TUYỂN TẬP PHƯƠNG PHÁP TOÁN Ở TIỂU HỌC

TUYỂN TẬP PHƯƠNG PHÁP TOÁN Ở TIỂU HỌC

PH NG PHÁP TÍNH NG C T CU I

Có m t s bài toán cho bi t k t qu sau khi th c hi n liên ti p m t s phép tính i

i s ph i tìm Khi gi i các bài toán d ng này, ta th ng dùng ph ng pháp tính

ng c t cu i ( ôi khi còn g i là ph ng pháp suy ng c t cu i)Khi gi i toán b ng ph ng pháp tính ng c t cu i, ta th c hi n liên ti p các phéptính ng c v i các phép tính ã cho trong bài K t qu tìm c trong b c

tr c chính là thành ph n ã bi t c a phép tính li n sau ó Sau khi th c hi n h tdãy các phép tính ng c v i các phép tính ã cho trong bài, ta nh n c k t qu

n tìm

Nh ng bài toán gi i c b ng ph ng pháp tính ng c t cu i th ng c ng gi i

c b ng ph ng pháp i s ho c ph ng pháp ng d ng th (xem các s ti ptheo)

phân tích trên ta i n l i gi i nh sau:

tr c khi chia cho 3 là:

Phân tích: Ta có th minh h a các thao tác trong bài b ng s sau:

Click to buy NOW!

m

Ta có:

th nh t: - 14; + 7 cho k t qu là 45

th hai: + 14; - 28 cho k t qu là 45

th ba: + 28; - 7 cho k t qu là 45 phân tích trên ta i n l i gi i c a bài toán nh sau:

Các b n th gi i các bài toán sau b ng ph ng pháp tính ng c t cu i:

Bài 1: Tìm m t s , bi t r ng gi m s ó i 3 l n, sau ó c ng v i 5, r i nhân v i 2

và cu i cùng chia cho 8 c k t qu b ng 4

Bài 2: T ng s c a ba s b ng 96 N u chuy n t s th hai sang s th nh t 3 n

và sang s th ba 17 n v , cu i cùng chuy n t s th ba sang s th nh t 9

n v thì s th nh t s g p ôi s th hai và b ng 2/5 s th ba Tìm ba s ó

ng có n ng su t khác nhau, hai lo i vé có giá ti n khác nhau

Ta th t ra m t tr ng h p c th nào ó không x y ra, không phù h p v i u

ki n bài toán, m t kh n ng không có th t , th m chí m t tình hu ng vô lí T t nhiên

gi thi t này ch là t m th i chúng ta l p lu n nh m a bài toán v m t tình

hu ng quen thu c ã bi t cách gi i ho c l p lu n suy ra c cái ph i tìm Chính

vì th mà ph ng pháp gi i toán này ph i òi h i có d c t ng t ng phong phú, ócsuy lu n linh ho t

Nh ng bài toán gi i c b ng ph ng pháp gi thi t t m có th gi i b ng ph ngpháp khác Tuy nhiên, trong nhi u tr ng h p, cách gi i b ng gi thi t t m th ng

n gàng và mang tính " c áo"

Ví d : Tr c h t, ta hãy xét m t bài toán c quen thu c sau ây:

Click to buy NOW!

m

chân dôi ra là: 144 - 100 = 44 (chân)

d nh v y là vì s chân c a m i con chó h n s chân c a m i con gà là: 4 - 2 =

y s chân nhi u h n s u là:

100 - 72 = 28 (cái)

i v i gà thì s chân b ng s u, còn i v i chó có s chân nhi u h n s u là:

4 - 2 = 2 (cái)Suy ra s chó là:

28:2 = 14 (chó)

gà là: 36 - 14 = 22 (gà)

Cách 2:

Bây gi ta gi thi t m t t ng h p th t vô lí nhé! Ta gi thi t m i con v t u b

"ch t i" m t n a s chân Nh v y, m i con chó ch còn có hai chân và m i con gà

ch con m t chân t ng s chân c ng ch còn m t n a, t c là:

100 : 2 = 50 (chân 0

Bây gi , ta l i gi thi t m i con chó ph i "co" m t chân lên m i con v t ch có

t chân, khi ó 36 con v t có 36 chân Nh v y, s chân chó ph i "co" lên là:

50 - 36 = 14 (chân) Vì m i con chó có m t chân "co" nên suy ra có 14 con chó

m

p Kim ng m t bu i chi u phim bán c 500 vé g m hai lo i 2000 và 3000

ti n thu c là 1120000 H i s vé bán m i la i là bao nhiêu?

(Tr l i: 380 vé và 120 vé).

bài t p 2:(bài toán c )

Quýt ngon m i qu chia ba Cam ngon m i qu chia ra làm m i

Rút g n m t phân s ã cho là tìm m t phân s b ng nó mà t s và m u s này

nh h n t s và m u s c a phân s ã cho Thông th ng, khi rút g n phân s là

ph i c m t phân s t i gi n Cách rút g n phân s : Cùng chia t s và m u s cho m t s t nhiên l n h n 1 u quan tr ng nh t là ph i tìm c s t nhiên

ó th c hi n vi c rút g n phân s Vi c này có th th c hi n m t l n ho c vài l n

i tìm c phân s t i gi n d i ây là m t s ví d minh ho v cách tìm "s rút g n c".

m

BÀI TOÁN CHIA GIA TÀI

Các b n v a gi i bài toán “Ôtôna ã làm th nào?” ây là bài toán t ng t c a bàitoán dân gian:

“M t ng i nông dân nuôi c 17 con trâu Tr c khi qua i, ông di chúc l i cho

ba ng i con:

- Con c c 1/2 àn trâu

- Con th c chia 1/3 àn trâu

- Con út c chia 1/9 àn trâu

Ba ng i con loay hoay không bi t làm th nào chia gia tài mà không ph i x th tcác con trâu Em hãy tìm cách giúp h ”

Có th gi i bài toán nh sau:

Em em m t con trâu (n u không có trâu th t thì dùng trâu b ng g ch ng h n) n

nh p thêm vào 17 con trâu thành m t àn 18 con trâu Sau ó:

- Chia cho ng i con c 1/2 àn, t c là: 18 : 2 = 9 (con trâu)

- Chia cho ng i con th 1/3 àn, t c là: 18 : 3 = 6 (con trâu)

- Chia cho ng i con út 1/9 àn, t c là: 18 : 9 = 2 (con trâu)

y ba ng i con c v a úng:

9 + 6 + 2 = 17 (con trâu)Còn em l i mang con trâu c a mình v Cách gi i trên tuy h i l nh ng c ng d hi u: Vì 17 không chia h t cho 2, cho 3 vàcho 9; nh ng khi có thêm 1 con trâu n a thì 18 li n chia h t cho 2, 3 và 9 Nh th

mà chia c

Song cái c áo c a cách gi i này l i ch khác c

u ta ý thì th y ngay

9 con trâu > 17/2 con trâu (vì18/2>17/2 )

6 con trâu > 17/3 con trâu (vì 18/3>17/3 )

2 con trâu > 17/9 con trâu (vì 18/9>17/9 )

Do ó trong cách chia trên ng i con nào c ng c h ng l i y th mà em l ikhông m t thêm m t con trâu nào (con trâu em n l i d t v ) Sao kì v y? Ch bí

m

chia theo di chúc ch a b ng 1 (t c là ch a b ng c àn trâu), vì:

(1/2)+(1/3) +(1/9)=(9+6+2):18=17/18 ( àn trâu)

Nh v y, th t ra ng i cha ã ch di chúc chia cho các con có 17/18 àn trâu màthôi, còn thi u 1/18 n a thì m i 18/18, t c là c àn trâu

Th nh ng nh em em thêm 1 con trâu n a t i nên ã chia c cho ba ng i con

àn trâu (hay àn trâu, g m 17 con) Do ó c ba ng i con u c chia nhi u

n ph n nêu di chúc nh ng em l i không t n thêm m t con trâu nào!

