Giáo trình Giải tích hàm: Phần 2 - Phạm Minh Thông

Tiếp nội dung phần 1, Giáo trình Giải tích hàm: Phần 2 cung cấp cho người học những kiến thức như: toán tử trong không gian banach; không gian hilbert và toán tử trong không gian hilbert. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chương 3

Toán tử trong không gian Banach

Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu về tính chất của các ánh xạ tuyến

tính đặc biệt trong không gian Banach, được gọi chung là toán tử tuyến tính, đồng thời, để đơn giản trong cách viết, nếu A : E → F là toán tử tuyến tính và x ∈ A thì đôi khi chúng ta viết là Ax thay cho A (x) để chỉ ảnh của x qua A Đó là toán

tử liên hợp, toán tử compact, toán tử hữu hạn chiều Đặc biệt, chúng ta sẽ giớithiệu khái niệm về phổ của toán tử tuyến tính và các tính chất tổng quát của phổ,

đồng thời cũng nghiên cứu về đặc trưng phổ của một số toán tử tuyến tính đặc

biệt đã giới thiệu ở trên Để đơn giản trong cách viết, nếu A : E → F là toán tử tuyến tính và x ∈ A thì đôi khi chúng ta viết là Ax thay cho A(x) để chỉ ảnh của

x qua A.

Định nghĩa 1.1 Giả sử E là không gian định chuẩn Ta gọi không gian liên hợp

tôpô E  = L(E, K) của E là không gian liên hợp thứ nhất của E Không gian liên hợp của E  được ký hiệu là E  và gọi là không gian liên hợp thứ hai của E.

Như vậy

E  = (E ) = L(E  ; K).

Mệnh đề 1.2 Giả sử E là không gian định chuẩn Khi đó ánh xạ

Định nghĩa 1.3 Giả sử E và F là các không gian định chuẩn và f ∈ L(E; F ) Khi đó toán tử tuyến tính f  : F  → E  xác định bởi f  (u) := u ◦ f, u ∈ F  , đ−ợc gọi là toán tử liên hợp thứ nhất của f Toán tử f  = (f ) : E  → F  đ−ợc gọi là

toán tử liên hợp thứ hai của f

Mệnh đề 1.4 Nếu f ∈ L(E; F ) thì f  ∈ L(E  ; F  ) và f   = f Đồng thời,

E nếu ta đồng nhất E với η E (E) ⊂ E  Thật vậy, từ định nghĩa của

η E , η F và do f  = (f ) nên với mọi x ∈ E và với mọi u ∈ F  ta có:

E  ←−−−

f  F  Suy ra f  ◦ η E = η F ◦ f.

Bây giờ áp dụng bất đẳng thứcf    f với f thay bởi f  ta cóf    f   Mặt khác, từ đẳng thức f  ◦ η E = η F ◦ f và từ tính giữ nguyên chuẩn của η E và

Mệnh đề 1.5 Nếu f, g : E → F là các toán tử tuyến tính liên tục giữa các không gian định chuẩn E và F thì với mọi α, β ∈ K ta có:

(αf + βg)  = αf  + βg 

Chứng minh Theo định nghĩa ta có

(αf + βg)  (u)(x) = u((αf + βg)x) = u(αf(x) + βg(x)

Mệnh đề 1.7 Giả sử E và F là các không gian Banach và f ∈ L(E, F ) Khi đó

f : E → F là đẳng cấu nếu và chỉ nếu f  : F  → E  là đẳng cấu Khi đó

(f )−1 = (f −1)

Chứng minh Giả sử f : E → F là đẳng cấu, khi đó tồn tại ánh xạ g : F → E

Ngược lại, giả sử f  : F  → E  là đẳng cấu Do f  = (f ) nên theo chứng

minh ở trên suy ra f  : E  → F  là đẳng cấu Do f E = f nên f : E → Im F

là đẳng cấu Suy ra Im f là không gian Banach và do đó là không gian con đóng của F Ta sẽ chứng minh Im f = F Thật vậy, giả sử Im f = F , theo hệ quả 3.5, chương 2 (hệ quả của định lý Hahn-Banach), tồn tại v ∈ F  , v = 0 sao cho

Trong bài này chúng ta đi nghiên cứu về một số tính chất quan trọng của toán

tử compact giữa các không gian định chuẩn và không gian Banach Đó là: đặctrưng của toán tử compact; các phép toán đối với toán tử compact; toán tử nghịch

đảo của một đẳng cấu compact và đặc biệt là Định lý Schauder về toán tử liênhợp của một toán tử compact

Định nghĩa 2.1 Giả sử E và F là các không gian định chuẩn Toán tử tuyến tính

f được gọi là toán tử compact nếu ảnh qua f của hình cầu đóng đơn vị trong E

B[0, 1] = {x ∈ E : x  1}

là tập compact tương đối trong F

Chú ý rằng tập con X của F được gọi là compact tương đối trong E nếu bao

đóng X của X là tập compact trong F

Nhận xét 1 Nếu f là toán tử compact thì f (B[0, 1]) bị chặn trong F nên f liên tục, vì vậy toán tử compact còn được gọi là toán tử hoàn toàn liên tục.

Mệnh đề 2.2 Giả sử E vào F là các không gian định chuẩn Khi đó đối với

toán tử tuyến tính f : E → F , các khẳng định sau là tương đương:

a) f là toán tử compact;

b) Nếu A là tập bị chặn trong E thì f (A) là tập compact tương đối trong F ; c) Với mọi dãy bị chặn {x n } ⊂ E, tồn tại một dãy con {x n k } để {f(x n k )} hội tụ trong F

Chứng minh b) ⇒ a) Lấy n ∈ N ∗ sao cho A ⊂ nB[0, 1] Vì f là ánh xạ tuyến tính nên f (A) ⊂ f(nB[0, 1]) ⊂ nf(B[0, 1]) Lại do ánh xạ y → ny là đẳng cấu nên từ tính compact tương đối của f (B[0, 1]) suy ra tính compact tương đối của

nf (B[0, 1]) Từ đó suy ra tập f(A) ⊂ nf(B[0, 1]) cũng là tập compact tương đối trong F

Ví dụ 1 Từ định lý Riesz suy ra nếu E là vô hạn chiều thì ánh xạ đồng nhất trên

E liên tục nhưng không phải là toán tử compact.

