Các kiến thức cần nắm1.1... Thế vào biểu thức vế trái rồi biến đổi... Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức... Các bài toán đưa ra trắc nghiệm Trước khi tôi dạy thử nghiệm nội dung sáng kiế
Trang 11 Các kiến thức cần nắm
1.1 Các hệ thức cơ bản
+ cos2sin21 + 1 + tg2 = k )
2
( cos
1
+ tg cotg = 1 ( ) + 1 + cotg2 =
2
k
) k ( sin
1
1.2 Công thức cộng góc
+ cos( ) = cos cos sin sin
+ sin( ) = sin cos cos sin
2
; ( tg tg 1
tg
tg
+ cotg( ) =
g cot g
cot
1 g cot g
) k
; (
1.3 Công thức nhân
+ sin2 = 2 sin cos
+ cos2 = cos2 - sin2 = 2cos2 - 1 = 1 - 2sin2
2
k 4
( tg 1
tg 2
2
2
k ( g
cot 2
1 g
+ sin3 = 3sin - 4sin3
+ cos3 = 4cos3 - 3cos
3
k 6
( tg
3 1
tg tg 3
3
1.4 Công thức hạ bậc
2
2 cos
2
2 cos
+ tg2 =
2 cos 1
2 cos 1
) k 2 (
1.5 Công thức biến đổi tổng thành tích:
+ cos + cos = 2cos
2
cos 2
+ cos - cos = - 2sin
2 2
sin +
+ sin + sin = 2sin
2 2
cos +
+ sin - sin = = - 2cos
2
sin 2
Trang 2+ tg tg =
cos cos
) sin(
) k 2
; (
1.6 Công thức biến đổi tích thành tổng:
+ cos.cos = [cos( ) cos( )]
2
1
+ sin.sin = [cos( ) cos( )]
2
1
+ sin.cos = [sin( ) sin( )]
2
1
Biểu thức đại số Biểu thức lượng giác
tương tự Công thức lượng giác
t cos
1
2
4x3 - 3x 4cos3t - 3cost 4cos3t - 3cost = cos3t 2x2 - 1 2cos2t - 1 2cos2t - 1 = cos2t
2
x 1
x 2
t
2 tan 1
tan 2
t
2 tan 1
tan 2
2
x 1
x 2
t
2 tan 1
tan 2
t
2 tan 1
tan 2
xy 1
y x
tan tan 1
tan tan
tan tan 1
tan tan
cos
1
1
một số phương pháp lượng giác để chứng minh
bất đẳng thức đại số
I Dạng 1 : Sử dụng hệ thức sin 2 + cos 2 = 1
1) Phương pháp:
a) Nếu thấy x2 + y2 = 1 thì đặt với [0, 2]
cos y
sin x
b) Nếu thấy x2 + y2 = r2 (r > 0) thì đặt với [0, 2]
cos
sin
r y
r x
2 Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Cho 4 số a, b, c, d thoả mãn: a2 + b2 = c2 + d2 = 1
Chứng minh rằng: 2 a(c+d) + b(c-d) 2
Trang 3Đặt và S = sinu(sinv+cosv) + cosu(sinv-cosv)
u
b
u
a
cos
sin
v cos d
v sin c
P = a(c+d) + b(c-d) = (sinucosv+cosusinv) - (cosucosv - sinusinv)
= sin(u+v) - cos(u+v)
4 ) v u ( sin
2
S
VD2: Cho a2 + b2 = 1 Chứng minh rằng:
2
25 b
1 b a
1 a
2 2 2 2 2
Giải:
Đặt a = cos và b = sin với 0 2 Thế vào biểu thức vế trái rồi biến đổi
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2
2
sin
1 sin
cos
1 cos
b
1 b a
1
sin cos
sin cos
sin cos
4 sin
1 cos
1
4 4
4 4
