Các chuyên đề chứng minh bất đẳng thức

Tailieumontoan com  Tài liệu sưu tầm TUYỂN TẬP CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Tài liệu sưu tầm, ngày 12 tháng 8 năm 2020 Website tailieumontoan com MỤC LỤC Trang Chương I MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Chủ đề 1 Kỹ thuật biến đổi tương đương 3 Chủ đề 2 Sử dụng các tính chất của tỉ số, tính chất giá trị tuyệt đối và tính chất của tam thức bậc hai trong chứng minh bất đẳng thức 44 1 Sử dụng tính chất của tỉ số 45 2 Sử dụng tính chất giá trị tuyệt đối 54 3 Sử dụng tính chất tam thức bậc hai[.]

MỤC LỤC

Trang

Chương I MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Chủ đề 2 Sử dụng các tính chất của tỉ số, tính chất giá trị tuyệt đối và tính

chất của tam thức bậc hai trong chứng minh bất đẳng thức 44

2 Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản 236

3 Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức 252

5 Kỹ thuật đổi biến trong bất đẳng thức Bunhiacopxki 289 Chương II MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI TOÁN ĐẶC SẮC

Chủ đề 7 Ứng dụng nguyên lý DIRICHLET trong chứng minh bất đẳng thức 307

Chủ đề 8 Phương pháp hệ số bất định trong chứng minh bất đẳng thức 319

Chủ đề 10 Ứng dụng của đạo hàm trong chứng minh bất đẳng thức và bài toán

1 Dồn biến nhờ vận dụng kỹ thuật sử dụng các bất đẳng thức kinh

2 Dồn biến nhờ kết hợp với kỹ thuật đổi biến số 367

3 Dồn biến nhờ kết hợp với kỹ thuật sắp thứ tự các biến 382

Chương III TUYỂN CHỌN MỘT SỐ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC

Chủ đề 12 Một số bất đẳng thức trong các đề thi học sinh giỏi, thi TSĐH và

+ Tính chất liên hệ với tính nghịch đảo

- Với các số thực dương A, B bất kì, ta luôn có A B 1 1

+ A2k ≥0 với ∀A và k là số tự nhiên

+ A ≥ 0 với ∀A

+ A B+ ≥ A + B

+ A B− ≤ A − B

Chương I – MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Nội dung cơ bản của chương I gồm:

• Giới thiệu các phương pháp chứng minh bất đẳng thức

• Nêu một số tính chất liên quan, một số lưu ý của các phương pháp chứng minh bất đẳng thức trên

• Giới thiệu các bài tập mẫu cùng quá trình phân tích, suy luận để tìm ra các lời giải và các lời giải được trình bày cụ thể

• Giới thiệu một số bài tập tự luyện

Chủ đề 1 MỘT SỐ KỸ THUẬT BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

1 Kiến thức cần nhớ

Giả sử ta cần chứng minh bất đẳng thức A≥B Tư tưởng của phương pháp là biến đổi tương đương bất đẳng thức trên thành một bất đẳng thức đúng mà phổ biến là các dạng sau:

+ Sử dụng định nghĩa bất đẳng thức: A≥ B⇔ A B− ≥ 0

+ Dạng tổng bình phương: A ≥B⇔ mX2 +nY2 +kZ2 ≥0, với các số m, n, k dương

+ Dạng tích hai thừa số cùng dấu:

Với a, b, c là ba cạnh của một tam giác

Một số kỹ thuật cơ bản trong phép biến đổi tương đương

+ Kỹ thuật xét hiệu hai biểu thức

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = =b c

b) Xét hiệu hai vế của bất đẳng thức

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = =b c

Nhận xét: Qua hai ví dụ trên ta nhận thấy khi biến đổi tương đương bất đẳng thức bậc hai thường xuất

hiện các đại lượng ( ) (2 ) (2 )2

ab, ac, ad, ae vào trong bình phương ta cần ghép a với b, c, d, e, và vì vai trò của b, c, d, e như nhau nên

ta có thể nghĩ đến việc biến đổi như sau

Nhận xét: Với bất đẳng thức trên, ngoài phép biến đổi tương đương ta còn có thể dùng tính chất của tam

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = =b 1

b) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = = =b c 1

Ví dụ 5 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a3 +b3 = −a b Chứng minh rẳng:

