Đề vào lớp 10 chuyên toán Phú Thọ năm 2020

Website tailieumontoan com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2020 2021 Môn Toán (Dành cho thí sinh thi chuyên Toán) Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang Câu 1 (2,0 điểm) a) Cho và Chứng minh rằng b) Cho thỏa mãn Tính giá trị của biểu thức Câu 2 (2,0 điểm) a) Cho phương trình trong đó Chứng minh nếu phương trình có nghiệm thì b) Cho dãy số gồm 4041 số chính phương liên tiếp, tron[.]

Website: tailieumontoan.com

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

PHÚ THỌ TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10

NĂM HỌC 2020-2021 Môn: Toán

(Dành cho thí sinh thi chuyên Toán)

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

Đề thi có 01 trang Câu 1 (2,0 điểm)

a) Cho x y z  x2y2z2  và 2 xyz Chứng minh rằng 0

x  y z xyz

b) Cho 0  thỏa mãn x 2  2   2 

Tính giá trị của biểu thức

 2 2020  

2021 2

1 2

x x



Câu 2 (2,0 điểm)

a) Cho phương trình x2mx n  trong đó 0 m2n2 2020. Chứng minh nếu phương trình có nghiệm x thì 0 x0  2021

b) Cho dãy số gồm 4041 số chính phương liên tiếp, trong đó tổng của 2021 số đầu bằng tổng của 2020 số cuối Tìm số hạng thứ 2021của dãy số đó

Câu 3 (2,0 điểm)

a) Giải hệ phương trình





b) Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn 9x216x96 16 y3x24

Câu 4 (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H và nội tiếp đường tròn ( ). O Gọi P là điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC và nằm trong tam giác ABC (, P B C H, , ).

Gọi M là giao điểm của đường thẳng PB với đường tròn ( ), O (M B  ); N là giao điểm của đường thẳng PC với ( ), O ( N C  ) Đường thẳng BM cắt AC tại , E đường thẳng CN cắt AB tại

F Đường tròn ngoại tiếp tam giác AME và đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF cắt nhau tại Q

,Q A 

a) Chứng minh tứ giác AEPF nội tiếp.

b) Chứng minh M N Q thẳng hàng., ,

c) Trong trường hợp AP là phân giác của MAN chứng minh PQ đi qua trung điểm của· , đoạn thẳng BC

Câu 5 (1,0 điểm) Cho , , x y z Chứng minh bất đẳng thức0

ĐỀ CHÍNH THỨC

2 1

2

yz  xy yz  xy 

Hết

Họ và tên thí sinh: SBD:

Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG

NĂM HỌC 2020-2021 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN TOÁN

(Dành cho thí sinh thi chuyên Toán)

Hướng dẫn chấm có 06 trang

I Một số chú ý khi chấm bài

- Đáp án chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách Khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm

- Thí sinh làm bài theo cách khác với hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với thang điểm của hướng dẫn chấm

- Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số

II Đáp án – thang điểm

Câu 1 (2 điểm):

a) Cho x y z   x2y2z2  và 2 xyz  Chứng minh rằng: 0

x  y z xyz

Từ x y z   có được 2 x2 y2 z2 2xy yz zx   4 0,25  xy yz zx  1 0,25

Doxyz nên ta có 0

x  y z xyz

b) Cho 0  thỏa mãn: x 2  2   2 

23

Tính giá trị của biểu thức:

 2 2020  

2021 2

1 2

x x



Điều kiện

2 2

1 0

x x

   





  



0,25

Website: tailieumontoan.com

       

Đặt

1

t x

x

 

có phương trình trở thành:

3 2 0

2

t

t t

t





2 2

1

;

x

x

  



0,25

Vì 0  và đối chiếu điều kiện nên có được x 2 x 1 2 5 x2 x 1 0



Vậy

 2 2020  

2021 2

1 2

x x



 

2

2

1

1 1

x x

x x

  

0,25

Câu 2 (2 điểm):

a) Cho phương trình x2mx n 0trong đó m2n2 2020. Chứng minh nếu phương trình có nghiệm x thì 0 x0  2021

Vì x là nghiệm phương trình0 2 2

x mx   n x  mx n 0,25

Ta có 4  2  2 2  2   2 

 