4 4
4
sin cos
1 1
sin
sin cos
1 1
sin cos
2 sin
2
25 4 2
17 4 ) 16 1 ( 2
1 1 4 2
sin
16 1
2 sin
2
1
Bây giờ ta đẩy bài toán lên mức độ cao hơn một bước nữa để xuất hiện a2+b2=1
VD3: Cho a2 + b2 - 2a - 4b + 4 = 0 Chứng minh rằng:
A = a2 b2 2 3ab2(12 3)a (42 3)b4 332
Giải:
Biến đổi điều kiện: a2 + b2 - 2a - 4b + 4 = 0 (a-1)2 + (b-2)2 = 1
cos sin 3 2 cos
sin A cos
2 b
sin 1 a cos
2
b
sin 1
6 2 sin(
2 2 cos 2
1 2 sin 2
3 2 2 cos 2
sin
3
VD4: Cho a, b thoả mãn : 5a12b7= 13
Trang 4Chứng minh rằng: a2 + b2 + 2(b-a) - 1
Giải:
Biến đổi bất đẳng thức: a2 + b2 + 2(b-a) - 1 (a-1)2 + (b + 1)2 1
cos R 1
b
sin R 1
R ) 1 b ( ) 1 a ( 1 cos R b
1 sin R a
Ta có: 5a12b7 13 5(Rsin1)12(Rcos1)7 13
13
5 arccos sin
R cos
13
12 sin
13
5 R 1 13 cos
R 12 sin
R
Từ đó (a-1)2 + (b+1)2 = R2 1 a2 + b2 + 2(b - a) - 1 (đpcm)
II Dạng 2 : Sử dụng tập giá trị |sin|1 ; |cos| 1
1 Phương pháp:
a) Nếu thấy |x| 1 thì đặt
2 2
b) Nếu thấy |x| m ( m 0) thì đặt
2 2
2 Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Chứng minh rằng: (1+x)p + (1-x)p 2p |x| 1 ; P 1
Giải:
Đặt x = cos với [0, ], khi đó (1 + x)p + (1 - x)p = (1+cos)p + (1-cos)p
p 2
p 2
2 2
sin 2 cos 2 2
sin 2 cos 2 2
sin 2 2
cos
(đpcm)
VD2: Chứng minh rằng:
2
2 3 1
3 2
2
x x x
Giải:
Từ đk 1 - x2 0 |x| 1 nên
Đặt x = cos với 0 2 = sin Khi đó ta có:
1 x
P=2 3x2 2x 1 x2 2 3 cos2 2 cossin 3 ( 1 cos 2) sin 2
Trang 5= 3 (đpcm)
3 2 sin 2 3 2
sin 2
1 2
cos
2
3
VD3: Chứng minh rằng: 1 1a2 (1a)3 (1a)32 2 22a2 (1)
Giải:
Từ đk |a| 1 nên
Đặt a=cos với [0,] ; 1a sin
2 cos 2 a 1
; 2 sin 2 a
(1)
2
cos 2 sin 2 2 2 2 2
sin 2 cos 2 2 2
cos 2 sin 2
2
cos 2 sin 1 2
sin 2
cos 2
sin 2
cos 2
sin 2
cos 2
cos
2
2
sin 2
cos 2
sin 2
cos 2
cos 2
VD4: Chứng minh rằng: S = 4 (1a2)3 a3 3a 1a2 2
Giải:
Từ đk |a| 1 nên:
Đặt a = cos với [0, ] 2 = sin Khi đó biến đổi S ta có:
a 1
S=4(sin3cos3)3(cossin) (3sin4sin3)(4cos33cos)
4 3 sin 2 3
cos
3
VD5: Chứng minh rằng A = a 1b2 b 1a2 3ab (1a2)(1b2) 2
Giải:
Từ điều kiện: 1 - a2 0 ; 1 - b2 0 |a| 1 ; |b| 1 nên
Đặt a = sin, b = sin với , 2;2
Khi đó A = sincoscossin 3cos()=
3 ) ( sin 2 ) cos(
2
3 ) sin(
2
1 2 ) cos(
3 )
sin(
(đpcm)
VD6: Chứng minh rằng: A = |4a3 - 24a2 + 45a - 26| 1 a [1; 3]
Trang 6Do a [1, 3] nên a-2 1 nên ta đặt a - 2 = cos a = 2 + cos Ta có:
A = 4(2cos)3 24(2cos)2 45(2cos)26 4cos33cos cos3 1
(đpcm)
VD7: Chứng minh rằng: A = 2
2a a 3a 3 2 a [0, 2]
Giải:
Do a [0, 2] nên a-1 1 nên ta đặt a - 1 = cos với [0, ] Ta có:
A = 2(1cos)(1cos)2 3(1cos) 3 1cos2 3cos
3 sin
2 cos
2
3 sin
2
1 2 cos
3
III Dạng 3 : Sử dụng công thức: 1+tg 2 = 1
cos
1 tg
cos
1
2
2
2
1) Phương pháp:
a) Nếu |x| 1 hoặc bài toán có chứa biểu thức x2 1
thì đặt x = với
cos
1
2
3 , 2
; 0 b) Nếu |x| m hoặc bài toán có chứa biểu thức 2 2
m
x thì đặt x = với
cos
m
2
3 , 2
; 0
2 Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Chứng minh rằng A = a2 1 3 2 a 1
a
Giải:
Do |a| 1 nên :
cos
1
2
3 , 2
;
0 a2 1 tg2 tg
3 sin
2 cos 3 sin
cos ) 3 tg
( a
3 1
a2
VD2: Chứng minh rằng: - 4 A = 2 2 9
a
1 a 12
1
a
Giải:
Trang 7Do |a| 1 nên:
cos
1
2
3 , 2
;
0 a2 1 tg2 tg
A = 2 2 = (5-12tg)cos2 = 5cos2-12sincos=
a
1 a
12
2 sin 6 2
) 2 cos 1 ( 5
13
5 arccos 2
cos 2
13 2
5 2
sin 13
12 2
cos 13
5
2
13
2
5
2
13 2
5 13
5 arccos 2
cos 2
13 2
5 A ) 1 ( 2
13 2
ab
1 b 1
a2 2
; 1
a b
Giải:
Do |a| 1; |b| 1 nên
Đặt a = ; b = với Khi đó ta có:
cos
1
cos
1
2
3 , 2
; 0
A = (tgtg)coscos sincossincos sin() 1(đpcm)
VD4: Chứng minh rằng: a + 2 2
1 a
a
Giải:
Do |a| > 1 nên:
cos
1
sin
1 tg
1 cos
1 1 a
a 2
; 0
2 2
2 sin
2 2 sin
1 cos
1 2 sin
1 cos
1 1
a
a
VD5: Chứng minh rằng y x2 14 y2 13xy 26 x y; 1
Giải:
y y
y x
x
x
1 26 3
1 4
1
2
Do |x|; |y| 1 nên Đặt x = ; y= với ,
cos
1
cos
1
2 , 0
Trang 8Khi đó: (1) S = sin + cos(4sin + 3cos) 26
Ta có: S sin + cos (42 32)(sin2cos2) sin5cos
(1 5 )(sin cos ) 26
IV Dạng 4 : Sử dụng công thức 1+ tg 2 =
2
cos 1
1 Phương pháp:
a) Nếu x R và bài toán chứa (1+x2) thì đặt x = tg với
2
, 2 b) Nếu x R và bài toán chứa (x2+m2) thì đặt x = mtg với
2
, 2
2 Các ví dụ minh hoạ:
1
4 1
3
3 2
3
x x
x
Giải:
Đặt x = tg với , khi đó biến đổi S ta có:
2
,
1
S = |3tg.cos - 4tg3.cos3| = |3sin - 4sin3| = |sin3| 1 (đpcm)
VD2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = 2 2
4 2
) a 2 1 (
a 12 a 8 3
Giải:
Đặt a 2= tg với thì ta có: A =
2
4 2
) tg 1 (
tg 3 tg
4 3
2 2 2
4 2
2 4
cos sin
2 ) cos (sin
3 )
sin (cos
sin 3 cos
sin 4 cos
3
2
0 2 2
2 sin 3 A 2
1 3 2
5 2
2
Với = 0 a = 0 thì MaxA = 3 ; Với = a = thì MinA =
4
2
1
2 5
VD3: Chứng minh rằng: a, b R
2
1 ) b 1 )(
a 1 (
) ab 1 )(
b a (
2
Giải:
Trang 9Đặt a = tg, b = tg Khi đó
