Giáo trình giải tích hàm

BÔ GIÁO DU C VÀ D̄ÀO TA O TR ’U ’̀ONG D̄A I HO C C `̂AN TH ’O Giáo tr̀ınh GI ’AI TÍCH HÀM (Functional Analysis) Biên soa n Ts Nguy˜̂en H ’̃uu Khánh Ts Lê Thanh Tùng Bô môn Toán Khoa Khoa ho c T ’u nhiên Tr ’u ’̀ong D̄a i ho c C `̂an Th ’o 2013 L ’̀OI NÓI D̄ `̂ AU Giáo tr̀ınh Gi ’ai t́ıch hàm d̄ ’u ’o c vi ´̂et cho ho c viên cao ho c ngành Toán Giáo tr̀ınh cung c ´̂ap các ki ´̂en th ’́uc c ’o b’an v `̂e Gi’ai t́ıch hàm nh ’u không gian d̄i nh chu ’̂an, không gian Hilbert[.]

Tr ’u`’ ong D ¯ a.i ho.c C ` ˆ an Th ’o

2013

Gi´ao tr`ınh Gi ’ai t´ıch h` am ¯d ’u ’o.c vi ´ˆet cho ho.c viˆen cao ho.c ng`anh To´an Gi´ao tr`ınhcung c ´ˆap c´ac ki ´ˆen th ´’uc c ’o b ’an v `ˆe Gi ’ai t´ıch h`am nh ’u khˆong gian ¯di.nh chu ’ˆan, khˆonggian Hilbert v`a l´y thuy ´ˆet to´an t ’’u T`’u c´ac ki ´ˆen th ´’uc nhˆa.n ¯d ’u ’o.c, ng ’u`’oi ¯do.c c´o th ’ˆe t ’u.nghiˆen c ´’uu c´ac chuyˆen ¯d `ˆe kh´ac c ’ua Gi ’ai t´ıch h`am nh ’u khˆong gian vect ’o tˆopˆo, khˆonggian Sobolev, ¯da.i s ´ˆo Banach, Gi ’ai t´ıch phi tuy ´ˆen Gi´ao tr`ınh c´o th ’ˆe d`ung nh ’u t`ailiˆe.u tham kh ’ao cho sinh viˆen ¯da.i ho.c.

Gi´ao tr`ınh g `ˆom 5 ch ’u ’ong Ch ’u ’ong 1 tr`ınh b`ay c´ac ki ´ˆen th ´’uc v `ˆe khˆong gian ¯di.nhchu ’ˆan Ch ’u ’ong 2 gi ´’oi thiˆe.u c´ac khˆong gian L p Ch ’u ’ong 3 ¯d `ˆe cˆa.p v `ˆe c´ac nguyˆen l´y c ’o

b ’an c ’ua Gi ’ai t´ıch h`am Ch ’u ’ong 4 nghiˆen c ´’uu v `ˆe khˆong gian Hilbert Ch ’u ’ong 5 x´etl´y thuy ´ˆet v `ˆe c´ac to´an t ’’u

C´ac v ´ˆan ¯d `ˆe trong gi´ao tr`ınh ¯d ’o.c tr`ınh b`ay c´o hˆe th ´ˆong t`’u d ˜ˆe ¯d ´ˆen kh´o v`a ¯d ’u ’o.cminh ho.a b`˘ang c´ac v´ı du cu th ’ˆe C´ac ch ´’ung minh ¯d ’o.c tr`ınh b`ay chi ti ´ˆet, d ˜ˆe hi ’ˆeu.Sau m ˜ˆoi ch ’u ’ong c´o hˆe th ´ˆong b`ai tˆa.p gi´up ng ’u`’oi ho.c c’ung c ´ˆo ki ´ˆen th ´’uc, vˆa.n du.ng v`aoc´ac t`ınh hu ´ˆong m ´’oi Mˆo.t s ´ˆo h ’u ´’ong d ˜ˆan th´ıch h ’o.p cho b`ai tˆa.p gi´up ng ’u`’oi ¯do.c ¯di.nh

h ’u ´’ong ¯d ’u ’o.c c´ach gi ’ai

Trong qu´a tr`ınh biˆen soa.n kh ’ˆong th ’ˆe tr´anh ¯d ’u ’o.c thi ´ˆeu s´ot T´ac gi ’a r ´ˆat mong nhˆa.n

¯

d ’u ’o.c ´y ki ´ˆen ¯d´ong g´op qu´y b´au t`’u ng ’u`’oi ¯do.c v `ˆe gi´ao tr`ınh n`ay

MU C LU C

L`’oi n´oi ¯d `ˆau

Ch ’ u ’ ong 1 Khˆong gian ¯ di.nh chu ’ ˆ an

§1 Khˆong gian tuy ´ˆen t´ınh 1

§2 D¯ a.i c ’u ’ong v `ˆe khˆong gian ¯di.nh chu ’ˆan 7

§3 Chu ˜ˆoi trong khˆong gian ¯di.nh chu ’ˆan 12

§5 Khˆong gian th ’u ’ong 16

§6 T´ıch c´ac khˆong gian ¯di.nh chu ’ˆan 17

§7 To´an t ’’u tuy ´ˆen t´ınh liˆen tu.c 19

§8 Khˆong gian ¯di.nh chu ’ˆan h˜’uu ha.n chi `ˆeu 26

Ch ’ u ’ ong 2 C´ac khˆong gian L p

§1 C´ac b ´ˆat ¯d ’˘ang th´’uc 33

§2 Nguyˆen l´ı bi ch˘a.n ¯d `ˆeu 48

§3 Nguyˆen l´ı ´anh xa m’’o 50

§4 D¯ i.nh l´ı ¯d `ˆo thi ¯d´ong 52

Ch ’ u ’ ong 4 Khˆong gian Hilbert

§1 Kh´ai niˆe.m v `ˆe khˆong gian Hilbert 55

§2 T´ınh tr ’u.c giao v`a h`ınh chi ´ˆeu 60

§3 Hˆe tr ’u.c chu ’ˆan 65

§4 Phi ´ˆem h`am tuy ´ˆen t´ınh v`a song tuy ´ˆen t´ınh trong khˆong gian Hilbert 72

Ch ’ u ’ ong 5 L´y thuy ´ ˆ et to´ an t ’’ u

§1 To´an t ’’u liˆen h ’o.p 79

§2 To´an t ’’u t ’u liˆen h ’o.p 81

§4 Ph ’ˆo c’ua to´an t ’’u liˆen tu.c 85

KH ˆ ONG GIAN D ¯ I.NH CHU AN ˆ ’

Ph `ˆan n`ay nh ´˘ac la.i mˆo.t c´ac ki ´ˆen th ´’uc c ’o b ’an v `ˆe khˆong gian tuy ´ˆen t´ınh

1.1 Kh´ ai niˆ e.m v ` ˆ e khˆ ong gian tuy ´ ˆ en t´ınh

Trong gi´ao tr`ınh n`ay ta k´ı hiˆe.u K l`a tr ’u`’ong c´ac s ´ˆo th ’u.c R ho˘a.c tr ’u`’ong c´ac s ´ˆo ph ´’ucC

1.1.1 Khˆ ong gian tuy ´ ˆ en t´ınh

Khˆ ong gian tuy ´ ˆ en t´ınh X trˆen tr ’u`’ongK l`a tˆa.p X c`ung v´’oi ph´ep cˆo.ng + : X×X →

X v`a ph´ep nhˆan vˆo h ’u ´’ong · : K × X → X th ’oa c´ac ¯di `ˆeu kiˆe.n

C´ac ph `ˆan t ’’u c ’ua khˆong gian tuy ´ˆen t´ınh ¯d ’o.c go.i l`a c´ac vect ’o

N ´ˆeuK = R th`ı X l`a khˆong gian tuy ´ˆen t´ınh th ’u.c, n ´ˆeuK = C th`ı X l`a khˆong gian

tuy ´ˆen t´ınh ph ´’uc

1

• V´ı du 1 Tˆa.p h ’o.p R n v ´’oi c´ac ph´ep to´an cˆo.ng v`a nhˆan vˆo h ’u´’ong

trong ¯d´o f, g ∈ C([a, b]), l`a mˆo.t khˆong gian tuy ´ˆen t´ınh.

• V´ı du 3 Tˆa.p h ’o.p l2 ={x = (x1, x2, , x n , ) : x n ∈ R, ∑∞ n=1 |xn|2 < ∞} c`ung

v ´’oi hai ph´ep to´an

(x n ) + (y n ) = (x n + y n ),

α(xn ) = (αx n ),

v ´’oi (x n ), (y n)∈ l2, α ∈ K, l`a mˆo.t khˆong gian tuy ´ˆen t´ınh.

• V´ı du 4 Tˆa.p h ’o.p P c´ac ¯da th´’uc mˆo.t bi ´ˆen th ’u.c trˆen R, v´’oi ph´ep cˆo.ng ¯da th´’uc,

ph´ep nhˆan mˆo.t s ´ˆo v ´’oi ¯da th ´’uc x´ac ¯di.nh theo c´ach thˆong th ’u`’ong l`a mˆo.t khˆong giantuy ´ˆen t´ınh

1.1.2 D ¯ ˆ o.c lˆa.p tuy ´ ˆ en t´ınh

Gi ’a s ’’u X l`a khˆong gian tuy ´ˆen t´ınh v`a x1, x2, , x n ∈ X.