Th t là m t bài toán c áo!

Ph m ình Th c

(TP H Chí Minh)

T D NG TOÁN DÙNG D U HI U CHIA H T

Trong tháng 9 các em l p 5 ã h c v d u hi u chia h t cho 2, 3, 5, 9 Các em ã c làmquen v i d ng toán n ch s thích h p vào d u sao (*) th a mãn u ki n chia h t cho

t s nào ó Ch ng h n :

Bài toán 1 : (bài 4 trang16 SGK toán 5)

Vi t ch s thích h p vào d u sao (*) c s chia h t cho 9 :a) 4*95 ; b) 89*1; c) 891*; d) *891

các bài toán này ta ch c n d a vào d u hi u chia h t cho 9 tìm ch s n vào d u *

Khi ã h c h t d u hi u chia h t cho 2, 3, 5, 9, các em có th gi i các bài toán ph i h pcác u ki n chia h t n nh ng ch s thích h p :

Bài toán 2 : Thay a, b trong s 2003ab b i ch s thích h p s này ng th i chia h tcho 2, 5 và 9

Phân tích : Tìm ch s nào tr c, mu n tìm ch s y d a vào d u hi u nào ?

b là ch s t n cùng nên tìm b d a vào d u hi u chia h t cho 2 và 5 V y tìm a s d a vào

u hi u chia h t cho 9 M t s chia h t cho 2 và 5 khi s ó có t n cùng là 0 T ó ta cócách gi i sau

Gi i : S 2003ab ng th i chia h t cho 2 và 5 nên b = 0 Thay b = 0 vào s 2003ab ta

c 200a0 S này chia h t cho 9 nên t ng các ch s c a nó chia h t cho 9 V y (2 +0+0 +3 +0) chia h t cho 9 hay (5 +a) chia h t cho 9 Vì 5 chia cho 9 d 5 nên a ch có th là4

Ta bi t r ng: A chia cho B d r t c là :

- A - r chia h t cho B (1)

- A + (B - r) chia h t cho B (2)

ó các b n có th gi i quy t bài toán :

Bài toán 3 : Cho A = x459y Hãy thay x, y b i ch s thích h p A chia cho 2 ; 5 và 9

u d 1

Nh n xét : A chia cho 2 ; 5 và 9 u d 1 nên A - 1 ng th i chia h t cho 2 ; 5 và 9 V y

ta có th gi i bài toán d a vào u ki n (1) A - r chia h t cho B gi i

Gi i : Vì A chia cho 2 ; 5 và 9 u d 1 nên A - 1 chia h t cho 2 ; 5 và 9 V y ch s t ncùng c a A - 1 ph i b ng 0, suy ra y = 1 Vì A - 1 chia h t cho 9 nên x + 4 + 5 + 9 + 0 chia

t cho 9 hay x + 18 chia h t cho 9 Do 18 chia h t cho 9 nên x chia h t cho 9, nh ng x là

ch s hàng cao nh t nên x khác 0 T ó x ch có th b ng 9 Thay x = 9 ; y = 1 vào A ta

c s 94591

bài toán trên A chia cho các s có cùng s d Bây gi ta xét :

Click to buy NOW!

m

Bài toán 4 : Tìm s t nhiên bé nh t chia cho 2 d 1, chia cho 3 d 2 ; chia cho 4 d 3 và

chia cho 5 d 4

Tuy các s d khác nhau nh ng : 2 - 1 = 1 ; 3 - 2 = 1 ; 4 - 3 = 1 ; 5 - 4 = 1 Nh v y ta có

th s d ng u ki n (2) A + (B - r) chia h t cho B gi i bài toán này

Gi i : G i s c n tìm là A Vì A chia cho 2 d 1 và A chia cho 5 d 4 nên A + 1 ng th ichia h t cho 2 và 5 V y ch s t n cùng c a A + 1 là 0 Hi n nhiên A +1 không th có 1

ch s N u A + 1 có 2 ch s thì có d ng x0 Vì x0 chia h t cho 3 nên x ch có th là 3 ; 6

; 9 ta có s 30 ; 60 ; 90 Trong 3 s ó ch có 60 là chia h t cho 4

nh ng ph ng pháp khác và luy n t p qua các bài t p sau :

Bài 1 : Tìm s t nhiên nh nh t khác 1 sao cho khi chia cho 2 ; 3 ; 4 ; 5 và 7 u d 1

Bài 2 : Cho s a765b ; tìm a ; b khi thay vào s ã cho ta c s có 5 ch s chia cho

2 d 1 ; chia cho 5 d 3 và chia cho 9 d 7

Bài 3 : Hãy vi t thêm 3 ch s vào bên ph i s 567 c s l có 6 ch s khác nhau,khi chia s ó cho 5 và 9 u d 1

Bài 4 : Tìm s có 4 ch s chia h t cho 2 ; 3 và 5, bi t r ng khi i chõ các ch s hàng

Trong các sách giáo khoa không có bài h c v "quy d ng t s các phân s " Th c

ra vi c quy ng t s các phân s có th a v vi c quy ng m u s các phân s

o ng c" ( úng ra là các s ngh ch o c a phân s ã cho) Tuy nhiên, trongnhi u tr ng h p thì vi c làm ó d gây ra s phi n ph c, ho c d b nh m l n

t s bài toán d i ây có th gi i b ng nhi u cách, trong ó có th dùng cách quy

ng m u s các phân s Tuy nhiên ây ch nói cach quy ng t s các phân s

+ Ví d 1 Ba kh i l p có 792 h c sinh tham gia ng di n th d c Tìm s h c sinh

Click to buy NOW!

m

a trên s này d dàng tìm c s h c sinh m i kh i (kh i ba có 198 HS; kh i

a trên s này có th tìm c m i s (s th nh t là 5160; s th hai là 7095)

nh ng ví d trên cho th y vi c quy ng t s làm vi c xác nh t s c a hai s

c d dàng, thu n ti n h n

PGS.TS Trung Hi u

N TH NG V I CÁC PH N B NG NHAU

Trong d ng toán : "Tìm hai s khi bi t t ng và t s " ph ng pháp gi i b ng s n

th ng là ph ng pháp phù h p nh t v i t duy còn mang tính tr c quan c a h c sinh ti u

c Khi v s , m i s c bi u th b ng m t s ph n b ng nhau th hi n t s ,

ch ng h n :

Bài toán 1 : Hai s có t ng b ng 360, bi t 1/4 s th nh t b ng 1/6 s th hai Tìm hai s

ó

Phân tích : Bài toán ã cho bi t m t ph n t c a s th nh t b ng m t ph n sáu c a s

th hai, trong khi s th nh t chia làm 4 ph n b ng nhau, thì s th hai s là 6 ph n nh

Nh n xét : Bài toán 1, phân s 1/4 và 1/6 là hai phân s có t s b ng 1 N u ta thay hai

phân s này b i hai phân s có t s b ng nhau, ch ng h n 3/4 và 3/6 thì v n a c vbàI toán 1 V y khi t s c a hai phân s khác nhau thì ta c n quy ng t s

Bài toán 2 : Hai s có t ng là 230 Bi t 3/4 s th nh t b ng 2/5 s th hai Tìm hai s ó

Phân tích : Bài toán này không v s ngay nh bài toán 1 c vì và không cùng t V y a bài toán này v d ng bài toán 1 ta ph i chuy n 3/4 và 2/5 v hai phân s

Click to buy NOW!

m

th nh t là : 230 : (8 + 15) x 8 = 80

th hai là : 230 - 80 = 150

áp s : S th nh t : 80 ; S th hai : 150

Ta có th thay i gi thi t bài toán có thêm các b c tính n a m i tr v d ng bài toán

