§4 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG Bài 164 Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH Hãy tính lần lượt độ dài các đoạn BH, CH, AH, AC nếu biết 1) 6 ; 10AB cm BC cm= = 2) 20 ; 25AB cm BC cm= = 3) 12 ; 13AB cm BC cm= = 4) 3 ; 2AB cm BC cm= = Bài 165 Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH Hãy tính lần lượt độ dài các đoạn BC, AH, BH, CH nếu biết 1) 3 , 4AB cm AC cm= = 2) 12 , 9AB cm AC cm= = 3) 12 , 5AB cm AC cm= = 4) 3 , 1AB cm AC cm= = Bài 166 Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao.
Trang 1§4 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Bài 164 : Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH Hãy tính lần lượt độ dài
các đoạn BH, CH, AH, AC nếu biết:
1) AB = 6cm BC; =10cm
2) AB =20cm BC; =25cm
3) AB =12cm BC; =13cm 4) AB = 3cm BC; =2cm
Bài 165 : Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH Hãy tính lần lượt độ dài
các đoạn BC, AH, BH, CH nếu biết:
1) AB =3cm AC, =4cm
2) AB =12cm AC, =9cm
3) AB =12cm AC, =5cm
4) AB = 3cm AC, =1cm
Bài 166 : Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH Hãy tính lần lượt độ dài
các đoạn AH, BC, AB, AC nếu biết:
1) BH =9cm CH, =16cm
2) BH =1cm CH, =3cm
3) BH =18cm CH, = 8cm
4) BH = 25cm CH, =144cm
Bài 167 :
1) Tính NP và MH
2) Tính NH và HP
Bài 168 :
1) Tính EG và EK
2) Tính FK và KG
Bài 169 :
1) Tính BC và AB
2) Tính AC và AH
Bài 170 : Cho tam giác ABC có đường cao AH, đường trung tuyến AM Hãy tính AH,
AM biết rằng AB = 5cm, AC = 12cm và BC = 13cm
Bài 171 : Cho tam giác DEF vuông tại D có DI là đường cao Tính độ dài DI nếu biết:
1) DE =15cm DF, =20cm
2) DE =7cm DF, = 24cm
3) DE =12cm EF, =15cm
4) EI =9cm EF, =25cm
Trang 2Bài 172 : Cho tam giác ABC vuông tại A có AB > AC, đường cao AH Hãy tính độ dài
các đoạn AB, AC nếu biết:
1) AH = 2cm BC, = 5cm 2) AH =12cm BC, =26cm
Bài 173 : Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH Hãy tính độ dài các đoạn
AH, AC nếu biết:
1) AB =6cm CH, =3 2cm 2) AB =60cm CH, =27cm
Bài 174 : Cho tam giác ABC vuông tại A có AB > AC, đường cao AH và đường trung
tuyến AM Hãy tính lần lượt độ dài các đoạn AM, HM, BH, CH, AB, AC nếu biết: 1) AH = 4,8cm BC, =10cm 2) AH =12cm BC, =25cm
Bài 175 : Cho tam giác ABC vuông tại A có các đường trung tuyến BM và CN Biết
rằng: BM = 73cm CN, = 2 13cm Tính độ dài các cạnh AB, AC
Bài 176 : Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH Gọi M và N lần lượt là hình chiếu
của H lên AB và AC Chứng minh rằng AM.AB = AN.AC
Bài 177 : Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH Chứng minh rằng
2 2 2 2
Bài 178 : Cho tam giác ABC vuông tại A Trên cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm D
và E Chứng minh rằng: CD 2 − CB 2 = ED 2 − EB 2
Bài 179 : Cho tam giác ABC vuông tại A, có I là trung điểm cạnh BC Cho M là điểm
bất kỳ sao cho MI = AI (M khác A, B và C) Chứng minh rằng:
2 2 2 2
Bài 180 : Cho hình thang vuông ABCD (góc A và góc D bằng 90o), có hai đường chéo
AC và BD vuông góc với nhau tại H Chứng minh rằng AH AC =DH DB
Bài 181 : Cho hình chữ nhật ABCD và M là một điểm bất kỳ thuộc miền trong của
hình chữ nhật Chứng minh rằng: MA 2 + MC 2 = MB 2 + MD 2
Bài 182 : Cho tứ giác lồi ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại
O Chứng minh rằng:
1) AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA 2 = 2 OA( 2 + OB 2 + OC 2 + OD 2)
2) AB2+ CD2= AD2+ BC2
Bài 183 : Cho tam giác ABC vuông tại A Từ trung điểm D của cạnh AC kẻ DE vuông
góc với BC tại E Chứng minh rằng:
1) BE2− CE2 = BD2− CD2 2) AB2 = BE2− CE2
Bài 184 : Cho tam giác ABC có o
A=30 Trong nữa mặt phẳng bờ BC, không chứa điểm A, vẽ tam giác BDC đều Trong nữa mặt phẳng bờ AC, không chứa B, vẽ tam giác ACE đều Chứng minh rằng: 2 2 2
AB +AC =AD
Bài 185 : Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH Chứng minh rằng:
2 2 2 2
Bài 186 : Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao CK Chứng minh rằng:
Trang 3Bài 187 : Cho tam giác ABCnhọn có hai đường cao BD CE, cắt nhau tại H Trên các đoạn HB HC, lần lượt lấy các điểm I J, sao cho AIC AJB= = 90o Chứng minh rằng:
AI AJ=
Bài 188 : Cho hình thang vuông ABCD (góc A và góc D bằng 90o), có hai đường chéo
AC và BD vuông góc với nhau tại H Chứng minh rằng AH AC =DH DB
Bài 189 : Cho hình thang vuông ABCD (góc A và góc D bằng 90o), có AC vuông góc với BD tại H Biết rằng HB = 8cm, HD = 18cm Hãy tính diện tích hình thang
Bài 190 : Cho hình chữ nhật ABCD có đường chéo BD = 68cm và 8
15
AD
AB = Hãy tính
độ dài các cạnh của hình chữ nhật
Bài 191 : Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH Tính các cạnh của tam
giác ABC biết rằng 9
16
HB
HC = và AH =48
Bài 192 : Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH Tính AH biết rằng
3
4
AB
AC = và BC=125cm
Bài 193 : Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH, đường trung tuyến AM
Biết rằng 3
7
AB
AC = và AH =42 Hãy tính độ dài hình chiếu của mỗi cạnh góc vuông lên cạnh huyền
Bài 194 : Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH, đường trung tuyến AM
Biết rằng 40
41
AH
AM = và AB AC Hãy tính tỉ số AB
AC Cho tam giác ABC vuông tại A
có đường phân giác AD Biết rằng DB=15cm, DC=20cm Hãy tính độ dài AB, AC
và AD
Bài 195 : Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 4cm, CD = 9cm, BD = 5cm và AC
= 12 cm Hãy tính diện tích hình thang ABCD
Bài 196 : Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G Biết
rằng BC = 10cm, BD = 9cm, CE = 12cm Hãy tính diện tích tam giác ABC
Bài 197 : Cho hình chữ nhật ABCD Vẽ BH vuông góc với AC tại H, tia BH cắt DC tại I
và cắt đường thẳng AD tại K
1) Chứng minh rằng AH AC =BH BK
2) Chứng minh rằng 2
BH =HI HK
Bài 198 : Cho hình thang vuông ABCD (góc A và góc D bằng 90o), có hai đường chéo
AC và BD vuông góc với nhau tại H Chứng minh rằng AB DC = AH AC
Bài 199 : Cho hình thang ABCD có AB // CD và hai đường chéo vuông góc với nhau
Biết rằng BD = 15cm và đường cao hình thang bằng 12cm Tính diện tích hình thang ABCD
Trang 4Bài 200 : Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH, đường phân giác AD Biết
4
HC
HB = , hãy tính DC
DB
Bài 201 : Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC, AH là đường cao, CH =9cm và
2 13
AB= cm Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC
1) Tính độ dài DE
2) Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và E lần lượt cắt BC tại M và N Tính diện tích tứ giác DENM
Bài 202 : Cho hình thang ABCD vuông tại A có AB // CD và AB < CD Kẻ AH vuông
góc với BD tại H Tính diện tích hình thang ABCD nếu biết BC = 13cm, CD = 14cm
và DB = 15cm
Bài 203 : Cho đoạn thẳng AB có O là trung điểm Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB vẽ