Tˆa.p M ⊂ X ¯d ’u ’o.c go.i l`a ¯dˆo.c lˆa.p tuy ´ˆen t´ınh n ´ˆeu mo.i hˆe h˜’uu ha.n c´ac ph `ˆan t ’’u c ’ua

M ¯d `ˆeu ¯dˆo.c lˆa.p tuy ´ˆen t´ınh

1.1.3 C ’ o s ’’ o

Cho X l`a mˆo.t khˆong gian tuy ´ˆen t´ınh Mˆo.t tˆa.p con B ⊂ X ¯d ’u ’o.c go.i l`a mˆo.t c ’o s ’’o

c ’ua X n ´ˆeu:

B l`a tˆa.p ¯dˆo.c lˆa.p tuy ´ˆen t´ınh

Mo.i x ∈ X ¯d `ˆeu l`a t ’ˆo h ’o.p tuy ´ˆen t´ınh c ’ua mˆo.t s ´ˆo h ˜’uu ha.n c´ac ph `ˆan t ’’u c ’ua B,

S ´ˆo ph `ˆan t ’’u c ’ua B ¯d ’o.c go.i l`a s ´ˆo chi `ˆeu c ’ua khˆong gian tuy ´ˆen t´ınh X K´ı hiˆe.u

dimX N ´ˆeu B g `ˆom h ˜’uu ha.n ph `ˆan t ’’u th`ı X ¯d ’o.c go.i l`a khˆong gian tuy ´ˆen t´ınh h ˜’uuha.n chi `ˆeu

∆ D ¯ i.nh l´y 1.1 Tˆ a p ∅ ̸= B ⊂ X l` a c ’ o s ’’ o c ’ua khˆ ong gian tuy ´ ˆ en t´ınh X khi v` a ch ’i khi

B l` a tˆ a p h ’ o p ¯ dˆ o c lˆ a p tuy ´ ˆ en t´ınh t ´ ˆ oi ¯ da i (t ´’ uc l` a B ¯ dˆ o c lˆ a p tuy ´ ˆ en t´ınh v` a n ´ ˆ eu M ⊃ B,

M ̸= B th`ı M phu thuˆo.c tuy ´ ˆ en t´ınh).

∆ D ¯ i.nh l´y 1.2 Gi ’a s ’’ u X l` a khˆ ong gian tuy ´ ˆ en t´ınh n chi ` ˆ eu v` a x1, x2, , x n l` a mˆ o t

c ’ o s ’’ o c ’ua X Khi ¯ d´ o mo i x ∈ X ¯ d ` ˆ eu ¯ d ’ u ’ o c bi ˆ eu di ˜ ’ ˆ en duy nh ´ ˆ at da ng

x =

n

∑

i=1 αixi.

1.2 C´ ac khˆ ong gian tuy ´ ˆ en t´ınh

2 D¯ i.nh ngh˜ ia 1 Gi ’a s ’’u X l`a khˆong gian tuy ´ˆen t´ınh v`a Y ⊂ X Y ¯d ’u ’o.c go.i l`a khˆong

gian con c ’ua X n ´ˆeu ∀α, β ∈ K, ∀x, y ∈ Y ta c´o αx + βy ∈ Y

• V´ı du 5

i) Ta.p h ’o.p l1 g `ˆom t ´ˆat c ’a c´ac d˜ay s ´ˆo x = (x n) sao cho ∑∞

n=1 |xn | < ∞ l`a mˆo.t

khˆong gian con c ’ua khˆong gian c´ac d˜ay s ´ˆo

ii) Tˆa.p h ’o.p c´ac h`am s ´ˆo liˆen tu.c trˆen ¯doa.n [a, b], k´ı hiˆe.u C [a,b], l`a mˆo.t khˆong giancon c ’ua khˆong gian c´ac h`am s ´ˆ F([a, b]).

∆ D ¯ i.nh l´y 1.3 N ´ ˆ eu {Yα} l`a ho c´ac khˆong gian con c’ua X th`ı ∩α Y α c˜ ung l` a khˆ ong gian con c ’ua X.

2 D¯ i.nh ngh˜ ia 2 Gi ’a s ’’u X l`a khˆong gian tuy ´ˆen t´ınh v`a M ⊂ X Giao c’ua ho t ´ˆat c ’a

c´ac khˆong gian con c ’ua X ch ´’ ua M l`a khˆong gian con nh ’o nh ´ˆat c ’ua X ch ´’ ua M , ¯d ’u ’o.c

go.i l`a khˆong gian con sinh b ’’oi M, k´ı hiˆe.u l`a L(M) hay span(M).

Khi L(M ) = X ta n´ oi M sinh ra X v` a M l`a tˆa.p c´ac ph `ˆan t ’’u sinh

∆ D ¯ i.nh l´y 1.4 L(M ) l` a tˆ a p t ´ ˆ at c ’a c´ ac t ’ ˆ o h ’ o p tuy en t´ınh h ˜’ ´ uu ha n c´ ac ph ` ˆ an t ’’ u c ’ua

1.2.2 Khˆ ong gian th ’ u ’ ong

Gi ’a s ’’u X l`a khˆong gian tuy ´ˆen t´ınh v`a Y l`a khˆong gian con c ’ua X D¯ i.nh ngh˜iaquan hˆe ∼ trong X nh ’u sau:

∀x1, x2 ∈ X, x1 ∼ x2 ⇔ x1 − x2 ∈ Y.

Khi ¯d´o ∼ l`a quan hˆe t ’u ’ong ¯d ’u ’ong Tˆa.p th ’u ’ong X/Y c´ac l´’op t ’u ’ong ¯d ’u ’ong x + Y l`a

mˆo.t khˆong gian tuy ´ˆen t´ınh v ´’oi hai ph´ep to´an

(x + Y ) + (y + Y ) = (x + y) + Y

α(x + Y ) = αx + Y

1.2.3 T´ıch Descartes c´ ac khˆ ong gian tuy ´ ˆ en t´ınh

Cho ho {X α} c´ac khˆong gian tuy ´ˆen t´ınh D¯ ˘a.t X = ∏

α

X α Trong X ta ¯di.nhngh˜ia hai ph´ep to´an nh ’u sau: v ´’oi mo.i (x α)α , (y α)α ∈ X

(x α ) + (y α ) = (x α + y α)

λ(xα ) = (λx α)

X c`ung v ´’oi hai ph´ep to´an l`a khˆong gian tuy ´ˆen t´ınh, ¯d ’u ’o.c go.i l`a t´ıch Descartes

c ’ua ho c´ac khˆong gian X α

1.2.4 T ’ ˆ ong c´ ac khˆ ong gian tuy ´ ˆ en t´ınh

2 D¯ i.nh ngh˜ ia 3 Gi ’a s ’’u X l`a mˆo.t khˆong gian tuy ´ˆen t´ınh v`a Y1, Y2, , Y n l`a c´ackhˆong gian con c ’ua X Khi ¯d´o

l`a khˆong gian con nh ’o nh ´ˆat ch ´’ua c´ac Y i , i = 1, n, ¯d ’u ’o.c go.i l`a t ’ˆong c’ua c´ac khˆong gian

con Y i , i = 1, n K´ı hiˆ e.u Y =

Y i d ’¯u ’o.c go.i l`a t ’ˆong tr ’u.c ti ´ˆep c ’ua c´ac khˆong

gian con Y i , i = 1, n K´ı hiˆ e.u Y = Y1⊕ Y2⊕ ⊕ Yn

∆ D ¯ i.nh l´y 1.5 Y = Y1⊕ Y2⊕ ⊕ Yn khi v` a ch ’i khi v ´’ oi mo i y ∈ Y ¯ d ` ˆ eu c´ o s ’ u bi ˆ eu ’

di ˜ ˆ en duy nh ´ ˆ at da ng y = y1+ y2+ + y n v ´’ oi yi ∈ Yi, i = 1, n.

⊙ Ch´u ´y N ´ˆeu X = Y ⊕ Z th`ı Y ¯d ’u ’o.c go.i l`a ph `ˆan b`u ¯da.i s ´ˆo c ’ua Z N ´ˆeu dim X < ∞

th`ı dim X = dim Y + dim Z.

H ’on n ˜’ua, ta c´o X/Y ≃ Z S ´ˆo chi `ˆeu c ’ua X/Y ¯d ’u ’o.c go.i l`a s ´ ˆ o ¯ d ´ ˆ oi chi ` ˆ eu c ’ua Y , k´ı

hiˆe.u l`a codim Y Khi ¯d´o∞ > dim X = dim Y + codim Y

1.3 To´ an t ’’ u tuy ´ ˆ en t´ınh

1.3.1 To´ an t ’’ u tuy ´ ˆ en t´ınh

2 D¯ i.nh ngh˜ ia 4 Gi ’a s ’’u X, Y l`a khˆong gian tuy ´ˆen t´ınh trˆen tr ’u`’ong K ´Anh xa

A : X → Y ¯d ’u ’o.c go.i l`a to´an t’’u tuy ´ˆen t´ınh n ´ˆeu ∀α1, α2 ∈ K, ∀x1, x2 ∈ X ta c´o

A(α1x1+ α2x2) = α1Ax1 + α2Ax2.

KerA = A −1(0) ={x ∈ X : Ax = 0} l`a ha.t nhˆan (ha.ch) c’ua A,

ImA = {Ax : x ∈ X} l`a ’anh c’ua A.

