Giáo trình giải tích 1 Chương 1 giới hạm hàm liên tục 1 biến

Giáo trình giải tích 1 đại học Chương 1 giới hạm hàm liên tục 1 biến dành cho cao đẳng đại học, giáo trình này của hệ đại học giao thông vận tải hcm, các sinh viên trường khác có thể tham khảo, các chương khác sẽ được cập nhật thêm

LỜI NÓI ĐẦU

Bài giảng “Giải tích 1” được biên soạn theo đề cương chi tiết của học phần Giải tích 1 – là học phần bắt buộc đối với Sinh viên hệ Cao đẳng và hệ Đại học chính quy, nhằm phục vụ cho nhu cầu về tài liệu học tập của Sinh viên Trường Đại học Giao thông Vận tải Thành phố

Hồ Chí Minh

Nội dung bao gồm các chương: Giới hạn và tính liên tục của hàm một biến; Phép tính vi phân hàm một biến; Phép tính tích phân hàm một biến; Phép tính vi phân hàm nhiều biến số Lý thuyết được trình bày ngắn gọn, có ví dụ minh họa đầy đủ, và sau mỗi chương có hệ thống bài tập đa dạng, phong phú được chọn lọc phù hợp để sinh viên

tự luyện tập, góp phần nâng cao khả năng tư duy về logic cho sinh viên Đặc biệt là hệ thống bài tập mẫu và bài tập khó dành cho Sinh viên ôn thi Olympic Toán

Với sự phát triển của Công nghệ thông tin nói chung và các phần mềm hỗ trợ tính toán, đã giúp cho việc tính toán và lập trình ngắn gọn giải quyết các bài toán một cách nhanh chóng và hiệu quả hơn Bài giảng được trình bày phối hợp giữa phương pháp giải toán bằng thủ công và sử dụng phần mềm Mathematica, giúp người học nắm bắt được phương pháp giải toán bằng phần mềm và bước đầu làm quen với lập trình tính toán

Tuy đã cố gắng nhiều trong việc biên soạn nhưng chắc chắn không thể tránh khỏi những sai sót Bộ môn Toán luôn hoan nghênh và lắng nghe những ý kiến đóng góp quý báu của các đồng nghiệp và học viên để bài giảng hoàn thiện hơn ở lần tái bản sau

Xin chân thành cảm ơn !

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 08 năm 2019

CHƯƠNG 1 GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN 1.1 Hàm số một biến số thực

1.1.1 Hàm số và đồ thị của hàm số

a) Các ví dụ dẫn nhập:

1) Diện tích của hình tròn phụ thuộc vào bán kính của hình tròn

2) Quãng đường đi được của một chất điểm chuyển động thẳng đều

với vận tốc không đổi phụ thuộc vào thời gian chuyển động

3) Số tiền gửi xe gắn máy tại một bãi giữ xe phụ thuộc vào thời gian

gửi xe

Trong mỗi ví dụ, giá trị thu được của một đại lượng biến thiên, gọi là y , phụ thuộc vào một đại lượng khác chúng ta gọi là x Ta nói

rằng “y là hàm số theo x ” và kí hiệu: y f x( ) (y theo x )

Trong đó: f là hàm số, x là biến độc lập thể hiện giá trị đầu vào

của f , và y là biến phụ thuộc hay giá trị đầu ra của hàm f tại x

nhau của tập D được gọi là tập giá trị của hàm số (Range – ký hiệu là

R) Tập giá trị có thể không bao gồm tất cả mọi phần tử của tập hợp Y Một hàm số y f x( ) giống như một cái máy xuất giá trị đầu ra

( )

f x ở tập giá trị của nó khi chúng ta cho giá trị đầu vào là x từ tập

xác định của nó (hình 1.1) Phím hàm số trên máy tính bỏ túi là một ví

dụ thể hiện hàm số như một cái máy Chẳng hạn phím x trên máy

tính sẽ cho giá trị đầu ra (căn bậc hai) bất kể lúc nào ta nhập vào một số không âm x và nhấn phím x

