Quy tắc tính đạo hàm

Đề thi thử THPT Quốc Gia 2019 môn Vật Lý trường THPT Chuyên Bắc Ninh lần 1 HỆ THỐNG ÔN THI ĐẠI HỌC 247 MÔN TOÁN 11 SƯU TẦM BỞI HỆ THỐNG ÔN THI ĐẠI HỌC 247 Trang 1 CHƯƠNG 5 ĐẠO HÀM BÀI 2 QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM Mục tiêu  Kiến thức + Nắm được quy tắc và các công thức tính đạo hàm + Trình bày được cách tìm đạo hàm thích hợp + Trình bày được cách viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm  Kĩ năng + Tìm được đạo hàm các hàm số thường gặp, đạo hàm hàm số hợp + Viết được phương trình tiếp tuyến và giải.

CHƯƠNG 5: ĐẠO HÀM BÀI 2 QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm được quy tắc và các công thức tính đạo hàm

+ Trình bày được cách tìm đạo hàm thích hợp

+ Trình bày được cách viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm

 Kĩ năng

+ Tìm được đạo hàm các hàm số thường gặp, đạo hàm hàm số hợp

+ Viết được phương trình tiếp tuyến và giải quyết các bài toán liên quan

+ Vận dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình,; chứng minh đẳng thức, bất đẳng

thức, tính giới hạn

2 Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

Cho các hàm số uu x ;vv x có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định Ta có:  

4 Bảng công thức đạo hàm của một số hàm số thường gặp

Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm các hàm hợp uu x 

5 Đạo hàm các hàm số lượng giác

a) Giới hạn của sin x

Hàm số ysinx có đạo hàm tại mọi x và sinx cosx

Chú ý: Nếu ysinu và uu x thì   sinuu cosu

c) Đạo hàm của hàm số ycosx

Định lý:

Hàm số ycosx có đạo hàm tại mọi x và cosx  sinx

Chú ý: Nếu ycosu và uu x thì   cosu  u.sinu

d) Đạo hàm của hàm số ytanx

u

e) Đạo hàm của hàm số ycotx

Định lý:

Hàm số ycotx có đạo hàm tại mọi xk,k và   2

1cot

sin

  

x

x

Bảng đạo hàm của hàm số lượng giác

sinx cosx sinu u cosu

cosx  sinx cosu u.sinu

u

1cot

Khi đó, phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M x y là:  0; 0 yy x 0 xx0y 0

Nguyên tắc chung để lập được phương trình tiếp tuyến là ta phải tìm được hoành độ tiếp điểm x0

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Các quy tắc và công thức tính đạo hàm

Bài toán 1 Tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số

2 2

Ví dụ 1: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

Ta có:

2 2

x có đạo hàm là

A y 2 B

1.1

 



y x

Câu 4: Cho các hàm số uu x v , v x có đạo hàm trên khoảng J và   v x 0 với  x J Khẳng

định nào sau đây sai?

x Đạo hàm của hàm số tại x1 là







x y

x có đạo hàm là

21

2 2 3





x x

D

2

3

2 3

x x





y x

Câu 16: Tính đạo hàm của hàm số sau   3 2

x

C 5 3

 





x x y

x có dạng  

2 2

1





ax bx x

Câu 26: Cho f x  x x1x2x3  x n với   n * Tính f 0

sinx cosx sinuu cosu

cosx  sinx cosu u.sinu

u

1cot

a) Ta có: y sin 2x  cos 5x2 cos 2x5sin 5 x

b) Ta có: y sinx cos 4xsin cos 4x  x

cos cos4 4sin sin 4

+) sinxxcosx cosxxcosxx cos x xsinx;

+) cosxxsinx sinxxsinxx sin xxcosx

Do đó:    