2 Ta xét bài toán sau :

Bài toán 3 : Hai s có t ng là 230 N u b t s th nh t i 1/4 c a nó và b t s th hai i

3/5 c a nó thì c hai s m i b ng nhau Tìm hai s ban u

Các em hãy t gi i bài toán này nhé !

m

Khi h c v phân s các em c làm quen v i nhi u bài toán có l i v n mà khi gi i

ph i chuy n chúng v d ng toán n hình Trong bài vi t này tôi xin trao i v

t d ng toán nh th thông qua m t s ví d sau :

Ví d 1 : Tìm m t phân s bi t r ng n u nhân t s c a phân s ó v i 2, ginguyên m u s thì ta c m t phân s m i h n phân s ban u là 7/36

Phân tích : Ta ã bi t nhân m t phân s v i s t nhiên ta ch vi c nhân t c a

phân s v i s t nhiên ó và gi nguyên m u s V y nhân t s c a phân s v i 2,

gi nguyên m u s t c là ta g p phân s ó lên 2 l n Bài toán c chuy n v bàitoán tìm hai s bi t hi u và t

Bài gi i : N u nhân t s c a phân s ó v i 2, gi nguyên m u s ta c phân s

i V y phân s m i g p 2 l n phân s ban u, ta có s :

Phân s ban u là :

Ví d 2 : Tìm m t phân s bi t r ng n u ta chia m u s c a phân s ó cho 3, ginguyên t s thì giá tr c a phân s t ng lên 14/9

Phân tích : Phân s là m t phép chia mà t s là s b chia, m u s là s chia Khi

chia m u s cho 3, gi nguyên t s t c là ta gi m s chia i 3 l n nên th ng g plên 3 l n hay giá tr c a phân s ó g p lên 3 l n Do ó phân s m i g p 3 l n phân ban u Bài toán chuy n v d ng tìm hai s bi t hi u và t

Bài gi i : Khi chia m u c a phân s cho 3, gi nguyên t s thì ta c phân s m inên phân s m i g p 3 l n phân s ban u, ta có s :

Phân s ban u là :

Ví d 3 : An ngh ra m t phân s An nhân t s c a phân s ó v i 2, ng th ichia m u s c a phân s ó cho 3 thì An c m t phân s m i Bi t t ng c a phân

m i và phân s ban u là 35/9 Tìm phân s An ngh

Phân tích : Khi nhân t s c a phân s v i 2, gi nguyên m u s thì phân s ó g plên 2 l n Khi chia m u s c a phân s cho 3, gi nguyên t s thì phân s ó g plên 3 l n V y khi nhân t s c a phân s v i 2 ng th i chia m u s c a phân scho 3 thì phân s ó g p lên 2 x 3 = 6 (l n) Bài toán c chuy n v d ng toán nhình tìm 2 s bi t t ng và t

Bài gi i : Khi nhân t s c a phân s An ngh v i 2 ng th i chia m u s c a phân

ó cho 3 thì c phân s m i V y phân s m i g p phân s ban u s l n là :

m

Các b n hãy th s c c a mình b ng m t s bài toán sau ây :

Bài 1 : Tìm m t phân s bi t r ng n u t ng t s lên 6 l n, ng th i t ng m u slên 2 l n thì giá tr phân s t ng 12/11

Bài 2 : Toán ngh ra m t phân s sau ó Toán chia t s c a phân s cho 2 và nhân

u s c a phân s v i 4 thì Toán th y giá tr c a phân s gi m i 15/8 Tìm phân

mà Toán ngh

Bài 3 : T m t phân s ban u, H c ã nhân t s v i 3 c phân s m i th

nh t, chia m u s cho 2 c phân s m i th hai, chia t s cho 3 ng th i nhân

u s v i 2 c phân s m i th ba H c th y t ng ba phân s m i là 25/8

ng này ta có th gi i c nhi u bài toán tính tu i

Bài toán 1 : Hi n nay, tu i b g p 7 l n tu i con Sau 10 n m n a, tu i b g p 3 l n tu i

con Tính tu i m i ng i hi n nay

Phân tích : Bài toán yêu c u tính s tu i c a hai b con hi n nay nh ng ch cho bi t :

- T s tu i c a hai b con hai th i m khác nhau

- Kho ng cách th i gian gi a hai th i m ó

Nh ng ta có th d dàng phát hi n ra m t u ki n n a c a bài toán, ó là "hi u s tu i

a hai b con là không i" T ó ta có th gi i c bài toán nh sau

Gi i : Hi n nay, n u tu i con là 1 ph n thì tu i b là 7 ph n nh th Ta có s th nh t

:

Hi u s tu i c a hai b con hi n nay là : 7 - 1 = 6 (ph n)

Hi n nay t s gi a tu i con và hi u s tu i c a hai b con là 1 : 6 = 1/6Sau 10 n m n a, n u tu i con là 1 ph n thì tu i b là 3 ph n nh th (m i ph n bây gi cógiá tr khác m i ph n trên) Ta có s th hai :

Click to buy NOW!

m

Sau 10 n m hi u s tu i c a hai b con là : 3 - 1 = 2 (ph n)Sau 10 n m t s gi a tu i con và hi u s tu i c a hai b con là 1 : 2 = 1/2

Vì hi u s tu i c a hai b con không bao gi thay i nên ta có th so sánh v t s gi a

tu i con hi n nay và tu i con sau 10 n m n a

- Tu i con hi n nay b ng 1/6 hi u s tu i c a hai b con

- Tu i con sau 10 n m n a b ng 1/2 hay 3/6 hi u s tu i c a hai b con

y tu i con sau 10 n m n a g p 3 l n tu i con hi n nay Ta có s tu i con hai th i

Phân tích : Bài toán này t ra ba th i m khác nhau (Tr c ây 4 n m, hi n nay và sau

ây 4 n m) Nh ng chúng ta ch c n khai thác bài toán hai th i m : Tr c ây 4 n m

và sau ây 4 n m n a Ta ph i tính c kho ng cách th i gian gi a hai th i m này

Bài toán này có th gi i t ng t nh bài toán 1

y sau 4 n m n a t s gi a tu i con và hi u s tu i c a hai m con là 3 : 5 = 3/5

Vì hi u s tu i c a hai m con là không thay i nên ta có th so sánh tu i con tr c ây 4

m và tu i con sau ây 4 n m Ta có tu i con sau 4 n m n a g p 3 l n tu i con tr c ây

4 n m và tu i con sau 4 n m n a h n tu i con tr c ây 4 n m là : 4 + 4 = 8 (tu i)

i l ng không i i v i bài toán tính tu i Các em có th gi i quy t c nhi u bàitoán khó c a d ng toán tính tu i b ng th thu t này y Hãy th s c mình v i các bàitoán sau

Bài 1 : Hi n nay tu i anh g p 3 l n tu i em Sau 14 n m n a, t s gi a tu i anh và tu i

Click to buy NOW!

m

em là 5/4 Tính tu i m i ng i hi n nay.

Bài 2 : Tr c ây 2 n m, t s gi a tu i An và tu i b là 1/4 Sau 10 n m n a, t s gi a

tu i b và tu i An là 11/5 Tính tu i m i ng i hi n nay

Bài 3 : Tr c ây 4 n m, tu i b g p 7 l n tu i con và tu i ông g p 2 l n tu i b Sau 4

m n a, t s gi a tu i cháu và tu i ông là 3/16 Tính tu i m i ng i hi n nay

BÀI TOÁN V PHÉP CHIA

Ví d 1 : Có 31 mét v i, may m i b qu n áo h t 3 mét v i H i có th may cnhi u nh t bao nhiêu b qu n áo nh th và còn th a m y mét v i ?