Một hàm số có thể được biểu diễn như một phương trình, một đồ thị, một bảng số hay thậm chí bằng một đoạn mô tả

Hình 1.1 Sơ đồ thể hiện hàm số như một loại máy

Ví dụ 1.1 Chúng ta dễ dàng kiểm tra tập xác định và tập giá trị tương

ứng của một số hàm số đơn giản sau Tập xác định trong mỗi trường

hợp là tập hợp các giá trị x làm cho công thức có nghĩa

10 (m ) Mặt đáy của nó có chiều dài gấp đôi chiều rộng Vật liệu

làm đáy trị giá $10/m2, vật liệu làm các mặt bên trị giá $6/ m2 Hãy biểu diễn chi phí vật liệu làm thùng hàng trên như một hàm số phụ thuộc chiều rộng đáy

Giải Gọi w và 2w là chiều rộng và chiều dài của mặt đáy, h là chiều cao

d) Tiêu chuẩn đường thẳng đứng (the vertical line test):

Không phải bất kì đường cong nào trong mặt phẳng tọa độ cũng là

đồ thị của một hàm số Một hàm f chỉ có thể có một giá trị f x( ) ứng với mỗi x trong tập xác định của nó, nên không có đường thẳng đứng nào có thể giao với đồ thị hàm số nhiều hơn một lần Nếu a là một

điểm thuộc tập xác định của hàm f , thì đường thẳng đứng x sẽ a

giao đồ thị của hàm f tại một điểm duy nhất ( , ( ))a f a

Tiêu chuẩn: Đường cong trong mặt phẳng 0xy là đồ thị của hàm f

khi và chỉ khi không có đường thẳng đứng (song song với 0 y) nào cắt đường cong nhiều hơn 1 điểm

Ví dụ 1.5 Parabola trong hình vẽ (a) dưới đây không phải là đồ thị của

một hàm theo x vì có đường thẳng đứng cắt đồ thị tại hai điểm Nếu xem x như là một hàm theo y thì (a) là đồ thị của hàm x y2 2

Vì x y2 2 y2   x 2 y  x2 nên (b) là đồ thị của hàmy x2, (c) là đồ thị của hàm y  x2

Hình 1.6 Mô tả tiêu chuẩn đường thẳng đứng

e) Hàm xác định từng khúc:

Đôi khi một hàm số được mô tả bằng nhiều công thức khác nhau trên những phần khác nhau của tập xác định của nó

Định nghĩa: Hàm y f x( ) xác định trên tập đối xứng D (nếu xD

thì ( x) D,  x D) được gọi là hàm chẵn theo x nếu f(x) f x( );

và gọi là hàm lẻ theo x nếu f(x) f x( ) đúng với mọi xD

Tính đối xứng: Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục 0 y; Đồ thị

của hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ

Ví dụ 1.7 Hàm yx2 là hàm chẵn; hàm yx3 là hàm lẻ

Hình 1.9 Đồ thị hàm số yx2 Hình 1.10 Đồ thị hàm số yx3

Hình 1.11 Giao diện Mathematica, đồ thị hàm số yx2

In[19]:= G1  Plot  x,  x, 2, 0  , PlotStyle   Thickness  0.01  , Hue  0.1 

G2  Plot  x 2 ,  x, 0, 1  , PlotStyle   Thickness  0.01  , Hue  0.3 

G3  Plot  1,  x, 1, 3  , PlotStyle   Thickness  0.01  , Hue  0.5 

Show  G1, G2, G3  , AxesLabel   x, y 

x 0.5

1 1.5

2 y

Hình 1.12 Đồ thị hàm từng khúc ( )g x

1.1.2 Các phép toán đối với hàm số

Xét hai hàm số f x( ) và g x( ) có miền xác định tương ứng là

( )

D f và D g( ) Ta có các phép toán cộng (sums), trừ (differences),

nhân (products) và chia (quotients) trên các hàm f và g như sau:

(f g x)( ) f x( )g x( ) với xD f( )D( )g

(f g x)( ) f x( )g x( ) với xD f( )D( )g

(fg x)( ) f x g x( ) ( ) với xD f( )D( )g

( )( )

