TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ BIỂU THỨC THOẢ MÃN MỘT ĐẲNG THỨC I.. PHƯƠNG PHÁP + Tìm điều kiện xác định nếu cần + Rút gọn biểu thức + Giải phương trình theo yêu cầu của đề bài + Đối chiếu + Kết luận
Trang 1DẠNG 1
TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ BIỂU THỨC THOẢ MÃN MỘT ĐẲNG THỨC
I PHƯƠNG PHÁP
+ Tìm điều kiện xác định nếu cần
+ Rút gọn biểu thức
+ Giải phương trình theo yêu cầu của đề bài
+ Đối chiếu + Kết luận
II VÍ DỤ
Ví dụ 1 Cho biểu thức
4 x A
x 1
=
− và
B
x 1
x 1 1 x
− + − ( với x 0≥ ; x 1≠ ).
a) Tính giá trị của A khi x 25= .
b) Chứng minh
x 1 B
x 1
+
=
− . c) Đặt P A : B= Tìm các giá trị của x để
5 P 2
=
Lời giải
a) Với x 25= (thỏa mãn điều kiện), thay vào biểu thức A, ta được:
4 25 4.5
4
25 - 1= =
Vậy khi x 25= thì A 5= .
b) Với x 0≥ và x 1≠ , ta có
B
x 1
x 1 1 x
−
= x 11 + x 1x +( x 1)(2 x 1)
( ) ( )( )
x 1 x x 1 2
x 1 x 1
=
( x 1x 2 x 1)( x 1)
=
2
x 1
x 1 x 1
+
=
x 1
x 1
+
=
− . Vậy
x 1 B
x 1
+
=
− với x 0≥ ; x 1≠
Trang 2c) Với x 0≥ và x 1≠ , ta có
P A : B=
4 x x 1 :
x 1 x 1
+
=
4 x x 1
x 1 x 1
−
=
4 x
x 1
= + . Với x 0≥ và x 1≠ , ta có
P
+
2(8 xx 1) 52( ( x 1x 1) )
+
8 x 5 x 5
5 x 3
9
⇔ =
(thỏa mãn)
Vậy để
5 P 2
= thì
25 x 9
=
Ví dụ 2 Cho biểu thức:
x x 1 x x 1 1 x
với x 0≥ và x 1≠
a) Rút gọn B
b) Tìm x để B 5=
Lời giải
a) Rút gọn B
Với x 0≥ và x 1≠
x x 1 x x 1 1 x
1 x
x 1 x x 1
( x )( x 1 ) ( )2
x 1 x x 1
B= x 1−
Vậy với x 0≥ và x 1≠ thì B= x 1−
b) Tìm x để B 5=
B 5= ⇔ x 1 5− = ⇔ x = ⇔ =6 x 36 (Thỏa mãn x 0≥ và x 1≠ )
Vậy x 36= thì B 5= .
Trang 3Ví dụ 3 Cho
x 1 x 1 8 x x x 3 1
với (x 0; x 1≥ ≠ ). a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của x để
4 A 5
=
Lời giải
a) Điều kiện x 0; x 1≥ ≠
x 1 x 1 8 x x x 3 1
( ) (2 )2
x 2 x 1 x 2 x 1 8 x x x 3 x 1
=
4 x x 1
x 1 x 4
=
− − −
4 x A
x 4
=
+ Vậy
4 x A
x 4
= + với x 0; x 1≥ ≠
5 x 4 5
+
x 16
⇔ − = ⇔ = ⇔ =
Do x 0; x 1≥ ≠ nên x 16=
Vậy x 16= thì
4 A 5
=
III BÀI TẬP VẬN DỤNG
Câu 1 Cho biểu thức:
x V
với x>0, x≠0 a) Rút gọn biểu thức V
b) Tìm giá trị của x để
1 3
V =
Lời giải
Trang 4a) Rút gọn biểu thức V với x>0, x≠0.