Ví dụ 2 Không gian định chuẩn E hữu hạn chiều khi và chỉ khi toán tử đồng

nhất trên E là toán tử compact.

Mệnh đề 2.3 Nếu f, g là các toán tử compact từ không gian định chuẩn E đến

không gian định chuẩn F thì αf + βg cũng là toán tử compact.

Chứng minh Thật vậy, cho{x n } ⊂ E bị chặn Do f là compact tồn tại dãy con {x n k } để f(x n k ) → y Cũng vậy do g là compact tồn tạix n kj để g (x n kj ) → z Suy ra αf (x n kj ) + βg(x n kj ) → y + z Vậy αf + βg là compact.

Mệnh đề 2.4 Nếu f ∈ L(E, F ), g ∈ L(F, G) ở đây E, F, G là các không gian

định chuẩn, thì g ◦ f : E → G là compact nếu f hoặc g là compact.

Chứng minh Cho {x n } ⊂ E là dãy bị chặn trong E Đầu tiên giả sử f là

compact Khi đó có dãy con {x n k } để f(x n k ) → y Do g là liên tục nên (g◦f)(x n k ) = g(f(x n k )) → g(y) ∈ G Vậy g◦f : E → G là toán tử compact Tiếp theo, giả sử g là compact Do f là tuyến tính liên tục và tập {x n : n ∈ N ∗ } ⊂ E

bị chặn nên tập {f(x n )} ⊂ F bị chặn Vậy, do g là compact tồn tại dãy con g(f(x n k )) → z ⇔ (g ◦ f)(x n k ) → z Suy ra g ◦ f là compact.

Định lý 2.5 Nếu {f n } ⊂ L(E, F ) là dãy các toán tử compact từ không gian Banach E vào không gian Banach F hội tụ tới f trong L(E, F ) thì f cũng là toán tử compact.

Chứng minh Do F là đầy, theo đặc tr−ng Hausdorff về tính compact của một

tập con trong không gian metric đầy, chỉ cần chứng minh f (B E) là hoàn toàn bịchặn, với

Cho x ∈ B E Chọn1  i  n thoả mãn bất đẳng thức trên Ta có

f(x) ư f(x i )  f(x) ư f n0(x) + f n0(x) ư f n0(x i ) < 2ε

Vậy x1, , x n là 2ε- lưới hữu hạn của f(B E ) Do đó f là toán tử compact.

Định lý Shauder dưới đây nêu lên mối liên hệ giữa về tính compact giữa toán

tử tuyến tính liên tục f ∈ L(E, F ) và toán tử liên hợp của nó.

Định lý 2.6 (Schauder) Cho E, F là các không gian tuyến tính định chuẩn và

f ∈ L(E, F ) Khi đó:

a) Nếu f là toán tử compact thì toán tử liên hợp f  : F  → E  của f cũng là

toán tử compact.

b) Nếu F là không gian Banach và toán tử liên hợp f  : F  → E  là toán tử

compact thì f là toán tử compact.

Chứng minh Chúng ta ký hiệu B E là hình cầu đóng đơn vị trong E và B F  là

hình cầu đóng đơn vị trong F 

a) Giả sử f : E → F là compact Để chứng minh f  là toán tử compact, nhờ

định nghĩa, chúng ta chứng minh f  (B F  ) hoàn toàn bị chặn trong E :

Cho ε > 0, do f(B E ) là hoàn toàn bị chặn trong F nên tồn tại ε-lưới hữu hạn {y1, , y n } của f(B E ) Xét tập con L ⊂ K n cho bởi

Vì L hoàn toàn bị chặn trong Kn nên có thể chọn cho L một ε- lưới hữu hạn gồm toàn các phần tử của L:

{v1(y1), , v1(y n)

; ;

v m (y1), , v m (y n)

}.

Ta sẽ chứng tỏ tập hợp {f  (v1), , f  (v m )} là 3ε-lưới hữu hạn của f  (B F ) trong

E  Cho v ∈ B F , chọn 1  k0  m sao cho

 sup{vf(x) ư y j x  : x  1} + sup{|v(y j x ) ư v k0(y j x )| : x  1} + sup{v k0y j x ư f(x) : x  1} < ε + ε + ε = 3ε.

Vậy {f  (v k ), 1  k  m} là 3ε-lưới hữu hạn của f  (B F  ), suy ra f  là toán tửcompact

b) Giả sử F là không gian Banach và f  là toán tử compact, áp dụng điều vừa

chứng minh ở trên cho f  ta có f  là toán tử compact Mặt khác, do f = f 

E

suy ra f là toán tử compact.

Định nghĩa 3.1 Cho E, F là các không gian định chuẩn và f : E → F là ánh xạ tuyến tính Ta nói f là toán tử hữu hạn chiều nếu Im f là không gian con hữu hạn chiều của F

Mệnh đề 3.2 Mọi toán tử tuyến tính liên tục hữu hạn chiều đều là toán tử

compact.

Chứng minh Giả sử f : E → F là toán tử tuyến tính liên tục hữu hạn chiều, tức

là Im f là không gian con hữu hạn chiều và do đó là không gian con Banach của

Ví dụ 1 Nếu E hoặc F hữu hạn chiều thì mọi ánh xạ tuyến tính liên tục từ E

vào F đều là toán tử compact.

Thật vậy, nếu E là không gian định chuẩn hữu hạn chiều và f : E → F là

toán tử tuyến tính liên tục, khi đó dễ thấy dim Im f  dim f nên Im f là không gian con hữu hạn chiều của F nên f là toán tử hữu hạn chiều Theo mệnh đề 3.2,

f là toán tử compact Trường hợp F hữu hạn chiều thì mọi toán tử tuyến tính liên tục từ E đến F đều là toán tử hữu hạn chiều, dó đó là toán tử compact.