N ´ˆeu A l`a song ´anh th`ı ta n´oi A l` a ph´ ep ¯ d ’˘ ang c ´ ˆ au tuy ´ ˆ en t´ınh v` a X v` a Y l`a haikhˆong gian tuy ´ˆen t´ınh ¯d ’˘ang c ´ˆau v ´’oi nhau

v ´’oi K(t, s) l`am h`am liˆen tu.c trˆen h`ınh vuˆong a ≤ t, s ≤ b, l`a to´an t ’’u tuy ´ˆen t´ınh, ¯d ’u ’o.cgo.i l`a to´an t ’’u t´ıch phˆan v´’oi ha.ch K(t, s).

• V´ı du 8 Cho X l`a tˆa.p c´ac h`am liˆen tu.c v`a bi ch˘a.n trˆen R+ = {t ∈ R : t ≥ 0}.

l`a to´an t ’’u tuy ´ˆen t´ınh, ¯d ’u ’o.c go.i l`a ph´ep bi ´ ˆ en ¯ d ’ ˆ oi Laplace.

∆ D ¯ i.nh l´y 1.6 Gi ’a s ’’ u X, Y l` a c´ ac khˆ ong gian tuy ´ ˆ en t´ınh v` a A : X → Y l`a to´an t ’’u tuy ´ ˆ en t´ınh N ´ ˆ eu A c´ o to´ an t ’’ u ng ’ u ’ o c A −1 th`ı A −1 c˜ ung l` a to´ an t ’’ u tuy ´ ˆ en t´ınh.

Ch ´’ung minh

V ´’oi mo.i y1, y2 ∈ ImA v`a v´’oi mo.i α1, α2 ∈ K Khi ¯d´o t `ˆon ta.i x1, x2 ∈ X sao cho

y1 = Ax1, y2 = Ax2 Ta c´o

A(α1x1+ α2x2) = α1Ax1+ α2Ax2 = α1y1+ α2y2.Suy ra

A −1 (α1y1+ α2y2) = α1x1+ α2x2 = α1A −1 y1+ α2A −1 y2

Vˆa.y A −1 l`a to´an t ’’u tuy ´ˆen t´ınh

∆ D ¯ i.nh l´y 1.7 Gi ’a s ’’ u X, Y l` a hai khˆ ong gian tuy ´ ˆ en t´ınh v` a A : X → Y l`a to´an t ’’u tuy ´ ˆ en t´ınh Khi ¯ d´ o

i) KerA l` a khˆ ong gian con c ’ua X,

ii) ImA l` a khˆ ong gian con c ’ua Y ,

iii) dim X = dim KerA + dim ImA,

iv) X/KerA ≃ ImA.

1.3.2 Khˆ ong gian c´ ac to´ an t ’’ u tuy ´ ˆ en t´ınh

Cho hai khˆong gian tuy ´ˆen t´ınh X, Y Go.i L(X, Y ) l`a tˆa.p h ’o.p t ´ˆat c ’a c´ac to´an

t ’’u tuy ´ˆen t´ınh t`’u X v` ao Y X´ac ¯di.nh hai ph´ep to´an trˆen L(X, Y ) nh ’u sau: ∀A, B ∈

L(X, Y )

(A + B)x = Ax + Bx, (αA)x = αAx

Khi ¯d´o L(X, Y ) c`ung v ´’oi hai ph´ep to´an l`a khˆong gian tuy ´ˆen t´ınh

1.4 Phi ´ ˆ em h` am tuy ´ ˆ en t´ınh, khˆ ong gian liˆ en h ’ o.p

To´an t ’’u tuy ´ˆen t´ınh A : X → K ¯d ’u ’o.c go.i l`a phi ´ˆem h`am tuy ´ˆen t´ınh x´ac ¯di.nh trˆen X.

Khˆong gianL(X, K) c´ac phi ´ˆem h`am tuy ´ˆen t´ınh x´ac ¯di.nh trˆen X ¯d ’u ’o.c go.i l`a khˆonggian liˆen h ’o.p c’ua X K´ı hiˆe.u X ∗ =L(X, K).

Khˆong gian X ∗∗=L(X ∗ , K) ¯d ’u ’o.c go.i l`a khˆong gian liˆen h ’o.p th´’u hai c’ua X.

§2 D ¯ a.i c ’ u ’ ong v ` ˆ e khˆ ong gian ¯ di.nh chu ’ˆan

2.1 Chu ’ ˆ an v` a khˆ ong gian ¯ di.nh chu ’ˆan

2 D¯ i.nh ngh˜ ia 5 Gi ’a s ’’u X l`a khˆong gian tuy ´ˆen t´ınh trˆen tr ’u`’ong vˆo h ’u ´’ong K = R(ho˘a.c K = C) Chu ’ ˆ an trˆ en X l`a mˆo.t h`am (phi ´ˆem h`am) ∥ ∥ x´ac ¯di.nh trˆen X th ’oa

m˜an c´ac ¯di `ˆeu kiˆe.n sau:

i) ∥x∥ ≥ 0, ∀x ∈ X,

∥x∥ = 0 ⇔ x = 0,

ii) ∥αx∥ = |α|∥x∥, ∀x ∈ X, ∀α ∈ K,

iii) ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥, ∀x, y ∈ X.

Khˆong gian tuy ´ˆen t´ınh X c`ung v ´’oi chu ’ˆan∥ ∥ x´ac ¯di.nh trˆen X ¯d ’u ’o.c go.i l`a khˆong

gian ¯di.nh chu ’ˆan K´ı hiˆe.u (X, ∥.∥).

N ´ˆeu tr ’u`’ong K = R (hay K = C) th`ı ta go.i (X, ∥.∥) l`a khˆong gian ¯di.nh chu ’ˆan th ’u.c

di.nh chu ’ˆan, ¯d ’u ’o.c go.i l`a khˆong gian Euclide n chi ` ˆ eu.

• V´ı du 10 Tˆa.p h ’o.p C [a,b] c´ac h`am s ´ˆo liˆen tu.c trˆen [a, b] v´’oi c´ac ph´ep to´an cˆo.ng v`anhˆan v ´’oi mˆo.t s ´ˆo l`a mˆo.t khˆong gian tuy ´ˆen t´ınh H ’on n ˜’ua, v ´’oi chu ’ˆan

∥x∥ = max

t ∈[a,b] |x(t)|

th`ı C [a,b] l`a khˆong gian ¯di.nh chu ’ˆan

• V´ı du 11 Tˆa.p h ’o.p t ´ˆat c ’a c´ac d˜ay s ´ˆoth ’u.c bi ch˘a.n c`ung v´’oi hai ph´ep to´an cˆo.ng v`a

nhˆan vˆo h ’u ´’ong l`a mˆo.t khˆong gian ¯di.nh chu ’ˆan v ´’oi chu ’ˆan

∥x∥ = sup

n |xn|.

Khˆong gian n`ay ¯d ’o.c k´ı hiˆe.u l`a l ∞

• V´ı du 12 K´ı hiˆe.u l2 l`a tˆa.p h ’o.p c´ac d˜ay s ´ˆo th ’u.c x = (x n)n sao cho

∞

∑

n=1

x2n hˆo.i tu X´et hai ph´ep cˆo.ng v`a nhˆan vˆo h ’u´’ong trˆen c´ac d˜ay D¯ ˘a.t

th`ı l2 l`a mˆo.t khˆong gian ¯di.nh chu ’ˆan.

• V´ı du 13 Gi ’a s’’u 1 ≤ p < ∞ Go.i L p ([a, b]) l`a tˆa.p h ’o.p c´ac h`am f : [a, b] → R (hay C) sao cho f ¯do ¯d ’u ’o.c v`a ∫b

a |f(x)| p dx < ∞ Ta ¯di.nh ngh˜ia

f = g trˆ en [a, b] ⇔ f(x) = g(x) h.k.n trˆen [a, b]

v`a x´et hai ph´ep cˆo.ng v`a nhˆan vˆo h ’u´’ong trˆen c´ac h`am

Khi ¯d´o L p ([a, b]) c`ung v ´’oi chu ’ˆan trˆen l`a khˆong gian ¯di.nh chu ’ˆan

⊕ Nhˆa.n x´et Gi ’a s’’u X l`a khˆong gian ¯di.nh chu ’ˆan V´’oi mo.i x, y ∈ X, ¯d˘a.t

d `ˆeu ¯d´ung cho khˆong gian ¯di.nh chu ’ˆan

2.2 Chu ’ ˆ an t ’ u ’ ong ¯ d ’ u ’ ong

2 D¯ i.nh ngh˜ ia 6 Gi ’a s ’’u ∥.∥1, ∥.∥2 l`a hai chu ’ˆan x´ac ¯di.nh trˆen X Go.i τ1, τ2 l`a hai

tˆopˆo gˆay nˆen b ’’oi∥.∥1, ∥.∥2

Chu ’ˆan∥.∥1 d ’¯u ’o.c go.i l`a ma.nh h ’on ∥.∥2 n ´ˆeu τ1 ⊃ τ2

Chu ’ˆan∥.∥1 v`a ∥.∥2 t ’u ’ong ¯d ’u ’ong n ´ˆeu τ1 = τ2

∆ D ¯ i.nh l´y 1.8 Chu ’ ˆ an ∥.∥1 ma nh h ’ on chu ’ ˆ an ∥.∥2 khi v` a ch ’i khi ∃c > 0 sao cho

∥x∥2 ≤ c.∥x∥1, ∀x ∈ X.