Bài gi i : Th c hi n phép chia ta có : 31 : 3 = 10 (d 1) V y có th may c nhi u

nh t là 10 b qu n áo nh th và còn th a 1 mét v i

áp s : 10 b , th a 1 mét v i Trong bài gi i có hai m khác v i vi c trình bàybài gi i bài toán n là : K t qu c a phép tính không ghi tên n v , câu tr l i tsau phép tính

Ví d 2 : M t l p h c có 33 h c sinh Phòng h c c a l p ó ch có lo i bàn 2 ch

ng i H i c n có ít nh t bao nhiêu bàn h c nh th ?

Bài gi i :

Th c hi n phép chia ta có : 33 : 2 = 16 (d 1) S bàn có 2 h c sinh ng i là 16 bàn,còn 1 h c sinh ch a có ch ng i nên c n có thêm 1 bàn n a

y c n s bàn ít nh t là :

16 + 1 = 17 (cái bàn)

áp s : 17 cái bàn.

Trong bài gi i này ngoài phép tính chia có d , còn có phép c ng k t qu phép chia

ó v i 1 (c n l u ý h c sinh : s 1 này không ph i là s d )

Ví d 3 : oàn khách du l ch có 50 ng i, mu n thuê xe lo i 4 ch ng i H i c nthuê ít nh t bao nhiêu xe ch h t s khách ó ?

Bài gi i :

Th c hi n phép chia ta có : 50 : 4 = 12 (d 2) Có 12 xe m i xe ch 4 ng i khách,còn 2 ng i khách ch a có ch nên c n có thêm 1 xe n a

m

Th c hi n phép chia ta có : 78 : 5 = 15 (d 3) Có 15 thuy n, m i thuy n ch 5

ng i khách, còn 3 ng i khách ch a có ch ng i nên c n có thêm 1 thuy n n a

y s thuy n c n có ít nh t là :

15 + 1 = 16 (thuy n)

áp s : 16 thuy n.

Trong 4 ví d trên câu h i c a bài toán v phép chia có d u có thu t ng “nhi u

nh t” ho c “ít nh t” Tuy nhiên c ng có bài toán v phép chia có d mà không c n

áp s : 52 tu n l và 2 ngày.

Ví d 6 : Hôm nay là ch nh t H i 100 ngày sau s là th m y c a tu n l ? Bài gi i :

t tu n l có 7 ngày

Th c hi n phép chia ta có : 100 : 7 = 14 (d 2) Sau úng 14 tu n l i n ngày ch

nh t và hai ngày sau là ngày th ba V y 100 ngày sau là ngày th ba trong tu n l

áp s : ngày th ba.

Xin gi i thi u cùng b n c tham kh o m t bài toán hay trong Kì thi Olympic ông Nam á n m 2003 (Toán Tu i th s 40) :

Bài toán : M t xe buýt c v a có th ch 30 hành khách, m t xe buýt c nh có th

ch 8 hành khách, m t xe buýt c l n có th ch 52 hành khách H i c n bao nhiêu

Ví d 1 : Ba ng i cùng làm m t công vi c Ng i th nh t có th hoàn thành công

vi c trong 3 ngày Ng i th hai có th hoàn thành m t công vi c nhi u g p 3 l ncông vi c ó trong 8 ngày Ng i th ba có th hoàn thành m t công vi c nhi u g p

5 l n công vi c ó trong12 ngày H i c ba ng i cùng làm công vi c ban u thì shoàn thành trong bao nhiêu gi , n u m i ngày làm 9 gi ?

Phân tích : Mu n tính xem c ba ng i cùng làm công vi c ban u trong bao lâu

ta ph i bi t c s ph n công vi c c ba ng i làm trong m t ngày Mu n tìm

c s ph n công vi c c ba ng i làm trong m t ngày thì ph i tìm c s ph ncông vi c m i ng i làm trong m t ngày S ph n công vi c làm trong m t ngày

Click to buy NOW!

m

a m i ng i chính b ng s ph n công vi c chung chia cho s ngày Do ó s

ph n công vi c chung ph i chia h t cho s ngày S nh nh t chia h t cho 3, 8 và 12

là 24 V y ta coi m t công vi c chung c giao là 24 ph n b ng nhau tìm s

ph n công vi c c a m i ng i trong m t ngày

Bài gi i : Coi m t công vi c chung c giao là 24 ph n b ng nhau thì s ph ncông vi c c a ng i th nh t làm trong m t ngày là : 24 : 3 = 8 (ph n)

ph n công vi c ng i th hai làm trong m t ngày là : 24 : 8 3 = 9 (ph n)

ph n công vi c ng i th ba làm trong m t ngày là : 24 : 12 5 = 10 (ph n)

ph n công vi c c ba ng i làm trong m t ngày là : 8 + 9 + 10 = 27 (ph n)

Th i gian c n c ba ng i cùng làm xong công vi c ban u là :

gi c n c ba ng i hoàn thành công vi c ban u là :

Ví d 2 : cày xong m t cánh ng, máy cày th nh t c n 9 gi , máy cày th hai

n 15 gi Ng i ta cho máy cày th nh t làm vi c trong 6 gi r i ngh máy cày

th hai làm ti p cho n khi cày xong di n tích cánh ng này H i máy cày th hai

ã làm trong bao lâu ?

Phân tích : bài này “công vi c chung” chính là di n tích cánh ng

Theo cách phân tích bài toán 1, di n tích cánh ng bi u th s ph n là s nh

nh t chia h t cho 9 và 15 N u coi di n tích cánh ng là 45 ph n b ng nhau thì stìm c s ph n di n tích c a m i máy cày trong m t gi T ó ta tìm c th igian máy cày th hai làm

Bài gi i : Coi di n tích cánh ng là 45 ph n b ng nhau thì m i gi ngày th nh tcày c s ph n di n tích là : 45 : 9 = 5 (ph n)

Trong 6 gi máy cày th nh t cày c s ph n di n tích là : 5 x 6 = 30 (ph n)

ph n di n tích còn l i là : 45 - 30 = 15 (ph n)

i gi máy th hai cày c s ph n di n tích là : 45 : 15 = 3 (ph n)

Th i gian máy th hai cày n t s ph n di n tích còn l i là : 15 : 3 = 5 (gi )

Ví d 3 : Ba vòi cùng ch y vào b n c thì sau 1 gi 20 phút s y b N u riêngvòi th nh t thì sau 6 gi s y b , riêng vòi th hai ch y thì sau 4 gi s y b

i riêng vòi th ba ch y thì sau m y gi y b ?

Phân tích : 1 gi 20 phút = 80 phút ; 6 gi = 360 phút ; 4 gi = 240 phút Mu n

tính riêng vòi th ba ch y y b trong bao lâu thì ph i bi t m i phút vòi th ba

ch y c m y ph n c a b tính c s ph n b vòi th ba ch y trong m tphút ta ph i tính s ph n b vòi th nh t, vòi th hai ch y trong m t phút Nh v y

ph n c a công vi c chung ph i chia h t cho th i gian c a t ng vòi, t c là chia h tcho 80 ; 360 ; 240 S nh nh t chia h t cho 80 ; 240 và 360 là 720 bài toán này

“công vi c chung” là l ng n c y b , nên bi u th l ng n c y b là 720

m

i 180 phút = 3 gi

y sau 3 gi vòi th ba ch y m t mình s y b

Ba ví d trên còn có cách gi i khác, nh ng tôi mu n a ra cách gi i này các em

c sinh l p 4 c ng có th làm quen và gi i t t các bài toán d ng này Bây gi b n

c hãy th s c v i các bài toán sau nhé

Bài 1 : S n và H i nh n làm chung m t công vi c N u m t mình S n làm thì sau 3

gi s xong vi c, còn n u H i làm m t mình thì sau 6 gi s xong công vi c ó H i hai ng i cùng làm thì sau m y gi s xong công vi c ó

Bài 2 : Hai vòi n c cùng ch y vào b n c thì sau 1 gi 12 phút s y b N u

t mình vòi th nh t ch y thì sau 2 gi s y b H i n u m t mình vòi th hai

ch y thì m y gi y b ?