2 2

a +b +ab 1<

Phân tích: Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh ta thấy có biểu thức a2 +b2 +ab Trong khi đó giả thiết lại xuất hiện biểu thức a b− Vậy mối liên hệ của hai biểu thức này như thế nào? Dễ thấy được hằng đẳng thức (a b a− ) ( 2 +b2 +ab) =a3 −b3 Do đó một cách rất tự nhiên ta nhân hai vế của giả thiết với biểu thức a2 +b2 +ab để làm xuất hiện a3 −b3 và a2 +b2 +ab, khi đó ta được

Do b > 0 hiển nhiên đúng Nên bất đẳng thức được chứng minh

Ví dụ 6 Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a b> Chứng minh rằng:

Vì a > > nên b 0 b a b( − ) >0 Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Ví dụ 7 Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý Chứng minh rằng:

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = =b c

Ví dụ 8 Cho a, b là các số thực dương tùy ý Chứng minh rẳng:

Bất đẳng thức cuối đúng Vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 9 Cho các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện a b c 0+ + = Chứng minh rằng:

ab 2bc 3ca+ + ≤ 0

Phân tích: Từ giả thiết a b c+ + = 0 ta có thể rút một biến theo các biến còn lại, chẳng hạn c = − −a b, thay vào biểu thức của bất đẳng thức ta được 3a2 +4ab 2b+ 2 là biểu thức chỉ chứa hai biến và xuất hiện các bình phương Đến đây ta tìm cách phân tích thành tổng các bình phương để chứng minh bất đẳng thức

Từ đó ta có điều phải chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = = =b c 0

Ví dụ 10 Chứng minh với các số thực a dương, ta có: ( 2 )

Ví dụ 11 Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý Chứng minh rằng:

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = =b c

Ví dụ 12 Chứng minh rằng với mọi số thực x ta luôn có

Nên bất đẳng thức được xác định với mọi x

Quan sát bất đẳng thức ta thấy nếu thay x bằng −x thì vế trái của bất đẳng thức trở là

(−2x 1 x+ ) 2 + + x 1 và vế phải của bất đẳng thức là (2x 1 x− ) 2 − +x 1, khi đó nếu nhân hai vế với

Bất đẳng thức cuối này có dạng như bất đẳng thức ở đề bài và quan trọng hơn lúc này ta lại có

t> 0 Như vậy, với lập luận này ta thấy rằng chỉ cần xét bài toán trong trường hợp x 0≥ là đủ Lúc này

có hai khả năng xảy ra :

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Ví dụ 13 Cho các số thực a,b,c [0, 1]∈ Chứng minh rằng:

a4 +b3 +c2 −ab bc ac 1− − ≤

Phân tích: Từ giả thiết a,b,c [0, 1]∈ ta được 0 a,b,c 1≤ ≤ , khi đó theo tính chất của lũy thừa ta được

a ≥ a ; b≥ b ; c ≥c Biểu thức ở vế trái của bất đẳng thức được thay bằng đại lượng

a b c ab bc ca+ + − − − Cũng từ giả thiết a,b,c [0, 1]∈ và biểu thức bên làm ta liên tưởng đến tích

(1 a 1 b 1 c− )( − )( )− ≥0 Do đó ta sử dụng phép biến đổi tương đương để chứng minh bất đẳng thức trên

Đến đây ta có hai hướng xử lý bất đẳng thức trên

+ Hướng 1: Biến đổi tương đương tiếp ta được bất đẳng thức

Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành ( )(t 1 t 2+ − )≥ 0

- Nếu t 2≥ , suy ra t 2− ≥ 0 nên ( )(t 1 t 2+ − ) ≥ 0

- Nếu t≤ −2, suy ra t 1 0; t 2+ < − < nên 0 ( )(t 1 t 2+ − )> 0

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a =b

Ví dụ 15 Chứng minh rằng với mọi số thực a, b ta có:

b b 6+ + =9 b 3+ Đến đây ta thấy có hai ý tưởng chứng minh bất đẳng thức trên

+ Thứ nhất là ta biến đổi tương đương làm xuất hiện các bình phương ( ) (2 )2

a 1 , b 3− + + Thứ hai là đặt biến phụ x =a a 2 ; y( − ) = b b 6( + ) và sử dụng điều kiện của biến phụ để chứng minh