Ch ´’ung minh

V ´’oi mo.i G ∈ τ2 th`ı G l` a τ2-m ’’o L ´ˆay b ´ˆat k`y x0 ∈ G V`ı x0 l`a τ2-¯di ’ˆem trong c ’ua

G nˆen t `ˆon ta.i r > 0 sao cho S2(x0, r) ⊂ G Ta s˜e ch´’ung minh

Do ¯d´o x0 l`a τ1-¯di ’ˆem trong c ’ua G Do x0 t`uy ´y nˆen G l` a τ1-m ’’o hay G ⊂ τ1

△ Hˆe qu ’a 1 Chu ’ˆan ∥.∥1 v` a ∥.∥2 t ’ u ’ ong ¯ d ’ u ’ ong khi v` a ch ’i khi ∃c1, c2, 0 < c1 < c2 sao cho c1 ∥x∥1 ≤ ∥x∥2 ≤ c2 ∥x∥1, ∀x ∈ X.

2.3 S ’ u hˆ o.i tu trong khˆong gian ¯ di.nh chu ’ˆan

2 D¯ i.nh ngh˜ ia 7 D˜ay {xn } hˆo.i tu ¯d´ˆen x trong khˆong gian ¯di.nh chu ’ˆan X n ´ˆeu

0.2 0.4 0.6 0.8 1 t

-1 -0.75 -0.5 -0.25

0.25 0.5 0.75

1

x 1

x 2

x 3

H1 Ba s ´ ˆ o ha.ng ¯ d ` ˆ au tiˆ en c ’ua d˜ ay {x n }.

T`’u h`ınh trˆen ta th ´ˆay h`ınh nh ’u d˜ay hˆo.i tu t´’oi h`am h`ang 0 Thˆ˘ a.t vˆa.y, ta c´o

∥xn − 0∥ = 1

n2∥ sin(2πnt)∥ ≤ 1

n2 → 0.

3 T´ınh ch ´ˆ at

i) N ´ ˆ eu x n → x th`ı ∥xn∥ → ∥x∥ (Chu ’ˆan l`a h`am liˆen tu.c trˆen X).

Thˆa.t vˆa.y, ta c´o

| ∥xn∥ − ∥x∥ | ≤ ∥xn − x∥ → 0.

ii) N ´ ˆ eu d˜ ay {xn } hˆo.i tu th`ı ∃K sao cho ∥x n∥ ≤ K, ∀n.

Thˆa.t vˆa.y, n ´ˆeu d˜ay (x n) hˆo.i tu th`ı d˜ay s ´ˆ {∥xn ∥} hˆo.i tu Nˆen d˜ay s ´ˆo {∥x n ∥} bi.

ch˘a.n Do ¯d´o ∃K: ∥xn∥ ≤ K, ∀n.

iii) N ´ ˆ eu xn → x, yn → y th`ı xn + y n → x + y N ´ ˆ eu xn → x, αn → α th`ı

α n x n → αx ( t´’uc l`a c´ac ph´ep to´an x + y v`a αx liˆen tu.c).

Thˆa.t vˆa.y, ta c´o

∥(xn + y n)− (x + y)∥ ≤ ∥xn − x∥ + ∥yn − y∥ → 0,

∥αn x n − αx∥ = ∥αn (x n − x) + x(αn − α)∥ ≤ |αn|∥xn − x∥ + |αn − α|∥x∥ → 0.

• Hˆo.i tu ¯d `ˆ eu v` a hˆ o.i tu t`’ ung ¯ di ’ ˆ em

X´et khˆong gian C [a,b] t ´ˆat c ’a c´ac h`am liˆen tu.c trˆen ¯doa.n [a, b] v´’oi chu ’ˆan

∥f∥ = max

t ∈[a,b] |f(t)|, f ∈ C [a,b]

v`a d˜ay{fn} ∈ C [a,b].

D˜ay{fn } ¯d ’u ’o.c go.i l`a hˆo.i tu t`’ung ¯di ’ˆem ¯d´ˆen f n ´ˆeu lim n →∞ |fn (t) −f(t)| = 0, ∀t ∈ [a, b].

D˜ay{fn } ¯d ’u ’o.c go.i l`a hˆo.i tu ¯d ` ˆ eu ¯d ´ˆen f n ´ˆeu lim

n →∞ ∥fn − f∥ = 0.

Ta th ´ˆay s ’u hˆo.i tu ¯d `ˆeu c ’ua d˜ay h`am k´eo theo hˆo.i tu t`’ung ¯di ’ˆem Tuy nhiˆen, ¯di `ˆeu

ng ’u ’o.c la.i khˆong ¯d´ung Ch ’˘ang ha.n trong khˆong gian C [0,1], x´et d˜ay h`am {gn } x´ac ¯di.nh

2.4 Khˆ ong gian Banach

2 D¯ i.nh ngh˜ ia 8 Cho {xn}n l`a mˆo.t d˜ay trong khˆong gian ¯di.nh chu ’ˆan D˜ay {xn}n

¯ i `ˆeu ng ’u ’o.c la.i c’ua mˆe.nh ¯d `ˆe trˆen n´oi chung khˆong ¯d´ung Ch ’˘ang ha.n, x´et P([0, 1])

l`a khˆong gian c´ac ¯da th ´’uc x´ac ¯di.nh trˆen [0, 1] v´’oi chu ’ˆan ∥P ∥ = maxx ∈[0,1] |P (x)|,

Ta th ´ˆay{Pn } l`a d˜ay c ’o b ’an nh ’ung n´o khˆong hˆo.i tu trong P([0, 1]) v`ı gi´’oi ha.n c’ua

n´o khˆong l`a ¯da th ´’uc

2 D¯ i.nh ngh˜ ia 9 Khˆong gian ¯di.nh chu ’ˆan X ¯d ’o.c go.i l`a khˆong gian Banach 1 n ´ˆeu X

1 Stephan Banach (1892-1945), nh` a to´ an ho.c Balan, ng ’ u`’ oi ¯ d ` ˆ au tiˆ en ¯ d ’ ua ra l´ y thuy ´ ˆ et t ’ ˆ ong qu´ at v ` ˆ

l`a khˆong gian metric ¯d `ˆay v ´’oi metric d(x, y) = ∥x − y∥, t´’uc l`a mo.i d˜ay c ’o b ’an trong

tr ’’o th`anh khˆong gian ¯di.nh chuˆan nhˆa.n X l`am khˆong gian con.

L ´ˆay x, y ∈ X ∗ V`ı X = X ∗ nˆen t `ˆon ta.i c´ac d˜ay (x n ), (y n ) trong X hˆo.i tu l `ˆan l ’u ’o.t

2 D¯ i.nh ngh˜ ia 10 Gi ’a s ’’u {xn}n l`a mˆo.t d˜ay trong khˆong gian ¯di.nh chu ’ˆan

T ’ˆong vˆo ha.n x1+ x2+ + x n + ¯d ’o.c go.i l`a mˆo.t chu ˜ˆoi trong khˆong gian ¯di.nhchu ’ˆan X K´ı hiˆe.u

Ph `ˆan t ’’u s n = x1+ x2+ + x n d ’¯u ’o.c go.i l`a t ’ˆong riˆeng th´’u n c ’ua chu ˜ˆoi.

N ´ˆeu d˜ay{sn}n hˆo.i tu v ´ˆe ph `ˆan t ’’u s th`ı ta n´oi chu ˜ˆoi hˆo.i tu v`a c´o t ’ˆong l`a s K´ı hiˆe.u

∆ D ¯ i.nh l´y 1.11 Gi ’a s ’’ u X l` a khˆ ong gian Banach Khi ¯ d´ o chu ˜ ˆ oi

∞

∑

n=1

x n hˆ o i tu khi v` a ch ’i khi ∀ε > 0, ∃N > 0 sao cho ∀n > N, ∀p ta c´o

∆ D ¯ i.nh l´y 1.12 N ´ ˆ eu X l` a khˆ ong gian Banach v` a ∑∞

n=1 xn l` a chu ˜ ˆ oi hˆ o i tu tuyˆ e.t ¯ d ´ ˆ oi trong X th`ı chu ˜ ˆ oi

Cho n → ∞ ta ¯d ’u ’o.c

∥∑∞ n=1

Theo ¯di.nh l´y trˆen, ta chi c`on ph ’ai ch´’ung minh n ´ˆeu mo.i chu ˜ˆoi hˆo.i tu tuyˆe.t ¯d ´ˆoi l`a

hˆo.i tu th`ı X l`a ¯d `ˆay ¯d ’u

Gi ’a s ’’u {xn}n l`a d˜ay c ’o b ’an trong X Khi ¯d´o v ´’oi mo.i s ´ˆo t ’u nhiˆen k t `ˆon ta.i s ´ˆo t ’u.nhiˆen n k (x n k > x k −1) sao cho v ´’oi mo.i n, m ≥ n k ta c´o ∥xm − xn∥ < 1

2k.D

¯ ˘a.c biˆe.t ∥x n k+1 − xn k ∥ < 1

2k.X´et chu ˜ˆoi (*): x n1 + (x n2 − xn1) + (x n3 − xn2) +

Cho n → ∞ th`ı nk → ∞, ta c´o limn →∞ x n = x ∈ X.

Vˆa.y X l`a khˆong gian Banach.

