt phẳng đối xứng (—GCATD)

d) (ABCD) biến thành mặt cạnh chung với mặt DCD'C?

Thì mặt phẳng đối xứng (DCEA)

3) Mặt phẳng (ABCD) biến thành mặt phẳng không có cạnh chung:

(ABCD) dé la mặt phẳng trung trực AA', BB, CƠ, DD', Vay có tất cả 9 mặt đối xứng biên (ABCD)(A'BCD) thành chính nó

Bài 20: Cho hai đường thẳng d; và d, và mặt phẳng P Chứng minh rằng

nếu dị cất d; thì có ảnh dị = Dp(d,) va dy’ = Ð;(đ,) cắt nhau

Giả sử dị cất,d, = Á => Dạ: Á —> ÁP

viAed >A’ e dy Q) Ach=>ANed (2) A x

Tet (1) va @) = A'= (4y) rà (42) (đpem) Giải: ứ „7

'Tương tự bài 19 thì Lứ điện ABCD có 6 mặt trung trực các cạnh của

tứ điện Mỗi mặt chứa 1 cạnh và trung trực cạnh đối diện

Ví dụ: Mặt chứa AB vuông góc với DƠ (Trung trực DO) é

Phương pháp chung:

Tim méi quan hệ điểm M aay on

ái ede diém da cho, va M’ = Dp (M) nếu M e H M’

Bài 33: Cbo mặt phẳng P và 3 điểm

AB cùng phía đối với mặt phẳng P,

một điểm M sao cho tổng các

khong cách AM +MB nhỏ nhất,

y Gi

Lay A’ déi xing v6i A qua P

Nối A' với l cất P tại M diém M la diém can tim

thiệu: Đ¿ M—> MỸ 'Thoả mãn IM + TM?

“Tính chất

Phép đối xứng tâm là phép đồi bình

“Thật vậy: Xét hai điểm A, B bất kĩ

Dg A A= DAA) B+ B=P@)

TẢ +1A'-B+TB)=ö = BÃ =-B!Ã'

Điều này chứng tổ |AB|=|A"B]| ,ˆ

Phép đối xứng tâm có tất cả các tính chất của phép đời hình ` Didu bat biến: chỉ có một điều bất biến qua phép đối xứng tam I ĐÁ

Phép đối xứng tâm Ï biến đường, thẳng d thành đường thẳng đtrong

các trường hợp sau: T : +Néuddiqualthid sa

+ Nếu đ không đi qua Lthid’ a,

Phép đối xứng tâm I biến đường trồn (O,R) thành đường trên

các trường hợp sau

+ Nếu [ = O thì Ðị(O,R) = (O,R)

+ Nếu I # O thì Ðị(O,R) = (O2R)

'Trong không gian cho đường thẳng d đã được định Xăng Và một dốc

a la mét g6e lượng giác (sóc 'ơ đã được định hướng) với mỗi điểm m

trong không gian, một tmặt phẳng P đi qua M vuông góc với d, cất đ

tại Ï, điểm MP là ảnh của M qua phép quay trong mặt phẳng P tâm I

góc quay œ (Trong đó chiều dương được chọn ngược chiéu kim đồng

bởi GI: Nguyễn Thanh Tú 'WNACEMODLCOAHOIDLONGO 0C

eo EACHROOK-CONEMAY KEM OLUYNHON

'WWWADRAQUYNHOSCOZcoM NGA B00 COAMDALKIALQOYNHON

lài 28: Cho hình lập phương ABCD.A'E

qua phép quay quanh tric B'D mét géc 120° huéng duong B'D

=> Mat phẳng (AHO) vuông gée vei BD”

“Xét AAHC 6: AH = CH= oft (a=AB) (2)

23

Déng gép PDF bởi GV Nguyễn Thanh Tủ sewer nesvooxicohennooanocunntion

'WWWODNSEMGUYNHOXLCOZcoM WWMGAB00K COAMDALKIALQOYNHOX

| (Bama 2: Ti 'MụẴ day ÓC quay biến hink Witbank hinh He

| _ Bài # Cho tứ diện đều ABCD Tìm phép quay quanh một trục và góc

quay biến tứ điện ABƠD thành chính nó

+ Xét đường thẳng đi qua A và vuông góo với mặt BƠD Tại O (O là

tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD)