2

sin cos sin sin cos cos

Câu 1: Tìm đạo hàm của hàm số y5sinx3cosx

A y 5cosx3sin x B y cosx3sin x

C y cosxsin x D y 5cosx3sin x

Câu 2: Tìm đạo hàm hàm số y 3x2 tanx

Câu 4: Hàm số yx2cosx có đạo hàm là

A y 2 cosx xx2sin x B y 2 cosx xx2sin x

C y 2 sinx xx2cos x D y 2 sinx xx2cos x

Câu 5: Đạo hàm của hàm số ysin cos xcos sin x là 

A cos cos cosx  xsin sin sinx  x  B sin cos cosx  xcos sinx xsinx

C cos cos cosx  xsin sin sinx  x D sin cos cosx  xcos sinx xsinx 

Câu 6: Đạo hàm của hàm số ysin4xcos4x là

C cos4xsin 4 x D sin 4 x

Câu 7: Biết hàm số y5sin 2x4 cos 5x có đạo hàm là y asin 5xbcos 2x Giá trị của a b bằng 

Câu 9: Cho hàm số y f x sin xcos x Giá trị

Hàm số y f x là hàm số nào sau đây?  

A y 1 sinx B ycosx C y 1 cosx D ysinx

Câu 13: Hàm số y2 sinx 2 cosx có đạo hàm là

Câu 18: Cho hàm số f x sinsinx Giá trị của 

Câu 19: Tính đạo hàm của hàm số 2  4  

sin cos tan 3

 

y

4.sin 2

 

y

1.cos 2

2

 

x y

2 sin

2 cos2

 

x y

sin

2

2 cos2

 

x y

3

tan 2

 



x y

y

x D

3sin 6cos 6

C

2 2

Câu 26: Cho hàm f x thỏa mãn       2

x x

x x

x x

G x , biết

Ví dụ 1 Cho hàm số y 3x325x20 Giải phương trình y 0

x

Hướng dẫn giải

11

Vậy 1  m 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 4: Giải phương trìnhf x 0 trong các trường hợp sau

a) f x sin3x3sinx7;

b) f x cos2x2sinx1

Hướng dẫn giải

a) f x sin3x3sinx 7 f x 3cos3x3cosx Khi đó:

b) f x cos2x2sinx 1 f x  2sin 2x2cosx

  0 2sin 2 2cos 0 cos  2sin 1 0

26

5

26

  

30; 2

30; 2



x x

x Tập nghiệm của phương trình y 0 là

Câu 16: Cho hàm số f x sin 2x Hỏi có bao nhiêu điểm phân biệt trên đường tròn lượng giác biểu

diễn các nghiệm của phương trình 3f x 2f x 5?

Câu 17: Cho   3 1 2

42

n x

n

Dạng 4: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Bài toán 1 Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm

Phương pháp giải

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

 C :yf x tại điểm   M x y  0, 0

Bước 1: Tìm đạo hàm y f x , từ đó suy ra

Ví dụ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

:  2

C y x x tại điểm M 1;3

Hướng dẫn giải

hệ số góc của tiếp tuyến là ky x  0

Bước 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại

+) Nếu đề bài cho hoành độ tiếp điểmx0 thì

tìm y0 bằng cách thế vào hàm số ban đầu, tức

là: y0 f x 0

+) Nếu đề bài cho tung độ tiếp điểm y0 thì tìm

0

x bằng cách giải phương trình f x 0 y 0

+) Viết phương trình tiếp tuyến tại các giao

điểm của đồ thị  C :y f x và đường thẳng  

:  

d y ax b Khi đó các hoành độ tiếp điểm

là nghiệm của phương trình hoành độ giao

Ví dụ 1: Cho điểm M thuộc đồ thị   2 1

x và có hoành độ bằng – 1 Viết phương trình tiếp tuyến

của đồ thị (C) tại điểm M

x tại giao điểm với trục hoành

x có đồ thị (C) Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M1; 2  lần lượt cắt hai trục tọa độ tại A và B Tính diện tích tam giác OAB

Bài toán: Cho hàm số y f x có đồ thị (C)  

Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) với

suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là

Bước 3: Với mỗi tiếp điểm ta tìm được các

tiếp tuyến tương ứng

Chú ý: Đề bài thường cho hệ số góc của tiếp

tuyến dưới các dạng sau:

+ Tiếp tuyến d/ / : yax  b k a

Sau khi lập được phương trình tiếp tuyến

thì nhớ kiểm tra lại xem tiếp tuyến có bị trùng

với đường thẳng  hay không? Nếu trùng thì

phải loại đi kết quả đó

 d2 :y9x  2 0  d2 :y9x18 Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là

 d1 :y9x14; d2 :y9x18

Tập xác định D

Ta có: y 3x2 3 Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm là M x y  0; 0

Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là

9 X X 3X 2

rồi bấm ta được kết quả là

Vậy phương trình đường tiếp tuyến là

y

x

 

 và   : 3x    y 2 0 y 3x2 Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm là M x y  0; 0

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng   nên

0 2

+ Với x0  1 suy ra y0  1, suy ra tiếp điểm M1 1; 1

Phương trình tiếp tuyến tại M1 là: d1: y3x  1 1 d1:y3x2

Lúc này: d1  nên không thỏa mãn

+ Với x0   3 y0 5 ta có tiếp điểm M23;5

Phương trình tiếp tuyến tại M2 là  d2 : y3x  3 5  d2 :y3x14

Vậy có một tiếp tuyến cần tìm là d2 :y3x14

Suy ra d1:y3x 2 d1  (không thỏa mãn)

Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại điểm A

Khi đó tiếp tuyến d có hệ số góc ky 1  4 4m  1 4m

4

d    m    m  m

y x

0 0

1

32

x

x x

4:

11

x

x x

biết tiếp tuyến đi qua điểm A x y A; A

Bước 3: Giải hệ trên tìm được x, từ đó tìm ra k

và thế vào phương trình (*), thu được phương

trình tiếp tuyến cần tìm

Cách 2:

Bước 1 Gọi M x f x 0;  0  là tiếp điểm

Tính hệ số góc tiếp tuyến k f x0 theo x0

Bước 2 Phương trình tiếp tuyến có dạng:

Giải phương trình này sẽ tìm được x0

Bước 3 Thay x0 vừa tìm được vào (**) ta

được phương trình tiếp tuyến cần tìm

Đường thẳng d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi

x x

Phương trình tiếp tuyến là y 9x7

Đường thẳng d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ

1 4 11

321

x

k x x

k x

Phương trình tiếp tuyến là y  x 1 và y x 3

Ví dụ 3: Cho hàm số yx33x2 có đồ thị (C) Tìm các điểm trên đường thẳng d y: 9x14 sao cho

từ đó kẻ được hai tiếp tuyến với (C)

Gọi M m ;9m 14  là điểm nằm trên đường thẳng d y: 9x14

Tiếp tuyến đi qua điểm M khi và chỉ  2    3

A y 6x2 B y 6x2 C y  6x 10 D y 6x10

Câu 13: Cho hàm số y  x3 3x2 có đồ thị (C) và điểm M có hoành độ m32m2 thuộc (C) Gọi S là tập hợp các giá trị thực của m để tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc lớn nhất Khi đó tổng giá trị các phần tử thuộc S bằng

Câu 17: Tập hợp các giá trị thực của tham số m để trên đồ thị hàm số

 



 có đồ thị (C) Với mọi m đường thẳng y x m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B Gọi k k1, 2 lần lượt là hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại A, B Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 20: Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục trên Gọi  1, 2 lần lượt là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x  và 2  

yx f x tại điểm có hoành độ x1 Biết rằng hai đường thẳng  1, 2

vuông góc nhau Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 24: Cho hàm số yx33x có đồ thị (C) Gọi S là tập hợp tất cả giá trị thực của k để đường thẳng