§4 Khˆong gian con

2 D¯ i.nh ngh˜ ia 11 Gi ’a s ’’u X l`a khˆong gian ¯di.nh chu ’ˆan v`a Y l`a khˆong gian con tuy ´ˆen

t´ınh c ’ua X Khi ¯d´o chu ’ˆan trˆen X ha.n ch ´ˆe trˆen Y c˜ung l`a chu ’ˆan trˆen Y , v ´’oi chu ’ˆan ¯d´o

Y l`a khˆong gian ¯di.nh chu ’ˆan ¯d ’o.c go.i l`a khˆong gian con c’ua khˆong gian ¯di.nh chu ’ˆan

X.

N ´ˆeu Y ¯d´ong th`ı ta n´oi Y l`a khˆong gian con ¯d´ong c ’ua X.

span(Y ) = L(Y ) ¯d ’u ’o.c go.i l`a khˆong gian con ¯d´ong sinh b ’’oi Y

∆ D ¯ i.nh l´y 1.14 N ´ ˆ eu Y l` a khˆ ong gian con c ’ua khˆ ong gian ¯ di.nh chu ’ ˆ an X th`ı Y l` a khˆ ong gian con ¯ d´ ong c ’ua X.

Ch ´’ung minh

Hi ’ˆen nhiˆen Y ¯d´ong Ta ch ’i c `ˆan ch ´’ung minh Y l`a khˆong gian con c ’ua X.

∀x, y ∈ Y , t `ˆon ta.i c´ac d˜ay {x n}, {yn} trong Y sao cho xn → x, yn → y.

V`ı Y l`a khˆong gian con c ’ua X nˆ en αx n +βy n ∈ Y , ∀α, β ∈ K Khi ¯d´o αxn +βy n →

αx + βy Do ¯d´o αx + βy ∈ Y

∆ D ¯ i.nh l´y 1.15 (Riesz) N ´ ˆ eu Y l` a khˆ ong gian con ¯ d´ ong c ’ua khˆ ong gian ¯ di.nh chu ’ ˆ an

X th`ı ∀z /∈ Y , ∀ε > 0, ∃x0 thuˆ o c khˆ ong gian con tuy ´ ˆ en t´ınh gˆ ay nˆ en b ’’ oi Y v` a z sao cho ∥x0∥ = 1 v`a ∥x0− y∥ > 1 − ε, ∀y ∈ Y

Ch ´’ung minh

V`ı z / ∈ Y v`a Y ¯d´ong nˆen

d = d(z, Y ) = inf

y ∈Y ∥z − y∥ > 0.

∀ε > 0 ¯d’u b´e (c´o th ’ˆe chon 0 < ε < 1), v´’oi δ = εd

1−ε > 0, theo ¯di.nh ngh˜ia inf

△ Hˆe qu ’a 2 N ´ˆeu Y l`a khˆong gian con ¯d´ong c’ua khˆong gian ¯di.nh chu ’ˆan X, Y ̸= X

th`ı ∀ε > 0, ∃x0 ∈ Y , ∥x / 0∥ = 1 sao cho ∥x0− y∥ > 1 − ε, ∀y ∈ Y

§5 Khˆong gian th ’u ’ong

• B ’ˆo ¯d `ˆ e

Gi ’a s ’’ u X l` a khˆ ong gian ¯ di.nh chu ’ ˆ an, x0 ∈ X v`a Y ⊂ X N ´ ˆ eu Y ¯ d´ ong th`ı x0+ Y

¯

d´ ong.

• Xˆay d ’u.ng khˆong gian th ’u ’ong

Gi ’a s ’’u X l`a khˆong gian ¯di.nh chu ’ˆan v`a Y l`a khˆong gian con ¯d´ong c ’ua X.

Ta c´o khˆong gian th ’u ’ong tuy ´ˆen t´ınh X/Y Trang bi cho X/Y mˆo.t chu ’ˆan nh ’usau:

Cho n → ∞ ta ¯d ’u ’o.c ∥˜x + ˜y∥ ≤ ∥˜x∥ + ∥˜y∥.

Vˆa.y X/Y l`a khˆong gian ¯di.nh chu ’ˆan Khˆong gian n`ay ¯d ’o.c go.i l`a khˆong gian ¯di.nhchu ’ˆan th ’u ’ong c ’ua khˆong gian ¯di.nh chu ’ˆan X theo khˆong gian con ¯d´ong Y

∆ D ¯ i.nh l´y 1.16 N ´ ˆ eu X l` a khˆ ong gian Banach v` a Y l` a khˆ ong gian con ¯ d´ ong c ’ua X th`ı X/Y l` a mˆ o t khˆ ong gian Banach.

§6 T´ıch c´ac khˆong gian ¯di.nh chu ’ˆan

• Xˆay d ’u.ng khˆong gian t´ıch

Gi ’a s ’’u (X1, ∥.∥1), (X2, ∥.∥2), , (X n , ∥.∥n) l`a c´ac khˆong gian ¯di.nh chu ’ˆan Ta c´okhˆong tuy ´ˆen t´ınh t´ıch X =

Ta ch ´’ung minh ∥ ∥ l`a chu ’ˆan trˆen X.

i) ∥x∥ > 0 (Hi ’ˆen nhiˆen).

Khi ¯d´o (X, ∥.∥) l`a khˆong gian ¯di.nh chu ’ˆan, ¯d ’u ’o.c go.i l`a t´ıch Descartes c’ua c´ac

khˆong gian ¯di.nh chu ’ˆan (X i , ∥.∥i)

∆ D ¯ i.nh l´y 1.17 Gi ’a s ’’ u (X i , ∥.∥i ) (i = 1, , n) l` a c´ ac khˆ ong gian ¯ di.nh chu ’ ˆ an, X =

Do ¯d´o x k → x0 ∈ X Vˆa.y X l`a khˆong gian Banach.

⊕ Nhˆa.n x´et V`ı R l`a khˆong gian Banach nˆen theo ¯di.nh l´ı 1.18 ta c´o R n

l`a khˆonggian Banach

§7 To´an t’’u tuy´ ˆ en t´ınh liˆ en tu c

7.1 To´ an t ’’ u tuy ´ ˆ en t´ınh liˆ en tu c

2 D¯ i.nh ngh˜ ia 12 Cho hai khˆong gian ¯di.nh chu ’ˆan X, Y v`a to´an t ’’u tuy ´ˆen t´ınh

A : X → Y Ta n´oi

A liˆ en tu.c ta.i x0 ∈ X n ´ˆeu x n → x0 th`ı Ax n → Ax0

A liˆ en tu.c trˆen X n ´ˆeu A liˆ en tu.c ta.i mo.i x ∈ X.

A bi ch˘a.n n ´ˆeu t `ˆon ta.i M > 0 sao cho ∥Ax∥ Y ≤ M∥x∥X ∀x ∈ X.

∆ D ¯ i.nh l´y 1.19 Gi ’a s ’’ u X, Y l` a hai khˆ ong gian ¯ di.nh chu ’ ˆ an v` a A : X → Y l`a to´an

t ’’ u tuy ´ ˆ en t´ınh Khi ¯ d´ o A liˆ en tu c khi v` a ch ’i khi A bi ch˘a.n.

nh ’ung Ax ′ n 9 0 = A(0) Do ¯d´o A khˆong liˆen tu.c ta.i x = 0 (Vˆo l´ı).

Ti ´ˆep ¯d ´ˆen ta ch ´’ung minh t `ˆon ta.i M ≥ 0 sao cho ∥Ax∥ ≤ M∥x∥, ∀x ∈ X.

V ´’oi mo.i x ∈ X, x ̸= 0, theo trˆen ta c´o

Ta th ´ˆay khi x = 0 th`ı ¯d ’˘ang th ´’uc x ’ay ra

Vˆa.y A bi ch˘a.n.

(⇐) Gi ’a s ’’u A bi ch˘a.n Khi ¯d´o t `ˆon ta.i s ´ˆo M ≥ 0 sao cho ∥Ax∥ ≤ M∥x∥, ∀x ∈ X.

L ´ˆay x ∈ X t`uy ´y v`a xn → x Ta c´o

∥Axn − Ax∥ = ∥A(xn − x)∥ ≤ M.∥xn − x∥ → 0.

Suy ra Ax n → Ax Do ¯d´o A liˆen tu.c ta.i x.

Vˆa.y A liˆen tu.c trˆen X.

∆ D ¯ i.nh l´y 1.20 Gi ’a s ’’ u X, Y l` a hai khˆ ong gian ¯ di.nh chu ’ ˆ an v` a A : X → Y l`a to´an

t ’’ u tuy ´ ˆ en t´ınh Khi ¯ d´ o A liˆ en tu c trˆ en X khi v` a ch ’i khi A liˆ en tu c ta i 0.

Ch ´’ung minh

D ˜ˆe d`ang ta th ´ˆay T l`a to´an t ’’u tuy ´ˆen t´ınh Ngo`ai ra, v ´’oi mo.i (x, y) ∈ R2 ta c´o

∥T (x, y)∥ = ∥(3x + y, x − 3y, 4y)∥

Ta th ´ˆay A l`a to´an t ’’u tuy ´ˆen t´ınh.

N ´ˆeu x n = (ξ1(n) , , ξ k (n)) → x0 = (ξ1(0), , ξ k(0)) th`ı do s ’u hˆo.i tu trong Rk l`a hˆo.i

tu theo to.a ¯dˆo nˆen ξ j (n) → ξ(0)

Vˆa.y A liˆen tu.c.