Mệnh đề 3.3 Cho f ∈ L(E, F ) với E, F là các không gian Banach Khi đó f là toán tử hữu hạn chiều nếu và chỉ nếu tồn tại u1, , u n ∈ E  và y

sử f là hữu hạn chiều Chọn y1, , y n là cơ sở của Im f Khi đó mọi y ∈ Im f

đều biểu diễn được duy nhất dưới dạng:

với các f j : Im f → K, j = 1, n, là các phiếm hàm tuyến tính trên Im f Do Im f

là hữu hạn chiều nên các f j là liên tục Theo Định lý Hahn- Banach, tồn tại cácphiếm hàm tuyến tính liên tục ˆf j ∈ F  để ˆf j

4.1 Một số khái niệm cần thiết

1 Đại số các toán tử Giả sử E là không gian Banach trên trường số thực hay

số phức Kí hiệu L(E) là không gian Banach tất cả các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào E Dễ dàng kiểm tra thấy L(E) không chỉ là không gian Banach

mà còn là một vành có đơn vị với các phép toán cộng và nhân xác định với các

cặp f, g ∈ L(F ) như sau:

+) Phép cộng: (f + g)(x) = f(x) + g(x), x ∈ E;

+) Phép nhân; g.f := g ◦ f.

Ta gọi L(E) là đại số Banach các toán tử tuyến tính liên tục trên E Phần

tử đơn vị của L(E), kí hiệu là 1 E , chính là toán tử đồng nhất của E và phần tử

không, kí hiệu là 0, chính là toán tử không trên E.

2 Hàm giải tích nhận giá trị trong không gian Banach

Để có thể nghiên cứu về phổ của toán tử trong không gian Banach E chúng ta

mở rộng khái niệm hàm giải tích nhận giá trị vô hướng tới trường hợp hàm nhậngiá trị trong không gian Banach tổng quát

Cho D là tập mở trong K và hàmf : D → E xác định trên D nhận giá trị trong không gian Banach E Ta nói

a) f giải tích tại λ0 ∈ D nếu

ở đây a n ∈ E với mọi n ∈ N.

b) Giải tích trên D nếu nó giải tích tại mọi λ ∈ D.

Khi K = C hàm giải tích được gọi là hàm chỉnh hình Chúng ta sẽ ký hiệuchuỗi ∞

Chứng minh Giả sử phản chứng rằng f không phải là hàm hằng, khi đó tồn tại

z1, z2 ∈ C để f(z1) = f(z2) Do hệ quả 3.6 của Định lý Hahn-Banach (chương

2), tồn tại u ∈ E  để

u(f(z1) ư f(z2)) = f(z1) ư f(z2) = 0 suy ra u(f(z1)) = u(f(z2)).

Mặt khác, theo nhận xét ở trên ta có u ◦ f : C → C là hàm chỉnh hình và do

|(u ◦ f)(z)| = |u(f(z))|  uf(z) với mọi z ∈ C

nên

sup{|u(f(z))| : z ∈ C}  u sup{f(z) : z ∈ C} < +∞

nên u ◦ f bị chặn trên C Từ đó, theo định lý Liouville đối với hàm chỉnh hình vô hướng thì u ◦ f là hàm hằng trên C, trái với điều đã khẳng định (u ◦ f)(z1) = (u ◦ f)(z2)) Mâu thuẫn này chứng tỏ giả thiết phản chứng là sai, vậy f là hàm

hằng

4.2 Phổ của toán tử trong không gian Banach

Định nghĩa 4.2 Giả sử E là không gian định chuẩn và f ∈ L(E) là toán tử trong

E Ta nói số λ ∈ K là một giá trị chính quy của f nếu toán tử λ1 E ư f là khả

nghịch trong L(E) Trái lại, λ được gọi là giá trị phổ của f.

Tập tất cả các giá trị chính quy của f được ký hiệu là s (f) và tập các giá trị phổ của f được ký hiệu là σ (f).

Nhận xét 2 a) Theo định nghĩa, số λ là giá trị chính quy của f ∈ L(E) khi và chỉ khi λ1E ư f là đẳng cấu.

b) Nếu E là không gian Banach và f ∈ L(E) thì với mọi λ ∈ K ta có λ1 E ư f ∈ L(E) Nhờ Định lý Banach-Steinhaux ta suy ra:

Số λ ∈ K là giá trị chính quy của f khi và chỉ khi với mỗi y ∈ E, tồn tại duy nhất x ∈ E sao cho λx ư f(x) = y.

c) Theo định nghĩa ta có: σ (f) = K \ s(f).

Do λ1e (x) = λx với mọi x ∈ E nên chúng ta có thể viết λ ư f thay cho λ1 E ư f.

Sau đây là các định lý cơ bản về đặc trưng phổ của một toán tử tuyến tínhliên tục giữa các không gian Banach.

Định lý 4.3 Cho E là không gian Banach trên trường K, khi đó, tập hợp phổ σ(f) của f ∈ L(E) là tập compact trong K và hàm λ → (λ ư f) ư1 giải tích trên tập s (f) các giá trị chính quy của f Ngoài ra nếu K = C thì σ(f) = ∅.

Chứng minh a) Cho λ ∈ K với |λ| > f, khi đó do f

λ n+1 hội tụ tuyệt đối trong L(E) Do L(E) là không gian

Banach nên chuỗi này hội tụ trong L(E) tới g(λ):

$

g(λ)(λ ư f)%

(x) =

-∞ n=0

Đến đây chúng ta đã chứng minh: Nếu λ ∈ K : |λ| > f thì λ − f khả nghịch

trongL(E), nghĩa là λ ∈ s(f) = K \ σ(f) Điều này chứng tỏ tập phổ của f thoả

mãn:

σ(f) ⊂ {λ ∈ K : |λ|  f}

và do đó σ (f) bị chặn trong K.

Tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh σ (f) là tập đóng trong K và do đó σ(f) là

tập compact trong K Thật vậy, cho λ0 ∈ s(f) = K \ σ(f), đặt δ = (λ 1

(λ − f) −1 = g(λ) với mọi λ ∈ K : |λ − λ0| < δ Nói cách khác

{λ ∈ K : |λ − λ0| < δ} ⊂ s(f)

nên λ0 là điểm trong của s (f) Do λ0 là điểm tuỳ ý suy ra s (f) là tập mở và do

đó σ (f) là tập đóng trong K Hơn nữa, qua chứng minh trên ta thấy tại mỗi điểm bất kỳ λ0 ∈ s(f) hàm g(λ) = (λ − 1) −1 khai triển đ−ợc thành chuỗi luỹ thừa

trong lân cận của λ0 nên g (λ) giải tích tại λ0 Suy ra g (λ) giải tích trên s(f).

b) Giả sử K = C nh−ng tồn tại f ∈ L(E) để σ(f) = ∅, khi đó s(f) = C và hàm g (λ) = (λ − f) −1 chỉnh hình trênC Theo chứng minh phần a) ta thấy: với

Suy rag(λ) → 0 khi |λ| → ∞ nên tồn tại số r > 0 sao cho g(λ)  1 với mọi

λ : |λ| > r Mặt khác, do g(λ) là liên tục trên tập compact {λ ∈ C : |λ|  r} nên

M = sup{g(λ) : |λ|  r} < ∞

Vậy sup{g(λ) : λ| ∈ C} < ∞, tức là R(λ) chỉnh hình và bị chặn trên C Theo

Định lý Liouville đối với hàm nhận giá trị trên không gian Banach thì g (λ) là hàm

hằng trên C Nhưng vì lim

|λ|→∞ g(λ) = 0 ta có g(λ) ≡ 0 ∈ L(E) với mọi λ ∈ C Tuy nhiên ta lại có g (0) = f ư1 = 0 Các khẳng định mâu thuẫn này chứng tỏ giả thiết phản chứng σ (f) = ∅ là sai Vậy σ(f) = ∅.

Định lý 4.3 khẳng định tập σ (f) bị chặn nên sup{|λ| : λ ∈ σ(f)} < +∞ và

chúng ta có định nghĩa sau đây:

Định nghĩa 4.4 Cho E là không gian Banach và f ∈ L(E) Ta gọi số

r f = sup{|λ| : λ ∈ σ(f)}

là bán kính phổ của toán tử tuyến tính f

Theo định lý 4.3, nếu E là không gian Banach phức thì với mọi f ∈ L(E), σ(f) = ∅ nên r f > 0 Trong trường hợp E là không gian Banach thực thì có thể σ(f) = ∅ và khi đó ta coi bán kính phổ của f là r f = ư∞.

Định lý 4.5 dưới đây cho ta công thức tính bán kính phổ r f của toán tử tuyến

tính liên tục f trong không gian Banach phức Tuy nhiên, để chứng minh định

lý chúng ta cần mở rộng khái niệm về chuỗi Laurent trong không gian Banach:

Giả sử E là không gian Banach phức, chuỗi Laurent trong E là tổng hình thức có

Chứng minh Trước tiên chúng ta chứng tỏ giới hạn trong vế phải của (4.1) tồn

tại Thật vậy, cố định số tự nhiên k tuỳ ý, khi đó với mọi số tự nhiên n  1 ta

Vậy với mọi λ ∈ C, |λ| > r f, dãy { f n

λ n+1 } bị chặn yếu trong L(E) Theo định lý

hay f n   M λ |λ| n+1 với mọi n ∈ N và với mọi λ ∈ C : |λ| > r f.

Lấy căn bậc n hai vế và qua giới hạn khi n → ∞ ta được

Suy ra n→∞lim f n 1n  r f Thành thử r f = limn→∞ f n  n1

Mệnh đề dưới đây nói về mối liên hệ giữa phổ của một toán tử tuyến tính liêntục với phổ của toán tử liên hợp của nó

Mệnh đề 4.6 Cho E là không gian Banach và A ∈ L(E) Khi đó σ(A) = σ(A  ),

ở đó A  là toán tử liên hợp của A.

Chứng minh Từ mệnh đề 1.7 ta có: λ ư A là đẳng cấu khi và chỉ khi (λ ư A) 

là đẳng cấu Vì vậy:

λ ∈ s(f) ⇔ ∃(λ ư A) 

ư1

= (λ ư A )ư1 ⇔ λ ∈ s(A  ).

Vậy λ ∈ σ(A) khi và chỉ khi λ ∈ σ(A  ), nghĩa là σ(A  ) = σ(A).

4.3 Phổ của toán tử compact

Trong mục này chúng ta trình bày một số kết quả chính về phổ của toán tử

compact trong không gian Banach thực hoặc không gian Banach phức E.

Định lý 4.7 Cho E là không gian Banach và A ∈ L(E) là toán tử compact Khi

đó với mỗi λ ∈ K, λ = 0 thì N λ := ker(λ ư A) là không gian con hữu hạn chiều

và R λ = Im(λ ư A) là không gian con đóng của E.

