SKKN Kỹ thuật sử dụng máy tính bỏ túi trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn n...

SKKN Kỹ thuật sử dụng máy tính bỏ túi trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng phương pháp tiếp tuyến 1 MỤC LỤC PHẦN I MỞ ĐẦU 2 1 1 Lý do chọn đề tài 2 1 2 Mục đích nghiên cứu 2 1 3 Đối tượng nghiên cứu 2 1 4 Phương pháp nghiên cứu 2 PHẦN II NỘI DUNG 3 2 1 Cơ sở lý luận 3 2 2 Thực trạng của vấn đề 3 2 3 Giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề 5 2 4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 11 PHẦN III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 12 3 1 Kết luận 12[.]

MỤC LỤC

PHẦN I: MỞ ĐẦU 2

1.1.Lý do chọn đề tài: 2

1.2.Mục đích nghiên cứu 2

1.3.Đối tượng nghiên cứu: 2

1.4.Phương pháp nghiên cứu: 2

PHẦN II: NỘI DUNG 3

2.1.Cơ sở lý luận: 3

2.2.Thực trạng của vấn đề: 3

2.3.Giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề: 5

2.4.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm: 11

PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 12

3.1.Kết luận: 12

3.2.Kiến nghị: 12

TÀI LIỆU THAM KHẢO 13

PHẦN I: MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài:

Mục tiêu giáo dục hiện nay là nâng cao chất lượng, hiệu quả của việc dạy

và học, làm cho kết quả của học sinh ngày một nâng cao Muốn đáp ứng được yêu cầu đó thì nhiệm vụ của giáo viên và học sinh là: " phải dạy và học thế nào

để đạt hiệu quả cao nhất"

Cùng với các môn học khác, môn toán giữ vai trò rất quan trọng Dạy toán tức là dạy phương pháp suy luận Học toán là rèn luyện khả năng tư duy logic Giải toán là hoạt động hấp dẫn và bổ ích, nó giúp các em nắm vững thêm kiến thức, phát triển từng bước năng lực tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo

Chứng minh bất đẳng thức hay tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức là một bài toán khó trong quá trình giải toán nhưng gần như không thể thiếu được trong các đề thi THPT quốc gia và thi chọn học sinh giỏi Mặc dù mảng kiến thức này học sinh đã được tiếp cận ngay từ các lớp THCS song để học tốt bất đẳng thức là điều không hề dễ và phải mất khá nhiều thời gian

Qua nhiều năm thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy rằng học sinh rất ngại va chạm với các bài toán chứng minh bất đẳng thức hay tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức vì phần này tương đối khó, các dạng bài tập quá nhiều, quá phong phú trong khi đó thì thời lượng kiến thức trong sách giáo khoa thì ít Vì vậy tôi luôn trăn trở là làm thế nào để tháo gỡ giúp các em bớt đi khó khăn khi gặp các dạng toán này

Trong phạm vi nhỏ hẹp này, tôi xin được trình bày một số kinh nghiệm nhỏ qua thực tế giảng dạy môn toán về mảng bất đẳng thức cho học sinh THPT,

đó là:

" Kỹ thuật sử dụng máy tính bỏ túi trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng phương pháp tiếp tuyến" , hy vọng sẽ giúp các em say mê và hứng thú học toán hơn.

1.2 Mục đích nghiên cứu:

Mục đích nghiên cứu của đề tài là rèn luyện cho học sinh các kỹ thuật sử dụng máy tính bỏ túi trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng phương pháp tiếp tuyến

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

Học sinh trường THPT Trần Phú – Nga Sơn

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

- Nghiên cứu lý luận chung

- Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học

- Tổng hợp so sánh, đúc rút từ kinh nghiệm giảng dạy

- Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn

PHẦN II: NỘI DUNG

2.1 Cơ sở lý luận:

a) Đối với một đường cong cho bởi hàm số y f x  tiếp tuyến tại một số điểm nào đó của đồ thị hàm số luôn nằm trên hay nằm dưới đồ thị Dựa vào tính chất này, người ta thiết lập nên một phương pháp thú vị để chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp tiếp tuyến:

Cho hàm số y f x  có đồ thị  C xác định, liên tục và có đạo hàm trên khoảng  ;  Nếu yax b là tiếp tuyến của đồ thị  C tại điểm M0x y0 ; 0,

và luôn nằm phía trên (hoặc phía dưới) tiếp tuyến trong khoảng

0 ;

x     C

 ;  f x ax b x , 0  ;  f x ax b x , 0  ; 

Đẳng thức xảy ra  x x0

Như vậy, với mọi x x1 ; 2 ; ;x n ;  thì:

f x 1 ax1 b

f x 2 ax2 b

f x n ax n b

f x     1  f x2  f x3   f x  n a x1 x2   x3 x nnb

Nếu x1   x2 x n k ( không đổi) thì f x     1  f x2  f x3   f x n aknb

( Hoặc f x     1  f x2  f x3   f x n aknb)

Đẳng thức xảy ra x1 x2 x n k

n

b) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x   C tại điểm

có dạng:

0 0 ; 0

y f x xx  f x  y f x x f x  f x x

Giả sử phương trình tiếp tuyến là : yax b

Như vậy: '  Thao tác sử dụng máy (Caiso fx-570 ES PLUS hoặc máy có

0

a f x

chức năng tương đương): Nhấn SHIFT d máy hiện trong nhập

dxW d  |x

dx W W  W

biểu thức f x , xW thì nhập nhấn , từ đó suy ra giá trị của ax0 

Lại có:   '  Thao tác sử dụng máy: Nhấn (a là giá trị

vừa tìm được) CALC cho xx0 nhấn , từ đó suy ra giá trị của b

2.2 Thực trạng của vấn đề:

Khi chữa đề thi thử THPT quốc gia môn toán năm 2016 của Sở giáo dục

và đào tạo tỉnh Thanh Hóa cho học sinh lớp 12 có câu số 10 như sau:

Cho a b c, , là độ dài ba cạnh của một tam giác Tìm giá trị lớn nhất của

P a b c

a ab b bc c ca

( Trích từ đề thi khảo sát chất lượng lớp 12 môn toán năm học 2015 - 2016 sở GD&ĐT Thanh Hóa)

Tôi có hướng dẫn học sinh trình bày lời giải như sau:

Lời giải: Giả sử a b c   k 0, đặt akx b, ky c, kzx y z, ,  0và x  y z 1 Khi đó:

P k

x xy y yz z zx

k x xy k y yz k z zx

         

5x 1 5y 1 5z 1

Do a b c, , là độ dài ba cạnh của một tam giác nên b c    a y z x

tức là , tương tự

1 1

2

x x x

2

x  

2

y z  

 

Ta sẽ chứng minh 2   đúng với mọi

t

t

t t



1 0;

2

t   

1

t

Hiển nhiên, (**) luôn đúng với mọi 1 nên (*) đúng với mọi

0;

2

t  

2

t  

 

Áp dụng (*) ta được: P 18x  3 18y  3 18z  3 18x y z  9 9

3

x y z

Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng 9 khi a b c

Khi trình bày xong lời giải bài toán, học sinh đặt ra câu hỏi là: " làm thế

nào để tìm ra biểu thức (*)" Nếu như không giải thích được cho học sinh hiểu

thì đây là một lời giải không đẹp và thiếu tự nhiên Thế thì cách làm ở đây đó là chúng ta sử dụng "phương pháp tiếp tuyến" Qua thực tế giảng dạy, phương

pháp tiếp tuyến được học sinh 12 tiếp thu khá tốt, các em đã vận dụng ngày càng linh hoạt, sáng tạo để giải quyết một lớp các bài toán bất đẳng thức đối xứng, thuần nhất ba biến trong các đề thi chọn học sinh giỏi và THPT quốc gia Tuy nhiên, bản thân tôi suy nghĩ rằng:

- Nếu đọc lời giải trên thì học sinh lớp 10 và 11 vẫn hiểu được, vậy liệu

có mẹo nhỏ nào để tìm ra biểu thức (*) để bài toán trên có thể áp dụng được cho học sinh lớp 10 và 11 không?

- Trong thực tế THI TRẮC NGHIỆM hiện nay thì việc giải nhanh một

bài toán là hết sức cần thiết, vậy thì liệu máy tính bỏ túi có hỗ trợ được cho việc tìm tòi lời giải?