Bảng sau tổng hợp một số công thức và tập xác định cho một vài

sự kết hợp đại số của hai hàm số

Tập xác định của f g bao gồm những giá trị x trong tập xác

định của g sao cho g x( ) nằm trong tập xác định của f

Hình 1.13 Vẽ f g như một sơ đồ máy

Hình 1.14 Mô tả hợp

hàm dưới dạng sơ đồ mũi tên

1.1.4 Hàm ngược (inverse functions)

Định nghĩa 1: Hàm f được gọi là hàm 1-1 (one to one function), nếu

nó không nhận cùng một giá trị hai lần, có nghĩa:

x1x2 f x( )1  f x( 2)

Hoặc f x( )1  f x( 2)x1x2

Tiêu chuẩn đường nằm ngang: Hàm f là 1-1 nếu và chỉ nếu không

có đường thẳng nằm ngang (song song với 0x) nào cắt đồ thị của nó tại nhiều hơn một điểm

Định nghĩa 2: Cho f là hàm 1-1, có tập xác định A và tập giá trị B Hàm ngược của f ký hiệu là f1 có tập xác định B, tập giá trị A và được xác định f1( )y x f x( ) y,  y B

Ví dụ 1.12 Hàm ngược của hàm f x( )x3 là f1( )x x1/ 3

Cách tìm hàm ngược của hàm 1-1:

Bước 1: Giải phương trình y f x( ), thu được xg y( )

Bước 2: Hoán đổi x và y, kết quả là: y f1( )x g x( )

Ví dụ 1.13 Chứng minh rằng hàm số y f x( )  1 x là hàm 1-1 trên miền xác định của nó, tìm hàm ngược và vẽ đồ thị của các hàm này trên cùng một hệ trục tọa độ

Hoán đổi x và y, thu được hàm ngược là: y f1( )x  x2 1

1.1.5 Các hàm số cơ bản (essential functions)

Một mô hình toán học (mathematical model ) là một sự mô tả toán

học (thường dưới dạng một hàm hay một phương trình) về những hiện tượng của tự nhiên như: độ tăng dân số, tốc độ rơi của vật, độ cô đặc của vật chất trong phản ứng hóa học, tuổi thọ trung bình của một người… Mục đích của việc mô tả này là làm tăng thêm sự hiểu biết về các hiện tượng cũng như đưa ra các dự đoán về chúng trong tương lai

Ở hình sau cho ta tiến trình của việc xây dựng một mô hình toán học:

Ta thấy đây là một mô hình khép kín Ban đầu từ những vấn đề đặt ra của giới tự nhiên, người ta cố gắng mô hình hóa thành một mô hình toán học Sau đó bằng những công cụ toán học, các nhà toán học

sẽ giải quyết và đưa ra những kết luận toán học Từ những kết luận này, quay lại đối chiếu với những hiện tượng thực tế cũng như đưa ra các dự đoán Nếu các dự đoán này chưa đúng với thực tế người ta phải xem xét lại mô hình ban đầu và có thể phải xây dựng một mô hình mới Quá trình này cứ tiếp diễn để xây dựng mô hình mới tốt hơn

Một mô hình toán học không bao giờ là một đại diện tuyệt đối chính xác của hiện tượng tự nhiên Nó thường là một sự “lý tưởng hóa” tức là giảm bớt đi ít nhiều những điều kiện ràng buộc Một mô hình đủ tốt có thể vừa cho phép thực hiện được các tính toán toán học mà kết quả của nó lại cũng đảm bảo đưa ra những kết luận có giá trị thực tế

Có nhiều cách để đưa ra một mô hình toán học, trong đó việc sử dụng hàm số là phổ biến Dưới đây giới thiệu một số hàm số cơ bản và các ví dụ thực tế được mô tả bởi các hàm này

a) Hàm tuyến tính (linear function):

Hàm số có dạng f x( )mx b , với các hằng số m và b, được

gọi là một hàm tuyến tính

Ví dụ 1.14

1) Khối không khí khô khi di chuyển lên trên sẽ giãn nở và lạnh đi Nếu

nhiệt độ mặt đất là 20 C0 và nhiệt độ ở độ cao 1 km là 10 C0 , hãy biểu

diễn nhiệt độ T (đơn vị: °C) như một hàm theo độ cao h (đơn vị: km),

giả sử mô hình tuyến tính là thích hợp cho trường hợp này

2) Vẽ đồ thị hàm số T h( ) Hệ số góc của hàm số đó cho biết điều gì?