Chứng minh a) Trước tiên chúng ta chứng minh dim N λ < ∞: Ký hiệu B λ

là hình cầu đơn vị của N λ : B λ = {x ∈ N λ : x  1} Khi x ∈ B λ ta có

(λ ư A)(x) = 0 hay A(x) = λ(x), suy ra A(B λ ) = λB λ Do A là toán tử compact

và B λ là tập bị chặn nên theo mệnh đề 2.2 chương 3, A (B λ ) = λB λ hoàn toàn bị

chặn trong E Theo giả thiết λ = 0, suy ra B λ hoàn toàn bị chặn Lại theo Định

lý Riesz, N λ là không gian hữu hạn chiều và do đó là không gian con hữu hạn

chiều của E.

b) Tiếp theo ta chứng minh R λ là không gian con đóng của E có đối chiều

hữu hạn: Trong phần a) chúng ta đã chứng minh dim N λ < +∞ nên N λ có cơ

sở {e1, , e n } Như vậy mọi x ∈ N λ đều biểu diễn duy nhất được dưới dạng

f j (x)e j xác định ánh xạ tuyến tính liên tục P từ

E lên N λ thoả mãn P x = x với mọi x ∈ N λ , vì nếu x ∈ N λ thì

(λ ư A)(E) = (λ ư A)(M) + (λ ư A)(N λ ) = (λ ư A)(M)

Để chứng minh R λ là tập đóng, ta cần chứng minh tồn tại số r >0 để:

(λ ư A)y  ry với mọi y ∈ M. (4.2)Khi đó, nếu {y n } n∈N ∗ ⊂ R λ = (λ ư A)(M) thì ắt tồn tại dãy {x n } ⊂ M sao cho

y n = (λ ư A)(x n ) với mọi n ∈ N ∗ Giả sử y n = (λ ư A)(x n ) → y ∈ E Từ công

Bây giờ, bằng phản chứng ta chứng minh tính đúng đắn của công thức (4.2):

Giả sử mọi r > 0 đều không thoả mãn (4.2), khi đó với mọi n ∈ N ∗ đều tồn tại

bị chặn và A là toán tử compact nên theo mệnh đề 2.2 chương 3, có thể tìm được

dãy con {z n } ⊂ {x n } để A(z n ) → z0 ∈ E khi n → ∞ Mặt khác, do λ = 0 và {z n } là dãy con của dãy {x n } nên

n→∞ z n  = 1 Mâu thuẫn này chứng

tỏ giả thiết phản chứng là sai, nghĩa là phải tồn tại số r > 0 để khẳng định trongcông thức (4.2) đúng

Định lý đã được chứng minh hoàn toàn

Chú ý Người ta chứng minh được rằng với các giả thiết của định lý 4.7, R λ có

đối chiều hữu hạn, nghĩa là dim E/R λ < +∞.

Sau đây chúng ta nhắc lại khái niệm về giá trị riêng của một toán tử tuyến

tính f : E → E và chứng minh một số tính chất về mối liên hệ giữa giá trị riêng

phổ của một toán tử trong một số trường hợp đặc biệt

Định nghĩa 4.8 Số λ ∈ K gọi là giá trị riêng của toán tử A ∈ L(E) nếu tồn tại

x ∈ E, x = 0 để Ax = λx Vectơ x như vậy gọi là vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng λ Không gian N λ = ker(λ ư A) gọi là không gian riêng của giá trị riêng λ.

Mệnh đề 4.9 Nếu λ là giá trị riêng của toán tử A ∈ L(E) thì λ là giá trị phổ của A Hơn nữa, nếu dim E < ∞ thì tập các giá trị phổ của A chính là tập các giá trị riêng của A.

Chứng minh Trước hết, nếu λ là giá trị trị riêng của A thì tồn tại x ∈ E, x = 0 sao cho Ax = λx, suy ra (λ ư A)(x) = 0, chứng tỏ toán tử λ ư A không phải

là đơn ánh nên không thể là đẳng cấu, tức không khả nghịch trong L(E) Theo

định nghĩa, λ ∈ σ(A).

Ta thấy, số λ không phải là giá trị riêng của A thì λ ư A ∈ L(E) là đơn cấu

và nếu dim E < ∞ thì đơn cấu đó chính là đẳng cấu nên λ / ∈ σ(A).

Định lý sau đây nói rằng khi A là compact mọi giá trị phổ khác không của A

đều là giá trị riêng của nó

Định lý 4.10 Cho E là không gian Banach và A ∈ L(E) là toán tử compact Khi đó, nếu số λ = 0 là giá trị phổ của A thì λ là giá trị riêng của A.

Chứng minh (Phản chứng) Giả sử λ = 0 là giá trị phổ nhưng không là giá trị riêng của A Khi đó A λ := λ ư A là song ánh tuyến tính liên tục từ E lên

Im A λ = R λ Theo định lý 4.7 chương 3, R λ là không gian con đóng của E nên R λ là không gian Banach Lại theo Định lý Banach về ánh xạ mở suy ra

A λ : E → R λ là đẳng cấu

Với mỗi n ∈ N, đặt X n = Im A n λ, khi đó, bằng quy nạp ta sẽ chứng minh

theo nguyên lý quy nạp thì X n+1 ⊂ X n với mọi n ∈ N.

Ta còn phải chứng minh X n+1 = X n với mọi n ∈ N: Do λ là giá trị phổ của

A nên A λ : E → E không thể là đẳng cấu nên X1 = A λ (E) = X0 = 1E (E) = E Giả sử X n+1  X n với mọi n : 0  n  m nhưng X m+2 = X m+1 Chọn

x ∈ X m \ X m+1 Do X m+2 = X m+1 nên tồn tại y ∈ X m+1 để A λ (y) = A λ (x), hay là A λ (x ư y) = 0 Do A λ là đơn ánh suy ra x = y ∈ X m+1 Trái giả thiết

x / ∈ X m+1.

Đến đây ta đã chứng minh X n+1  X n với mọi n ∈ N, ở đó X n = A n λ (E) Tiếp theo, do A λ : E ∼ = ImA λ , suy ra X n = Im A n λ là không gian con đóng

của E, theo hệ quả 3.5 của Định lý Hanh-Banach, chương 2, với mỗi n  0 tồn

tại f n ∈ E  sao cho

f n

X n+1 = 0 và f n

X n  = 1 Như vậy tồn tại x n ∈ X n sao cho

Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi m, n ∈ N, chứng tỏ dãy {A(x n )} n∈N không

thể có dãy con nào hội tụ trong khi, theo cách xây dựng ở trên, dãy {x n } n∈N là

dãy bị chặn trong E Điều này trái với khẳng định trong mệnh đề 2.2 chương 3

về đặc trưng compact của của toán tử A Mâu thuẫn này chứng tỏ giả thiết phản

chứng ban đầu là sai Như vậy, mọi giá trị phổ khác không của toán tử compact

A đều là giá trị riêng của A.

