Website tailieumontoan com SỞ GD&ĐT SƠN LA (Đề thi có 01 trang) KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2020 – 2021 Môn thi TOÁN CHUYÊN Ngày thi 23/7/2020 Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1 (2,0 điểm) a) Tính giá trị của biểu thức A = EMBED Equation DSMT4 b) Giải phương trình Câu 2 (2,0 điểm) Cho Parabol (P) và đường thẳng d (m là tham số) a) Tìm để Parabol (P) cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt b) Tìm để Parabol (P) cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt có h[.]
Trang 1SỞ GD&ĐT SƠN LA
(Đề thi có 01 trang)
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2020 – 2021 Môn thi: TOÁN CHUYÊN Ngày thi: 23/7/2020
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Tính giá trị của biểu thức: A = 2019 2021 2020
1 2020 2020
1
2020
2020 .
1 2020
b) Giải phương trình: 2
x x
Câu 2 (2,0 điểm) Cho Parabol (P) 2
y x và đường thẳng d: y4mx m (m là tham số).3
a) Tìm m để Parabol (P) cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt.
b) Tìm m để Parabol (P) cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt có hoành độ cùng nhỏ
hơn 1
Câu 3 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:
2
x x y x
Câu 4 (3,0 điểm) Cho đường tròn (O), từ điểm A ngoài đường tròn vẽ đường thẳng AO cắt
đường tròn (O) tại B và C ( AB AC ). Qua A vẽ đường thẳng không đi qua tâm O cắt đường
tròn tại D và E ( AD AE ). Đường thẳng vuông góc với AB tại A, cắt đường thẳng CE tại F a) Chứng minh rằng tứ giác ABEF nội tiếp đường tròn.
b) Gọi M là giao điểm thứ hai của FB với đường tròn (O), chứng minh DM AC
CE CF AD AE AC
Câu 5 (1,0 điểm)
a) Cho ba số thực dương , ,a b c thỏa mãn a b c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 4 thức: P 1 1
ac bc
b) Chứng minh rằng: 1 + 1 + 1 + + 1 > 5.
1+ 2 3 + 4 5 + 6 119 + 120
Câu 6 (1,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB M là điểm chính giữa cung
» ,
AB C là một điểm trên nửa đường tròn AC cắt MO tại D Chứng minh rằng tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác MCD luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi C di động trên nửa
đường tròn
-Hết -Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ………
Số báo danh: …………
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2SỞ GD&ĐT SƠN LA
(HDC có 06 trang)
HƯỚNG DẪN CHẤM
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2020 – 2021 Môn: TOÁN CHUYÊN
1 a) Tính giá trị của biểu thức:
A = 2019 2021 2020
1 2020 2020
1
2020
2020 .
1 2020
b) Giải phương trình: x 4x2 2
a) Ta có:
A = 2019 2021 2020
1 2020 2020
2 1 1 2020
1 2020
= 2019 2021 2020
1 2020 2020
1 2020
= 2019 2020 2020
1 2020 2020
= 2019 2020 1
1 2020
0,25
b) Ta có: x 4x2 2 4x2 2 x
2 2 0 2
4 (2 )
x
0,5
2 0
( 2) 0
x
x x
0,25
0
2
x x
2 Cho Parabol (P) y x và đường thẳng d:2 y4mx m 3
a) Tìm m để Parabol (P) cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt.
b) Tìm m để Parabol (P) cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt
có hoành độ cùng nhỏ hơn 1
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 3a) (P) cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt.
Phương trình 2
x mx m có hai nghiệm phân biệt 0,25
' 0
a
2
4m m 3 0
1 3 4
m m
b) Với điều kiện (*) thì Parabol (P) cắt d tại hai điểm phân biệt
Khi đó, parabol (P) cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt có hoành độ x x cùng nhỏ hơn 1 1, 2
1 2
2
x x
0,25
1 2
1 0 2
x x x x
x x
( 3) 4 1 0
4 2
m
0,25
4 3 1 2
m m
1 2
m
0,25
Kết hợp với điều kiện (*) ta được: parabol (P) cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt có hoành độ x x cùng nhỏ hơn 1 khi1, 2
3 4
m
0,25
3
Giải hệ phương trình:
2
x x y x
Ta có:
2
Vậy x24x và 4x y là 2 nghiệm của phương trình:
5 6 0
3
X
X
0,25
Trang 4+) Với
2
2 2
5 4 2
5 4 2
x y
y
0,25
+) Với
2
1 2
10
x y
y
Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm x y là: ; 2 2;5 4 2 ,
2 2;5 4 2 , 1;2 , 3;10
0,25
4 Cho đường tròn (O), từ điểm A ngoài đường tròn vẽ đường thẳng AO
cắt đường tròn (O) tại B và C ( AB AC ). Qua A vẽ đường thẳng
không đi qua tâm O cắt đường tròn tại D và E ( AD AE ). Đường thẳng vuông góc với AB tại A, cắt đường thẳng CE tại F.
a) Chứng minh rằng tứ giác ABEF nội tiếp đường tròn.
b) Gọi M là giao điểm thứ hai của FB với đường tròn (O), chứng minh DM AC
c) Chứng minh: CE CF AD AE AC2
0,25
Suy ra tứ giác ABEF nội tiếp.
0,25
0,5
Trang 5b) Ta có ·AFB ·AEB bằng 1
giác ABEF )
0,5
0,5
c) Xét tam giác ACF và tam giác ECB
CE BC
AE AC
1 + 2 AD AE CE CF AC AB BC( ) AC
Vậy CE CF AD AE AC2 (đpcm)
0,5
0,5
5 a) Cho ba số thực dương , , a b c thỏa mãn a b c Tìm giá 4
trị nhỏ nhất của biểu thức: P 1 1
ac bc
b) Chứng minh rằng:
1+ 2 3 + 4 5 + 6 119 + 120
a) Áp dụng BĐT: 1 1 4
a b a b
Ta có ac bc1 1 1 1 1c a b c a b 4 .
0,25
1 ( )
2
c a b a b c
2
a b c
c a b a b c c a b
)
Vậy 1 1 1
ac bc Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 1 1 1
ac bc
0,25
Trang 6Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi c2,a b 1.
b) Đặt 1
1+ 2 3 + 4 5 + 6 119 + 120 Xét biểu thức 2
2 + 3 4 + 5 120 + 121
0,25
Ta có
1 2
1+ 2 2 + 3 119 + 120 120 + 121
1 2
S + S = 2 1+ 3 2 + + 121 120 = 121 1 = 10 Mặt khác dễ dàng chứng minh được:
2 + 2 1 2 + 2 +1
S S
Vậy S15, hay 1 + 1 + 1 + + 1 > 5.
1+ 2 3 + 4 5 + 6 119 + 120 (đpcm).
0,25
6
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB M là điểm chính giữa cung » , AB C là một điểm trên nửa đường tròn AC cắt MO tại D
Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi C di động trên nửa đường tròn.
Trang 7Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MDC, xảy ra hai khả năng
Ta có ·MID 2.·MCD 90 o
45 ,
DMI hay
· 45o ·
0,5
Suy ra ba điểm I, M, B thẳng hàng, hay I thuộc BM cố định.
0,5