) tg )(
tg (
) tg tg )(
tg tg ( ) b )(
a (
) ab )(
b a (
2 2
2 2
1 1
1 1
1
1
=
cos cos
sin sin cos
cos cos cos
) sin(
cos
cos2 2
2
1 2
2
1
sin(
) a 1 )(
c 1 (
| a c
| )
c 1 )(
b 1 (
| c b
| )
b 1 )(
a 1 (
| b a
|
2 2
2 2
2
Giải:
Đặt a = tg, b = tg, c = tg Khi đó bất đẳng thức
) tg 1 )(
tg 1 (
| tg tg
| )
tg 1 )(
tg 1 (
| tg tg
| )
tg 1 )(
tg
1
(
| tg tg
|
2 2
2 2
2
cos cos
) sin(
cos cos cos
cos
) sin(
cos cos cos
cos
) sin(
cos
cos
sin(-)+sin(-) sin(-) Biến đổi biểu thức vế phải ta có:
sin(-)= sin[(-)+(-)] = sin(-)cos(-)+sin(-)cos(-)
sin(-)cos(-)+sin(-)cos(-)=sin(-)cos(-)+sin(-)cos(-)
sin(-).1 + sin(-).1 = sin(-) + sin(-) (đpcm)
VD5: Chứng minh rằng: ab cd (ac)(bd) (1) a,b,c,d0
Giải:
d
b 1 a
c 1 ab cd
d
b 1 a
c 1
1 1
) d b )(
c a (
cd )
d b )(
c a
(
Đặt tg2= , tg2= với , Biến đổi bất đẳng thức
a
c
b
d
2 , 0
) tg 1 )(
tg 1 (
tg tg )
tg 1 )(
tg
1
(
2 2
2 2 2
cos cos + sin sin = cos(-) 1 đúng (đpcm)
Dấu bằng xảy ra cos(-) = 1 =
b
d a
c
VD6: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A =
1 a
| 1 a
| 4 a 6
2
2
Trang 10Đặt a = tg Khi đó A =
2
1 2 tg
1 2
tg 4 2 tg 1 2 tg 2 3 1
2 tg
| 1 2 tg
| 4 2 tg 6
2
2
2 2
2
A = 3sin + 4 |cos| 3 sin + 4.0 = 3sin 3.(-1) = -3
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có:
A2 = (3sin + 4 |cos|)2 (32 + 42)(sin2 + cos2) = 25 A 5
Với sin = 1 a = 1 thì MinA = - 3 ; với thì MaxA = 5
4
| cos
| 3 sin
V Dạng 5 : Đổi biến số đưa về bất đẳng thức tam giác
1) Phương pháp:
1 2
0
2 2
x
z
; y
;
x
C cos z
; B cos y
; A cos x
) 2
; 0 ( C
; B
; A : ABC
xyz z
y x
z
; y
;
tgC z
; tgB y
; tgA x
) 2
; 0 ( C
; B
; A : ABC
1 zx yz xy
0 z , y
;
x
2
C tg z
; 2
B tg y
; 2
A tg x
)
; 0 ( C
; B
; A
gC cot z
; gB cot y
; gA cot x
) 2
; 0 ( C
; B
; A
: ABC
2 Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Cho x, y, z > 0 và zy + yz + zx = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
z
1 y
1 x
Giải:
Từ 0 < x, y, z < 1 nên đặt x = tg ; y = tg ; z = tg với , ,
2
2
2
2 , 0
Do xy + yz + zx = 1 nên tg tg + tg tg + tg tg = 1
2
2
2
2
2
2
Trang 11 tg = 1 - tg
2
2
tg 2
tg
2
tg
2
2 g cot 2
2 tg 2
tg
1 2
tg 2 tg 1
2
tg 2
2 2
2 2 2 2 2
2 2
tg
S = 3(x y z)= cotg + cotg + cotg -3
z
1 y
1
x
1
2
2
2
2
tg 2
tg 2 tg
2 2
2
2 2 2
2 2
2
g
cot
S = 2(cotg+cotg+cotg) -
2 2
2