Vay ABCD ~> ACDB ˆ

"Tương tự có 4 trục quay và góc quay 120°

+ Nếu xét góc -120°, OA chiều dương thi

A> A= ABCD -> ADBC

Bai 25: Cho hình lập phương ABCD.A’C’B'D’ Tim géc quay quanh trye

AC! biến ABCD.A'BCTD' thành chính nó

'VWNGYkEAQUYNHOXCOZcoM NGA B00 COMM AYRES QLYNHON

ĐẸT:A + A D

BoD cop

DA BỊ

AB BoC coe DOB Bl

=° ABCD.4'BCD' biến thành ADD'ABCC'D’

"Tương tự học sinh xét phép Đzˆ” thì hình hộp lập phương ABCD.A'BCD'

III Bởi tập tự luyện ôn tộp:

Bài 26: Cho hình hộp ABCD.A'CBD' Gọi E, F, G theo thứ tự là trung

điểm của AA', AB, AD O là giao điểm AC và A'C Tìm ảnh của tứ điện AEFG qua:

1) Phép tịnh Lign theo vects DC

3) Phép đối xứng qua tâm Ó

Bài #7: Cho hình lập phương ABCD.A'BCD' Gọi E, F, G theo thứ tựlà — |

trung điểm của AA', AB, AD I là giao của AC và BD T là giao điểm

cia AC va BID’ j 1) Tìm ảnh của tứ điện AEFG qua phép đối xứng trục IT'

2) Tim anh cia tit dign AEFG qua phép quay quanh trục B'D góc quay 190° hướng đương B7

Bài 38: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'BŒD' có đáy là hai hình vuông — Í ABCD.A'B'C'D' tam O, 0’ Tim anh cia hinh chép AA'BD' qua phép

a) DI véi I trung diém 00’ @I d6i xing tâm D)

Bài 39: Cho hình chóp đều SABC, đường cao SH Gọi M, N, P là trung

'điểm các cạnh BC, CA, AB, thực hiện phép Q;

25

Đồng góp PDE bởi GÌ Nguyễn Thanh Tú 'WNAJACENODLCOAVOIDUONGHOAHOCQUVÂH0A,

'WWNADAAQUYNHOSLCOcoM NGA B00 COAMDALKIALQOYNHOX

2) Hinh chép S.APMN qua phép uy, Ễ | Bài 30: Cho hình lập phương ABCD.A'BCD' Tìm một phép đối Ses mặt phẳng biến hình chóp AA'B'D' thành hình chóp CƠTE'D'

Bài 31: Chứng mình rằng phép tịnh tiến theo vectơ V có thể xem như

kết quả thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng qua mặt phẳng

Bài 3#: Cho tong mặt phẳng (œ) một đường tròn (C) tâm O, bán kính R

'Ở ngoài mặt phẳng (œ) cho một I cố định Gọi O' là điểm đối xứng

của O qua I Một điểm M tuỳ ý của (C) S

1) SABC qua phép quay Q1

‘Tim phép dồi hình biến M thành Ms

Bài 84: Cho hình lập phương ÄBCD.EFGH (AE = BF = CG = DH) Goi

M; N; P; Q lần lượt trung điểm của HG, HE, FG, BC Chứng mính

rằng:

1) Ba hình chóp GABCD; GABFE; GAEHD bing nhau

2) Bốn tứ diện DHFM; CGAQ; CGEP; CGEM bằng nhau

Bài 8õ: Cho hai mặt phẳng P và Q song song với nhau Gọi Á,Blàhai — ` điểm nằm về hai phía của hai mặt phẳng P và Q Tìm trên P và Q hai

điểm M, N tương ứng và MN vuông góc với PQ và tổng của khoảng

'WWWDAQUYNHOXCOZcoM NGA B00 COAMDALKIALQOYNHON

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 26: 1)Tìm ảnh của AEFG qua T DỔ lấy F' đổi xứng với F qua B