Để khắc phục tình trạng nêu trên, tôi nghĩ rằng đề tài " Kỹ thuật sử dụng máy tính bỏ túi trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng phương pháp tiếp tuyến" sẽ giúp

chúng ta giải quyết các một số bài toán chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các biểu thức nhanh hơn, khoa học hơn, có cơ sở và có tính sáng tạo hơn

2.3 Giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề:

Nếu gặp các bất đẳng thức (tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức) thuần nhất hoặc có dạng đối xứng ta nên chuẩn hóa đưa về dạng sau:

 Cho x x x1, 2, 3, ,x nD , x1   x2 x3 x n k

Chứngminh rằng: P f x 1  f x 2  f x 3   f x n M (hoặc PM ) Dấu bằng xảy ra x1 x2 x3 x n k

n

 Hoặc là: Cho x x x1 , 2 , 3 , ,x nD , x1   x2 x3 x n k Tìm giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của biểu thức: P f x 1  f x 2  f x 3   f x n

(Điều mong ước là MaxP MinP đạt được x1 x2 x3 x n k )

n

Phương pháp: Nếu sử dụng phương pháp tiếp tuyến để chứng minh bất đẳng

thức hoặc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức thì tùy thuộc bài toán ta sẽ phải lựa chọn một hàm số y f x  để viết phương trình tiếp tuyến của

nó tại điểm có hoành độ 0 , giả sử phương trình tiếp tuyến là

k x n

Theo đó ta sẽ có: f x 1 ax1 b ( hoặc f x 1 ax1 b) với mọi x1D

Dấu bằng xảy ra khi 1

k x n



f x 2 ax2 b ( hoặc f x 2 ax2 b)

f x n ax n b ( hoặc f x n ax nb)

Suy ra: Pa x 1 x2   x3 x nnb ( hoặc Pa x 1 x2   x3 x nnb)

Tuy nhiên, trong sáng kiến này tôi sẽ trình bày cách sử dụng máy tính bỏ túi (Casio fx-570 ES PLUS hoặc máy có chức năng tương đương) để tìm a, b thay vì viết phương trình tiếp tuyến của hàm số như trên, cụ thể:

* Cách tìm a: Nhấn SHIFT d máy hiện trong nhập biểu thức

dxW d  |x

dx W W  W

, thì nhập nhấn , từ đó suy ra giá trị của a

 

* Cách tìm b: Nhập vào máy f x ax (a là giá trị vừa tìm được) CALC cho

nhấn , từ đó suy ra giá trị của b

k

x

n

Ví dụ 1: Cho , , z 3 và CMR:

4

x y   x  y z 1

9

Phân tích: Trước hết ta đánh giá dấu bằng xảy ra 1

3

x y z

   

Ta sẽ đánh giá để tìm bất đẳng thức phụ như sau: 2

1

x

ax b



- Tìm a: Nhấn SHIFT d nhập nhấn ta được

3

|

18 25

a

- Tìm b: Nhấn AC nhập 2 18 , nhấn cho ta được

1 3

50

b

Lời giải:

2

3 2

4 3 3 1

0 ,

4

x

2 18 3

x



Tương tự: 2 18 3

1 25 50



2 18 3



3

x y z

3

x y z

   

Bài tập tương tự:

Bài 1: Cho x y, , z  0 và x  y z 3 CMR:

1

x y z y z x z x y

Bài 2: Cho a b c d, , ,  0 và a b    c d 2 CMR:

Ví dụ 2: Cho a b c, ,  0 và a b   c 3 CMR:

a b c a  b  c

Phân tích: Ta thấy: Dấu bằng xảy ra    a b c 1

Ta sẽ đánh giá để tìm bất đẳng thức phụ như sau: 1 2

a

ma n

a a  

- Tìm m: Nhấn SHIFT d nhập nhấn ta được

1 4

m 

- Tìm n: Nhấn AC nhập 1 2 , nhấn cho ta được

x x 

1 4

n

Lời giải:

Xét biểu thức:

   

   

   

2 2 4

0

Suy ra: 2 Tương tự:

1 2 1

1 2 1

a b c

(đpcm)

