Website tailieumontoan com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH Đề chính thức KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2020 2021 Môn thi chuyên TOÁN (Chuyên Toán) Ngày thi 18/7/2020 Thời gian làm bài 150 phút Bài 1 (2,0 điểm) 1 Tìm tất cả các giá trị nguyên của để biểu thức nhận giá trị nguyên 2 Cho phương trình Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt khác 0 thỏa Bài 2 (2,5 điểm) 1 Giải phương trình 2 Giải hệ phương trình Bài 3 (1,5 điểm) Tìm tất cả các số nguyên tố và sao cho là một số[.]
Trang 1Website: tailieumontoan.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BÌNH ĐỊNH
Đề chính thức
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2020-2021 Môn thi chuyên: TOÁN (Chuyên Toán) Ngày thi: 18/7/2020
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1 (2,0 điểm)
1 Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức
P
nhận giá trị nguyên
2 Cho phương trình:
2
2x − +3x 2m=0
Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm
phân biệt
1, 2
x x
khác 0 thỏa
1 2
1 1
1
x −x =
Bài 2 (2,5 điểm)
1 Giải phương trình:
4 2
2 2
1 1
x − + =x x
2 Giải hệ phương trình
x y y x
+ = −
Bài 3 (1,5 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên tố
p
và
q
sao cho
là một số chính phương
Bài 4 (3,0 điểm)
1 Cho tam giác ABC cân tại A (với
BAC< °
) nội tiếp đường tròn ( )O
Gọi M
là điểm bất kì trên cung nhỏ »BC
Chứng minh rằng MA MB MC> +
Trang 2
Website: tailieumontoan.com
2 Cho tam giác ABC nhọn
(AB AC< )
nội tiếp trong đường tròn tâm O Gọi D là trung điểm cạnh BC và E, F tương ứmg là hình chiếu vuông góc của D lên AC và
AB Đường thẳng EF cắt các đường thẳng AO và BC theo thứ tựu tại M và N a) Chứng minh tứ giác AMDN nội tiếp
b) Gọi K là giao điểm của AB và ED, L là giao điểm của AC và FD, H là trung điểm của KL và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF Chứng minh
HI ⊥EF
Bài 5 (1,0 điểm)
Cho
,
x y
là 2 số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2
(x y) (x y)
A
+
Trang 3Website: tailieumontoan.com
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1 (2,0 điểm)
1 Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức
P
nhận giá trị nguyên
2 Cho phương trình:
2
2x − +3x 2m=0
Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm
phân biệt
1, 2
x x
khác 0 thỏa
1 2
1 1
1
x −x =
Lời giải
1 Điều kiện:
0, 1
x≥ x≠
Ta có
P
( 1 31)( 37) ( ( 13)( )( 11) ) ( ( 31)( )( 33) )
=
=
1
x
−
1
x
− +
Để P nhận giá trị nguyên thì x− ∈1 U( ) {2 = − −2; 1;1; 2}
Suy ra x∈{0; 4;9}
Trang 4Website: tailieumontoan.com
2 Ta có
3 4.2.2m 9 16m
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt
1, 2
x x
khác không thì
9 0
16
m
∆ > <
(*)
Theo hệ thức Vi-et ta có
1 2
1 2
3 2
x x
x x m
+ =
Ta có
1 2
1 1
1
x −x =
2
1 2
1 1
1
x −x =
⇔
2
2 1
1 2
1
x x
x x
−
2
1 2 1 2
2
1 2
4
1
x x x x
x x
2
9
4
4 m 1
m
−
1
9 4
2
m
m
=
= −
(thỏa mãn điều kiện (*))
Vậy
;
m= m= −
Bài 2 (2,5 điểm)
1 Giải phương trình:
4 2
3 2
1 1
x − + =x x
2 Giải hệ phương trình
x y y x
+ = −
Lời giải
1 Điều kiện
2
x + x − ≠x
Ta có
3
4 2
2
1 1
x − + =x x
+ − ⇔2 x( 4− +x2 1) =x3+3x2−x