Hệ quả 4.11 Nếu E là không gian Banach vô hạn chiều và A ∈ L(E) là toán tử compact thì tập phổ σ (A) của A chỉ gồm số 0 và tất cả các giá trị riêng của A.

Chứng minh Ta đã biết mọi giá trị riêng của A ∈ L(E) đều là giá trị phổ của A

và với các giả thiết đã cho, nhờ định lý 4.10, mọi giá trị phổ khác không của A

đều là giá trị riêng của A Hơn nữa, số 0 cũng là giá trị phổ của A vì nếu trái lại thì A khả nghịch, lại do A là toán tử compact nên1E = A◦A ư1là toán tử compact

nên B [0, 1] = 1 E (B[0, 1]) là tập compact trong E Nhờ Định lý Riesz suy ra E

là không gian hạn chiều Điều này mâu thuẫn với giả thiết dim E = ∞.

Định lý sau đây mô tả cụ thể hơn về cấu trúc tập phổ của toán tử compact

Định lý 4.12 Cho E là không gian Banach và A ∈ L(E) là toán tử compact Khi

đó tập phổ σ (A) chỉ gồm một số hữu hạn hay đếm được các giá trị Trong trường hợp σ (A) gồm một số đếm được các giá trị có thể viết thành dãy σ(A) = {λ n } n∈N ∗

với |λ1|   |λ n |  và lim

n→∞ λ n = 0.

Chứng minh Chúng ta chỉ cần chứng minh: với mọi số r >0 tập hợp

{λ ∈ σ(A) : |λ|  r}

là tập hữu hạn Thật vậy, nếu trái lại ắt tồn tại số r0 > 0 và một dãy {λ n } n∈N ∗ ⊂ σ(A) sao cho:

|λ n |  r0 với mọi n  1 và λ m = λ n khi m = n.

Như vậy, mỗi số λ n đó là một giá trị phổ khác không của toán tử compact A trên không gian Banach E nên theo định lý 4.10, λ n là giá trị riêng của A nên tồn tại

x  n  ta có x n  = 1 và A(x n ) = λ n x n với mọi n ∈ N ∗ Vì dãy giá

trị riêng {λ n } n∈N ∗ của A đôi một khác nhau nên dãy các vectơ riêng {x n } n∈N ∗

tương ứng độc lập tuyến tính Thật vậy, bằng qui nạp, giả sử x1, , x n là độclập tuyến tính và giả sử

được α n+1 x n+1 = 0 Do x n+1 = 0 ta có α n+1 = 0 Vậy α j = 0, ∀j = 1, n + 1 Thành thử hệ x1, , x n+1 là độc lập tuyến tính Theo nguyên lý quy nạp suy ramọi hệ con hữu hạn của dãy {x n } n∈N ∗ đều độc lập tuyến tính nên dãy đó độc lậptuyến tính

Bây giờ, với mỗi n ∈ N ∗ , gọi X n là không gian vectơ con của E sinh bởi

x1, , x n:

X n=

n j=1

α j x j : α j ∈ K, j = 1, n.

Khi đó ta có: dim X n = n và X n  X n+1 với mọi n ∈ N ∗ Theo hệ quả 3.5 của

Định lý Hahn-Banach trong chương 2, với mỗi n ∈ N ∗, tồn tại phiếm hàm tuyến

tính liên tục f n ∈ E  sao cho

y n+1 + x  |f n (y n+1 + x)|  1

2 với mọi x ∈ X n

Ta viết

y n+1 = α (n+1)1 x1+ + α (n+1) n x n + α (n+1) n+1 x n+1

Do (λ n+1 ư A)(x n+1 ) = 0 và A(x j ) = λ j x j với mọi j ∈ N ∗, nên

(λ n+1 ư A)(y n+1 ) ∈ X n với mọi n ∈ N ∗ .

Bất đẳng thức trên chứng tỏ dãy {Ay n } n∈N ∗ không có bất kỳ dãy con nào hội tụtrong khi {y n } n∈N ∗ là dãy bị chặn trong E và A ∈ L(E) là toán tử compact Điều

này lại mâu thuẫn với mệnh đề 2.2 chương 3 về đặc trưng của toán tử compact

Mâu thuẫn này chứng tỏ rằng, với mỗi số r > 0, tập hợp {λ ∈ σ(A) : |λ| > r} là

A n



có lực lượng cùng lắm là đếm được nên σ (A) cùng lắm là đếm được.

5 Bài tập chương 3

Bài 1 Cho E, F là các không gian tuyến tính định chuẩn và A : E → F là toán

tử tuyến tính liên tục Chứng minh rằng :

a) Nếu A là toàn ánh thì toán tử liên hợp A  : F  → E  là đơn ánh.

b) Nếu toán tử liên hợp A  : F  → E  là toán ánh thì A là đơn ánh.

Bài 2 Chứng minh rằng mọi toán tử tuyến tính liên tục hữu hạn chiều đều là toán

tử compact

Bài 3 Cho E, F là các không gian tuyến tính định chuẩn Chứng minh rằng nếu

E hoặc F hữu hạn chiều thì mọi toán tử tuyến tính liên tục từ E đến F đều là

toán tử compact

Bài 4 Chứng minh rằng không gian định chuẩn E là hữu hạn chiều khi và chỉ

khi toán tử đồng nhất 1E là toán tử compact

Bài 5 Chứng minh rằng không gian định chuẩn E hữu hạn chiều khi và chỉ khi

không gian liên hợp E  hữu hạn chiều

Bài 6 Chứng minh rằng nếu E là không gian định chuẩn vô hạn chiều và A :

E → E là toán tử compact thì A không có toán tử ngược liên tục.