hai tia Ax, By lần lượt vuông góc với AB tại A và B Trên tia Ax lấy điểm C và trên tia By lấy điểm D sao cho CO và DO vuông góc với nhau
1) Chứng minh rằng 2
4
AB = AC BD 2) Cho M là điểm bất kỳ thuộc CD Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên OC, OD Chứng minh rằng MC MD = EO EC + FO.FD
Bài 204 : Cho tam giác ABC nhọn có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H Trên HB
và HC lần lượt lấy các điểm M và N sao cho AMC= ANB=90o Chứng minh rằng
AM = AN
Bài 205 : Cho tam giác ABC vuông cân tại A có đường trung tuyến BM Kẻ CD vuông
góc với BM tại D và DH vuông góc với AC tại H Chứng minh rằng AH = 3HD
Bài 206 : Cho hình vuông ABCD và một điểm M thuộc cạnh BC khác B và C Gọi N là
giao điểm của hai đường thẳng AM và DC Chứng minh rằng 12 1 2 12
AB = AM + AN
Bài 207 : Cho hình thang ABCD; đáy nhỏ AB, AD vuông góc với CD và AD = CD Vẽ
đường cao BH Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC Chứng minh rằng 12 12 12
CD =CE +CB
Bài 208 : Cho hình thoi ABCD có góc B là góc tù và BH là đường cao Chứng minh
rằng 12 1 2 12
BH = AC + BD
Bài 209 : Cho tam giác ABC cân tại A có hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H Biết
rằng AH = 14cm và BH = 30cm Hãy tính độ dài AB
Bài 210 : Cho tam giác ABC vuông tại A có AB > AC và đường cao AH Gọi D, E lần
lượt là trung điểm của HB và HA Gọi F là giao điểm CE và AD, I là điểm đối xứng
của A qua F Chứng minh rằng CIH =CBI
Bài 211 : Xét tam giác ABC vuông tại A, có AH là đường cao và cạnh huyền BC = 2a
Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC
Trang 51) Tìm giá trị lớn nhất của độ dài DE
2) Chứng minh rằng
3
ADHE
AH S
BC
= 3) Tìm giá trị lớn của diện tích S ADHE
Bài 212 : Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AD Đặt BC = a, AC = b, AB = c và
AD = h Chứng minh rằng tam giác có độ dài ba cạnh lần lượt h, b + c và a + h là một tam giác vuông
Bài 213 : Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH Trên cạnh AC lấy điểm S,
vẽ AT vuông góc với BS tại T Chứng minh rằng:
Bài 214 : Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AD Đặt BC = a, AC = b, AB = c và
AD = h Vẽ DE vuông góc với AB tại E, DF vuông góc với AC tại F Chứng minh rằng:
1)
2
2 2
b c AE
b c
= + và
2
2 2
bc AF
b c
= + 2)
3 3
BE c
CF =b
BC BE CF =EF
Bài 215 : Cho tam giác ABC có góc A nhọn và D là hình chiếu của A trên cạnh BC
Chứng minh rằng: BC2 =AB2 +AC2−2AB.AD
Bài 216 : Trong tam giác ABC có AM là đường trung tuyến Chứng minh rằng:
2
Bài 217 : Cho hình thang ABCD (BC song song với AD) và E, F lần lượt là hình chiếu
của B, C lên AD Chứng minh rằng:
1) AC2−AF2 =CD2−FD2 và BD2−ED2 =AB EA2− 2
2) AC2+BD2 =AB2+CD2+2AD.BC
Bài 218 : Cho tứ giác lồi ABCD, I và J lần lượt là trung điểm AC và BD Chứng minh
rằng: AB2+BC2+CD2+DA2 =AC2+BD2+4IJ2
Bài 219 : Cho hình vuông ABCD và M là một điểm bất kỳ thuộc cạnh BC Kéo dài AM
cắt tia DC tại N Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AM cắt tia CB tại E Chứng minh rằng: 12 1 2 12
Bài 220 : Cho tam giác ABC cân tại A có các đường cao là AH và BK Qua B kẻ đường
thẳng vuông góc với BC cắt tia đối của tia AC tại D Chứng minh rằng:
Bài 221 : Cho hình bình hành ABCD Chứng minh rằng ( 2 2) 2 2
2 AB +AD =BD +AC
Trang 6Bài 222 : Cho tam giác ABC vuơng tại A, đường cao AH, đường trung tuyến AM, AB