2 D¯ i.nh ngh˜ ia 13 Gi ’a s ’’u A l`a to´an t ’’u tuy ´ˆen t´ınh liˆen tu.c t`’u khˆong gian ¯di.nh chu ’ˆan

X v`ao khˆong gian ¯di.nh chu ’ˆan Y Khi ¯d´o t `ˆon ta.i s ´ˆo M ≥ 0 sao cho

V ´’oi m ˜ˆoi x ∈ C [a,b] ta c´o

∥Ax(t)∥ = maxa ≤t≤b

∫b

a K(t, s)s(s)ds

Ch ´’ung t ’o A liˆ en tu.c v`a ∥A∥ ≤ max a ≤t≤b

∆ D ¯ i.nh l´y 1.22 Gi ’a s ’’ u X, Y, Z l` a c´ ac khˆ ong gian ¯ di.nh chu ’ ˆ an v` a A : X → Y ,

B : Y → Z l`a c´ac to´an t ’’u tuy ´ ˆ en t´ınh liˆ en tu c Khi ¯ d´ o B ◦ A : X → Z c˜ung tuy ´ ˆ en t´ınh liˆ en tu c v` a c´ o

∥B ◦ A∥ ≤ ∥B∥.∥A∥.

Ch ´’ung minh

V ´’oi mo.i x ∈ X ta c´o

∥(B ◦ A)x∥ = ∥B(Ax)∥ ≤ ∥B∥∥Ax∥ ≤ ∥B∥∥A∥∥x∥.

Do ¯d´o B bi ch˘a.n v`a c´o ∥B ◦ A∥ ≤ ∥B∥.∥A∥.

∆ D ¯ i.nh l´y 1.23 Cho X, Y Z l` a c´ ac khˆ ong gian ¯ di.nh chu ’ ˆ an Khi ¯ d´ o m ˜ ˆ oi to´ an t ’’ u tuy ´ ˆ en t´ınh A : X × Y → Z ¯d ` ˆ eu c´ o th ’ ˆ e bi ’ ˆ eu di ˜ ˆ en duy nh ´ ˆ at da ng

N ´ˆeu A liˆen tu.c th`ı v´’oi mo.i x ∈ X ta c´o

∥A1(x) ∥ = ∥A(x, 0)∥ ≤ ∥A∥.∥(x, 0)∥ = ∥A∥.∥x∥

ch ´’ung t ’o A1 liˆen tu.c T ’u ’ong t ’u., A2 c˜ung liˆen tu.c

Ng ’u ’o.c la.i, n ´ˆeu A1 v`a A2 d `¯ˆeu liˆen tu.c th`ı v´’oi mo.i (x, y) ∈ X × Y ta c´o

∥A(x, y)∥ = ∥A1(x) + A2(y) ∥ ≤ ∥A1∥.∥x∥ + ∥A2∥.∥x∥

≤ max(∥A1∥, ∥A2∥) × ∥(x, y)∥.

Do ¯d´o A liˆen tu.c

7.2 To´ an t ’’ u ng ’ u ’ o.c

2 D¯ i.nh ngh˜ ia 14 Gi ’a s ’’u X, Y l`a hai khˆong gian ¯di.nh chu ’ˆan v`a A : X → Y l`a to´an

t ’’u tuy ´ˆen t´ınh liˆen tu.c Khi A l`a song ´anh th`ı t `ˆon ta.i to´an t ’’u tuy ´ˆen t´ınh ng ’u ’o.c A −1

N ´ˆeu A −1 liˆen tu.c th`ı A −1 d ’¯u ’o.c go.i l`a to´an t ’’u ng ’u ’o.c c’ua to´an t ’’u tuy ´ˆen t´ınh liˆen tu.c

A Khi ¯d´o A ¯d ’u ’o.c go.i l`a ph´ep ¯d `ˆong phˆoi t`’u khˆong gian ¯di.nh chu ’ˆan X lˆen khˆong gian

∆ D ¯ i.nh l´y 1.24 Gi ’a s ’’ u A l` a to´ an t ’’ u tuy ´ ˆ en t´ınh liˆ en tu c t`’ u khˆ ong gian ¯ di.nh chu ’ ˆ an

X v` ao khˆ ong gian ¯ di.nh chu ’ ˆ an Y

i) N ´ ˆ eu t ` ˆ on ta i to´ an t ’’ u ng ’ u ’ o c A −1 liˆ en tu c th`ı ∥Ax∥ ≥ m∥x∥, v ´’ oi mo i x ∈ X v` a

∥Ax∥ ≥ ∥A1−1 ∥ ∥x∥ ≥ m∥x∥ v´’oi mo.i m th ’oa m ≤ ∥A1−1 ∥

ii) Ta th ´ˆay khi Ax = 0 th`ı 0 = ∥Ax∥ ≥ m∥x∥ Suy ra x = 0 Do ¯d´o A l`a ¯d ’on ´anh.

Khi ¯d´o A : X → ImA l`a song ´anh Suy ra t `ˆon ta.i to´an t ’’u tuy ´ˆen t´ınh ng ’u ’o.c A −1

V ´’oi mo.i y ∈ ImA, t `ˆon ta.i x ∈ X sao cho y = Ax Khi ¯d´o

∥Ax∥ ≥ m∥x∥ hay ∥y∥ ≥ m∥A −1 y ∥.

7.3 Khˆ ong gian L(X, Y )

a) Xˆ ay d ’ u ng khˆ ong gian L(X, Y )

Gi ’a s ’’u X, Y l`a hai khˆong gian ¯di.nh chu ’ˆan Go.i L(X, Y ) l`a tˆa.p h ’o.p c´ac to´an t ’’u

tuy ´ˆen t´ınh liˆen tu.c t`’u X v`ao Y Ta th ´ˆay L(X, Y ) l`a khˆong gian tuy ´ˆen t´ınh ¯d ´ˆoi v ´’oihai ph´ep to´an cˆo.ng v`a nhˆan vˆo h ’u´’ong Ta trang bi chu ’ˆan nh ’u sau:

ii) ∥αA∥ = |α|∥A∥

iii) V ´’oi mo.i x ∈ X ta c´o

Khi X = Y , ta k´ı hiˆ e.u L(X, X) = L(X).

b) S ’ u hˆo.i tu trong L(X, Y )

∥An x − Ax∥ = ∥(An − A)x∥ ≤ ∥An − A∥.∥x∥ → 0 khi n → ∞.

∆ D ¯ i.nh l´y 1.25 N ´ ˆ eu Y l` a khˆ ong gian Banach th`ı L(X, Y ) l`a khˆong gian Banach.

Ch ´’ung minh

Gi ’a s ’’u{An}n l`a d˜ay c ’o b ’an trong L(X, Y ) Khi ¯d´o ∀ε > 0, ∃N > 0: ∀n, m > N

∥(An − A)x∥ = ∥An x − Ax∥ ≤ ε∥x∥, ∀x ∈ X, ∀n > N. (1.4)

Nh ’u th ´ˆe A n − A ∈ L(X, Y ) Suy ra A = An − (An − A) ∈ L(X, Y ) H ’on n˜’ua, t`’u

(1.4) ta c´o

∥An − A∥ ≤ ε, ∀n > N.

Suy ra d˜ay {An}n hˆo.i tu v `ˆe A trong L(X, Y ).

Vˆa.y L(X, Y ) l`a khˆong gian Banach.

△ Hˆe qu ’a 3 V´’oi khˆong gian ¯di.nh chu ’ˆan b ´ˆat k`y X ta luˆon c´o X ∗ =L(X, K) l`a khˆong gian Banach.

7.4 To´ an t ’’ u song tuy ´ ˆ en t´ınh liˆ en tu c

2 D¯ i.nh ngh˜ia 16 Cho X, Y, Z l`a c´ac khˆong gian ¯di.nh chu ’ˆan v`a to´an t ’’u A : X ×Y → Z.

A l` a to´ an t ’’ u song tuy ´ ˆ en t´ınh n ´ˆeu v ´’oi m ˜ˆoi y c ´ˆo ¯di.nh th`ı A(x, y) l`a to´an t ’’u tuy ´ˆent´ınh t`’u X v` ao Z v`a v ´’oi m ˜ˆoi x c ´ˆo ¯di.nh th`ı A(x, y) l`a to´an t ’’u tuy ´ˆen t´ınh t`’u Y v` ao Z.

To´an t ’’u A go.i l`a liˆen tu.c n ´ˆeu v ´’oi mo.i d˜ay x n → x, yn → y ta c´o A(xn , y n) → A(x, y).

A go.i l`a bi ch˘a.n n ´ˆeu t `ˆon ta.i mˆo.t h`˘ang s ´ˆo M > 0 sao cho

∥A(x, y)∥ ≤ M.∥x∥.∥y∥ ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y. (1.5)

∆ D ¯ i.nh l´y 1.26 To´ an t ’’ u song tuy ´ ˆ en t´ınh A liˆ en tu c khi v` a ch ’i khi A bi ch˘a.n.