Dấu bằng xảy ra    a b c 1

Bài tập tương tự: Cho x y z, ,  0 và x  y z 1 CMR:x y z 2 1 1 1 19

      

Ví dụ 3: Cho a b c, ,  0 thỏa mãn 2 2 2 CMR:

3

a  b c 

a b c

Phân tích: Do biểu thức điều kiện 2 2 2 nên bài này có sự khác biệt một

3

a  b c 

chút Ta sẽ đánh giá để tìm bất đẳng thức phụ như sau : 2 2

a

 

1

2 1

2

|

x

x

d

x

d

x dx





  

2

2

x x

x

ta được

1

2

n

Lời giải:

a a

a

  

( Vì a b c, ,  0, 2 2 2 )

3 0 , , 3

a b c   a b c

Suy ra: 3 2 2 9, tương tự:

2 2

a a

a

  

2

3

2 2

b b

b

  

2

3

2 2

c c

c

  

a b c

Dấu bằng xảy ra    a b c 1

Bài tập tương tự:

Bài 1: Cho a b c, ,  0 thỏa mãn 2 2 2 CMR:

1

2 3

a b c

a b c

Bài 2: Cho a b c, , là các số thực thỏa mãn a2 b2 c2  3 CMR:

1

Ví dụ 4: Cho a b c, ,  0 CMR:  

 2    2    2

6 5

Phân tích: Không làm mất tính tổng quát ta có thể giả sử a b c   1 Khi đó, BĐT đã cho trở thành:  

 2    2    2

5

Ta sẽ đánh giá để tìm bất đẳng thức phụ như sau :  

 2 2

1 1

ma n



 

- Tìm m: Nhấn SHIFT d nhập nhấn ta được

 2 1

2

3

1

|

d

   



27

1, 08

25

- Tìm n: Nhấn AC nhập   , nhấn cho ta được

 2 2

25 1





1 3

x 1

25

n

Lời giải:

Xét biểu thức:  

25 25



         

2

3 1 6 1

0

 2 2

1



 

 

 2 2

1



 

 

 2 2

1



 

 

 

 

a b c

Bài tập tương tự:

Bài 1: Cho a b c, ,  0 CMR:  

2

3 5

Bài 2: Cho a b c, ,  0 CMR:

Ví dụ 5: Cho a b c, ,  0 thỏa mãn 2 2 2 Chứng minh rằng:

3

a  b c 

Phân tích: Trước hết ta đưa mỗi phân số về một biến

Ta có: 2 2 2 2 2 2

2

2

3

2

b c

a



2

9 3

2

9 3

Ta cần chứng minh: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3  

1

a x b  y c z x y, , z  0 x  y z 1

Đến đây ta dễ dàng đưa ra lời giải

Gợi ý: Ta sẽ đánh giá để tìm bất đẳng thức phụ như sau:

3

x

ax b

x  



- Tìm a: Nhấn SHIFT d nhập nhấn ta được

3 4

a

- Tìm b: Nhấn AC nhập 3 , nhấn cho ta được

x

1 4

b 

Bài tập tương tự:

Bài 1: Cho a b c, ,  0 và a b   c 1 CMR: 9

bc ca ab

Bài 2: Cho a b c, ,  0 và a b   c 1 CMR: 1 1 1 27

Ví dụ 6: Cho x y, , z  0 và x 2y 3z 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Px  x  y  y z  z

Phân tích:

Px  x  y  y z  z 

    2    2 

2

Đặt ax b,  2 ,y c 3z Khi đó: a b c, ,  0 và a b   c 1 Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2  2  2 

Pa  a b  b c  c

Ta sẽ đánh giá để tìm bất đẳng thức phụ như sau: 2 

5 6

a  a man

- Tìm m: Nhấn SHIFT d nhập nhấn ta được

1 3

x

d

4

1, 333333333

3

- Tìm n: Nhấn AC nhập 2  4 , nhấn cho ta được

5 6

3

x

3

n

Lời giải:

Với  a  0;1

Suy ra: 2  4 7 Tương tự:

5 6

a

2  4 7

5 6

b

b  b  

2  4 7

5 6

c

c  c  

3

MinP 

1 1 1

2 1 3

x

z



 







