Toán Phương pháp lượng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số41007

Viếτ lạι giả τηιếτ nh sau: xy... Tồn tạι tam gi〈χ nhọν ABC sao cho ξχοσΑ; ψ=χοσΒ; ζ=χοσΧ... Cuốι χνγ ξin ðα ρα mộτ σố β◊ι τậπ χηο χ〈χ βạν λυψệν τậπ.

1

Πη↑←νγ πη÷π λ↑νγ γι÷χ → χηνγ mινη β⊇τ →…νγ τηχ →≠ι σ

L⊇ ΞΥℜΝ ∠ẠΙ

(GV Tr!νγ ΤΗΠΤ Chuyν ς"νη Πηχ)

Trong c〈χ ðề thi tuyểν sinh v◊ο ∠ạι họχ, Cao ðẳνγ, chνγ ta gặπ kh〈 nhiềυ b◊ι to〈ν chứνγ minh bấτ ðẳνγ thứχ (B∠T) ðạι số V◊ ðy cũνγ l◊ b◊ι to〈ν thuộχ dạνγ kh⌠ vớι c〈χ th sinh ∠ể giπ c〈χ em c⌠ c〈χη nhν phong ph h⌡n về c〈χ ph⌡ng ph〈π chứνγ minh B∠T, ti xin giớι thiệυ thm

về ph⌡νγ ph〈π λợνγ γι〈χ ðể χηứνγ mινη Β∠T ðạι số m◊ c⌡ sở xuấτ ph〈τ củα chνγ bắτ nguồν từ c〈χ B∠T quen biếτ trong tam gi〈χ

Do khuν khổ χủα β◊ι viếτ νν χ〈χ kếτ quả v◊ B∠Τ χ⌡ βảν τρονγ ταm γι〈χ khng chứνγ minh lạι

Sau ðψ, ti xin ða ra m τ s d νγ b◊ι to〈ν ði ν ηνh th hi ν cho ph⌡ng ph〈π ν◊ψ

Dạνγ 1 : Trong B∠T c⌠ giả thiếτ “x,y,z l◊ χ〈χ σố δ⌡νγ τηοả mν ξ+ψ+ζ= ξψζ ”

Khi ð⌠ tồn tạι ταm γι〈χ νηọν ABC sao cho x=tanA; y=tanB; z=tanC

2



sao cho x=tanA; y=tanB; z=tanC

ξψ



Th δ 1 Cho x,y,z l◊ χ〈χ σố τηựχ δ⌡ng thoả mν ðiềυ κιệν ξ+ψ+ζ=ξψζ

L ι γι ι Ta c⌠ tan sin

Α

2 1





ψ

Β ψ

2 1





ζ

Χ ζ

2

χοσΑ

2

sau:

Th δ 2 Cho x,y,z l◊ χ〈χ σố τηựχ δ⌡ng thoả mν ðiềυ κιệν ξ+ψ+ζ=ξψζ

2

Dạνγ 2 : Trong B∠T c⌠ giả thiếτ “x,y,z l◊ χ〈χ σố δ⌡νγ τηοả mν ξy+yz+zx= 1 ”

Th δ 3 Cho c〈χ σố τηựχ δ⌡νγ ξ,ψ,ζ τηοả mν ξψ+ψζ+xz=1 Chứνγ mινη ρằνγ

2

3 3

L ι γι ι Ta c⌠ 2

3 3 sin sin sin

1

3

Th δ 4 Cho x,y,z d⌡ng thỏα mν ðiềυ kiệν ξ+ψ+ζ=1

L ι γι ι Viếτ lạι giả τηιếτ nh sau: xy. xz xy. yz xz. yz 1

Lχ ð⌠

C 2

sin

z

2



Nh ν ξτ: Mấυ chốτ củα lờι giảι trn l◊ ða giả τηιếτ x+y+z=1 về dạνγ (*) Cνγ vớι  tởνγ nh

vậψ ta giảι ðợχ b◊ι to〈ν sau:

Th δ 5 Cho x,y,z d⌡ng thỏα mν ðiềυ kiệν ξ+ψ+ζ=1

L ι γι ι Vớι phπ ðổι biếν nh th dụ 4, ta biếν ðổι P nh sau:

2

xy



3

P 1    

4

Th δ 6 Cho c〈χ số d⌡ng a,b,c thoả mν ðiềυ kiệν abc+a+c=b Chứνγ minh rằνγ

10

L ι γι ι Từ γιả τηιếτ συψ ρα αχ α  χ  1

10 3

2

10

P

3

1

1 sin 2

2



















χοσ

Χ

χοσ

2

2 2

Dạνγ 3 : Trong B∠T c⌠ giả thiếτ “x,y,z l◊ χ〈χ σố δ⌡νγ thoả mν ξ2  ψ2  ζ2 2 ξψζ=1 ”

Th δ 7 Cho c〈χ số d⌡ng x,y,z thoả mν ξ2 ψ2  ζ2  2 ξψζ=1

4



L ι gi ι Tồn tạι tam gi〈χ nhọν ABC sao cho ξχοσΑ; ψ=χοσΒ; ζ=χοσΧ

4

2

4

sin Α sin Β sin Χ

16 sin

Α Α

4

Π 

4

4

Dạνγ 4 : Mộτ σố δạνγ γιả τηιếτ κη〈χ

Th δ 8 Cho a, b, c(0;1) Chứνγ mινh rằνγ: abc (1 a)(1 b)(1 c)   1

L ι γι ι ∠ặτ a sin x, b2 sin y, c2 sin z; x, y, z2 0;

2



Th δ 9 Cho a,b,c,d d⌡ng thoả mν

1

L ι γι ι ∠ặτ α2  tan ;ξ β2  tan ;ψ χ2  tan ;ζ δ2  tanζ, trong ð⌠ , , , 0;

2

Giả τηιếτ ð χηο τρở τη◊νη χοσ ξ2 χοσ ψ2 χοσ ζ2 χοσ τ2  1

ℑπ δụνγ Β∠T Cσι χηο χ〈χ σố thựχ d⌡νγ τα ðợχ

sin ξ  1 χοσ ξ=χοσ ψ2 χοσ ζχοσ τ 3(χοσψ.χοσζ.χοστ) Suy ra sin2ξ3(χοσψ.χοσζ.χοστ)2 3 Nhν τừνγ ϖế củα c〈χ Β∠T t⌡ng tự ta ðợχ:

(sινξ.sinψ.σινζ.σιντ)  3 (χοσξ χοσψ.χοσζ.χοστ ) tan2ξ tan2ψ.tan2ζ.tan2τ34 ηαψ λ∝ αβχδ3

Cuốι χνγ ξin ðα ρα mộτ σố β◊ι τậπ χηο χ〈χ βạν λυψệν τậπ

B◊ι 1 Cho c〈χ σố τηựχ δ⌡νg x,y,z thoả mν ξ+ψ+ζ =xyz

B◊ι 2: Cho c〈χ số thựχ d⌡ng x,y,z d⌡νγ τηỏα mν ξ2 ψ2  ζ2  2 ξψζ=1 Chứνγ minh

8

4

B◊ι 3: Cho a,b,c thuộχ κηοảνγ (0;1) thỏα mν ab+bc+ca=1 Chứνγ minh rằνγ

B◊ι 4 Cho c〈χ σố δ⌡νγ α,β,χ τηοả mν 2009αχ+αβ+βχ=2009 Tm gi〈 trị lớn nhấτ củα

2

2

β Π