3) Nhiệt độ ở độ cao 2,5 km là bao nhiêu?

Giải 1) Vì T là một hàm tuyến tính theo biến h nên T mh b

Theo giả thiết ta có:

20

T  khi h 0: 20m.0b  b20

10

T  khi h 1: 10m.1 20   m 10

b) Hàm lũy thừa (Power functions):

Hàm số f x( )x, với  là một hằng số, được gọi là hàm lũy thừa Xét một số trường hợp quan trọng sau:

 Khi   , là một số nguyên dương n

Các hàm số ( ) n

f x x , với n 1, 2, có miền xác định D  , miền giá trị R   nếu n lẻ và R [0, ) nếu n chẵn

Trong đó: a a0, , ,1 a n là các hệ số (coefficient) của đa thức, n là

bậc (degree) của đa thức (a  n 0) Miền xác định của đa thức: D  

Đa thức bậc 1: P x( )mx b , đây là hàm tuyến tính

Đa thức bậc 2: P x( )ax2bx c , gọi là hàm bậc hai (quadratic function), có đồ thị là parabola, hướng bề lõm lên trên khi a 0 và xuống dưới khi a 0

(a)

(b)

Bất kì hàm số nào được tạo thành từ những đa thức và sử dụng các phép toán đại số (cộng, trừ, nhân, chia và phép lấy căn) đều được

f) Hàm lượng giác (Trigonometric Functions):

Có 6 hàm lượng giác cơ bản sau:

  x 0, , 2 ,    y  

cos

x y

x

  x 0, , 2 ,   1

1

y y

Hình 1.24 Đồ thị hàmy tanx Hình 1.25 Đồ thị hàmy cotx

Hình 1.26 Đồ thị hàm y secx Hình 1.27 Đồ thị hàm y cscx

g) Hàm lượng giác ngược (inverse trigonometric functions):

Các hàm lượng giác không phải là hàm 1-1 trên tập xác định của

nó Để tìm các hàm lượng giác ngược ta cần giới hạn tập xác định để chúng trở thành hàm 1-1 trên tập này

 Xét hàm số ysinx, hàm này không phải là hàm 1-1 trên 

nhưng nó là hàm 1-1 trên đoạn [ / 2, / 2]

Do đó nó có hàm ngược trên đoạn [/ 2, / 2] , ký hiệu là

 Xét hàm số ytanx, hàm này là 1-1 trên khoảng  / 2, / 2 

nên có hàm ngược ký hiệu là yarctanx hoặc 1

h) Hàm mũ (Exponential Functions):

Hàm mũ là hàm số có dạng ( )f x a x, với cơ số 0a1 Tất cả các hàm mũ có tập xác định ( , ) và tập giá trị (0, ) Hàm mũ tăng khi cơ số a 1 và giảm khi 0 a 1

Hàm ngược này được gọi là hàm logarit với cơ số a và được kí hiệu là yloga x Hàm logarit luôn có tập xác định là (0, )

và tập giá trị là ( , )

Hàm logarit với cơ số e ( e 2, 718281828459 là số Néper) gọi

là logarit tự nhiên và có kí hiệu: loge xlnx

Theo định nghĩa hàm logarit và hàm mũ, ta có:

a x y xa

Hình 1.35 Hàm mũ và logarit Hình 1.36 Một số hàm logarit

j) Hàm Hyperbolic (Hyperbolic Functions):

Hàm Hyperbolic là các hàm số được định nghĩa như sau:

Tên hàm Ký hiệu/công thức Tập xác định Tập giá trị Sine hyperbolic sinh

x

Hình 1.37 Hàm y sinhx Hình 1.38 Hàm y coshx

Hình 1.39 Hàm y tanhx

k) Hàm Hyperbolic ngược (inverse Hyperbolic functions):

 Xét hàm số ysinhx, hàm này là 1-1 trên  nên tồn tại hàm ngược ký hiệu là yarc sinhx

Ta có:

arc sinhxysinhyx

2

12

y y

y y

 Xét hàm số ytanhx, hàm này là 1-1 trên  nên tồn tại hàm ngược ký hiệu là yarc tanhx

y y

x e

l) Hàm siêu việt (Transcendental Functions):

Hàm siêu việt là những hàm số mà không phải là hàm đại số

Chúng bao gồm hàm lượng giác; hàm lượng giác ngược; hàm mũ; hàm logarit; hàm hyperbolic; hàm hyperbolic ngược, và nhiều hàm khác nữa

1.2 Giới hạn hàm một biến

1.2.1 Hai bài toán thực tế dẫn đến bài toán giới hạn

a) Bài toán tiếp tuyến (tangent problem):

Viết phương trình tiếp tuyến t với parabola 2

yx tại điểm

(1,1)

Giải Trước hết cần tìm hệ số góc (slope) m của tiếp tuyến t :

Lấy điểm Q x x( , 2) thuộc parabola thì hệ số góc của cát tuyến

(secant) PQ là

2

11

PQ

x m

x







Hình 1.43 QP từ bên phải Hình 1.44 QP từ bên trái Bảng tính giá trị của m PQ tại

các điểm x nhận giá trị gần với giá

Một viên đá vỡ rơi từ đỉnh núi cao

1) Tìm vận tốc trung bình của viên đá sau khi rơi trong 2s đầu tiên 2) Tìm vận tốc trung bình của viên đá sau khi rơi trong thời gian

rơi từ 1s đến 2s

3) Tìm vận tốc rơi của viên đá tại thời điểm t 1

Giải Theo định luật Galileo, khoảng cách rơi sau t giây của vật rơi tự

do (không xét đến lực cản không khí) là: s t( )4, 9t2 (m/s)

Vận tốc trung bình của viên đá trong suốt thời gian chuyển động bằng tỷ số của sự thay đổi khoảng cách s chia cho khoảng thời gian hành trình t Vậy ta có:

1) Trong 2s đầu tiên :

khoảng thời gian [1,1h] Ta thấy rằng vận tốc

trung bình của viên đá trong khoảng thời gian tính từ

1

t  xấp xỉ 9,8 khi khoảng thời gian càng rút ngắn lại Điều đó cho ta kết luận vận tốc tức thời tại thời điểm

1.2.2 Giới hạn hàm số (the limit of a function)

Định nghĩa: Giới hạn của hàm số f x( ) khi x dần đến a bằng L nếu giá trị của f x( ) có thể gần L một cách tùy ý khi lấy giá trị của x đủ

gần a (về cả hai phía của a ) nhưng x không bằng a , và viết là:

Ví dụ 1.18 Dự đoán giá trị của

0

sinlim

x

x x

lim( ) lim ( )

Quy tắc lũy thừa: lim ( ) lim ( )

2

1

1lim

1

x

x x



f)

2 2 0

lim

t

t t

Vậy

1.2.4 Giới hạn một phía (one-sided limits)

Định nghĩa 1: Giới hạn của f x( ) khi x dần đến a từ bên trái bằng

 , nếu giá trị của hàm số f x( ) có thể gần L

một cách tùy ý khi lấy giá trị của x đủ gần a và x nhỏ hơn a (hình

Hình 1.46 Minh họa giới hạn một phía

Vì giới hạn bên trái và giới

hạn bên phải của g là khác nhau

lim ( ) 2

lim ( ) 2lim ( ) 2

x

x x

Định lý 1: Nếu f x( )g x( ), x D và giới hạn của cả hai hàm f và

g đều tồn tại khi x tiến đến c , thì : lim ( ) lim ( )