Bài 3 : Ba ng i d nh p xong m t con ng Ng i th nh t có th p xongcon ng ó trong 3 tu n Ng i th hai có th p xong m t con ng dài g p 3

n con ng ó trong 8 tu n Ng i th ba có th p xong m t con ng dài

p 5 l n con ng ó trong 12 tu n H i c ba ng i cùng p con ng d nhban u thì s hoàn thành trong bao nhiêu gi , n u m i tu n làm vi c 45 gi ?

Phan Duy Ngh a

(Xóm 9, c Lâm, c Th , Hà T nh)

D TRONG PHÉP CHIA

LTS: Bài vi t c a cô giáo Minh Hi u không ch b ích cho các th y giáo, cô giáo

a Hà N i n m 2002 c ng có bài 1 v i n i dung này (TTT s 22) TTT hoan

Trong quá trình d y h c phép chia, vi c ch ra s d trong các phép chia t ng nh

t n gi n nh ng l i r t hay nh m l n Có nhi u cách ch ra s d trong phép chia

và sau ây là m t cách r t n gi n mà l i khó quên Các b n hãy i cùng tôi và ch

ra nh ng khi m khuy t v n tôi a ra c hoàn ch nh nhé!

1 Các d ng s d trong các phép chia c a ch ng trình Toán l p 4 tr xu ng.

Chia m t s t nhiên cho m t s t nhiên

ng này r t n gi n, các b n nhìn ra ngay nên tôi không phân tích nhi u!

2 Các d ng s d trong các phép chia c a ch ng trình Toán 5.

Click to buy NOW!

m

- N u nh tôi không ghi s d b ng trên thì r t nhi u b n cho r ng s d trong cácphép chia trên là 9 ho c 0,9 (R t nhi u h c sinh c a tôi nh m r ng s d u là9).

Sau ây là cách xác nh chính xác s d trong các phép chia trên:

- n ây các b n ã hi u ý tôi ch a?

- Có nh ng h c sinh ã ki m tra phép chia c a mình nh th này:

VD c) L y 3 x 27 + 9 = 90

VD h) L y 3,333 x 27 + 0,009 = 90

n ngh sao? Th c ch t s d c a hai phép chia này ph i là 900 và 0,00009!

* Nói tóm l i: Tôi nói thì r t dài nh ng các b n ch c n nh hai u sau:

1) Khi s chia, th ng c a phép chia là s th p phân thì s d là s th p phân

m

Ch ng trình toán 4 ã gi i thi u các bài toán v i l ng t l ngh ch ngay sau khicác em c làm quen v i các bài toán v i l ng t l thu n Trong bài vi t

“Toán v các i l ng t l thu n” c a tác gi V n Th n ng trên TTT s 43

ã giúp các b n n m c ph ng pháp gi i các bài toán có t i 3 i l ng mà hai

i l ng b t kì u t l thu n các b n nh n bi t nhanh và gi i thành th o cácbài toán v các i l ng t l ngh ch chúng ta cùng tìm hi u m y ví d sau :

Ví d 1 : 14 ng i p xong m t n ng trong 6 ngày H i 28 ng i p xong

n ng ó trong bao nhiêu ngày ? (N ng su t lao ng c a m i ng i nhnhau)

t ng i p xong n ng ó trong s ngày là : 6 x 14 = 84 (ngày)

28 ng i p xong n ng ó trong s ngày là : 84 : 28 = 3 (ngày)

*Cách 2 : Dùng t s

28 ng i so v i 14 ng i thì g p : 28 : 14 = 2 (l n)

28 ng i p xong n ng ó trong s ngày là : 6 : 2 = 3 (ngày)

Ví d 1 là m t bài toán c b n v 2 i l ng t l ngh ch N m v ng c ph ngpháp gi i c a bài toán c b n ó chúng ta có th gi i c bài toán có t i 3 i

ng mà hai i l ng b t kì u t l ngh ch Các b n hãy theo dõi ví d sau :

Ví d 2 : N u có 4 ng i m i ngày làm vi c 5 gi thì p xong n ng trong

12 ngày H i n u có 6 ng i m i ngày làm vi c 10 gi thì p xong n ng ytrong bao nhiêu ngày (n ng su t lao ng c a m i ng i nh nhau)

Bài toán 2a : N u 6 ng i m i ngày làm vi c 5 gi thì p xong n ng trong

8 ngày H i n u 6 ng i ó m i ngày làm vi c 10 gi thì s p xong n ng

ó trong m y ngày ? (n ng su t lao ng c a m i ng i nh nhau)

n công vi c y, bài toán 2 ã c nh s ng i ( u có 6 ng i) nên s gi làm

vi c trong m i ngày và s ngày là hai i l ng t l ngh ch Gi i bài toán này ta tìm

m

ng y trong m y ngày ? (s c lao ng c a m i ng i nh nhau).

Bài toán ã c nh công vi c ( p xong m t n ng) và s ng i ( u có 4

ng i) nên s gi làm vi c trong m i ngày và s ngày là hai i l ng t l ngh ch

Gi i bài toán trên ta tìm c áp s là 6 ngày

Bài toán 2b : N u 4 ng i, m i ngày làm vi c 10 gi thì p xong n ngtrong 6 ngày H i n u 6 ng i, m i ngày làm vi c 10 gi thì p xong n ng

y trong m y ngày ? (s c lao ng c a m i ng i nh nhau)

n công vi c y, bài toán này ã c nh s gi làm vi c trong m i ngày nên s

ng i và s ngày là hai i l ng t l ngh ch Ta d dàng gi i c bài toán này vàtìm ra áp s là 4 ngày áp s này c ng chính là áp s c a ví d 2

Vi c gi i ví d trên ta có th a v gi i liên ti p 2 bài toán n b ng 2 cách trong

ó có 1 bài toán v hai i l ng t l thu n, m t bài toán v 2 i l ng t lngh ch C ng có th a v gi i liên ti p 2 bài toán t l thu n Các b n hãy gi i t t các cách y nh ng nh nh n bi t ngay c bài nào thu c d ng nào tránh

nh m l n áng ti c TTT khuy n khích vi c sáng tác các bài toán t ng t và s cóquà cho các b n có hay nh t g i v s m nh t Hãy nhanh lên các b n nhé !

Kim Chi

(T Liêm, Hà N i)

TR NG CÂY TRONG TOÁN

Tr ng cây có ý ngh a th c ti n quan tr ng: l c s ch không khí, u ti t khí h u,làm p thành ph , duy trì sinh thái,

Nh v y, tr ng cây có gì liên quan n toán h c? ng nhiên là có Toán tr ngcây gây nhi u h ng thú cho ng i gi i b i l nó k t h p c hình h c l n s h c và

t l n a là nó có nhi u cách gi i Tìm ra m t cách gi i ã khó r i và tìm thêm

nh ng cách gi i khác l i càng khó h n Th nh ng u này v n luôn luôn h p d nchúng ta Các b n ch a tin ? V y thì tr c h t các b n hãy gi i bài toán sau thxem

Click to buy NOW!

m

Bài toán: B n hãy tr ng 10 cây thành 5 hàng, m i hàng g m 4 cây.