Lời giải Cách 1: Gọi P là vế trái của bất đẳng thức đã cho, ta có

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Cách 2: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Ví dụ 16 Cho a, b, c là các số thực bất kì Chứng minh rằng:

1019a +18b +1007c ≥30ab +6b c 2008ca+

Phân tích: Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh ta thấy vế trái xuất hiện các lũy thừa bậc chẵn và vế phải xuất hiện tích của hai trong ba biến nên ta nghĩ đến việc biến đổi bất đẳng thức thành tổng các bình phương Tuy nhiên vì hệ số khác nhau nên ta cần phải tinh ý khi phân tích

Sau khi chuyển vế ta phân tích thành ( 2) (2 2 )2 ( )2

m a b− +n b −c +k c a− và cần tìm m, n, k sao cho m k 1019; n k 18; k m 1007+ = + = + = Giải hệ điều kiện trên ta tìm được

m 15; n= =3; k 1004= Đến đây ta chứng minh được bất đẳng thức

Vật bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a =b2 = c

Ví dụ 17 Cho a, b là các số thực thỏa mãn a 1; b 1≥ ≥ Chứng minh rằng:

+ Thứ hai là khử căn bậc hai bằng một đánh giá quen thuộc x2 +y2 ≥2xy Để ý đến chiều bất đẳng thức

và điều kiện dấu bằng xẩy ra tại a = =b 2 ta đánh giá được

Bất đẳng thức cuối cùng đúng Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = =y 1 hay a = =b 2

Cách 2: Áp dụng một bất đẳng thức quen thuộc ta được

( ) ( )

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = =b 2

Ví dụ 18 Chứng minh rằng với mọi số thực a, b ta có: 2 a( 4 +b4) ≥ab3 +a b 2a b3 + 2 2

Phân tích: Để ý ta thấy, với a =b thì dấu đẳng thức xẩy ra nên ta tách các hạng tử để tạo ra nhân tử chung ( )2

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a =b

Ví dụ 19 Cho a, b là hai số thực khác không Chứng minh rằng:

+ Thứ nhất là quy đồng hai về và phân tích làm xuất hiện nhân tử chung ( )2

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = ±b

Cách 2: Bất đẳng thức được viết lại thành

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = ±b

V í dụ 20 Cho các số thực dương a, b, m, n m( ≥ n) Chứng minh rằng:

Vì a, b> và 0 m ≥ nnên bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi a =b hoặc m = n

Ví dụ 21 Cho a, b là các số thực dương tùy ý Chứng minh rằng:

Vật bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a =b

Ví dụ 22 Cho các số thực a , b không đồng thời bằng 0 Chứng minh rằng:

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b hoặc 3a =2b

Ví dụ 23 Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý Chứng minh rằng:

a) Quan sát bất đẳng thức thứ nhất ta nhận thấy a c− =(a b− ) (+ b c− ) do đó bất đẳng thức lúc này tương đương với ( )2 ( )( )

a a b− +c a c b c− − ≥ 0 Đến đây chỉ cần sắp thứ tự các biến sao cho

Vì a ≥ ≥ ≥b c 0 nên bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c= =

b) Vì vai trò của a, b, c trong bất đẳng thức như nhau nên không mất tính tổng quát ta giả sử

Vì a ≥ ≥c 0; b ≥ ≥ c 0 nên bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = =b c

Ví dụ 24 Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý Chứng minh rằng:

bc ca ab

a b c

a + b + c ≥ + +

Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta có các nhận xét như sau:

+ Quy đồng hai vế của bất đẳng thức thì vế trái xuất hiện ( ) ( ) ( )2 2 2

bc + ca + ab và vế phải xuất hiện

Lời giải Cách 1: Biến đổi tương đương bất đẳng thức trên như sau

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = =b c

Cách 2: Biến đổi tương đương bất đẳng thức trên như sau

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c= =

Ví dụ 25 Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý Chứng minh rằng:

Vì a, b, c là các số thực dương nên bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = =b c

Ví dụ 26 Cho a, b là các số thực dương, tìm hằng số k lớn nhất thỏa mãn bất đẳng thức