Trang 5Website: tailieumontoan.com
4 3 2
2x x 5x x 2 0
2
2
1 2
x x
2
⇔ + ÷ + − ÷− =
Đặt
Ta được phương trình 2(t2+ + − =2) t 5 0
2
1
2
t
t t
t
= −
=
Với t = −1
thì
2
1 5
1 5 2
x
x
x
=
− = − ⇔ − − = ⇔
=
Với
1
2
t=
thì
1 17
4
x
x
x
− +
=
− −
=
Vậy phương trình có nghiệm
;
2 Ta có
x y y x
+ = −
x y y x
⇔
+ = −
2 x y 1 x y 3x 2y
x y y x
+ + + + = +
⇒
+ = −
2 x y 2x y 1
x y y x
⇒
+ = −
2 y x 2x y 1
x y y x
⇒
+ = −
4 1
y x
x y y x
= −
⇒ + = −
4 1
5 1 3 1
y x
= −
⇒
− = −
2
4 1
y x
= −
4 1
9 11 2 0
y x
= −
1 2 9
4 1
x x
y= x−
⇒
=
=
1, 3
,
x y
⇒
= = −
Trang 6Website: tailieumontoan.com
Thử lại ta thấy
( )1;3
là nghiệm,
2 1
;
9 9
−
không phải là nghiệm
Vậy hẹ phương trình có nghiệm
( )1;3
Bài 3 (1,5 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên tố
p
và
q
sao cho
3
là một số chính phương
Lời giải
Giả sử
3
Suy ra
(p q+ ) +pq a=
Do đó:
pq= − −a p q a p q+ +
và
a p q a p q+ + > − −
Nhận thấy vì
,
p q
là số nguyên tố nên ta chỉ xét 2 trường hợp sau:
TH1:
1
a p q− − =
và
a p q+ + = pq
Suy ra
1
a= + +p q
và
a= pq p q− −
Kết hợp suy ra
1 p q pq p q+ + = − −
suy ra
pq− p− − =q
suy ra
(p−2)(q− =2) 5
suy ra ( , ) (3,7),(7,3)p q =
TH2: Nếu
( )1
a p q q+ + =
(trường hợp bằng
p
tương tự) Khi đó
( )2
a p q− − = p
Kết hợp (1) và (2) ta có
q+ p=
(vô lý)
Vậy chỉ có
( , ) (3,7),(7,3)p q =
Bài 4 (3,0 điểm)
Trang 7Website: tailieumontoan.com
1 Cho tam giác ABC cân tại A (với
BAC< °
) nội tiếp đường tròn
( )O
Gọi M
là điểm bất kì trên cung nhỏ »BC
Chứng minh rằng MA MB MC> +
2 Cho tam giác ABC nhọn
(AB AC< )
nội tiếp trong đường tròn tâm O Gọi D là trung điểm cạnh BC và E, F tương ứmg là hình chiếu vuông góc của D lên AC và
AB Đường thẳng EF cắt các đường thẳng AO và BC theo thứ tự tại M và N
a) Chứng minh tứ giác AMDN nội tiếp
b) Gọi K là giao điểm của AB và ED, L là giao điểm của AC và FD, H là trung điểm của KL và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF Chứng minh
HI ⊥EF
Lời giải
1 Dựng tam giác đều AB C′ ′
Trên MA lấy H sao cho MH =MB′
Tam giác MB H′
đều,
suy ra
HB M′ = °
, do đó
·AB H′ =C B M· ′ ′
suy ra
( c.g.c )
AB H′ C B M′ ′
nên AH =MC′.
Do đó MA MB= ′+MC′
Ta có
B AM′ >BAM ⇒B M′ >BM, C AM·′ >CAM· ⇒C M′ >CM
Suy ra MA MB MC> +
2
Trang 8Website: tailieumontoan.com
a) Dễ thấy DFAE nội tiếp
MAD DA = E OAE− =DAE· −(900−ABC· ) · · 0
ABC DAE 90
MND FNB= =ABC NFB· −· =ABC AFE· −· =ABC ADE· −·· =ABC· −(90°−DAE· )
ABC DAE 90° MAD
nội tiếp b) Dễ thấy D là trục tâm tam giác AKL Tam giác KEL vuông tại E, H là trung điễm cạnh huyền KL nên
HEK HKE=
Mà
HKE DAE=
(cùng phụ ·ALK
)
Suy ra
HEK DAE=
Do đó HE là tiếp tuyến của đường tròn (I)
Chứng minh tương tự HF cũng là tiếp tuyến của (I) Suy ra HI ⊥EF
Bài 5 (1,0 điểm)
Cho
,
x y
là 2 số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2
(x y) (x y)
A
+
Lời giải
Trang 9Website: tailieumontoan.com
Ta có
2 2
(x y) (x y)
A
+
2 2
+
2 2
2 2
+
2 2 2 2
2 2
+
Ta có
2
2
2
xy
x
xy
(dấu bằng xảy ra khi
x= y
)
Ta có
2 2
2 1
(dấu bằng xảy ra khi
x= y
)
Do đó A≥ + + + =1 2 2 1 6
(dấu bằng xảy ra khi
x= y
)
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 6 khi
.
x=y