Ch ´’ung minh

Tr ’u ´’oc h ´ˆet ta ch ´’ung minh n ´ˆeu A liˆen tu.c th`ı t `ˆon ta.i s ´ˆo M > 0 sao cho ∥A(x, y)∥ ≤

M v ´’ oi mo.i x ∈ X, y ∈ Y v´’oi∥x∥ = ∥y∥ = 1 V`ı n ´ˆeu ng ’u ’o.c la.i th`ı v´’oi mo.i n ∈ N, t `ˆon

ta.i (x n , y n) v ´’oi∥xn∥ = ∥yn∥ = 1 sao cho ∥A(xn , y n)∥ > n.

n ∥A(xn , y n)∥ > 1 Tr´ai v´’oi gi ’a thi ´ˆet A liˆen tu.c.

V ´’oi mo.i x ̸= 0, y ̸= 0 ta c´o ∥A( ∥x∥ x , ∥y∥ y )∥ ≤ M T`’u ¯d´o suy ra

∥A(x, y)∥ ≤ M.∥x∥.∥y∥.

Khi x = 0 ho˘ a.c y = 0 th`ı ¯d ’˘ang th ´’uc x ’ay ra Vˆa.y, A bi ch˘a.n.

Ng ’u ’o.c la.i, gi ’a s ’’u A bi ch˘a.n V´’ oi mo.i x n → x, yn → y ta c´o

∥A(xn, yn)− A(x, y)∥ ≤ ∥A(xn, yn)− A(xn, y) ∥ + ∥A(xn, y) − A(x, y)∥

= ∥A(xn , y n − y)∥ + ∥A(xn − x, y)∥ ≤ M∥xn∥.∥yn − y∥ + M∥xn = x ∥.∥y∥.

Vˆa.y A liˆen tu.c.

2 D¯ i.nh ngh˜ ia 17 S ´ˆo M ≥ 0 nh ’o nh ´ˆat th ’oa (1.5) go.i l`a chu ’ˆan c’ua to´an t’’u A, k´ı hiˆe.u

∥A∥ Ta c´o

i) ∥A(x, y)∥ ≤ ∥A∥.∥x∥.∥y∥.

ii) ∥A∥ = sup{∥A(x, y)∥ : ∥x∥ = 1, ∥y∥ = 1}.

§8 Khˆong gian ¯di.nh chu ’ˆan h˜’uu ha.n chi ` ˆ eu

2 D¯ i.nh ngh˜ ia 18 Hai khˆong gian ¯di.nh chu ’ˆan ¯d ’u ’o.c go.i l`a ¯ d ` ˆ ong phˆ oi tuy ´ ˆ en t´ınh n ´ˆeu

t `ˆon ta.i ph´ep ¯d `ˆong phˆoi tuy ´ˆen t´ınh t`’u khˆong gian n`ay lˆen khˆong gian kia

∆ D ¯ i.nh l´y 1.27 Mo i khˆ ong gian ¯ di.nh chu ’ ˆ an th ’ u c (hay ph uc) n chi ` ´’ ˆ eu ¯ d ` ˆ eu ¯ d ` ˆ ong phˆ oi tuy ´ ˆ en t´ınh v ´’ oi khˆ ong gian Rn (hay Cn ).

Ch ´’ung minh

Gi ’a s ’’u X l`a khˆong gian ¯di.nh chu ’ˆan n chi `ˆeu trˆen tr ’u`’ong K v`a {e1, e2, , e n} l`a

mˆo.t c ’o s ’’o c’ua X Khi ¯d´o mo.i ph `ˆan t ’’u x ∈ X ¯d `ˆeu bi ’ˆeu di ˜ˆen mˆo.t c´ach duy nh ´ˆat d ’u ´’oida.ng

x = n

A l`a song ´anh tuy ´ˆen t´ınh nˆen t `ˆon ta.i to´an t ’’u tuy ´ˆen t´ınh ng ’u ’o.c A −1

* A −1 liˆen tu.c: v´’oi mo.i x ∈ X ta c´o

B ´ˆat ¯d ’˘ang th ´’uc ¯d´ung khi Ax = 0 Suy ra A liˆen tu.c.

Ch ´’ung t ’o y A l`a ph´ep ¯d `ˆong phˆoi gi ˜’ua X v`a Kn

l`a khˆong gian Banach nˆen X l`a khˆong gian Banach

△ Hˆe qu ’a 5 N ´ˆeu Y l`a khˆong gian con c’ua khˆong gian h˜’uu ha.n chi ` ˆ eu X th`ı Y l` a tˆ a p

¯

d´ ong trong X.

Ch ´’ung minh

N ´ˆeu Y l`a khˆong gian con h ˜’uu ha.n chi `ˆeu th`ı Y l`a khˆong gian Banach Khi ¯d´o Y

l`a tˆa.p ¯d `ˆay trong khˆong gian metric X nˆ en Y l`a tˆa.p ¯d´ong trong X.

△ Hˆe qu ’a 6 Mo.i chu ’ˆan trong khˆong gian ¯di.nh chu ’ˆan h˜’uu ha.n chi ` ˆ eu ¯ d ` ˆ eu t ’ u ’ ong ¯ d ’ u ’ ong

v ´’ oi nhau.

1 Cho khˆong gian tuy ´ˆen t´ınh X.

Tˆa.p A ⊂ X ¯d ’u ’o.c go.i l`a tˆa.p l `ˆoi n ´ˆeu∀x, y ∈ A v`a ∀t ∈ [0, 1] ta c´o tx+(1−t)y ∈ A.

Mˆo.t t ’ˆo h ’o.p l `ˆoi c ’ua c´ac vector x1, x2, , xn ∈ A l`a mˆo.t t ’ˆong c´o da.ng ∑n

i=1 tixi,trong ¯d´o t i ≥ 0 (i = 1, n) v`a∑n

i=1 t i = 1

a) Ch ´’ung minh n ´ˆeu A l`a tˆa.p l `ˆoi th`ı mo.i t ’ˆo h ’o.p l `ˆoi c´ac vector c ’ua A ¯d `ˆeu thuˆo.c

A.

b) Cho M ⊂ X Ch´’ung minh tˆa.p t ´ˆat c ’a c´ac t ’ˆo h ’o.p l `ˆoi c´ac vector c ’ua M l`a mˆo.t

tˆa.p l `ˆoi H ’on n ˜’ua, ¯d´o l`a tˆa.p l `ˆoi nh ’o nh ´ˆat ch ´’ua M

2 Trong khˆong gian tuy ´ˆen t´ınh C [a,b](1) c´ac h`am c´o ¯da.o h`am liˆen tu.c trˆen [a, b], c´ac

h`am p i (i = 1, 2, 3) sau ¯dˆay c´o l`a chu ’ˆan hay khˆong?

|x(t)|dt + max

a ≤t≤b |x ′ (t) |.

* H ’ u ´’ ong d ˜ ˆ an: a) p1 khˆong l`a chu ’ˆan; b) p2 l`a chu ’ˆan; c) p3 l`a chu ’ˆan

3 Ch ´’ung minh trong khˆong gian ¯di.nh chu ’ˆan (X, ∥.∥) th`ı h`ınh c `ˆau S = {x ∈ X :

∥x∥ ≤ 1} l`a tˆa.p l `ˆoi Ng ’u ’o.c la.i, n ´ˆeu trong khˆong gian tuy ´ˆen t´ınh X cho ´’ung m ˜ˆoi

x ∈ X v´’oi mˆo.t s ´ˆo ∥x∥ sao cho

, ∥ l`a mˆo.t chu ’ˆan trˆen X.

4 X´et s ’u hˆo.i tu c’ua d˜ay {x n}n trong C [0,1], v ´’oi

5 Cho {xn}n l`a d˜ay Cauchy trong khˆong gian ¯di.nh chu ’ˆan X Gi ’a s ’’u c´o mˆo.t d˜ay

con {xn k }k c ’ua {xn}n sao cho x n k → x k 0 ∈ X Ch´’ung minh r`˘ang xn n

→ x0

6 Gi ’a s ’’u {xn}n v`a {yn}n l`a hai d˜ay Cauchy trong khˆong gian ¯di.nh chu ’ˆan X.

Ch ´’ung minh r`˘ang d˜ay s ´ˆo th ’u.c {α n}n v ´’oi α n =∥xn − yn ∥ hˆo.i tu

7 Gi ’a s ’’u∥x∥ l`a chu ’ˆan trong R V´’oi x = (x1, x2)∈ R2

, ch ´’ung minh c´ac chu ’ˆan sau

c´o ¯d´ong khˆong? Ta.i sao?

* H ’ u ´’ ong d ˜ ˆ an Cho.n A = {n + 1n : n ∈ N} v`a B = {−n : n ∈ N} Ta th ´ˆay {1

n }n ⊂ A + B, 1

n → 0 /∈ A + B Do ¯d´o A + B khˆong ¯d´ong.

10 Cho A, B l`a hai tˆa.p con c’ua khˆong gian ¯di.nh chu ’ˆan X Ch ´’ung minh r`˘anga) N ´ˆeu A compact v` a B ¯d´ong th`ı A + B ¯d´ong

b) N ´ˆeu A v` a B compact th`ı A + B c˜ung compact

11 Cho M l`a khˆong gian con ¯d´ong c ’ua khˆong gian ¯di.nh chu ’ˆan X, M ̸= X Ch´’ung

minh t `ˆon ta.i x0 ∈ X sao cho ∥x0∥ = 1 v`a ∥x − y∥ > 1

2, ∀y ∈ M.