7

9.16

Câu 29: Cho hàm số 2

x y x





 có đồ thị (C) Giả sử, đường thẳng d y: kxm là tiếp tuyến của (C),

biết rằng d cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O Tổng km có giá trị bằng

Câu 30: Cho các hàm số        3 

y x y f f x y f x  có đồ thị lần lượt là      C1 , C2 , C 3

Đường thẳng x2 cắt      C1 , C2 , C lần lượt tại A, B, C Biết phương trình tiếp tuyến của 3  C tại A 1

và của  C tại B lần lượt là 2 y3x4 và y6x13 Phương trình tiếp tuyến của  C tại C 3

A y24x23 B y10x21 C y24x21 D y10x5

Câu 31: Cho hàm số y x22x3 có đồ thị (C) và điểm A 1;a Có bao nhiêu giá trị nguyên của a

để có đúng hai tiếp tuyến của (C) đi qua A?

Câu 32: Cho hàm số y x33x21 có đồ thị (C) Hỏi trên trục Oy có bao nhiêu điểm A mà qua A có thể kẻ đến (C) đúng ba tiếp tuyến?

Câu 33: Cho hàm số yx33x21 có đồ thị (C) Biết có hai điểm phân biệt A, B thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A, B song song nhau và AB4 2 Hỏi đường thẳng AB đi qua điểm nào dưới đây?

2

2.3

Câu 37: Cho hàm số 3 2 1

2

m

yx  x  m có đồ thị là  C m Có bao nhiêu giá trị m để tiếp tuyến của

 C m tại giao điểm của nó với trục tung tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8?

Câu 38: Cho hàm số 2 1

1

x y x

A y x 2 B y x C y  x 2 D yx

Câu 40: Cho hàm số 2 1

1

x y x





 có đồ thị (C) và điểm I 1;2 Điểm M a b a ; , 0 thuộc (C) sao cho

tiếp tuyến tại M của (C) vuông góc với đường thẳng IM Giá trị a b bằng

 Phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa

độ một tam giác vuông cân là

Câu 44: Cho hàm số f x g x xác định và liên tục trên    , thoả mãn f  x  10x3x g x  ,x

và hàm số g x  0, x Xét hàm số h x  f2 x 2020 Gọi 0 là góc tạo bởi phần phía trên Ox của tiếp tuyến của đồ thị hàm số h x tại điểm   x0 và tia Ox Mệnh đề nào sau đây đúng?

   liên tục và có đạo hàm trên Gọi k k k1, 2, 3 lần lượt

là hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị các hàm số trên tại x2 và thỏa mãn k1 k2 2k3 0 Khẳng định nào sau đây đúng?

22

22

Câu 50: Cho hàm số yx3mx2 mx2m3 có đồ thị là (C), với m là tham số thực Gọi T là tập tất

cả các giá trị nguyên của m để mọi đường thẳng tiếp xúc với (C) đều có hệ số góc dương Tổng các phần

Câu 54: Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục trên , thỏa mãn

16.13

ĐÁP ÁN Dạng 1 Công thức tính đạo hàm

Ta có y cos 3x.sin 2xcos 3 sin 2x  x 3sin 3 sin 2x x2 cos 3 cos 2x x

Do đó 3sin sin2 2 cos cos2 1

Ta có y cossinx  .sinxcos cosx sinx

x y

2 tan tan

cos2

k

x x

12

54sin

f x f x

Tiếp tuyến tại B đi qua A nên hệ số góc của tiếp tuyến là k  m 2

Mặt khác hệ số góc của tiếp tuyến là    2

Suy ra hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình:

03

3

21

x x x





    

Trường hợp 1: x0, suy ra tung độ của tiếp điểm là y0  1

Phương trình của tiếp tuyến là: y 1 3x  0 y 3x1(không thỏa mãn)

Trường hợp 2: x 2, suy ra tung độ của tiếp điểm là y0 5

Phương trình của tiếp tuyến là: y 5 3x  2 y 3x11 ( thỏa mãn)

