Toán học Phương pháp lượng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số Lê Xuân Đại34599

Phương pháp lượng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số Lấ XUÂN ĐẠI GV Trường THPT Chuyờn Vĩnh Phỳc Trong cỏc đề thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng, chỳng ta gặp khỏ nhiều bài toỏn

Phương pháp lượng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số

Lấ XUÂN ĐẠI

(GV Trường THPT Chuyờn Vĩnh Phỳc)

Trong cỏc đề thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng, chỳng ta gặp khỏ nhiều bài toỏn chứng minh bất đẳng thức (BĐT) đại số Và đõy cũng là bài toỏn thuộc dạng khú với cỏc thớ sinh Để giỳp cỏc em cú cỏch nhỡn phong phỳ hơn về cỏc phương phỏp chứng minh BĐT, tụi xin giới thiệu thờm

về phương phỏp lượng giỏc để chứng minh BĐT đại số mà cơ sở xuất phỏt của chỳng bắt nguồn từ cỏc BĐT quen biết trong tam giỏc

Do khuụn khổ của bài viết nờn cỏc kết quả và BĐT cơ bản trong tam giỏc khụng chứng minh lại

Dạng 1: Trong BĐT cú giả thiết “x,y,z là cỏc số dương thoả món x+y+z= xyz ”

Khi đú tồn tại tam giỏc nhọn ABC sao cho x=tanA; y=tanB; z=tanC

2

A B C 



x y

xy



A

sin 2 1





y

B y

sin 2 1





z

C z

2

Bài toỏn được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giỏc ABC đều, hay x    y z 3

3 2

cosA cosB cosC

sau:

Dạng 2: Trong BĐT cú giả thiết “x,y,z là cỏc số dương thoả món xy+yz+zx= 1 ”

Khi đó tồn tại tam giác ABC sao cho tan , tan , tan (HS tự chứng minh)

2

3 3

3 3 sin sin sin

1



3

x  y z

xy z  yz x  xz y  2

C 2

sin

z

2

Cùng với BĐT cơ bản trong tam giác sinA sinB sinC 3, ta suy ra đpcm

2  2  2  2

Nhận xét: Mấu chốt của lời giải trên là đưa giả thiết x+y+z=1 về dạng (*) Cùng với ý tưởng như

vậy ta giải được bài toán sau:

x yz y xz z xy

Lời giải Với phép đổi biến như thí dụ 4, ta biến đổi P như sau:

2

xy



Do đó 1 2 3 3 1 3 3

 

Dễ thấy khi đó x  y 2 33, z 7 4 3 Vậy min P 1 3 3

4

 

10

b b

Khi đó

b

10 3

2

10

P

3

1

1 sin 2

2















cos

C

cos

2 2

a ; b= 2 ; c=

2 2

Dạng 3: Trong BĐT có giả thiết “x,y,z là các số dương thoả mãn x2y2 z2 2xyz=1 ”

Khi đó tồn tại tam giác nhọn ABC sao cho xcosA; y=cosB; z=cosC (HS tự chứng minh)

4



(x y z) (cos A cos B cos C)

4

2

4

sin A sin B sin C

sin

4

P

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1/2 Vậy min 13.

4

P

Dạng 4: Một số dạng giả thiết khác

a sin x, b sin y, c sin z; x, y, z 0;

2



Vế trái của BĐT trở thành Psin x.sin y.sin zcos x.cos y.cos z

Ta có Psin x.sin ycos x.cos ycos(xy)1, suy ra đpcm

Chứng minh rằng abcd  3

Lời giải Đặt a2 tan ;x b2 tan ;y c2 tan ;z d2 tanz, trong đó , , , 0;

2

 

x y z t 

1

cos x cos y cos z cos t

Áp dụng BĐT Côsi cho các số thực dương ta được

sin x 1 cos x=cos y2 cos zcos t3(cosy.cosz.cost) sin2x3(cosy.cosz.cost)2 3

Nhân từng vế của các BĐT tương tự ta được:

(sinx.siny.sinz.sint) 3 (cosx cosy.cosz.cost ) tan2x tan2y tan2z tan2t34 hay lµ abcd3

Cuối cùng xin đưa ra một số bài tập cho các bạn luyện tập

Bài 1 Cho các số thực dương x,y,z thoả mãn x+y+z =xyz

Chứng minh rằng (x1)(y1)(z 1) 6 310

Bài 2: Cho các số thực dương x,y,z dương thỏa mãn 2 Chứng minh

2

x y z  xyz=1

8

4

Bài 3: Cho a,b,c thuộc khoảng (0;1) thỏa mãn ab+bc+ca=1 Chứng minh rằng

Bài 4 Cho các số dương a,b,c thoả mãn 2009ac+ab+bc=2009 Tìm giá trị lớn nhất của

2

2

b P

Email: lexuandaicvp@gmail.com; DT: 0912960417