12 Ch ´’ung minh trong khˆong gian ¯di.nh chu ’ˆan vˆo s ´ˆo chi `ˆeu X ¯d `ˆeu c´o mˆo.t d˜ay ph `ˆan

t ’’u trong h`ınh c `ˆau ¯d ’on vi sao cho kho ’ang c´ach gi˜’ua hai ph `ˆan t ’’u b ´ˆat k`y l ´’on h ’on

1

2

* H ’ u ´’ ong d ˜ ˆ an: S ’’u du.ng k ´ˆet qu ’a c ’ua b`ai tˆa.p trˆen

13 Ch ´’ung minh C [0,1] v ´’oi chu ’ˆan

∥x∥ =

(∫ 1 0

14 Ch ´’ung minh trong khˆong gian ¯di.nh chu ’ˆan ta c´o S[x0, r] = S(x0, r).

15 Cho X l`a khˆong gian ¯di.nh chu ’ˆan T`ım t ´ˆat c ’a c´ac khˆong gian con c ’ua X ch ´’ua

mˆo.t h`ınh c `ˆau

* H ’ u ´’ ong d ˜ ˆ an: N ´ˆeu Y l`a khˆong gian con c ’ua X v` a Y ⊃ S(x0, r) th`ı Y = X.

16 Cho A, B l`a hai to´an t ’’u t´ıch phˆan trong C [a,b]v ´’oi ha.ch l `ˆan l ’u ’o.t l`a K(t, s), H(t, s)

Ax(t) =

∫ b

a K(t, s)x(s)ds, Bx(t) =

∫ b

a H(t, u)x(u)du.

Ch ´’ung minh B ◦ A c˜ung l`a to´an t ’’u t´ıch phˆan v`a ha.ch l`a ∫b

d ’ˆe to´an t ’’u A ´ anh xa khˆong gian C [0,1] v`ao ch´ınh n´o V ´’oi ¯di `ˆeu kiˆe.n t`ım ¯d ’u ’o.c ¯d ´ˆoi

v ´’oi h`am s ´ˆo α(t), h˜ay ch ´’ung minh A l`a to´an t ’’u tuy ´ˆen t´ınh bi ch˘a.n v`a t`ım ∥A∥.

18 Ch ´’ung minh c´ac ´anh xa sau l`a to´an t ’’u tuy ´ˆen t´ınh bi ch˘a.n v`a t´ınh chu ’ˆan c’uach´ung:

a) A : C [0,1] → C [0,1] v ´’oi Ax(t) = x(t);

b) A : C [0,1] → C [0,1] v ´’oi Ax(t) = x(t2);

20 Cho X, Y l`a hai khˆong gian ¯di.nh chu ’ˆan v`a A : X → Y l`a to´an t ’’u tuy ´ˆen t´ınh.

Gi ’a s ’’u v ´’oi m ˜ˆoi d˜ay{xn}n ⊂ X , xn → 0 th`ı d˜ay {Axn}n bi ch˘a.n Ch´’ung minh

A liˆen tu.c

21 Cho hai X, Y l`a hai khˆong gian ¯di.nh chu ’ˆan, c´ac d˜ay {xn}n ⊂ X, {An}n ⊂ L(X, Y ) th ’oa xn → x0, A n → A Ch´’ung minh An x n → Ax0

22 Gi ’a s ’’u f l`a ´anh xa t`’u khˆong gian ¯di.nh chu ’ˆan X v`ao khˆong gian ¯di.nh chu ’ˆan Y

th ’oa m˜an f (x + y) = f (x) + f (y) v ´’ oi mo.i x, y ∈ X v`a f bi ch˘a.n trˆen h`ınh c `ˆau

¯

d ’on vi S(0, 1) Ch´’ ung minh f l`a ´anh xa tuy ´ˆen t´ınh v`a liˆen tu.c

23 Gi ’a s ’’u X l`a khˆong gian ¯di.nh chu ’ˆan, A : X → X l`a to´an t ’’u tuy ´ˆen t´ınh sao cho

trong X t `ˆon ta.i d˜ay {x n} sao cho ∥xn∥ = 1, Axn → 0 Ch´’ung minh A khˆong

c´o to´an t ’’u ng ’u ’o.c bi ch˘a.n

* H ’ u ´’ ong d ˜ ˆ an: Ch ´’ung minh b`ang ph ’an ch ´’˘ ung

24 Gi ’a s ’’u X, Y l`a hai khˆong gian ¯di.nh chu ’ˆan; A, B : X → Y l`a c´ac to´an t ’’u tuy ´ˆent´ınh liˆen tu.c v`a M ⊂ X sao cho L(M) = X Ch´’ung minh n ´ˆeu Ax = Bx,

∀x ∈ M th`ı Ax = Bx, ∀x ∈ X.

* H ’ u ´’ ong d ˜ ˆ an: Ch ´’ ung minh Ax = Bx, ∀x ∈ L(M).

25 Cho X l`a khˆong gian ¯di.nh chu ’ˆan v`a f l`a phi ´ˆem h`am tuy ´ˆen t´ınh x´ac ¯di.nh trˆen X.

Ch ´’ung minh r`˘ang f liˆ en tu.c trˆen X khi v`a ch ’i khi Kerf = {x ∈ X : f(x) = 0}

l`a tˆa.p ¯d´ong

26 Gi ’a s ’’u X, Y l`a hai khˆong gian ¯di.nh chu ’ˆan To´an t ’’u tuy ´ˆen t´ınh liˆen tu.c A : X →

Y ¯d ’o.c go.i l`a to´an t ’’u h˜’uu ha.n chi `ˆeu n ´ˆeu ImA l`a khˆong gian con h ˜’uu ha.n chi `ˆeu

l`a to´an t ’’u tuy ´ˆen t´ınh liˆen tu.c h˜’uu ha.n chi `ˆeu Ng ’u ’o.c la.i, mo.i to´an t ’’u tuy ´ˆen t´ınhliˆen tu.c h˜’uu ha.n chi `ˆeu ¯d `ˆeu c´o bi ’ˆeu di ˜ˆen da.ng trˆen.

27 Ch ´’ung minh mo.i to´an t ’’u tuy ´ˆen t´ınh t`’u khˆong gian h ˜’uu ha.n chi `ˆeu X v`ao khˆonggian ¯di.nh chu ’ˆan b ´ˆat k`y Y ¯d `ˆeu liˆen tu.c

* H ’ u ´’ ong ¯ d ˜ ˆ an: D`ung chu ’ˆan Euclide∥x∥ = (∑n

i=1 |xi|2)1/2 trˆen X, x =∑n

i=1 xiei,

{e1, e2, , e n } l`a mˆo.t c ’o s’’o c’ua X.

28 Cho f1, f2, , f n v`a f l`a c´ac phi ´ˆem h`am tuy ´ˆen t´ınh liˆen tu.c x´ac ¯di.nh trˆen X.

Ch ´’ung minh ba ¯di `ˆeu sau l`a t ’u ’ong ¯d ’ong

c) T `ˆon ta.i c < ∞ sao cho |f(x)| ≤ c max1≤i≤n |fi (x) |, ∀x ∈ X.

* H ’ u ´’ ong d ˜ ˆ an T`’u a) ⇒ b) d`ung qui na.p.

29 Gi ’a s ’’u X l`a khˆong gian ¯di.nh chu ’ˆan v`a f l`a mˆo.t phi ´ˆem h`am tuy ´ˆen t´ınh bi ch˘a.ntrong h`ınh c `ˆau S[a, r] = {x ∈ X : ∥x − a∥ ≤ r} Ch´’ung minh f liˆen tu.c trˆen

to`an khˆong gian X.

30 Gi ’a s ’’u X l`a khˆong gian ¯di.nh chu ’ˆan, f ∈ X ∗ =L(X, R), f ̸= 0 v`a

S = {x ∈ X : f(x) = 1}.

Ch ´’ung minh d(0, S) = 1

∥f∥.

∆ D ¯ i.nh l´ y 2.1 (B ´^at ¯d ’˘ang th ´’uc H¨older) Cho khˆ ong gian X v` a ¯ dˆ o ¯ do µ trˆ en σ-¯ da i

s ´ ˆ F c´ac tˆa.p con c’ua X.

N ´ ˆ eu f (x), g(x) l` a hai h` am s ´ ˆ o ¯ do ¯ d ’ u ’ o c x´ ac ¯ di.nh trˆen X v`a p, q l`a hai s ´ ˆ o th ’oa m˜ an

E

|g| p dµ

)1/p

(B ´ ˆ at ¯ d ’˘ ang th ´’ uc v ´ ˆ e ph ’ai h ˜’ uu ha n).

Ch ´’ung minh

* Khi p = 1: b ´ˆat ¯d ’˘ang th ´’uc ¯d ’u ’o.c nghiˆe.m ¯d´ung

* Khi p > 1: Ta cho.n q > 1 sao cho 1q + 1q = 1 Theo b ´ˆat ¯d ’˘ang th ´’uc H¨older ta c´o

• Xˆay d ’u.ng khˆong gian

Cho khˆong gian X, mˆo.t ¯dˆo ¯do µ trˆ en σ ¯da.i s ´ˆF c´ac tˆa.p con c’ua X v`a 1 ≤ p < ∞.

* ∥f∥p ≥ 0 (Hi ’ˆen nhiˆen)

Gi ’a s ’’u {fn}n l`a d˜ay Cauchy trong L p (X, µ) Khi ¯d´o v ´’oi m ˜ˆoi k t `ˆon ta.i d˜ay con

{fn k }k c ’ua d˜ay{fn}n sao cho