= 3cm và AC = 4cm Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC
1) Tính AH, SABC, SBCDE
2) Tính khoảng cách từ M đến DE
3) Gọi F là giao điểm AM và DH, G là giao điểm AM và HE Chứng minh tứ giác BFCG là hình bình hành và tính SBFCG
Bài 223 : Cho tam giác ABC vuơng tại A và đường cao AH Gọi E, F là hình chiếu của
H lên AB, AC Chứng minh rằng:
3
BC = AH +BE +CF
2)
2 2
AB HB
AC = HC
3)
3 3
AB BE
AC =CF
4) 3
AH =BC HE HF
5) 3
AH =BC BE CF
6) 3 2 3 2 3 2
BE + CF = BC
§5 TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC Bài 224 : Cho tam giác ABC vuơng tại A Hãy tính tỉ số lượng giác của các gĩc B và C
trong các trường hợp sau:
1) AB = 3cm và AC = 4cm
2) AB = 6cm và BC = 10cm
3) AC = 5cm và BC = 12cm
4) AB = 5cm và BC = 1dm
5) AC= 2cm và BC 2cm = 6) AB 3 3cm và AC 3cm = =
Bài 225 : Cho tam giác ABC vuơng tại A cĩ đường cao AH Hãy tính sinB, cosB, tanB,
cotB rồi suy ra sinC, cosC, tanC, cotC nếu biết:
1) AB = 30cm và AH = 24cm
2) AB = 9cm và AH = 7,2cm
3) BH = 2cm và AH = 2 3 cm
4) AH = 6cm và CH 2 3cm =
5) BH = 25cm và CH = 9cm 6) BH = 9cm và CH = 16cm
Bài 226 : Cho tam giác ABC vuơng tại A Tính độ dài các cạnh AC và BC trong các
trường hợp sau:
4
AB= cm B=
2) AB=2 3cm; cotB= 3
13
AB= cm B=
2
AB= cm B=
Bài 227 : Cho tam giác ABC vuơng tại A Tính độ dài các cạnh AB và AC trong các
trường hợp sau:
5
BC= cm B=
13
BC= cm B=
3) BC=2cm; tanB= 3
40
BC= cm B=
Trang 7Bài 228 : Giải các tam giác vuông sau:
Bài 229 :
1) Tính NP và MH
2) Tính NH và HP
3) Tính các góc MNP và MPN.
Bài 230 :
1) Tính EG và EK
2) Tính FK và KG
3) Tính các góc EFK và EGK
4) Tính các góc FEK và KEG.
Bài 231 :
1) Tính BC và AB
2) Tính AC và AH
3) Tính các góc ABC và ACB 4) Tính các góc BAH và CAH
Bài 232 :
1) Tính MP và NP.
2) Tính độ dài tia phân giác NK.
Trang 8Bài 233 :
1) Tính MN
2) Tính NP, HP
3) Tính MP
4) Tính các góc MNP và MPN
5) Tính các góc NMH và HMP
Bài 234 :
1) Tính BK.
2) Tính góc ABK.
3) Tính AB
4) Tính AH.
5) Tính AC.
6) Tính BH, CH.
Bài 235 : Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH Chứng minh rằng:
AB sinB = AC sinC
Bài 236 : Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH Chứng minh rằng:
BC = AB cosB + AC cosC
Bài 237 : Cho tam giác ABC nhọn có đường trung tuyến AM = AB Chứng minh rằng
tanB = 3tanC
Bài 238 : Cho tam giác ABC có trực tâm H là trung điểm của đường cao AA’ Chứng
minh rằng tanB.tanC = 2
Bài 239 : Cho tam giác ABC vuông cân tại C, AB = 2a và M là trung điểm của cạnh AB
Trên đường trung trực của đoạn AM lấy điểm D, nằm cùng một nữa mặt phẳng với
C bờ AB
1) Tính các góc và diện tích của tứ giác ABCD theo a
2) Gọi I là giao điểm của MC và BD Tính IC theo a
Bài 240 : Cho tam giác ABC vuông tại A Giải tam giác ABC biết:
sin C− +1 3 sin C cos C+ 3cos C= 0
Bài 241 : Cho tam giác ABC, tính độ dài cạnh BC biết rằng:
1) AB= 1cm AC, = 2cm BAC, = 1200
2) AB= 2cm AC, = 3cm BAC, = 300
Bài 242 : Giải tam giác ABC có 3 2
2
AB= cm, 60o
ABC = và 45o
ACB =
Bài 243 : Giải tam giác ABC có AC = 6cm, ABC =45o và ACB =30o
Bài 244 : Cho tam giác ABC có AB=AC= 2cm và BC =2cm
1) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông
2) Gọi D là điểm trên cạnh AB sao cho ACD =30o Tính ADC và AD
Trang 93) Giải tam giác BCD
Bài 245 : Giải tam giác ABC biết rằng AC =2cm BC; =3 3cm và ACB =30o