Bình th ng mu n tr ng 5 hàng, m i hàng có 4 cây thì ph i c n 4 x 5 = 20 cây

Nh ng ây l i có 10 cây, nên m i cây ph i s d ng 2 l n T ó ta tìm c cách

tr ng nh sau: L y compa v m t ng tròn, trên ng tròn l y 5 m b ng shàng c n tr ng N i l n l t m v i m t m khác, sao cho n u ta ánh s th tcác m theo m t chi u nào ó, thì các s c a hai m uôi n i v i nhau h n kémnhau b ng m t n a s cây tr ng m i hàng Các n th ng là các hàng c t nhau,

th : V i hình 1, chúng ta kéo dài các n th ng v hai phía thành các ng

th ng

ch chuy n m t ng th ng trong s các ng th ng ó S ghi trên ng

th ng ch s l n d ch chuy n và ng v i m i l n d ch chuy n cho ta m t áp án c abài toán

ó, ta có 6 cách tr ng cây th a mãn yêu c u c a bài toán

Click to buy NOW!

m

(40A2, khoa GDTH i H c Vinh)

D NG CH N TRÊN, CH N D I TRONG GI I TOÁN

Có th nói khi gi i các bài toán ti u h c, s d ng ch n trên, ch n d i giúp cho vi c gi inhi u bài toán tr nên sáng s a, m ch l c và có m t tác d ng không nh i v i vi c rèn duy toán h c cho h c sinh ti u h c Tuy nhiên th thu t trên ch là m t b c trong dãycác b c gi i m t bài toán vì th nó ít c l u ý v i h c sinh giúp các b n h c sinhlàm quen v i phép suy lu n trên, chúng ta hãy cùng nhau gi i m t s bài toán sau :

m

thi h c sinh gi i Hà N i, 1984 - 1985)

Bài gi i : G i ABCD là hình ch nh t ban u (AB = 50 m) ; ABMN là hình ch nh ti

Di n tích hình ch nh t DCMN là : 50 x 10 = 500 (m2)

Di n tích hình ch nh t ABCD không v t quá : 50 x 50 = 2500 (m2)

Click to buy NOW!

m

Bài 3 : M t c quan t ch c i tr ng cây M t ph n ba s nhân viên mang theo con, nh ng

ch mang theo 1 con Nhân viên nam tr ng 13 cây, nhân viên n tr ng 10 cây, tr em tr ng

6 cây

i c quan ó có bao nhiêu nhân viên nam ? Bao nhiêu nhân viên n ? Bi t h tr ng

c t t c 216 cây

thi h c sinh gi i liên t nh H ng Công)

Bài gi i :(Dùng ch n trên, ch n d )i

Theo bài, m t nhân viên nam tr ng nhi u cây h n m t nhân viên n nên b ng phép th ,

ta bi t c : nhân viên ít h n 18 ng i vì n u s nhân viên b ng 18 ng i thì s cây tr ng ít nh t(khi nhân viên toàn n ) là: Gi s s nhân viên ít nh t là 18 thì s tr em ít nh t là : 10 x 18+ 6 x (18 : 3) = 216 (cây) úng b ng s cây c a u bài

- S nhân viên ph i nhi u h n 14 ng i vì n u s nhân viên b ng 14 ng i thì s câu tr ng

c nhi u nh t (khi nhân viên toàn nam) là: 13 x 14 + 6 x (14 : 3) =210 (cây) (nh h n

216 cây)Theo bài l i có: 1/3 s nhân viên có mang theo con V y s nhân viên ph i chia h t cho

áp s : nhân viên n : 3 ; nhân viên nam : 12

Nh v y qua 3 bài toán nh ng d ng khác nhau, vi c s d ng ch n trên, ch n d i giúpchúng ta gi i c bài toán và h n ch c s tr ng h p c n th ch n

Sau ây là m t s bài toán các em v n d ng

1 a) n ch s vào d u (?) trong tr ng h p sau : ?? + ?? = ?97

b) Tìm s nguyên nh nh t sao cho t ng các ch s c a nó b ng 22

m

(Khoa Ti u h c, Tr ng C SP Hà N i)

NHI U H N M T CÁCH GI I !

Sau khi bài vi t c a mình c ng trong chuyên m c “Gi i toán th nào ?” c a

p chí TTT1 s 46, tôi nh n c nhi u th c a b n c do tòa so n chuy n t i

t b n tâm s : “Nh có các bài vi t c a cô và tác gi V n Th n nên em ã

bi t gi i c b ng nhi u cách nh ng bài toán mà lâu nay em r t lúng túng” Nhi u

n gi i ví d 3 và nh tôi ki m tra k t qu Ng c l i, b n H ng S n, 9A3,

THCS Lâm Thao, Phú Th còn kh ng nh : “Không th gi i bài toán b ng cách

thông qua vi c gi i liên ti p hai bài toán t l thu n” Bài vi t này xin trình bày rõ

n m t s h ng a bài toán v vi c gi i liên ti p các bài toán n Ta tr l i ví

3 (TTT1 s 46) :

“N u m i ca có 24 công nhân, m i công nhân ng 2 máy thì d t c 720 mét v i

u m i ca ch có 12 công nhân nh ng ph i d t 1440 mét v i thì m i công nhân

ph i ng m y máy ?”

Tóm t t :

24 công nhân, m i công nhân ng 2 máy d t c 720 m

12 công nhân, m i công nhân ng ? máy d t c 1440 m

a bài toán trên v gi i liên ti p các bài toán n b ng cách c nh m t i l ngtrong ba i l ng, ta s có 7 h ng sau ây :

1a) N u m i ca có 24 công nhân, m i công nhân ng 2 máy thì d t c 720 mét

i H i n u m i ca có 12 công nhân, m i công nhân ng 2 máy thì d t c baonhiêu mét v i ?

Bài toán t l thu n này, gi i ra ta tìm c áp s là 360 m

1b) N u m i ca có 12 công nhân, m i công nhân ng 2 máy thì d t c 360 mét

i H i n u ca ó ph i d t 1440 mét v i thì m i công nhân ph i ng m y máy ?Bài toán t l thu n này, gi i ra ta tìm c áp s là 8 máy, ây c ng là áp s c a

ví d 3

2a) N u m i ca có 24 công nhân, m i công nhân ng 2 máy thì d t c 720 mét

i H i n u m i ca có 12 công nhân mu n d t c s v i ó thì m i công nhân

ph i ng m y máy ?Bài toán t l ngh ch này, gi i ra ta c áp s là 4 máy

2b) N u m i ca có 12 công nhân m i công nhân ng 4 máy thì d t c 720 mét

i H i v n ch có 12 công nhân trong m t ca nh ng ph i d t 1440 mét v i thì m icông nhân ph i ng m y máy ?

Bài toán t l thu n này, gi i ra ta c áp s là 8 máy, ây c ng là áp s c a ví 3

3a) N u m i ca có 24 công nhân, m i công nhân ng 2 máy thì d t c 720 mét

i H i mu n d t 1440 mét v i thì m i công nhân ph i ng m y máy ?Bài toán t l thu n này, gi i ra ta c áp s là 4 máy

3b) N u m i ca có 24 công nhân, m i công nhân ng 4 máy thì d t c 1440 mét

i H i n u m i ca có 12 công nhân, mu n d t c s v i ó thì m i ng i ph i

ng m y máy ?Bài toán t l ngh ch này, gi i ra ta c áp s là 8 máy, ây c ng là áp s c a ví 3

Click to buy NOW!

m

4a) N u m i ca có 24 công nhân, m i công nhân ng 2 máy thì d t c 720 mét

i H i mu n d t 1440 mét v i mà m i công nhân ch ng 2 máy thì m i ca c nbao nhiêu công nhân ?

Bài toán t l thu n này, gi i ra ta c áp s là 48 công nhân

4b) N u m i ca có 48 công nhân, m i công nhân ng 2 máy thì d t c 1440 mét

i H i n u m i ca ch có 12 công nhân mu n d t c s v i ó thì m i công nhân

ph i ng m y máy ?Bài toán t l ngh ch này, gi i ra ta c áp s là 8 máy, ây c ng là áp s c a ví 3

5a) N u m i ca có 24 công nhân, m i công nhân ng 2 máy thì d t c 720 mét

i H i n u mu n d t s v i ó mà m i công nhân ch ng 1 máy thì c n baonhiêu công nhân ?