0 1 2020 0 1 0 2020 0 2021 0

 2   2  2

b) Cho dãy số gồm 4041 số chính phương liên tiếp, trong đó tổng của 2021 số đầu bằng tổng của 2020 số cuối Tìm số hạng thứ 2021của dãy số đó

Gọi số chính phương thứ 2021 là x x N x2,  ; 2020

Ta có 4041 số chính phương liên tiếp là:

2020 ; 2019 ; ; 1 ; ; 1 ; ; 2020

0,25

Theo đề bài

  2 2  2 2   2 2  2

x  x   x x  x  x   x 0,25

2

2020.2021

4 1 2 3 2020 4

2

x2 8164840x x 8164840(vì x khác 0)

Câu 3 (2 điểm):

a) Giải hệ phương trình:





2 2

2 2

2 2

x y

0,25

Do

2 2

2 2

x y

Thế 2y   vào ta có1 x

 2 : 4 8 3 14 2 8 15 0  2 1  2 8 15 0

pt x  x  x  x   x  x  x 

1 1 3 5

x x x x





  





  

  



0,25

Vậy hệ phương trình có nghiệm là:1; 1 ; 1;0 ; 3;1 ; 5;2        0,25

b)Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn: 9x216x96 16 y3x24

Ta có 9x216x96 16 y3x24  9x2  16x 96 3  x 16y 24

Đặt 3x16y24a với a N * Khi đó 9x2 16x96a2 0,25

9 8 3 9 8 3 800 (*)

Thay a3x16y24vào (*)

0,25

Website: tailieumontoan.com

25 3y 5

 M  mà 3y5chia 3 dư 2 3y  5 { 1;5; 25}

- Với 3y       5 1 y 2 x 1(Thỏa mãn)

- Với 3y     5 5 y 0 x 3(Loại vì a<0)

- Với 3y        5 25 y 10 x 23(Thỏa mãn)

Vậy ( , )x y  1; 2 , 23; 10   

0,25

Câu 4.(3 điểm): Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H và nội tiếp đường tròn ( ). O Gọi P là điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC và nằm trong tam giác ABC (, P B C H , , ).

Gọi M là giao điểm của đường thẳng PB với đường tròn ( ), O (M B  ); N là giao điểm của đường thẳng PC với ( ), O ( N C  ) Đường thẳng BM cắt AC tại , E đường thẳng CN cắt AB tại

F Đường tròn ngoại tiếp tam giác AME và đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF cắt nhau tại Q

,Q A 

Vẽ hình:

a) Chứng minh tứ giác AEPF nội tiếp.

mà ·BPC BHC· ·EPF .Suy ra được ·BAC EPF· 1800 nên tứ giác AEPF nội tiếp 0,5

b) Chứng minh M N Q thẳng hàng., ,

Từ tứ giác AEPF nội tiếp, suy ra ·BFC BEC· 1800. 0,25

Từ các tứ giác AQFN AQEM nội tiếp ta có ·, MQN MQA NQA· · 0,5

MEA NFA

c) Trong trường hợp AP là phân giác của MAN chứng minh PQ đi qua trung điểm của· ,

đoạn thẳng BC

Ta có: QFA ANQ·  · ·ANM  ·ABM

suy ra FQ BE tương tự / / EQ CF suy ra tứ giác EQFP là hình bình hành./ / 0,25 Vậy QAN· QFP QEP QAM·  · · hay AQ là phân giác ·MAN suy ra , , A P Q thẳng 0,25

Website: tailieumontoan.com Gọi K PQBC thì KAC QAC QME·  · ·  ·NMB PCK· . 0,25

Từ đó ta có: AKC : CKP hay KC2 KP KA tương tự

Câu 5.(1 điểm ): Cho x y z, , 0 Chứng minh bất đẳng thức:

2 1

2

2

Đặt

1

x a

b

y

 



 





 

 với a b c, , 0 BĐT (*) trở thành : a b 2c 2 ** 

0,25

Áp dụng bđt

, ( ;A B 0)

2

2

a b c

a b c

 

0,25

2 2

2

Từ (1) và (2) ta có :

2

 

BĐT (**) đúng vậy BĐT cần chứng minh là đúng

Đẳng thức xảy ra

1 khi a b c x= z

y

0,25

Hết