2 tg tg tg
S = (cotg+cotg-2tg ) + (cotg+cotg-2tg ) +(cotg+cotg-2tg )
2
2
2
Để ý rằng: cotg + cotg =
) cos(
) cos(
sin sin
sin
sin sin
sin
) sin(
2 2
2 tg 2 g cot g
cot 2
tg 2 2
cos 2
2
cos 2 sin 4 cos 1
sin 2 ) cos(
1
sin
2
2
T đó suy ra S 0 Với x = y = z = thì MinS = 0
3 1
VD2: Cho 0 < x, y, z < 1 và
) z 1 )(
y 1 ( x 1 (
xyz 4 z
1
z y
1
y x
1
x
2 2
2 2
2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x2 + y2 + z2
Giải:
Do 0 < x, y, z < 1 nên đặt x = tg ; y = tg ; z = tg với , ,
2
2
2
2 , 0
Khi đó tg = 2 ; tg = ; tg = và đẳng thức ở giả thiết
x 1
x 2
y 1
y 2
z 1
z 2
x
1
x
2
y 1
y 2
z 1
z 2
(1 x (1 y )(1 z )
xyz 8
2 2
Trang 12 tg + tg = - tg(1-tg.tg) = - tg tg(+) = tg(-)
tg tg 1
tg tg
Do , , nên + = - + + = Khi đó ta có:
2 , 0
tg tg + tg tg + tg tg = 1 xy + yz + zx = 1 Mặt khác:
2
2
2
2
2
2
(x2 + y2 + z2) - (xy + yz + zx) =
2
1 (xy)2 (yz)2 (zx)20
S = x2 + y2 + z2 xy + yz + zx = 1 Với x = y = z = thì MinS = 1
3 1
VD3: Cho Chứng minh rằng: S =
1 z y x
0 z , y , x
4
9 xy z
z zx
y
y yz
x
x
Giải:
2
tg
x
2
tg y
2
tg z
2 , 0
x
yz z
xy z
xy y
zx y
zx
x
yz
nên tg tg + tg tg + tg tg = 1
2
2
2
2
2
2
-
2
2
2
2
2
2
2 2
S =
2
3 1 xy z
z 2 1
zx y
y 2 1
yz x
x 2 2
1 xy z
z zx
y
y yz
x
x
=
2 3 z
xy 1 z
xy 1 y
zx 1 y
zx 1
x
yz 1 x
yz 1 2
1 2
3 xy z
xy z zx y
zx y yz
x
yz
x
2
1
= (cos + cos + cos) + =
2
1
2
2
3 1
2
1
cos (cos cos sin sin ) cos
Trang 13 (đpcm)
4
9 2
3 4
3 2
3 cos
cos ) sin (sin
2
1 ) 1 cos
(cos
2
1
2
1 2 2 2
3 Các bài toán đưa ra trắc nghiệm
Trước khi tôi dạy thử nghiệm nội dung sáng kiến của tôi cho học sinh của
2 lớp 11A1 và 11A2 ở trường tôi, tôi đã ra bài về nhà cho các em, cho các em chuẩn bị trước trong thời gian 2 tuần Với các bài tập sau:
Bài 1:Cho a2 + b2 = 1 CMR: | 20a3 - 15a + 36b - 48b3| 13
Bài 2:Cho (a-2)2 + (b-1)2 = 5 CMR: 2a + b 10
Bài 3:Cho CMR: a4 + b4 a3 + b3
2 b a
0 b
; a
c
1 c b
1 b a
1 a a
1 c c
1 b b
1 a
1 xyz 2 z y x
0 z
; y
; x
2 2 2
a) xyz
8
1
b) xy + yz + zx
4 3
c) x2 + y2 + z2
4 3
d) xy + yz + zx 2xyz +
2 1
z 1
z 1 y 1
y 1 x
1
x
ab 1
2 b
1
1 a
1
1
2
Bài 7:CMR: (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) 9 (ab + bc + ca) a, b, c > 0
Bài 8:Cho
2
3 3 z 1
z y
1
y x
1
x : CMR 1
zx yz xy
0 z , y , x
2 2
Bài 9:Cho
2
3 z 1
z y
1
y x
1
x : CMR xyz
z y x
0 z , y , x
2 2