Bài toán t l ngh ch này, gi i ra ta c áp s là 48 công nhân

5b) N u m i ca có 48 công nhân, m i công nhân ng 1 máy thì d t c 720 mét

i H i mu n d t 1440 mét v i mà m i công nhân ch ng 1 máy thì c n baonhiêu công nhân ?

Bài toán t l thu n này, gi i ra ta c áp s là 96 công nhân

5c) N u m i ca có 96 công nhân, m i công nhân ng 1 máy thì d t c 1440 mét

i H i m i ca ch có 12 công nhân mu n d t c s v i ó thì m i công nhân

ph i ng m y máy ?Bài toán t l nghich này gi i ra ta c áp s là 8 máy, ây c ng là áp s c a ví 3

6a) N u m i ca có 24 công nhân, m i công nhân ng 2 máy thì d t c 720 mét

i N u m i ca ch có m t công nhân, mu n d t s v i ó thì m i công nhân ph i

ng m y máy ?Bài toán t l ngh ch này, gi i ra ta c áp s là 48 máy

6b) N u m i ca có m t công nhân, m i công nhân ng 48 máy thì d t c 720mét v i H i n u m i ca có 12 công nhân mu n d t s v i ó thì m i công nhân ph i

ng m y máy ?Bài toán t l ngh ch này, gi i ra ta c áp s là 4 máy

6c) N u m i ca có 12 công nhân, m i công nhân ng 4 máy thì d t c 720 mét

i H i mu n d t 1440 mét v i thì m i công nhân ph i ng m y máy ?Bài toán t l thu n này, gi i ra ta c áp s là 8 máy, ây c ng là áp s c a ví 3

7a) N u m i ca có 24 công nhân, m i công nhân ng 2 máy thì d t c 720 mét

i N u m i ca ch có m t công nhân, mu n d t s v i ó thì m i công nhân ph i

ng m y máy ?Bài toán t l ngh ch này, gi i ra ta c áp s là 48 máy

7b) N u m i ca ch có m t công nhân, m i công nhân ng 48 máy thì d t c 720mét v i Mu n d t 1440 mét v i thì công nhân y ph i ng m y máy ?

Bài toán t l thu n này, gi i ra ta c áp s là 96 máy

7c) N u m i ca ch có m t công nhân, m i công nhân ng 96 máy thì d t c

1440 mét v i H i n u m i ca có 12 công nhân c ng ch d t s v i ó thì m i côngnhân ng m y máy ?

Bài toán t l ngh ch này, gi i ra ta c áp s là 8 máy, ây c ng là áp s c a ví 3

Click to buy NOW!

m

Trên ây là 7 h ng a ví d 3 v vi c gi i liên ti p các bài toán n các bàitoán trên ta luôn gi s n ng su t các máy nh nhau T t nhiên trong m i bài toán

n c ng có nhi u cách tìm ra áp s Vi c a v gi i các bài toán n nh m

“g r i” khi g p nh ng bài toán có t i 3 i l ng Tuy nhiên có bài toán nkhông phù h p v i th c t mà ch có ý ngh a nh m t “gi thi t t m” (h ng 6, 7)

Hi v ng bài vi t này giúp cho H ng S n và nhi u b n khác không còn b n kho n

các cách gi i bài toán ví d 3 n a và c ng không ng i khi g p d ng toán có ba

i l ng

KIM CHI

(Hà N i)

CÁC PHÂN S N M GI A HAI S

t d ng toán khá thú v là yêu c u tìm các phân s n m gi a hai s cho tr c M t l u ý

i các b n là : gi a hai s cho tr c b t kì bao gi c ng có r t nhi u phân s N u không

có yêu c u gì thêm v các phân s này thì chúng ta s không bao gi vi t h t các phân s

m gi a hai s cho tr c

Thí d 1 : Hãy th tìm 3 phân s n m gi a 3/7 và 5/7.

Nhi u b n cho là “Làm gì có phân s nào gi a hai phân s này ?” Ta th nhân c t và

u c a hai phân s v i 2 thì c 8/14 và 10/14 n ây thì các b n “ ki m” ngay c9/14 N u nhân ti p t và m u c a hai phân s trên v i 2 thì c 16/28 và 20/28 Th làcác b n k ra ngay c 3 phân s th a mãn bài toán là 17/28, 18/28, 19/28 C ti p t c

nh v y các b n có th vi t ra bao nhiêu phân s n a c ng c

Thí d 2 : Hãy vi t t t c các phân s n m gi a 1/3 và 16/27 mà m u s là 9.

Gi i : Ta có1/3 = 9/27 Các phân s l n h n 9/27 và nh h n 16/27 là : 10/27, 11/27,12/27, 13/27, 14/27, 15/27 Trong các t s ch có 12 và 15 chia h t cho 3 nên ch có haiphân s th a mãn bài toán là : 12/27 = (12 : 3)/(27 : 3) = 4/9 và 15/27 = (15 : 3)/(27 : 3) =5/9

Thí d 3 : Có bao nhiêu phân s n m gi a 5/6 và 6/7 mà t s nh h n 2004 ?

Ta có 2004 : 6 = 334 nên vi t 6/7 = (6 x 334)/(7 x 334) = 2004/2338

t khác : 5/6 = (5 x 2338/6 )/2338 = (1948 1/3)/2338

Do ó các phân s th a mãn bài toán có m u là 2338 và t là các s t nhiên t 1949 n

2003 V y s các phân s th a mãn bài toán là :

Bài 3 : Có bao nhiêu phân s n m gi a 2003 và 2004 có m u l n h n 50?

Lê H ng G m (Giáo viên tr ng TH Tây T u, T Liêm, Hà N i)

Click to buy NOW!

m

T GHÉP HÌNH TRÊN GI Y K Ô VUÔNG

Vi c gi i bài toán c t, ghép hình òi h i ph i quan sát, phân tích t ng h p các y u

gi i bài toán c t, ghép hình là khó và ph c t p, c ng vì v y mà s c h p d n và s lôi kéo c a các bài t p này càng l n.

Vi c v hình trên gi y k ô vuông s giúp ta d hình dung h n ph n nào c nguyên, ph n nào ph i c t, ghép và ph i c t ghép nh th nào?

Vi c gi i bài toán c t ghép hình có th ti n hành theo qui trình:

1 V hình ã cho trên gi y k ô vuông sao cho có th m c s ô vuông c ahình v Quan sát c m các y u t hình ã cho: nh, c nh, góc; v trí; hình d ng

và l n T ng t ng ra hình c n ghép c (có th v th trên gi y k ô vuông)

2 Phân tích, i chi u, so sánh các y u t hình ã cho và c n tìm xác nh các y u nào ã c th a mãn; xác nh c b ph n nào c n c t ghép Th c hi n c tghép th

3 C t ghép theo s phân tích b c 2

4 Ki m tra các yêu c u c a bài toán, tìm các cách ghép khác và ch n cách t t nh t.

Ví d 1: Có m t t bìa hình vuông ã c t i 1/4 hình vuông ó m t góc Hãy chia

c 3: C t theo ng ABDEFGH ta c 1 m nh C t m nh còn l i theo 2ng: FI và CD ta c 3 m nh còn l i

c 4: B n m nh c c t là: MHGFIN; HGEBA; FIKCD; CDAQP u là 1 ôvuông l n b i m t ô vuông nh còn 3 ô vuông có hình d ng nh nhau và b ngnhau v l n

Ví d 2: Chia hình vuông thành 4 hình tam giác có di n tích b ng nhau.