Vậy tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến là B2;5

+ Phương trình tiếp tuyến tại điểm M23;5 là: y9x   3 5 y 9x32

2

y x

0

32

52

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x0 1

Vậy kmax 3 khi và chỉ khi x0 1, từ đó ta có

m

m m

m

m m







Để tiếp tuyến đó cách đều 2 điểm A 1; 2 ,  B 1;0 thì có 2 khả năng

+) Tiếp tuyến đó song song với AB

m

m m

A  d Ox A   

   

2 2

1

12

OAB

m m

Đường thẳng :x  y 1 0 có vectơ pháp tuyến là: n1  1;1

Gọi  d :ykx m là tiếp tuyến cần tìm  d có vectơ pháp tuyến là n1 k; 1 

0

k g

y x

11

x x

0 2

k m

+ Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M11;1 là: y      x 1 1 y x(loại)

+ Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M22;0 là: y      x 2 y x 2

Nhận xét: hàm số đã cho là hàm số chẵn và có đạo hàm trên

Việc chứng minh hàm số có đạo hàm trên , ta chỉ cần chứng minh hàm số có đạo hàm tại x0

Vì hàm số đã cho là hàm số chẵn nên đồ thị (C) của nó đối xứng qua Oy Do đó từ điểm A trên trục Oy nếu kẻ được một tiếp tuyến d đến (C) thì ảnh của d qua phép đối xứng trục Oy cũng là một tiếp tuyến của (C) Vậy để qua điểm A trên trục Oy có thể kẻ đến (C) đúng ba tiếp tuyến thì điều kiện cần và đủ là có một tiếp tuyến vuông góc với trục tung và một tiếp tuyến với nhánh phải của đồ thị (C), tức là phần đồ thị của hàm số   3 2

y f x x  x  , với x0

Gọi M 0;m thuộc Oy và   là tiếp tuyến qua M 0;m có hệ số góc k Ta có:   : ykx m

Điều kiện tiếp xúc là

Yêu cầu đề bài tương đương phương trình (*) có đúng một nghiệm x0 và một nghiệm x0

Phương trình (*) có nghiệm x0 nên m1

B G



Phương trình tiếp tuyến với  C m tại điểm M là y mx 1 m

Gọi A, B lần lượt là giao điểm của tiếp tuyến này với trục hoành và trục tung, ta có tọa độ A 1 m;0

Giả sử tiếp tuyến (d) của (C) tại M x y 0; 0   C cắt Ox tại A, Oy tại B sao cho OA4OB

Do OAB vuông tại O nên tan 1

4

OB A OA

   Hệ số góc của (d) bằng 1

4 hoặc

14

Với x0 thay vào (1) ta được:      

6f 1 f 1  9 3f 1 f 1 (3) Trường hợp 1: Với f 1 0 thay vào (3) ta được: 90 (vô lý)

Trường hợp 2: Với f 1  1 thay vào (3) ta được: 6f 1  9 3f 1  f 1  1

Suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số yf x  tại điểm có hoành độ x1 là

y x

y x



 



Gọi M x y là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của  0; 0  C :yy x 0 xx0y0

Vì tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân nên tiếp tuyến phải vuông góc với một trong

hai đường phân giác y x, do đó hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1 hay y x 0  1

Tiếp tuyến của (C) qua M có phương trình dạng yk x m  2m1

Từ điểm M kẻ được duy nhất một tiếp tuyến tới (C) khi và chỉ khi hệ

3

2 1 11

4

21

x

x

k x

y

x



 

 Gọi M x y là tiếp điểm  0; 0

Phương trình tiếp tuyến  có dạng:

0 0

3

11

x

x x

0

3:

011

0

:

11

Do y f x  có đồ thị cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ x x x x1, 2, 3, 4 nên

Lấy đạo hàm hai vế (*) ta được 4.f 2x 2.f1 2 x24 ,x x

f   Phương trình tiếp tuyến cần tìm là 1   12