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

là hằng số lớn nhất thỏa mãn bất đẳng thức đã cho

Thật vậy, ta xét các trường hợp sau

+ Với k 12< thì ta được (a2 +4ab b+ 2)(a2 +b2)−ka b2 2 > 0

Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng Vậy hằng số k lớn nhất là 12

Ví dụ 27 Cho a, b là các số thực dương, tìm hằng số k lớn nhất thỏa mãn bất đẳng thức

(a4 +5a b 12a b3 + 2 2 +5ab3 +b4)(a2 −ab b+ 2)−3ka b3 3 ≥ 0 Cho a = b thì bất đẳng thức trên trở thành 24a6 −3ka6 ≥ ⇒ ≤0 k 8 Ta chứng minh k=8 là hằng số lớn nhất thỏa mãn bất đẳng thức đã cho Thật vậy, ta xét các trường hợp sau

+ Với k< 8 thì (a4 +5a b 12a b3 + 2 2 +5ab3 +b4)(a2 −ab b+ 2)−3ka b3 3 > 0

+ Với k =8 thì bất đẳng thức trên được viết lại thành

(a4 +5a b 12a b3 + 2 2 +5ab3 +b4)(a2 −ab b+ 2)−24a b3 3 ≥ 0

Do đó ta có (a4 +5a b 12a b3 + 2 2 +5ab3 +b4)(a2 −ab b+ 2)≥24a b3 3

Suy ra bất đẳng thức được chứng minh Vậy hằng số k lớn nhất là 8

Ví dụ 28 Cho a, b là các số thực dương tùy ý Chứng minh rằng:

Bất đẳng cuối cùng đúng do a , b dương Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Ví dụ 29 Cho a, b là các số thực dương tùy ý Chứng minh rằng:

Bất đẳng thức cuối này hiển nhiên đúng, Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b

Ví dụ 30 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:

2 2 2

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được a2 +b2 +c2 <2 ab bc ca( + + )

b) Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta có

2 2

a ≥ a − b c− = a b c a b c− + + − > 0Chứng minh tương tự ta được b2 ≥ b2 −(c a)− 2 > 0; c2 ≥ c2 −(a b)− 2 > 0

Nên từ bất đẳng thức trên ta được abc ≥(a b c b c a c a b+ − ) ( + − ) ( + − )

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = = b c

Nhận xét: Bất đẳng thức abc ≥ (a b c b c a c a b không chỉ đúng với a, b, c là các cạnh + − )( + − )( + − )

của một tam giác, mà nó còn đúng cho a, b, c là các số thực dương bất kì Bât đẳng này là một trường hợp của bất đẳng thức Schur Trong phần Phụ lục 3, ta sẽ bàn nhiều về bất đẳng thức này hơn

Bài 31 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác chứng minh rằng:

Do a, b, c là độ dài ba cạnh trong một tam giác nên bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Ví dụ 32 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c 1+ + = Chứng minh rằng:

a bc+ + b ca+ + c ab+ ≥ +1 ab + bc + ca

Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta có các nhận xét như sau:

+ Dự đoán đẳng thức xẩy ra khi a b c 1

3

+ Khi thay 1 bằng a b c+ + vào bất đẳng thức và chuyến vế thì ta được các nhóm

a bc a+ − − bc; b ca+ − −b ca; c ab c+ − − ab Vì vai trò a, b, c như nhau nên ta dự đoán mỗi nhóm trên không âm Để chứng minh dự doán trên ta có thể bình phương làm mất căn bậc hai rồi biến đổi tương đương thành tổng các bình phương

+ Để ý giả thiết a b c 1+ + = , khi đó ta có a bc+ = (a b a c+ )( + ) Dễ dàng nhận ra

(a b a c+ )( + ) ≥ +a bc Như vậy chỉ cần áp dụng tương tự cho hai trường hợp còn lại thì bất đẳng thức được chứng minh

Lời giải Cách 1: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Chứng minh tương tự ta được b ca+ − −b ca ≥0; c ab c+ − − ab ≥ 0

Đến đây bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1

( ) ( ) ( )

a b c a+ − +b c a b+ − +c a b c+ − ≤ 3abc

Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta có những nhận xét sau:

+ Dễ thấy đẳng thức xẩy ra khi a = =b c và vai trò các biến là như nhau

+ Để ý ta thấy abc a b c a− 2( + − ) (=a a b a c− )( − ), như vậy bất đẳng thức được viết lại thành

Lời giải Cách 1: Vai trò của a, b ,c là như nhau nên có thể giả thiết a ≥ ≥ ≥b c 0

Bất đẳng thức đã cho tương đương với

x y 2 xy ; y z 2 yz ; z x+ ≥ + ≥ + ≥2 zx

Nhân theo vế các bất đẳng thức trên ta được 8xyz ≤(x y y z z x+ )( + )( + )

Do đó bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c= = hoặc a b; c 0= = và các hoán vị

Ví dụ 34 Cho các số thực a,b,c [-1, 2]∈ và a b c+ + = 0 Chứng minh rằng:

a) Từ điều kiện a,b,c [-1, 2]∈ , để tạo ra a2 ta có thể sử dụng các bất đẳng thức

(a 1 a 2+ )( − )≥ 0, áp dụng tương tự và để ý đến giả thiết a b c+ + = 0

b) Để chứng minh được bất đẳng thức ta cần làm như thế nào để vừa có thể tạo ra a2 +b2 +c2 vừa làm xuất hiện tích abc Để ý giả thiết a b c 0+ + = có thể biến đổi tương đương thành

c) Cũng tương tự như câu b nhưng trong bất đẳng thức ở câu c có sự xuất hiện của biểu thức

8 abc− nên ta lại chú ý đến (a 2 b 2 c 2− )( − )( − )≤ 0

Lời giải

a) Do a, b, c [-1, 2]∈ nên ta có (a 1 a 2+ )( − )≥ hay 0 a2 ≤ +a 2

Chứng minh tương tự ta được b2 ≤ +b 2; c2 ≤ + c 2

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên và kết hợp với giả thiết a b c 0+ + = ta được

a +b +c ≤ + + + =a b c 6 6

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

b) Trước hết ta chứng minh a2 +b2 +c2 ≤2abc 2+

Do a, b, c [-1, 2]∈ nên ta có (a 1 b 1 c 1+ )( + )( + )≥ 0

Hay abc ab bc ca a b c 1 0+ + + + + + + ≥ ⇔ abc ab bc ca 1 0+ + + + ≥

Mặt khác, vì a b c+ + = 0 nên ( )2

a b c+ + = 0 Hay

Khi đó ta được 2abc 2 a b c≤ ≤2 a b

Nên abc a+ 2 +b2 +c2 − ≤8 0 hay a2 +b2 +c2 ≤ −8 abc

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Ví dụ 35 Cho các số thực a,b,c [0, 2]∈ và a b c+ + = 3 Chứng minh rằng:

Suy ra a2 +b2 +c2 ≤5 Đẳng thức xẩy ra khi a 2; b 1; c 0= = = và các hoán vị

Kết hợp hai bất đẳng thức trên ta được 3 a≤ 2 +b2 +c2 ≤5

Vậy bài toán được chứng minh

Mà ta chứng minh được 0≤ x2 +y2 +z2 ≤2 nên 3≤ P 9≤

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Ví dụ 37 Cho các số thực a,b,c [0, 1]∈ Chứng minh rằng:

1 bc +1 ca +1 ab ≤

Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy

+ Với a b c+ + = 0 thì a = = =b c 0, bất đẳng thức hiển nhiên đúng Như vậy ta cần tìm cách

chứng minh cho trường hợp a b c+ + > 0

+ Từ giả thiết a,b,c [0, 1]∈ và trường hợp a b c+ + > 0 dẫn đến 0 a,b,c 1< ≤

Khi đó để tạo ta 1 bc+ ta nghĩ đến bất đẳng thức (1 b 1 c− )( )− ≥ ⇔ +0 1 bc ≥ +b c Để ý vế phải của

bất đẳng thức có thể được viết thành 2 a b c( )

a b c

+ ++ + , do đó rất tự nhiên ta nghĩ đến chứng minh bất đẳng

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b 1; c 0= = = và các hoán vị

Ví dụ 38 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a b c 1+ + = Chứng minh rằng:

Nhận xét: Trong bất đẳng thức trên, có một kinh nghiệm nên nhớ khi tìm lời giải đó là tìm cách đổi chiều

bất đẳng thức Cách đơn giản nhất là nhân hai vế với −1 khi đó ta được:

32

và đổi dấu vế phải Để ý ta thấy a bc bc a+ + − =2bc , do vậy chỉ cần cộng 1 vào mỗi phân số rồi quy đồng là ta triệt tiêu được các đại lượng âm, không những vậy ta còn đổi được dấu bên vế phải, cụ thể là

Đến đây ta sẽ tìm thấy các hướng khác để xử lí bài toán

Ví dụ 39 Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý Chứng minh rằng:

+ + Do đó ta cộng vào hai vế của bất đẳng thức với

3, thực hiện biến đổi như trên ta đươc được bất đẳng thức về dạng như sau

+ Thứ ba là ta tiến hành đặt biến phụ x b c; y c a; z a b= + = + = + ngay từ đầu, khi đó ta được

( ) ( )( ) ( ( )( ) ) ( ( )( ) )

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = =b c

Cách 2: Bất đẳng thứ cần chứng minh tương đương với

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = =b c

Ví dụ 40 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 6a 2b 3c 11+ + = Chứng minh rằng:

Phân tích: Quan sát giả thiết và bất đẳng thức cần chứng minh ta nghĩ ngay đến việc đổi biến

x= 6a 1; y+ =2b 1; z+ =3c 1+ , chính việc đổi biến này ta thu được kết quả không thể hợp lý hơn là

x y z 14+ + = và bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x y x 14

Phân tích: Với bất đẳng thức trên ta có các ý tưởng chứng minh sau:

+ Thứ nhất là ta khai triển các tích và nhóm các hạng tử với nhau một cách hợp lý, chú ý là

Lời giải Cách 1: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = =b c

Cách 2: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = =b c

Ví dụ 42 Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý Chứng minh rằng:

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = =b c

Ví dụ 43 Cho a, b, c là các số thực tùy ý Chứng minh rằng:

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = =b c

Ví dụ 44 Cho a, b, c là các số thực khác 1 thỏa mãn abc 1= Chứng minh rằng:

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Ví dụ 45 Cho a, b, c là các số thực đôi một khác nhau Chứng minh rằng:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 2 2 2 ( ) ( )2

x +y +z ≥ ⇔2 x +y +z +2 xy yz zx+ + ≥ ⇔0 x y z+ + ≥ 0

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x y z 0+ + = hay một trong ba số a, b, c bằng 0

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi một trong ba số a, b, c bằng 0

Ví dụ 46 Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý Chứng minh rằng:

2a b c +a 2b c + a b 2c ≤ 4

Phân tích: Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh ta có thể đưa ra các ý tưởng sau

+ Thứ nhất ta để ý đến biến đổi sau 1 a a b c

+ +

+ + + + Áp dụng tương tự ta có thể đổi chiều bất đẳng thức Đến đây để đơn giản hóa bất đẳng thức ta có thể đặt biến phụ

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = =b c

Ví d ụ 47 Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý Chứng minh rằng:

Đến đây thì hay rồi, chỉ cần chọn b là số lớn nhất trong ba số a, b, c là bài toán coi như xong Nói thật nếu khi ghép theo cách khác và được kết quả khác thì ta có thể sắp thứ tự các biến theo kiểu khác cũng không sao cả

Do vậy bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = =b c

Ví dụ 48 Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý Chứng minh rằng:

Đến đây ta có hai hướng chứng minh bất đẳng thức trên

+ Hướng 1: Xét các hiệu sau

Cộng theo vế các bất đảng thức trên ta được bất đẳng thức cần chứng minh

Vậy bài toán được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = =b c

+ Hướng 2: Vì vai trò của a, b, c như nhau nên không mất tính tổng quát ta có thể giả sử a ≥ ≥ >b c 0 Khi đó ta có

Cộng theo vế các bất đảng thức trên ta được bất đẳng thức cần chứng minh

Vậy bài toán được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi = =

Hoàn toàn tương tự ta có B,C ≥0 Vậy bài toán được chứng minh xong

Ví dụ 50 Cho a, b, c là các số thực dương bất kì Chứng minh rằng:

Áp dụng tương tự ta được bất đẳng thức tương đương với