Bài 9 Với mỗi số tự nhiên n, gọi A n : l2 → l2 là ánh xạ xác định bởi:

b) Dãy {A n } n∈N ∗ hội tụ điểm đến ánh xạ đồng nhất I trên l2 nhưng không

hội tụ đều đến I trên l2

Bài 10 Cho E là không gian Banach và F là không gian tuyến tính định chuẩn,

A : E → F là ánh xạ tuyến tính liên tục Chứng minh rằng nếu tồn tại số m > 0

sao cho

x  mAx với mọi x ∈ E

thì Im A là không gian con đóng của F

Bài 11 Chứng minh rằng toán tử tuyến tính liên tục từ không gian Banach E vào

không gian Banach F có toán tử liên hợp A  : F  → E  là toàn ánh khi và chỉ khi

A có ảnh đóng và đơn ánh.

Bài 12 Giả sử E là không gian Banach vô hạn chiều và A là toán tử compact từ

E vào không gian định chuẩn F Chứng minh rằng tồn tại {x n } ⊂ E, x n  = 1

sao cho lim

n→∞ Ax n= 0

Bài 13 Giả sử . là một chuẩn trên C[0; 1] sao cho

a) (C[0; 1], .) là không gian Banach.

b) Nếu f n  → 0 thì f n (x) → 0 với mọi x ∈ [0, 1].

Chứng minh rằng chuẩn . tương đương với chuẩn . ∞, tức là tồn tại hai

hằng số C1, C2 > 0 sao cho

C1f ∞  f  C2f ∞ với mọi f ∈ C[0; 1]

Bài 14 Cho M ⊂ p , p  1 Chứng minh rằng tập M là compact tương đối khi

và chỉ khi với mọi ε > 0 tồn tại n  1 sao cho sup

Bài 17 Chứng minh rằng nếu E là không gian Banach vô hạn chiều và f ∈ L(E)

là toán tử compact thì số 0 là giá trị phổ của f.

Bài 18 Cho α = (α n ) ∈ RN∗ , α n = 0, ∀n ∈ N ∗ và α n → 0 khi n → ∞ Xét

a) Chứng minh rằng ϕ α là toán tử tuyến tính liên tục trên l2

b) Số 0 là giá trị phổ của ϕ α nhưng không phải là giá trị riêng của ϕ α

Bài 19 Chứng minh rằng nếu E là không gian Banach vô hạn chiều và A ∈ L(E)

là toán tử compact, thì tập phổ σ (A) của A gồm số 0 và tất cả các giá trị riêng của A.

Bài 20 Cho E là không gian Banach, A ∈ L(E), λ ∈ C Chứng minh rằng nếu

tồn tại một dãy phần tử {x n } n∈N ∗ ⊂ E sao cho x n  = 1 với mọi n ∈ N ∗ và

lim

n→∞ (λx n ư Ax n ) = 0 thì λ là giá trị phổ của A.

Bài 21 Cho E là không gian Banach và A ∈ L(E) Chứng minh rằng nếu

λ ∈ σ(A) thì λ n ∈ σ(A n ), trong đó n là số nguyên dương.

Bài 22 Cho E là không gian Banach và A ∈ L(E) là phép đẳng cấu Chứng minh rằng nếu λ ∈ σ(A), λ = 0 thì λ −1 ∈ σ(A −1).

Bài 23 Cho A : C[0; 2π] → C[0; 2π] là ánh xạ từ không gian các hàm số phức

liên tục trên [0; 2π] vào chính không gian đó xác định bởi:

Tìm tập phổ σ (A), bán kính phổ r(A) và toán tử R(A, λ) = (A − λ) −1 , λ ∈ s(A).

Bài 25 Gọi A : C[0; 1] → C[0; 1] là toán tử tuyến tính xác định bởi:

sự tồn tại cơ sở trực chuẩn trong không gian Hilbert và cuối cùng là việc nghiêncứu về đặc tr−ng của các toán tử đặc biệt nh− toán tử liên hợp, toán tử compacttrong không gian Hilbert.

1.1 Định nghĩa và các tính chất đơn giản

Định nghĩa 1.1 Dạng hermite trên không gian vector phức E là ánh xạ

(x, y) → ϕ(x, y)

thoả mãn các tính chất sau:

1) ϕ (x1+ x2, y) = ϕ(x1, y) + ϕ(x2 + y) với mọi x1, x2, y ∈ E.

2) ϕ (λx, y) = λϕ(x, y) với mọi x, y ∈ E với mọi λ ∈ C

3) ϕ (x, y) = ϕ(y, x) với mọi x, y ∈ E.

ở đây kí hiệu z chỉ số phức liên hợp của số phức z.

Nhận xét 1 a) Từ các tính chất ở trên ta suy ra một số tính chất trực tiếp của

Định nghĩa 1.2 Dạng hermite ϕ trên không gian vector E được gọi là dạng

hermite dương và viết là ϕ  0 nếu ϕ(x, x)  0 với mọi x ∈ E Ngoài ra, nếu ϕ(x, x) = 0 chỉ khi x = 0 thì ϕ được gọi là dạng hermite xác định dương.

1.2 Hai bất đẳng thức quan trọng

Mệnh đề 1.3 (Bất đẳng thức Cauchy-Schwartz) Giả sử ϕ là dạng Hermite

dương trên không gian vectơ E Khi đó

|ϕ(x, y)|2  ϕ(x, x).ϕ(y, y) với mọi x, y ∈ E (1.2)

Chứng minh Đặt a = ϕ(x, x), b = ϕ(x, y), c = ϕ(y, y) Chú ý rằng a, c là các

số thực không âm và bất đẳng thức cần chứng minh là: |b|2  ac Với mọi λ ∈ C

Tóm lại, trong mọi trường hợp ta đều có |b|2 ac.

Mệnh đề 1.4 (Bất đẳng thức Minkowski) Nếu ϕ là dạng Hermite dương trên

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwartz ta có:

Nếu ϕ là tích vô hướng trên E thì chúng ta ký hiệu ϕ (x, y) bởi x, y và gọi

x, y là tích vô hướng của hai vectơ x và y.