Xét phép tịnh tién theo vecto ¥ = DG

Bai 27: S ~

E, F, G là trung điểm cñá'.AA', AB, AD

"Tìm ảnh của AEFG qua Dị:

Gọi E? đối xứng E quá TP

=BEELI

nên xét trong: hình chữ nhật

AA'ŒC => là đường

trung bình “

=> Eula trung điểm của CƠ"

Tương tự gọi GŒ là điểm đối xứng của G qua TT thì G' trung diễm của

BC,/A và C đối xứng qua TP

Ý= AEFC biến thành tứ diện CEEG'

27 Ding gdp PDF bai GV Nguyễn Thanh Tú WHEFACEHOOK-COMMOIDLONGHOAHOEQUYMHON

WWNOSgUYNHOXCocow NGA B00 COAMDALKIALQOYNHON

Vay tit gide AA'B'D’ > BB'B,C’ x

©) Xét trong phép quay quanh tryc OO’, góc qúay 90°

Dos

Vậy AA'E'D' biến thành tứ diện BBƠA:

Bài : Hướng dẫn dựa vào bài tập 24

Đồng góp PDE bởi GÌ Nguyễn Thanh Tú even

Vay MM ¥oT:M>M" (pem)

Bai 32:

Đẹ O => Ơ M>M,

M, va M déi xing qua (ABDE),,

=> Ala trung diém cia Mva M,

‘Tuong ty M, va My nband 1a

trung diém va M,M, L (BCFE)

M,M,M, nhận G làm trung

điểm và MạM; L DNFE

Do vay M, M, đối xứng qua E,

E là trung điển của MM:,

Dy M >, 1 Bài 34: Hướng dẫn giải:

WWWDEAQUYNHOXLCOZcoM WWMGAB00K COAEDAYKIALQOANHOX

Gọi I, J 1 à tâm của EFGH va ABCD

Xét phép quay quanh trục TJ góc quay 90° “Xét tứ giác DHEM biến thành tứ giác

Dus,son: DA F

F>G = DHFM > AEGN

M +N => HFDM = AEGN @ Xét tứ giác GEOP

'WWWDAEAQUYNHOXLCOZcoM NGA B00 COAMDALKIALQOYNHON

‘Ti bai toán trên La có thể sử dụng trong bài toán hình học phẳng:

Cho hai đường thẳng d, // d, (song song véi nhau) Hai điểm AB nằm

về hai phía của hai đường thẳng Tìm trên dị, d, hại điểm M, N (an

lượt thuộc dị, d;) và MN vuông góc d,, d, sao cho'AM + MN + NB bé

nhất

'Ta thấy khoảng cách MN

‘MN 1 d dùng phép tịnh tiến A -> A’ theo vecto a

Nối A’ véi B edt d, tai Nj, NM =~a thi M, N edin tim

‘That vậy giả sử có MPN” Tân lượt thuộc dụ, ds M'N’ vuông góc dụ, d,

WWMEAkgUYNHOXLC0Zco NWMGA B00 COAEDALKIALQOYNHOX

PHAN 3: PHEP Vj TAI VA PHEP DONG DANG

'Phép biến bình đó gọi là phép vị trí lâm Ở, tỉ soko ˆ tiếp

Kíhiệu: VỀM -> R thoả mãn OM' = -kOM >

- Nếu đđi qua O © 024 ˆ "`

- Nếu d không đi qua Ò =>d1/4, Độ

(8) Biến một mặt phẳng P thành P' thoả mãn:

- Néu P chita OP = P

- Néu P khong-chita 0 <> PVP

(4) Biển một góc thành một gốc bằng chính nó,

(6) Biến một tử điện thành một tứ diện

(6) Biến một mật cầu bán kính lš thành mộ: mặt, cấu có bán kinh |k|

Œ) Phép vị trí VỆ (O) =0._

II Định nchĩø về tính chết phép đồng dọng:

1 Định nghĩa: Ae

“Phép biến hình £ trong không gian được gọi là phép đồng dạng nếu

hai điểm bất kì M, N eó ảnh MPN" = kMN Với k số đương cho trưới

WWNDEAQUYNHOXCOZcoM

+ Cho phép vị trí Về và hình H hãy xác định H” qua phép vị trí

+ Cho phép đồng dạng tỉ số k và hình H hãy xác định ảnh của H' qua

phép đồng dạng

Phương pháp giải chung:

Tim anh một điểm xác định hình H suy ra 1" xác định qua các điểm

ảnh ¥

Ví dụ: Tứ diện ABCD có 4 điểm xác định tứ diện ta tìm ảnh A'BCT thì

(ABCD) = f(ABCD)

Bai 36: Cho hình lập phương ABCD.A'BCD' O là giao điểm của các

đường chéo Goi I, I’ 14 tam của hai hình vuông ABCD.A'BCD' Tim

` ảnh của hình chóp đều ABCD qua phếp,V

38

Ding gdp PDF bai GV Nguyễn Thanh Tú wes aermpog cosy

eo EACHROOK-CONEMAv KES OUYNHON

" eeR

Gi

iua O vẽ mặt phẳng Œ) song song với Asc

Vi O là trung điểm của II nên P cất

TA, IB, FC, ƯD tại E, F, L, N và E,

F, L, N la trung diém cia I'A, TB, a’

Bai 87: Cho hinh hép ABCD.A’B'CD’ E, F, Œ lân lượt là trung điểm của

các cạnh AA', AB và AD, O là tâm đối xứng của hình hộp

1) Hãy tìm ảnh của tứ diện AEFG qua phép đồng dạng thực liên tiếp

phép vị trí tâm A tỉ số k = 2 và phếp đối xing tam O

2) Hãy tìm ảnh của tứ điện AEFG khi thực hiện liên tiếp phép đối

E -> Bla trung diém của CƠ

F > Fla trung diém cia CD’

G > G là trung điểm của C'B

Vậy Ð, (AEFG) > CFEC

34

Đảng góp PDF bi

Nguyễn Thanh Tả

WWWDEAQUYNHOXLCOZcoM NGA B00 COAMDALKIALQOYNHON

Xét Vệ: CƠ >Ơ

tron BoC Gos 'Vậy thực hiện liên tigp Vé D,: (AEFG) > (CD'CB),

Để chững mình bình H đồng dang H’ ta cần chi ra thực hiện liên tiếp

một số hữu hạn phép đông dạng biến H thành H' Điông thường thực

hiện pháp dời, phép vi tri biến H thành H,, H biến thành HH

Bài 88: Cho tứ diện đều ABCD, gọi Ai, B,, C,, D, titeng tng là trung tâm

của các tam giác BƠD, ACD, ABD, ABC Chứng mình A,, B,, Cụ, D, là

‘Theo bai ra ta thay:

AA,, BB,, CG), DD, ding quy

(HS ty CM) theo hinh vé bên

Tim tap hop M thi ta tim méi quan hệ giữa M uà M' H qua phép

biến hình f: M — M’ khi đó M © H ma fi) = H’

36 Ding gdp PDF bai GV Nguyễn Thanh Tú 'WNAJACEEODILCOAVOIBUONGHOAHOCQUYAHOA,

WWNIEAQUYNHOSLCOZcoM WH FAERHOOK-COMMAYKESQLYNHON

Bai 39: Cho mặt cầu đường kính AB, tâm O, AB = 4R, Một điểm M tuỳ ý

thuộc mặt cầu, mặt phẳng œ vuông kỗc vái AM và đi qua O cất AM:

tại H Tìm tập hợp điểm N đối xứng của H qua A khi M vẽ trên mặt cầu:

Giải:

Thực hiện phép VỆ BOO

MoH Khi đó mặt cấu (S) Lâm O, bán kính 4R thành mặt cầu đường kính AO = 2R

He nmặt cầu đường kinh AO

+ Xét Dy =(O, 3R) j

—> (Ø,, #R) đường kính AC x

Nên N thuộc mặt cầu đường kính ÁC Ss

Cho hai điểm AB, đường thẳng d chéo nhau với đường thẳng AH

Lay +ên đ một điểm C Dựng hình bình hành ABCD Tìm quỹ tích trung điểm M của AD khi C chạy trên đường thẳng d