c 1: V hình vuông trên gi y k ô vuông Hình vuông c chia thành 16 ôvuông nh

Click to buy NOW!

m

c 2: M nh c c t ra là các tam giác có di n tích b ng nhau, m i tam giác có

di n tích 4 ô vuông Khi ó c nh áy và chi u cao t ng ng c a m i tam giác có dài b ng dài c nh 4 và 2 ô vuông

c 3: C t hình vuông theo hai ng chéo AC và BD t o ra b n tam giác OAD;

ODC; OCB và OBA b ng nhau và cùng di n tích b ng 4 ô vuông nh

c 4: Các tam giác OAD; ODC; OCB; OBA b ng nhau: G p hình vuông theo hai

ng chéo ta c 4 tam giác trùng khít lên nhau, do ó nó b ng nhau và b ngnhau v di n tích

Cách khác: M i m nh c c t ra là m t tam giác có di n tích 4 ô vuông, nên tamgiác ó có c nh và dài ng cao t ng ng là dài c nh 4 và 2 ô vuông N u

y AB làm 1 c nh c a 1 tam giác c c t ra thì nh còn l i c a tam giác thu c

ng th ng MN, các v trí c a nh có th là M, F, O Vì v y ta còn có các cách

gi i sau:

Cách 2: C t theo các ng BM; CM; MN

Cách 3: C t theo ng AE; BE; AF

Ví d 3: Cho hình ch nh t có dài c nh là 9 cm và 16 cm Hãy c t hình ch nh tthành 2 m nh ghép l i c 1 hình vuông

c 1: V hình ch nh t trên gi y k ô vuông S ô vuông là: 9 x 16 = 144 (ô

vuông) Hình ghép c t hai m nh c t ra là hình vuông cùng di n tích là 144 ônên m i c nh hình vuông dài là c nh 12 ô vuông

Click to buy NOW!

m

c 2: Hình vuông ghép l i t hai m nh có d ng nh hình AEFG Khi ó AD kéo

dài DG có dài 3 ô vuông và AB b rút ng n b t i BE có dài c nh 4 ô vuông

Hình ch nh t DHFG có dài c nh t ng ng 12 ô; và 3 ô là hình c ghép v ihình ch nh t AEHD có hình vuông AEFG N u c t theo ng XY thì hình ch

nh t t ng ng ghép c hình ch nh t DHFG là hình ch nh t YTCX Khi ó

B chuy n t i v trí N; E chuy n t i v trí M và M chuy n t i v trí Y

c 3: C t hình ch nh t theo ng XYZMNE; DX = 4; YZ = 4; MN = 4 ta chai m nh là ADXYZMNE và CXYZMNEB

c 4: Ghép m nh CXYZMNEB trùng v i FGDXYZMN ta c hình vuôngAGFE

m

di n tích c dùng gi i các bài toán có n i dung c p n ba i l ng.

Giá tr c a m t trong ba i l ng b ng tích các giá tr c a hai i l ng kia Dùng

di n tích chúng ta s gi i nhanh các bài toán ó vì ã a v bài toán tr cquan là bài toán di n tích hình ch nh t Sau ây là m t s thí d :

Ví d 1:

t ô tô i t A n B v i v n t c 30km/gi , sau ó i t B quay v A v i v n t c40km/gi Th i gian i t B v A ít h n th i gian i t A n B là 40 phút Tính dài quãng ng AB

Phân tích: Vì quãng ng AB (s = v x t) không i, nên ta có th xem v n t c (v)

là chi u dài c a m t hình ch nh t và th i gian (t) là chi u r ng c a hình ch nh t

40 x 2 = 80 (km)

áp s : 80 kmChú ý là s1 = s2

Ví d 2: B n Toán a ti n d nh mua m t s quy n v lo i 2500 ng/ quy n

Nh ng n c a hàng ch còn v lo i 3000 ng/quy n Toán c b n kho n có nênmua lo i v này không? Vì n u mua thì s v d nh b h t m t hai quy n Tính s

ti n b n Toán mang i?

Phân tích: Vì s ti n b n Toán mang i không i, nên ta có th xem giá ti n c a

i lo i v là chi u dài c a m t hình ch nh t và s quy n v là chi u r ng c ahình ch nh t ó V s :

Click to buy NOW!

m

Gi i: N u b n Toán mua s v lo i 2500 ng/quy n b ng s v nh mua lo i

Bài 1: M t ôtô i t Vinh n Hà N i d nh i v i v n t c 30 km/h Nh ng do

tr i m a nên ch i c 25 km/h, nên n Hà N i mu n m t 2 gi so v i th i gian

nh Tính quãng ng Vinh - Hà N i?

Bài 2: B b n An n m nay 30 tu i N u l y s tu i b b n An cách ây 5 n m và s

tu i c a An bây gi c ng v i 2 r i nhân hai s ó v i nhau thì c ng b ng s tu i b

n An bây gi nhân v i s tu i b n An bây gi Tính tu i b n An bây gi ?

Phan Duy Ngh a

(Tr ng i H c Vinh)

PHÁT TRI N T DUY SÁNG T O QUA CÁC BÀI TOÁN C T - GHÉP HÌNH

Rèn luy n t duy sáng t o toán h c cho h c sinh ti u h c là vi c r t c n thi t trongquá trình d y h c l a tu i này, t duy c a h c sinh là "tr c quan" và "c th ", chonên khi d y các em, giáo viên c n nghiên c u và có th phát tri n t duy sáng t o

p

i ây xin trình bày các d ng toán ó

m

Hãy c t m t hình vuông thành b n hình tam giác r i x p b n hình tam giác ó thành hai hình vuông (Toán 2 trang 34)

Gi i.

Ta c t hình vuông l n theo hai ng chéo ta c b n hình tam giác và ghép haihình tam giác l i ta c m t hình vuông nh

Bài toán 2.

hai hình nh hình bên trên gi y k ô vuông r i c t m i hình ó thành hai m nh

ng nhau khi ghép c 4 m nh l i thì c m t hình vuông (Toán 3, trang 105)

c 3 C t ghép hai hình ch th p nh bài toán (2)

Click to buy NOW!

m

Các bài t p rèn luy n thêm :1) C t m t hình nh hình d i thành 5 m nh ghép l i c m t hình vuông2) M t ng i có m t mi ng ván hình ch nh t, 1,5m, r ng 0,3m Ng i ó mu n

t mi ng ván ó thành nhi u m nh sao cho ghép các m nh này l i thì c m thình vuông (Bài toán : Giúp bác th m c)

Tr n V n H nh

(Cao ng S ph m Qu ng Ngãi

GI I TOÁN

d ng s n th ng trong gi i toán ã tr thành m t ph ng pháp h u hi u trong

vi c gi i m t s d ng toán ti u h c Trong bài "Phát tri n t m t bài toán c b n" c a tác

gi ng Ph ng Hoa, TTT s 33 là m t minh ch ng cho v n này Trong bài này, d avào m t bài toán c b n c a l p 4 tôi nêu lên nguyên lí chung c a các l i gi i, t ó áp

ng cho vi c tìm l i gi i c a m t bài toán khác

m

ho c : 2004 - 901 = 1103

áp s : S bé : 901 ; s l n : 1103

Bài toán 2 : Kh i l p 4 có b n l p v i t ng s h c sinh là 156 em L p 4A nhi u h n l p

4B là 10 em L p 4C ít h n l p 4A là 4 em L p 4B và l p 4D có s h c sinh b ng nhau

h c sinh 4A là : 35 + 10 = 45 (em)

h c sinh 4C là : 35 + 6 = 41 (em)

áp s : 4A : 45 em, 4B : 35 em, 4C : 41 em, 4D : 35 em

Cách gi i 2 : (Bi n thành 4 n b ng nhau và b ng n th ng bi u th s h c sinh 4A)

m