Bổ đề 2.2 Dạng hermite ϕ  0 trên E là tích vô hướng nếu và chỉ nếu ϕ không suy biến, có nghĩa là

x ∈ E, x = 0 ⇔ ϕ(x, y) = 0 với mọi y ∈ E

hoặc

y ∈ E, y = 0 ⇔ ϕ(x, y) = 0 với mọi x ∈ E.

Chứng minh Điều kiện cần là hiển nhiên Ta chứng minh điều kiện đủ: Theo

giả thiết nếu x ∈ E, x = 0 thì tồn tại y ∈ E : ϕ(x, y) = 0 Bất đẳng thức Cauchy

- Schwartz cho ta

0 < |ϕ(x, y)|2  ϕ(x, x).ϕ(y, y)

và do đó ϕ (x, x) > 0

Định nghĩa 2.3 Không gian vectơ E cùng với một tích vô hướng .,  đã cho trên E được gọi là không gian tiền Hilbert.

Với x ∈ E ta đặt

Khi đó bất đẳng thức Cauchy -Schwartz có dạng

|x, y|  xy với mọi x, y ∈ E

còn bất đẳng thức Minkowski viết là

x + y  x + y với mọi x, y ∈ E.

Mặt khác hiển nhiên

1) x  0 với mọi x ∈ E và vì .,  là tích vô hướng, nên nếu x = 0 thì

x = 0.

2) λx =/λx, λx =/λ¯ λ x, x = |λ|x với mọi λ ∈ C và x ∈ E Thành thử công thức (2.1) xác định một chuẩn trên E, gọi là chuẩn sinh bởi

tích vô hướng

Như vậy, mọi không gian tiền Hilbert đều là không gian định chuẩn với chuẩn sinh bởi tích vô hướng.

Định nghĩa 2.4 Không gian tiền Hilbert E được gọi là không gian Hilbert nếu

E cùng với chuẩn sinh bởi tích vô hướng trên E là một không gian Banach.

Mệnh đề 2.5 Nếu E là không gian tiền Hilbert thì tích vô hướng của nó liên tục

Suy ra lim

(x,y)→(x0 ,y0 |x, y−x0, y0| = 0, chứng tỏ lim

(x,y)→(x0 ,y0 x, y = x0, y0 Trong không gian tiền Hilbert E, hai vector x và y đ−ợc gọi là trực giao với nhau và kí hiệu là x ⊥ y hoặc y ⊥ x nếu x, y = 0.

Mệnh đề sau đây có hình ảnh hình học trực quan là Định lý Pythagore tronghình học sơ cấp và cũng là sự khái quát hoá của định lý đó nên đẳng thức trongmệnh đề vẫn đ−ợc gọi là đẳng thức Pythagore

Mệnh đề 2.6 (Đẳng thức Pythagore) Trong không gian tiền Hilbert E ta có:

Chứng minh Chúng ta đồng thời chứng minh cả hai khẳng định trong mệnh đề

bằng cách chứng minh ngay khẳng định b) bằng quy nạp:

+) Với n = 2, giả sử x1 ⊥ x2, khi đóx1, x2 = x2, x1 = 0 nên

x1+ x22 = x1+ x2, x1+ x2 = x1, x1 + x1, x2 + x2, x1 + x2, x2

= x12+ x22

Nh− vậy khẳng định b) đúng với n = 2 và do đó khẳng định a) đúng

+) Giả sử n > 2 và đẳng thức đúng với hệ n − 1 vector đôi một trực giao bất

kỳ Cho x1, , x n ∈ E với x i ⊥ x j = 0 với mọi j, j = 1, n, i = j, vì

Như vậy đẳng thức đúng với hệ n vector trực giao tuỳ ý.

Mệnh đề 2.7 (Đẳng thức hình bình hành) Trong không gian tiền Hilbert E ta

Nhận xét a) Trong mặt phẳng nếu xét hình bình hành có hai cạnh là hai vector

x và y thì vế trái của đẳng thức trên chính là tổng bình phương độ dài hai đường

chéo còn vế phải chính là tổng bình phương độ dài các cạnh của hình bình hành

đó Vì lẽ đó mà đẳng thức trên được gọi là đẳng thức hình bình hành

b) Đẳng thức hình bình hành cũng là một điều kiện để một không gian định

chuẩn E là không gian tiền Hilbert, nghĩa là có thể xác định một tích vô hướng qua chuẩn đã cho trên E sao cho chuẩn đã cho đó trùng với chuẩn sinh bởi tích

vô hướng khi và chỉ khi chuẩn đó thoả mãn đẳng thức hình bình hành

Ví dụ 1 Không gian Euclide n - chiều Xét không gian vector

Dễ thấy chuẩn sinh bởi tích vô hướng (2.2) trùng với chuẩn Euclide trên Cn:

nên Cn với tích vô hướng trên là một không gian Hilbert

Ví dụ 2 Không gian l2 Xét không gian Banach các dãy số bình phương khảtổng

l2 = {x = (x n)n∈N ∗ : x2=

∞ n=1

|x n |21 2

và với chuẩn này l2 là không gian Banach (xem mệnh đề 1.15, chương 1), nên l2

với tích vô hướng xác định bởi công thức (2.3) là một không gian Hilbert

Ví dụ 3 Không gian L2(X, Σ, μ) Giả sử (X, Σ, μ) là không gian đo với độ đo

μ Xét không gian Banach L2(X, Σ, μ) Cũng như các ví dụ trên, dễ kiểm lại

=/

f, f), f ∈ L2(X, Σ, μ) nên L2(X, Σ, μ) là một không gian Hilbert.

Bài 22 Cho E không gian Banach A ∈ L(E) phép đẳng cấu Chứng minh λ ∈ σ(A), λ = λ −1... data-page="36">

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwartz ta có:

Nếu ϕ tích vơ hướng E ký hiệu ϕ (x, y) x, y gọi

x, y tích vơ hướng hai vectơ x y.

Bổ đề 2. 2... x1, x2< /sub> + x2< /small>, x1 + x2< /small>, x2< /sub>

= x12< /small>+