Bài 246 : Giải tam giác ABC biết rằng AC =2cm BC; =4 2cm và ACB =45o
Bài 247 : Cho tam giác ABC vuông tại A Chứng minh các đẳng thức sau:
1) sinB cosC = và cosB sinC =
2) tanB cotC = và cot B tanC =
3) tanB.cot B 1 = và tanC.cot C 1 =
4) sin B cos B 12 + 2 = và sin C cos C 12 + 2 =
5) 1 tan B2 12
cos B
2
1
1 tan C
cos C
2
1
1 cot B
sin B
2
1
1 cot C
sin C
Bài 248 : Tính giá trị các biểu thức sau:
1) A sin 23= o−cos67o
2) B cos34 sin 56 = o− o
3) C tan18= o−cot 72o 4) D cot 36= o−tan 54o
Bài 249 : Tính giá trị các biểu thức sau:
1) A sin10= o +sin 40o−cos50o−cos80o
2) B cos15= o+cos35 sin 55 sin 75o − o− o
3) C=tan27 tan63oo oo
cot 63 cot 27 4) D= cot 20 cot 45 cot 70oo oo oo
tan20 tan 45 tan70
Bài 250 : Chứng minh các đẳng thức sau:
1) sin x + cos x = 1 - 2sin xcos x4 4 2 2
2) sin x + cos x = 1 - 3sin xcos x6 6 2 2
3) tan2x− sin2x= tan2xsin2 x
4) cot2x− cos2x= cot2 xcos2x
=
6) tanx.tany = tanx + tany
cotx + coty
Bài 251 : Tính giá trị các biểu thức sau:
1) A sin 15 sin 35 sin 55 sin 75= 2 o+ 2 o + 2 o+ 2 o
2) B cos 15= 2 o+cos 352 o+cos 552 o+cos 752 o
3) C tan15 tan35 tan 55 tan 75= o o o o
4) D cot15 cot 35 cot 55 cot 75= o o o o
5) E tan 15 tan 35 tan 55 tan 75= 2 o 2 o 2 o 2 o
6) F cot 15 cot 35 cot 55 cot 75= 2 o 2 o 2 o 2 o
Trang 107) G sin 10= 2 o+sin 202 o+ + sin 802 o+sin 902 o
8) H cos 10= 2 o +cos 202 o+ + cos 802 o+cos 902 o
9) K tan10 tan 20 tan80 tan 90= o o o o
10) L cot10 cot 20 cot 80 cot 90= o o o o
11) M sin 5= 2 o+sin 102 o + + sin 852 o+sin 902 o
12) N cos 5= 2 o+cos 102 o + + cos 852 o +cos 902 o
13) O tan 5 tan10 tan15 tan85= o o o o
14) P cot 5 cot10 cot15 cot 85= o o o o
15) =Q sin 1 sin 22 o+ 2 o+sin 3 sin 89 sin 90 2 o + 2 o+ 2 o
16) R cos 1 cos 2= 2 o+ 2 o+cos 3 cos 892 o + 2 o+cos 902 o
17) S tan 1 tan 2 tan 3 tan 89= 2 o 2 o 2 o 2 o
18) T cot 1 cot 2 cot 3 cot 89= 2 o 2 o 2 o 2 o
§6 ĐƯỜNG TRÒN Bài 252 : Cho đường tròn tâm O đường kính AC Vẽ hai dây cung AB và CD song
song với nhau, chứng minh rằng B, O, D thẳng hàng
Bài 253 : Cho tứ giác ABCD có hai góc đối đỉnh B và D cùng bằng o
180 Gọi O là trung điểm của AC Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C và D cùng thuộc một đường tròn
Bài 254 : Cho tam giác ABC đều có I và K là trung điểm của AB và AC Chứng minh
rằng B, I, K và C cùng thuộc đường tròn đường kính BC
Bài 255 : Cho tam giác ABC nhọn có hai đường cao BD và CE Gọi O và I lần lượt là
trung điểm của BC và DE Chứng minh rằng:
1) Bốn điểm B, C, D và E cùng thuộc một đường tròn
2) OI vuông góc với DE
Bài 256 : Cho đường tròn tâm O, có đường kính AB và dây CD không cắt nhau (điểm
C nằm giữa A và D trên (O)) Vẽ OI, AH và BK cùng vuông góc với CD ở I, H và K Chứng minh rằng I là trung điểm của HK và CH = DK
Bài 257 : Cho đường tròn tâm O có hai dây cung AB và CD Gọi OH, OK là khoảng
cách từ O đến dây AB và CD tương ứng Chứng minh rằng:
1) Nếu AB = CD thì AH = CK và OH = OK
2) Nếu OH = OK thì AB = CD
Bài 258 : Cho đường tròn tâm O và hai dây cung AB, CD dài bằng nhau Hai đường
thẳng AB và CD cắt nhau tại I Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và CD tương ứng Chứng minh OH = OK và IH = IK
Bài 259 : Cho tam giác (O; R) có đường kính AI Gọi H là trung điểm của OI Vẽ dây
cung BC vuông góc với OI tại H Chứng minh tam giác ABC đều