2 2
x V
V ( x )( x ) ( x )( x ) x
V ( x )( x ) x
x
+
=
=
− b)
x
Câu 2 Cho biểu thức
1
P :
a) Rút gọn P
b) Tìm x để P=2 x−1
Lời giải
a) Với x≥0 thì
1
P :
1
:
( 1)( 1) ( 1)( 1)
1
x
x x
+
Vậy với x>0thì
1
x x P
x
=
b)
1
x
1 x
⇔ = ( thỏa mãn x>0) Vậy với x=1thì P=2 x−1
Trang 5Câu 3 Cho biểu thức
2 4
x
−
a) Rút gọn P
b) Tìm xbiết P=18
Lời giải
a) Điều kiện:
4
2 0
x x
Với điều kiện trên thì
2 4
x
−
1
=
Vậy với x≥0;x≠4thì
2 2
x P
x
=
− b) Ta có
2
2
x
x
− ⇔ −x 3 x−6 x+ = ⇔18 0 x x( − −3) (6 x− =3) 0
36
6 0
x
x
=
Vậy x∈{9 36; } thì P=18
Câu 4 Với số thực x>0 và x≠16,
Cho hai biểu thức 5
x A
x
= + và
16 4
B
x x
+
−
1) Rút gọn biểu thức B
2) Tìm x để
5 6
A
B =
Lời giải
Trang 6a) Với x>0 và x≠16thì 2 4 1216 2 4 ( 412)( 4)
B
x
−
( 4)( 4 4) 4
x
−
+
b) Với x>0 và x≠16thì:
4 5
6 5
x
x
+
+
⇔ = ⇔ = ( thỏa mãn x>0 và x≠16).
Vậy với x=1thì
5 6
A
B =
Câu 5 Cho biểu thức
1
P
x
−
− + với x≥0;x≠1 a) Rút gọn P
b) Tìm x biết P= − x
Lời giải
a) Với x≥0;x≠1thì
1
P
x
−
=
=
=
Trang 7( )( )
=
( x 1)( x 1)
=
1
x
+
Vậy với x≥0;x≠1thì
1
x P
x
−
= +
1
x
x
−
+
2 x 1 x x x 3 x 1 0
Đặt x t t= ( ≥0;t≠1)
(1) trở thành t2+ − =3 1 0t
2
3 4 1 .( )1 13
( ) ( )
2
3 13
3 13 22 6 13 2
3 13 2
x
− +
=
=
Vậy
22 6 13 4
x= −
thì P= − x
Câu 6 Cho biểu thức
A
x 9 x 3
6 B
x 3 x
=
− với x 0; x 9> ≠ .
a) Tính giá trị của biểu thức B tại x 25= .
b) Rút gọn biểu thức A
c) Tìm x để
B 2 x 1
A 2
+
=
Câu 7 Cho các biểu thức
A
x 4
−
x 3 B
2 x x
−
=
− (Với x 0 x 4> ; ≠ ) a) Tính giá trị của B khi x 16=
b) Rút gọn biểu thức A
c) Tìm x để A B: = −1
Câu 8 Cho biểu thức
P
x 4
x 2 x
−
− với x 4,x 0 ≠ >
1) Rút gọn biểu thức P
Trang 82) Tìm những giá trị của x để
1 P 15
= −
Lời giải
1) Rút gọn biểu thức P
P
P
+
Thu gọn ta được P x( x 21 )
−
=
+
2) Tìm các giá trị của x để
1 P 15
−
=
Thay P x( 1x 2)
−
=
+
vào
1 P 15
−
= x( x 21 ) 151
+
Tính được x = 9 (kết hợp điều kiện thỏa mãn)
Vậy x = 9 để
1 P 15
−
=
Câu 9
Câu 10.
Câu 11
Câu 12.
Câu 13.
Câu 14.
Câu 15.
Câu 16.
Câu 17.
Câu 18.
Câu 19.
Câu 20.