{ Bai 42: Cho phép VỆ (phép vị tự tâm O tỉ số k) và phép Vợ (phép vị tự

f tam 0”, tỉ số k) Chứng minh rằng k.k = 1 thì phép biến hình thực

Ị ˆ “hiện liên tiếp hai phép vị tự trên là phép biến hình, phép biến hình

WWWDEAQUYNHOXLCOZcoM eo EACHOOK CONEMAv KEATON SHON

Bài 48: Chứng minh rằng hai hình lập phương bất kì luôn luôn đồng

dạng với nhau

Bài 44: Cho A'BƠ lần lượt là ảnh của ABC qua phép déng dang ti sốk

khi và chỉ khi: A*B'ATC! =k*ÄB

Bài 4ð: Cho A'BC theo thứ tự lần lượt là ảnh của A, B, Ơ qua “phếp

đồng dạng Chứng minh rằng nếu AỞ=pÄB (Với p là một $ố thực)

thì ẤT

Bài 46: Cho tứ diện ABCD Tìm ảnh của tứ diện qua phép Vo,1, Trong 3

Gà trọng tâm của tứ diện

Bài 47: Cho hình chóp cụt ABCDB.A'RCDTE Tìm Phép vị trí biến đa

giác ABCDE thành tứ giác Á'B'CTTE' x

Bài 48: Cho hai hình tứ điện ABCD và A'B'CDf có các cạnh tương ứng

song song với nhau Chứng mình rằng có một phép tịnh tiến hoặc

phép vi trí biến tứ diện này thành tứ điện kĩa

Bai 49: Cho bình lập phương ABCD.A'ECT' Gọi I và P là tâm của

ABCD và A'BCTY Trong mặt phẳng DBBT gọi M là giao điểm của

DI và B'B Tìm phép biến hình £: B7M —› Ã'Ã

() Hướng dẫn giải:

Bai 41: Trên tia CD lấy điểm A’ sao cho CA’ =

Xét bai đoạn thẳng CA' và ẤB thực hiện phép đời hình f: A => Ơ

Bài 48: Hướng dẫn giải cho hai hình lập phương ABCD.A'BD và

A\B,C,D, A;B,C,D, Trên các tiá A,A,,A,B,,A;D;, lấy lần lượt các

điểm A,,B;,D, dựng một hình lập phương A,B,C,D,,A,B,C,D, sao

cho hình A,B,C,D,.A;B,C2D, bằng hình lập phương ABCD.A'BCD | Khi đó gọi f phép đời hình biến: ee

Dang phép vị tri tam Aj tỉ sốk

« = AB un bign-ABGD,AHCDithanh hin wongABED, ABCD,

Vậy ta thực hiên liên tiếp hai phép dời hình và phép vị tri bién |

ABCD.A'B'C’D’ thanh A,B,C,D,.A\B\C\D, nên ABCD.A'BCD' đồng

WWWDEAQUYNHOXLCOZcoM NGA B00 COAMDALKIALQOYNHON

Bài 46: Giả sử G là trọng tâm của tứ diện ABCD thì:

GA+GB+GG+GB=ö «a Gọi G, là trọng tâm tam giác BƠD, mặt đối diện với dink A &

Vậy ảnh của tứ điện ABCD quaVo,1, là tit dién G,G,G,G, 18 trong ns

tâm các mặt tứ diện

Bài 47: Giả sử hình chóp cụt ABODE.A'BƠD'E các cạnh AA', BB’, CC’,

DD’, BE’ cét nhau ở O (hại mặt (ABCD) // (A'ECD))

Vay Vi: A'BC’D'E’ > ABCDE

tho hai ttt dign ABCD; A'B'C’D’ có các cạnh tương ứng song song

với nhau Chứng mình tốn tại phép tịnh tiến hoặc phép vị trí biến tứ

diện này thành tứ diện kia

39 Ding gdp PDF bai GV Nguyễn Thanh Tú 'WNAJACEEODILCOAVOIBUONGHOAHOCQUYAHOA,