 



Bài tập tương tự: Cho 0 , b, c 1 và CMR:

2

a

4 16 3 3 2 1 2 94 1 54

Ví dụ 7: Cho x y, , z  0 và x  y z 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P

Phân tích:

Ta sẽ đánh giá để tìm bất đẳng thức phụ như sau:  2

3

ax b



 

Ở bài toán này việc đưa các biểu thức về một biến tương đối khó nên để tìm a và

b ta xem x là biến, còn gán cho y một giá trị cụ thể, có thể là 10, 100, 1000, (để việc trả biến dễ dàng hơn), có thể hiểu đây là các con số thế thân, xong xuôi ta

sẽ trả lại cho biến đó, cụ thể:

1000

3 1000

|

3 2000 1000 x

x x d



4

a

- Tìm b: Nhấn AC nhập  2 , nhấn cho ta

3 1000

4

3 2000 1000

x x

x





được b 4000  4y

(Lưu ý việc thực hiện thao tác ấn máy trên chưa xét dấu bằng xảy ra   x y 1,

mà chỉ xét là x y)

Lời giải: Xét biểu thức:

3

x x y

x y



2

0

Suy ra:  2 Tương tự:

3

4 4



 

 2

3

4 4



 

 2

3

4 4



 

Vậy MaxP 24    x y z 1

Bài tập tương tự:

Bài 1: Cho x y, , z  0 và x  y z 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P

Bài 2: Cho x y, , z  0 và x  y z 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P

x xy y y yz z z zx x

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:

Sáng kiến có thể áp dụng cho học sinh tất cả các khối lớp 10, 11, 12, mặc

dù phần cơ sở lý luận học sinh 10, 11 chưa có thể hiểu được song thao tác máy tính được xem là "mẹo nhỏ", vì trong quá trình trình bày lời giải ta chỉ cần có bất đẳng thức phụ, chứ không cần thiết trình bày cách tìm bất đẳng thức phụ Đề tài này tôi đã triển khai ở các lớp 10A trong năm học 2015 - 2016 và các lớp 12E, 12H trong năm học 2016 – 2017 mà tôi trực tiếp giảng dạy ở trường THPT Trần Phú - Nga Sơn Để kiểm tra hiệu quả của đề tài sáng kiến kinh nghiệm tôi

đã tiến hành tổng hợp, phân tích số lượng học sinh làm được câu chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức ở 3 lớp

Kết quả thu được như sau:

Năm học Lớp Tổng số

Số lượng học sinh làm được câu chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng phương pháp tiếp tuyến khi sử dụng máy tính bỏ túi

Ghi chú

đề tài SKKN

đề tài SKKN

Chưa triển khai đề tài SKKN Với kết quả như trên tôi nhận thấy đề tài sáng kiến kinh nghiệm đã mang lại kết quả đáng khích lệ

PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận

Mảng kiến thức về bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

biểu thức là một trong những nội dung quan trọng trong chương trình môn Toán THPT Nhưng đối với học sinh đây lại là một mảng kiến thức tương đối khó nên phần nhiều thầy cô giáo quan tâm Sáng kiến kinh nghiệm góp thêm một phần thiết thực vào kho các công cụ giải toán bất đẳng thức của giáo viên và học sinh

Nó giúp chúng ta nhìn thấy được cách giải quyêt vấn đề nhanh chóng và hiệu quả

Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong các năm học mà tôi giảng dạy lớp 10, 12 được học sinh đồng tình và đạt được kết quả đáng khích lệ Với đề tài này, chúng ta có thể phát triển thành một đề tài rộng hơn đó là: " Kỹ thuật sử dụng máy tính bỏ túi trong các bài toán đại số"

3.2 Kiến nghị

Mặc dù tôi đã cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắc chắn còn có nhiều thiếu sót và hạn chế Tôi rất mong nhận được sự quan tâm đóng góp ý kiến của tất cả các đồng chí, đồng nghiệp để đề tài sáng kiến kinh nghiệm được hoàn thiện hơn

TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 12 tháng 5 năm 2017

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác

Người viết Phạm Thị Mai

[1] Một số đề thi thử THPT quốc gia các năm 2015 và 2016